Коммерциялық емес акционерлік
қоғам
ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКА
5В070300– Ақпараттық жүйелер мамандығының студенттері үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға
арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар
Алматы 2016
АЛМАТЫ
ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС
УНИВЕРСИТЕТІ Жоғары математика кафедрасы
ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж.
Ықтималдық теориясы және математикалық статистика. 5В070300–
Ақпараттық жүйелер мамандығының студенттері үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. - Алматы: АЭжБУ, 2016. - 56 б.
5В070300– Ақпараттық жүйелер мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар «Ықтималдық теориясы және математикалық статистика» пәнінің №1, №2, №3 типтік есептеулерден тұрады.
Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқаның шешімі келтірілген.
Кестелер- 19, без.- 9, әдеб.кӛрсеткіші – 6 атау.
Рецензент: «Электроника» кафедрасының аға оқытушысы Е.О.Елеукулов
«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2016 ж. жоспары бойынша басылады
«Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2016 ж.
Кіріспе
Бізді қоршаған техникалық, қоғамдық, биологиялық, экономикалық және басқа жүйелер жиынын әртүрлі модельдер түрінде кӛрсетуге болады.
Оның ішінде анықталатын және ықтималды екі кластары ерекшеленеді.
Екінші класс моделдері параметрлер мәндері мен жүйенің жағдайын бірмәнді анықтау мүмкін еместігімен сипатталады. Ықтималдық теориясы осындай жүйелерді зерттеумен айналысады. Қолданбалы есептерді шешуді қамтамасыз ететін теориялық негізбен қамтамасыз етеді.
Әдістемелік нұсқаулықтар «Ықтималдық теориясы және математикалық статистика» пәнінің есептік-графикалық жұмыстарынан тұрады.
Әрбір бӛлімде теориялық сұрақтар мен мәліметтер келтірілген. Әрбір есептік-графикалық жұмыстардың типтік варианттың шешуі келтірілген.
Әр студенттің вариантының нӛмірі топтың тізімі бойынша анықталады.
Есептік-графикалық жұмыс оқушы дәптеріне анық орындалуы керек.
1 Есептік-сызба жұмыс №1. Кездейсоқ оқиғалар
Мақсаты: кездейсоқ оқиғалар мен оның ықтималдығы туралы түсініктермен, ықтималдық теориясының негізгі теоремаларымен таныстыру.
1.1 Теориялық сұрақтар
1 Ықтималдық теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар, жиілік. Ықтимал- дықтың статистикалық және геометриялық анықтамалары.
2 Элементар оқиғалар кеңістігі. Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.
3 Ықтималдықтарды қосу және кӛбейту теоремалары. Шартты ықтимал- дық.
4 Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формуласы.
5 Тәжірибенің қайталануы. Бернулли формуласы.
6 Лапластың аймақтық және интегралдық теоремасы. Лаплас функциясы. Пуассона формуласы.
1.2 Есептік тапсырмалар
1. Лотереяда N билет бар, оның M ұтысты. Табу керек:
а) ұтысты билеттің қатысты жиілігін;
б) m сатып алынған билеттердің барлығы ұтысты болу ықтималдығын;
в) сатып алынған m билеттердің ішінде m1 ұтысты болу ықтималдығын;
г) сатып алынған m билеттердің ішінде ең болмағанда біреуі ұтысты болу ықтималдығын.
N M m m1 N M m m1
1.1 70 8 5 3 1.16 100 25 10 8
1.2 75 9 8 4 1.17 90 15 12 7
1.3 85 6 5 2 1.18 85 10 7 4
1.4 90 12 7 4 1.19 80 9 5 3
1.5 87 10 8 3 1.20 95 15 9 3
1.6 100 30 15 5 1.21 70 10 9 5
1.7 90 20 9 3 1.22 80 15 7 5
1.8 95 15 10 4 1.23 90 10 6 4
1.9 85 10 7 2 1.24 75 10 8 4
1.10 90 12 6 3 1.25 100 20 10 7
1.11 85 10 5 2 1.26 90 10 8 5
1.12 75 8 5 3 1.27 80 7 5 3
1.13 100 15 9 4 1.28 95 10 8 5
1.14 80 10 7 4 1.29 96 12 7 1
1.15 85 7 5 2 1.30 89 13 5 2
2. Урнада n шар бар, олардың арасында n1 ақ, n2қара, n3 қызыл, n4кӛк
( n n
i i
4 ). Кез келген ретпен m шар алынды. Алынған шарлар арасында m1 ақ, m2- қара, m3- қызыл, m4- кӛк шар болу ықтималдығын табу керек ( m mi i
4 ).n1 n2 n3 n4 m1 m2 m3 m4
2.1 3 2 2 4 2 1 1 1
2.2 4 3 2 3 2 1 2 1
2.3 3 3 4 2 2 1 2 2
2.4 2 4 5 1 2 2 3 1
2.5 3 4 3 2 2 2 3 2
2.6 2 5 2 3 1 3 1 2
2.7 4 4 2 2 2 2 2 1
2.8 2 7 2 1 1 5 2 1
2.9 3 1 6 2 2 1 3 1
2.10 1 3 3 2 1 3 1 1
2.11 1 4 2 2 0 2 1 1
2.12 2 3 1 3 1 2 0 1
2.13 3 1 2 3 0 1 1 2
2.14 3 2 3 1 2 2 2 0
2.15 2 2 2 3 1 1 1 2
2.16 1 2 3 4 1 1 2 1
2.17 2 2 4 2 1 1 1 2
2.18 2 3 4 1 1 2 3 1
2.19 1 4 2 3 1 2 1 2
2.20 4 2 2 2 3 1 2 1
2.21 3 2 3 2 2 1 3 1
2.22 5 1 2 2 3 1 1 1
2.23 2 5 2 1 1 3 1 1
2.24 4 2 3 2 2 1 2 1
2.25 3 3 4 2 2 1 1 2
2.26 2 3 3 3 1 2 3 1
2.27 1 3 4 3 1 2 2 1
2.28 2 3 4 2 1 2 3 2
2.29 1 2 3 5 1 1 2 3
2.30 2 3 4 2 1 2 2 1
3. Үш атқыш нысанаға оқ атады. Нысанаға дӛп тию ықтималдығы бірінші, екінші, үшінші атқыштар үшін сәйкес p1, p2, p3. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табу керек:
а) үш атқыш нысанаға дӛп тиеді;
б) нысанаға тек біреуі дӛп тиеді;
в) нысанаға екеуі дӛп тиеді, біреуі тигізе алмайды;
г) ең болмағанда біреуі дӛп тиеді.
p1 p2 p3 p1 p2 p3 p1 p2 p3
3.1 0.9 0.6 0.5 3.11 0.5 0.9 0.4 3.21 0.5 0.7 0.9 3.2 0.8 0.7 0.6 3.12 0.7 0.8 0.5 3.22 0.6 0.5 0.8 3.3 0.7 0.5 0.8 3.13 0.5 0.7 0.6 3.23 0.7 0.9 0.7 3.4 0.6 0.9 0.8 3.14 0.4 0.6 0.7 3.24 0.8 0.4 0.6 3.5 0.5 0.7 0.9 3.15 0.5 0.5 0.8 3.25 0.9 0.5 0.5 3.6 0.9 0.6 0.8 3.16 0.6 0.9 0.5 3.26 0.4 0.6 0.8 3.7 0.8 0.5 0.7 3.17 0.7 0.8 0.6 3.27 0.5 0.7 0.9 3.8 0.5 0.8 0.6 3.18 0.8 0.5 0.7 3.28 0.6 0.8 0.7 3.9 0.6 0.9 0.5 3.19 0.9 0.6 0.8 3.29 0.7 0.9 0.5 3.10 0.7 0.9 0.4 3.20 0.9 0.4 0.9 3.30 0.8 0.9 0.4 4. Жинақтау бӛліміне үш автоматтан тетіктер келіп түседі: n1 бірінші автоматтан, n2 екіншіден, n3 үшіншіден ( 1000
3
i
ni ). Бірінші автомат m1% сапасыз тетік шығарады, екіншісі - m2%, үшіншісі - m3%.
а) жинақтау бӛліміне сапасыз тетіктер түсу ықтималдығын табу керек;
б) жинақтау бӛліміне сапасыз тетік түсті. Осы тетіктің i – ші автоматтан болу ( i =1,2,3) ықтималдығын табу керек.
n1 n2 m1 m2 m3 i n1 n2 m1 m2 m3 i 4.1 520 220 5 8 7 1 4.16 100 250 7 8 5 1 4.2 270 410 10 5 9 2 4.17 430 180 5 4 7 2 4.3 250 140 8 7 4 2 4.18 170 540 6 5 8 3 4.4 190 380 5 9 30 1 4.19 650 120 10 9 8 2 4.5 290 610 6 3 3 2 4.20 400 180 7 10 5 1 4.6 270 430 10 6 4 2 4.21 120 380 10 6 9 2 4.7 280 360 7 10 9 1 4.22 270 340 9 5 4 3 4.8 520 110 5 7 10 1 4.23 430 120 10 7 6 2 4.9 240 290 9 8 4 3 4.24 360 120 5 10 8 1 4.10 310 410 7 2 5 3 4.25 420 210 8 7 6 1 4.11 520 110 3 6 7 2 4.26 370 130 10 6 5 2 4.12 280 310 9 8 4 2 4.27 410 200 5 10 8 3 4.13 400 320 4 5 8 1 4.28 280 510 10 6 5 3 4.14 350 240 9 8 7 1 4.29 710 120 2 10 4 3 4.15 190 520 5 2 4 3 4.30 460 240 5 9 7 1
5. Жұмысшы жасайтын ӛнімдер арасында орташа m % сапасыз болады.
Сынаққа алынған n ӛнім арасында:
а) дәл k1 сапасыз;
б) k2-ден кем емес сапасыз;
в) k3-ден артық емес сапасыз;
г) ең болмағанда біреуі сапасыз болу ықтималдығын табу керек.
n k1 k2 k3 m n k1 k2 k3 m
5.1 5 3 4 2 8 5.16 4 2 3 2 9
5.2 4 3 3 1 7 5.17 4 3 3 2 8
5.3 4 2 3 2 6 5.18 5 4 4 2 7
5.4 5 3 4 1 5 5.19 5 3 3 2 6
5.5 6 4 5 2 4 5.20 6 5 5 1 5
5.6 7 5 6 2 3 5.21 6 4 4 1 4
5.7 8 3 7 2 2 5.22 7 5 5 2 3
5.8 8 4 7 1 3 5.23 7 4 4 1 2
5.9 7 5 6 2 4 5.24 8 4 7 2 3
5.10 6 3 5 2 5 5.25 8 3 6 1 4
5.11 5 2 4 1 6 5.26 7 4 6 2 5
5.12 4 2 3 2 7 5.27 7 5 6 1 6
5.13 5 3 3 3 8 5.28 6 3 4 2 7
5.14 6 4 4 2 9 5.29 6 2 4 2 8
5.15 7 5 6 1 9 5.30 5 4 4 1 9
6. n жартыдай ӛткізгіш диодтар ӛндірілген. Оларды қалыптастыру кезінде ақау керу ықтималдығы р-ға тең. Кез келген ретпен алынған ӛнімдердің арасында:
а) дәл k2 диод;
б) k1-ден k2-ге дейін;
в) k2артық;
г) k1-ден кем
болу ықтималдығын табу керек.
n k1 k2 p n k1 k2 p
6.1 100 90 95 0.6 6.16 100 80 90 0.8 6.2 100 62 82 0.6 6.17 100 85 95 0.8 6.3 100 50 70 0.8 6.18 100 70 95 0.8 6.4 100 55 75 0.8 6.19 100 83 93 0.7 6.5 100 45 80 0.8 6.20 100 50 60 0.7 6.6 100 40 60 0.8 6.21 100 65 75 0.7 6.7 100 35 70 0.3 6.22 100 70 80 0.7 6.8 100 50 80 0.3 6.23 100 40 50 0.6 6.9 100 40 65 0.3 6.24 100 65 80 0.75 6.10 200 45 75 0.4 6.25 100 70 85 0.75 6.11 200 100 150 0.4 6.26 100 78 92 0.75 6.12 200 80 170 0.4 6.27 100 20 60 0.7 6.13 300 150 180 0.8 6.28 100 30 85 0.7 6.14 400 100 190 0.6 6.29 100 40 79 0.7 6.15 400 200 295 0.7 6.30 100 80 95 0.6
7. Тоқымашы n ұршықпен жұмыс жасайды. Бір минут ішінде ұршықтағы жіптің үзілу ықтималдығы р-ға тең. Бір минут ішінде k ұршықта жіптің үзілу ықтималдығын табу керек.
р n k р n k р n k
7.1 0.004 500 9 7.11 0.01 200 8 7.21 0.002 1000 7 7.2 0.005 600 9 7.12 0.01 300 8 7.22 0.003 1000 7 7.3 0.01 400 9 7.13 0.02 200 8 7.23 0.004 1000 7 7.4 0.01 500 9 7.14 0.01 500 8 7.24 0.005 1000 7 7.5 0.01 600 9 7.15 0.02 300 8 7.25 0.006 1000 7 7.6 0.007 1000 9 7.16 0.01 700 8 7.26 0.007 1000 7 7.7 0.008 1000 9 7.17 0.02 400 8 7.27 0.008 1000 7 7.8 0.009 1000 9 7.18 0.01 900 8 7.28 0.009 1000 7 7.9 0.01 1000 9 7.19 0.02 500 8 7.29 0.01 1000 7 7.10 0.012 1000 9 7.20 0.011 1000 8 7.30 0.011 1000 7
8. Оқиғалар алгебрасын, ықтималдықтың классикалық немесе геометриялық анықтамаларын қолданып есептерді шығару керек
8.1 Құлыптың коды екі әртүрлі саннан тұрады. Кодты дұрыс теру ықтималдығы қандай?
8.2 Бірінші жәшікте 5 ақ және 10 қара шарлар, ал екіншісінде - 10 ақ және 5 қара шарлар бар. Әрбір жәшіктен бір- бір шардан алынды. Олардың ең болмағанда біреуі ақ болу ықтималдығын табу керек.
8.3 Бір торпеданың кемеге дәл тию ықтималдығы 0,5-ке тең. Егер кемені суға батыру үшін бір дәл тигізу жеткілікті болса, 3 торпеданың кемені суға батыру ықтималдығы қандай?
8.4 Қорапшада 10 қызыл және 6 кӛк түймелер бар. Кез келген ретпен екі түйме алынды. Олардың бір түсті болу ықтималдығы қандай?
8.5 Нысанаға бірінші мергеннің дӛп тигізу ықтималдығы 0,7 , екіншісі үшін — 0,95. Атқыштар бір мезгілде нысанаға атты. Олардың біреуі нысанаға дӛп тию, ал екіншісінің жаңылу ықтималдығын табу керек.
8.6 Бірінші станокта жасалған бӛлшектің бірінші сұрыпты болу ықтималдығы 0,7-ге тең, екінші станок үшін - 0,8. Бірінші станокта 2 бӛлшек, екіншісінде 3 бӛлшек жасалынды. Ең болмағанда бір станокта жасалынған барлық бӛлшектердің бірінші сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.
8.7 Қазақ алфавитінің 42 әріпі карточкаларға жазылған. Кез келген ретпен үш карточка алынады. Алынған карточкалар ашылып, алынған реті бойынша қойылады. «Той» сӛзінің пайда болу ықтималдығын табу керек.
8.8 Цехта 7 ер адам және 3 әйел адам жұмыс істейді. Табельдік реті бойынша З адам таңдап алынды. Таңдап алынғандардың арасында ең болмағанда біреуі әйел болу ықтималдығын табу керек.
8.9 Партиядан тауар танушы жоғарғы сұрыпты ӛнімді таңдап алады. Кез келген ретпен алынған ӛнімнің жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығы 0,8-ге тең. Тексерілген үш ӛнімнің тек екеуі жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.
8.10 Кейбір физикалық шаманы бір рет ӛлшегенде қате кету ықтималдығы 0,4-ке тең. Тәуелсіз 3 ӛлшеу жүргізілді. Олардың тек біреуінде қате жіберілу ықтималдығын табу керек.
8.11 Екі зеңбіректен бірге бір рет атқанда нысанаға бір рет тию ықтималдығы 0,38-ге тең. Егер екінші зеңбірек үшін бұл ықтималдық 0,8-ге тең екендігі белгілі болса, бірінші зеңбіректен атылған бір оқ нысанаға дәл тию ықтималдығын табу керек.
8.12 Кітапхананың сӛресінде кез келген ретпен 16 оқулық орналасқан, оның 5 физика оқулығы. Кітапханашы кез келген ретпен 3 оқулық алды. Оның ішінде ең болмағанда біреуі физика оқулығы болу ықтималдығын табу керек.
8.13 Үш ойын сүйегі лақтырылды. Түскен жақтың әрбіреуінде 5 ұпай болуының ықтималдығын табу керек.
8.14 Радиусы 10 болатын дӛңгелекке дұрыс үшбұрыш іштей сызылған.
Дӛңгелектің ішіне кез келген 4 нүкте лақтырылды. 4 нүктенің барлығы да
үшбұрыштың ішіне түсу ықтималдығын табу керек.
8.15 Радиусы 20 болатын дӛңгелекке радиустары 6 см. және 8 см.
болатын екі қиылыспайтын шеңберлер орналасқан. Үлкен дӛңгелекке лақтырылған нүктенің кіші шеңберлердің бірінінің ішіне түсу ықтималдығы қандай?
8.16 Құлыптың коды үш әртүрлі саннан тұрады. Кодты дұрыс теру ықтималдығы қандай?
8.17 Бірінші жәшікте 6 ақ және 12 қара шарлар, ал екіншісінде - 11 ақ және 5 қара шарлар бар. Әрбір жәшіктен бір бір шардан алынды. Олардың ең болмағанда біреуі ақ болу ықтималдығын табу керек.
8.18 Бір торпеданың кемеге дәл тию ықтималдығы 0,4-ке тең. Егер кемені суға батыру үшін бір дәл тигізу жеткілікті болса, 2 торпеданың кемені суға батыру ықтималдығы қандай?
8.19 Қорапшада 14 қызыл және 8 кӛк түймелер бар. Кез келген ретпен екі түйме алынды. Олардың бір түсті болу ықтималдығы қандай?
8.20 Нысанаға бірінші мергеннің дӛп тигізу ықтималдығы 0,8 , екіншісі үшін — 0,85. Атқыштар бір мезгілде нысанаға атты. Олардың біреуі нысанаға дӛп тию, ал екіншісінің жаңылу ықтималдығын табу керек.
8.21 Бірінші станокта жасалған бӛлшектің бірінші сұрыпты болу ықтималдығы 0,8-ге тең, екінші станок үшін - 0,9. Бірінші станокта 3 бӛлшек, екіншісінде 2 бӛлшек жасалынды. Екі станокта жасалынған барлық бӛлшектердің бірінші сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.
8.22 Қазақ алфавитінің 42 әріпі карточкаларға жазылған. Кез келген ретпен тӛрт карточка алынады. Алынған карточкалар ашылып, алынған реті бойынша қойылады. «Шарт» сӛзінің пайда болу ықтималдығын табу керек.
8.23 Цехта 8 ер адам және 4 әйел адам жұмыс істейді. Табельдік реті бойынша 4 адам таңдап алынды. Таңдап алынғандар ер адам болу ықтималдығын табу керек.
8.24 Партиядан тауар танушы жоғарғы сұрыпты ӛнімді таңдап алады.
Кез келген ретпен алынған ӛнімнің жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығы 0,8- ге тең. Тексерілген үш ӛнімнің тек біреуі жоғарғы сұрыпты болу ықтималдығын табу керек.
8.25 Кейбір физикалық шаманы бір рет ӛлшегенде қате кету ықтималдығы 0,3-ке тең. Тәуелсіз 4 ӛлшеу жүргізілді. Олардың тек біреуінде қате жіберілу ықтималдығын табу керек.
8.26 Екі зеңбіректен бірге бір рет атқанда нысанаға бір рет тию ықтималдығы 0,4-ке тең. Егер екінші зеңбірек үшін бұл ықтималдық 0,7-ге тең екендігі белгілі болса, бірінші зеңбіректен атылған бір оқ нысанаға дәл тию ықтималдығын табу керек.
8.27 Кітапхананың сӛресінде кез келген ретпен 15 оқулық орналасқан, оның 5 биология оқулығы. Кітапханашы кез келген ретпен 3 оқулық алды.
Оның ішінде ең болмағанда біреуі биология оқулығы болу ықтималдығын табу керек.
8.28 Тӛрт ойын сүйегі лақтырылды. Түскен жақтың әрбіреуінде 6 ұпай
болуының ықтималдығын табу керек.
8.29 Радиусы 12 болатын дӛңгелекке дұрыс үшбұрыш іштей сызылған.
Дӛңгелектің ішіне кез келген 3 нүкте лақтырылды. 3 нүктенің барлығы да үшбұрыштың ішіне түсу ықтималдығын табу керек.
8.30 Радиусы 30 болатын дӛңгелекке радиустары 5 см, 6 см. және 8 см болатын үш қиылыспайтын шеңберлер орналасқан. Үлкен дӛңгелекке лақтырылған нүктенің кіші шеңберлердің бірінінің ішіне түсу ықтималдығы қандай?
1.3 Типтік варианттың шешуі
1. Лотереяда 120 билет бар, оның 40 ұтысты. Табу керек:
а) ұтысты билеттің қатысты жиілігін;
б) 20 сатып алынған билеттердің барлығы ұтысты болу ықтималдығын;
в) сатып алынған 20 билеттердің ішінде 9 ұтысты болу ықтималдығын;
г) сатып алынған 20 билеттердің ішінде ең болмағанда біреуі ұтысты болу ықтималдығын.
Шешуі:
1 Партияда 120 ӛнім бар, оның 40 жарамсыз. Табу керек:
а) жарамсыз ӛнімдердің қатысты жиілігін;
б) кез келген ретпен партиядан алынған 20 ӛнімнің барлығы да жарамсыз болу ықтималдығын;
в) кез келген ретпен партиядан алынған 20 ӛнімнің 9-ы жарамсыз болу ықтималдығын.
Шешуі:
а) А оқиғасының қатысты жиілігі деп (белгіленуі Р*(А)) А оқиғасы пайда болған сынақ санының m барлық сынақтың жалпы санына n қатынасы айтылады: Р*(А) = m/ n.
А – партиядағы жарамсыз ӛнімдердің пайда болу оқиғасы болсын, сонда Р*(А) = 40/ 120=1/3;
б) және в) пункттерінде А оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы m –А оқиғасының пайда болуына қолайлы сынақтар саны, n – сынақтардың жалпы саны;
б) А - партиядан кез келген ретпен алынған 20 ӛнімнің барлығы да жарамсыз болу оқиғасы болсын. Сынақтың жалпы саны 120 ӛнімнің ішінен 20 ӛнімді таңдап алудың әртүрлі жолдар саны, яғни n = С12020 ; қолайлы сынақтар саны 40 жарамсыз ӛнімдер ішінен 20 ӛнімді алудың әртүрлі жолдар санына тең, яғни m = С2 04 0. Сонымен,
Р(А) = m/ n = С2 04 0/ С12020 = 4,6791012;
в) А – кез келген ретпен партиядан алынған 20 ӛнімнің 9-ы жарамсыз болу оқиғасы болсын. Жоғарыда айтылғандай, n = С12020 ;
m қолайлы сынақтар санын С94 0 теруін әрбір С1 18 0 теруімен қиыстырылғанда аламыз, мұндағы С94 0 теруі 40 жарамсыз ӛнімнің ішінен 9
жарамсыз ӛнімді таңдап алу санын береді, ал С1 18 0 теруі 80 жарамсыз емес ӛнімнің ішінен 11 жарамсыз емес ӛнімді таңдап алу санын береді, яғни m = С940С1 18 0. Сонымен,
Р(А) = m/ n = С940С1 18 0 / С12020 = 0,097.
Теру санын есептегенде Mathcad-та combin функциясы қолданылды.
Тӛменде combin(Q,R) қолданушының C(Q,R) функциясы ретінде енгізілген файлдың кӛшірмесі келтірілген, ол Q мен R-дің кез келген мәндерінде
C 40 20( ) 1.378 1011 C 80 20( )
C 120 20( ) 1.2104 1 C 10 0( ) 0.8 00.210 1
2. Урнада 10 шар бар, олардың арасында 3 ақ, 4 қара, 2 қызыл, 1 кӛк.
Кез келген ретпен 5 шар алынды. Алынған шарлар арасында 2 ақ, 2 - қара, 1 - қызыл, 0 - кӛк шар болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: А - кез келген ретпен алынған 5 бұйымның ішінде 2 ақ, 2 қара, 1- қызыл, 0 - кӛк болу оқиғасы болсын. Есепті шығару үшін А оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы n барлық 10 (3+4+2+1=10) шарлардың ішінен бесеуін таңдап алудың барлық мүмкін жағдайлардың саны, яғни n = С1 05 =252. Ал А оқиғасының пайда болуына қолайлы мүмкін элементар жағдайлардың саны m былай есептелінеді: m = С23С24С12С10= 36.
Бұдан Р(А) = 36/252=1/7.
Атап ӛтелік, кіші сандар берілгенде теруді m
m n n
n m n m m n Cn
...
2 1
) 1 ...(
) 1 ( )!
(
!
!
формуласымен қолмен есептеген қолайлы. Бӛлшекті есептегенде бӛлімінен бастаған жӛн, себебі алымында кӛбейткіштер саны бӛліміндегімен бірдей.
3. Үш атқыш нысанаға оқ атады. Нысанаға дӛп тию ықтималдығы бірінші, екінші, үшінші атқыштар үшін сәйкес 0,75, 0,8, 0,9. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табу керек:
а) үш атқыш нысанаға дӛп тиеді;
б) нысанаға тек біреуі дӛп тиеді;
в) нысанаға екеуі дӛп тиеді, біреуі тигізе алмайды;
г) ең болмағанда біреуі дӛп тиеді.
C Q R( ) combin Q R( ),
C 120 20( ) 2.946 1022 , C 40 20( ) 1.378 1011 , C 40 9( ) 2.734 108 , C 80 11( ) 1.048 1013 ,
C 40 9( ) C 80 11 ( )
C 120 20( ) 0.097
.
Шешуі: келесі оқиғалар енгіземіз: A1 – нысанаға бірінші атқыштың дӛп тиюі, A2 – екінші, A3 – үшінші. Шарт бойынша P(A1)=0,75, P(A2)=9,8, P(A3)=0,9.
а) А – барлық үш атқыш нысанаға дӛп тию оқиғасы болсын, сонда
3 2 1A A A
A және A1, A2,A3 тәуелсіз оқиғалар болғандықтан, P(А) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) =0,750,80,9= 0,54;
б) В – тек бір атқыштың нысанаға дӛп тию оқиғасы болсын, сонда
3 2 1 3 2 1 3 2
1A A A A A AA A
A
B , мұндағы A1,A2,A3- A1, A2, A3 оқиғаларына қарама- қарсы оқиғалар, яғни сәйкес бірінші, екінші, үшінші атқыштардың тимеуі.
25 , 0 75 , 0 1 ) ( 1 )
(A1 P A1
P , P(A2)1P(A2)10,80,2, P(A3)1P(A3) 1
, 0 9 , 0 1
. Қосылғыштар тәуелсіз оқиғалар болғандықтан, )
( ) (
) (
)
(B P A1A2A3 P A1A2A3 P A1A2A3
P =0,750,20,10,250,80,10,250,20,9= 0,08;
в) С - екі атқыштың нысанаға дӛп тию оқиғасы болсын, яғни біреуі нысынаға тимейді, C A1A2A3A1A2A3A1A2A3. Оның ықтималдығы да алдыңғы пункттегідей есептелінеді:
) (C
P =0,750,80,10,250,80,90,750,20,9=0,3456;
г) D - ең болмағанда біреуі дӛп тию оқиғасы болсын. Қарама-қарсы оқиғаны қарастырамыз: D- үшеуі де нысынаға тимеді. D A1A2A3 болғандықтан, P(D)1P(D) =1P(A1A2A3)=10,250,20,1=0,995.
4. Жинақтау бӛліміне үш автоматтан тетіктер келіп түседі: n1=100 бірінші автоматтан, n2 = 300 екіншіден, n3 = 1000 - n1 n2= 600 үшіншіден
( 1000
3
i
ni ). Бірінші автомат 5% сапасыз тетік шығарады, екіншісі - 4%, үшіншісі - 6%.
а) Жинақтау бӛліміне сапасыз тетіктер түсу ықтималдығын табу керек;
б) Жинақтау бӛліміне сапасыз тетік түсті. Осы тетіктің 2 – ші автоматтан болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: А – сапасыз тетік сатып алынған оқиғасы болсын, ал В1, В2, В3– лампа сәйкес бірінші, екінші, үшінші автоматтан келіп түскен оқиғалары болсын (бұл оқиғалар гипотезалар деп аталады).
а) А оқиғасының ықтималдығы толық ықтималдықтар формуласымен есептелінеді:
Р(А) = Р(В1)Р(А/ В1)+Р(В2)Р(А/ В2)+Р(В3)Р(А/ В3),
мұндағы Р(А/ Вi) – сатып алынған тетік i– ші зауыттан келіп түскен оқиғасының шартты ықтималдығы (i=1,2,3). Есептің шарты бойынша:
Р(В1) = 100/1000 = 0,1; Р(В2) = 300/1000 = 0,3; Р(В3) = 600/1000 = 0,6;
Р(А/ В1)=0,05; Р(А/ В2)=0,04; Р(А/ В3)=0,06.
Сондықтан Р(А) = 0.10.050,30,040,60,06= 0,053;
б) бұл пунктте Р(В2/А) шартты ықтималдығын табу керек. Ол үшін Байеса формуласын қолданамыз:
n n i
k P A Bk
Bk P
Bi A i P B A P
Bi
P , 1,2,...,
1
) / ( ) (
) / ( ) ) (
/
(
,
біздің есеп үшін ол былай жазылынады
3) / ( 3) ( 2) / ( 2) ( 1) / ( 1) (
2) / ( 2) ) (
2/
( P B P A B P B P A B P B P A B
B A P B A P
B
P = =
053 , 0
04 , 0 3 , 0
= 0,226.
5. Жұмысшы жасайтын ӛнімдер арасында орташа 8 % сапасыз болады.
Сынаққа алынған 10 ӛнім арасында:
а) дәл 8 сапасыз (А оқиғасы);
б) 9-дан кем емес сапасыз (B оқиғасы);
в) 2-ден артық емес сапасыз (C оқиғасы);
г) ең болмағанда біреуі сапасыз (D оқиғасы) болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: А оқиғасының ықтималдығын анықтау үшін Бернулли формуласын қолданамыз: Pn(k)Cnkpkqnk, мұндағы Pn(k)– қандай да бір оқиғаның n тәуелсіз оқиғалар арасынын k рет пайда болуы (k0,1,2,...n),
p q1 .
В және С оқиғаларының ықтималдығы ықтималдықтардың қосындысы ретінде анықталады: Pn(k)Pn(k1)...Pn(n) – бұл n тәуелсіз оқиғалар арасынын k реттен кем емес пайда болу оқиғаларының ықтималдығы, яғни немесе k рет, немесе k+1 рет,…, немесе n рет; Pn(0)Pn(1)... Pn(k)– бұл n тәуелсіз оқиғалар арасынын k реттен артық емес пайда болу оқиғаларының ықтималдығы, яғни немесе 0 рет, немесе 1 рет, немесе 2 рет,…, немесе k рет.
Бұл оқиғалар комулятивті (жинақталған) деп аталады. Сонымен, а) P(A)=P10(8)C108 0,0880,922=6,39108;
б) P(B) P10(9)P10(10)1,246109; в) P(C)P10(0)P10(1)P10(2)0,96;
г) D оқиғасына қарама қарсы D оқиғасын енгіземіз – бұл n тәуелсіз сынықтарда кейбір оқиғаның мүлдем пайда болмауы. Онда
) ( 1 )
(D P D
P =1P10(0)0,566.
Тӛменде Mathcad-тан есетеулермен файлдың кӛшірмесі келтірілген.
C Q R( ) combin Q R( )
C 10 8( ) 0.08 80.922 6.39 108
C 10 9( ) 0.08 90.921 C 10 10( ) 0.08 100.920 1.246 109
C 10 9( ) 0.08 90.921 C 10 10( ) 0.08 100.920 1.246 109
C 10 0( ) 0.08 00.9210 C 10 1( ) 0.08 10.929 C 10 2( ) 0.08 20.928 0.96 1 C 10 0( ) 0.08 00.9210 0.566
6. 100 жартылай ӛткізгіш диодтар ӛндірілген. Оларды қалыптастыру кезінде ақау керу ықтималдығы 0,8- ге тең. Кез келген ретпен алынған ӛнімдердің арасында:
а) дәл 80 диод (A оқиғасы);
б) 70-тен 80-ге дейін (B оқиғасы);
в) 80-нен артық (C оқиғасы);
г) 70-тен кем (D оқиғасы);
болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: тәуелсіз тәжірибелер саны n үлкен болғандықтан, қандай да бір оқиғаның n тәжірибеде k рет пайда болу ықтималдығы Pn(k) Муавр-Лаплас аймақтық теоремасымен есептелінеді және жуық шамамен 1 ( )
)
( x
k npq
Pn
тең, мұндағы
npq np
xk , 0 p1, exp( /2) 2
) 1
(x x2
(осы функцияның
мәнін кестеден немесе Mathcad жүйесіндегі dnorm функциясы арқылы табады).
В, С және D оқиғаларының ықтималдығын анықтау үшін Муавр-Лаплас интегралдық теоремасын қолданады: қандай да бір оқиғаның пайда болу k саны k1-ден k2-ге дейінгі аралығында болу ықтималдығы Pn(k1,k2) жуық шамамен Pn(k1,k2)(x2)(x1) тең, мұндағы
npq np x2 k2 ,
npq np x1 k1 ,
dt t
x
x
) 2 / 2 exp(
) 1 (
0
2
- Лаплас функциясы, оның мәні арнайы кестеден немесе Mathcad жүйесіндегі pnorm функциясы арқылы.
а) 100 0,8 0,2 8 , 0 100 80
x =0, (0) 0,399/4 0,09975
2 , 0 8 , 0 100 ) 1
80
100(
P ;
б) x2 0, x1 2,5, P100(70,80)(x2)(x1)0,494; в) x3 5, P100(k 80)P100(80,100)(x3)(x2)0,5; г) x4 20, P100(k 70)P100(0,70)(x1)(x4)0,006.
Mathcad жүйесіндегі есептелінген есептеулер кӛрсетілген.
n 100, k1 70, k2 80, p 0.8, q 1p,
x1 k1n p n p q
,
x2 k2n p n p q
,
x3 nn p n p q
,
x4 0n p n p q
,
x1 2.5 , x2 0 . dnorm x2 0( 1) 0.399 ,
pnorm x3 0( 1) pnorm x2 0( 1) 0.5 ,
pnorm x1 0( 1) pnorm x4 0( 1) 6.21 103 , немесе басқа нұсқасы
7. Тоқымашы 1000 ұршықпен жұмыс жасайды. Бір минут ішінде ұршықтағы жіптің үзілу ықтималдығы 0,003-ке тең. Бір минут ішінде 6 ұршықта жіптің үзілу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: n үлкен шама, p кіші шама, ал кӛбейтіндісі n p үлкен емес сан болғандықтан, Бернулли формуласының орнына Пуассон формуласы
! / )
(k e k
Pn k қолданылады. Ол n тәуелсіз сынықтар арасында кейбір оқиғаның k рет пайда болу ықтималдығы Pn(k)–ны анықтауға мүмкіндік береді.
Біздің есепте n=1000, k=6, p=0,003, 10000,0033. Сондықтан
! 6 / 3
) 6
( 6 3
1000
e
P =0,05.
Есептеулер кезінде p(k,)k e /k! функциясының кестелік мәнін немесе Mathcad-тан dpois функциясын қолдануға болады. Тӛменде Mathcad- тан есетеулермен файлдың кӛшірмесі келтірілген.
pnorm x2 0( 1) pnorm x1 0( 1) 0.494 ,
( )x pnorm x 0( 1) 0.5, P k1 k2( ) (x2) (x1).
(x1) 0.494 , (x2) 0 ,
P k1 k2( ) 0.494 , x3 5 , x4 20 ,
(x3) 0.5 , (x4) 0.5 ,
(x3) (x2) 0.5 , (x1) (x4) 6.21 103 .
p k( ) dpois k( ) p 6 3( ) 0.05
2 Есептік-сызба жұмыс №2. Кездейсоқ шамалар
Мақсаты: үлестірім заңдарымен, дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларымен, кездейсоқ шамалардың негізгі заңдарымен таныстыру.
2.1 Теориялық сұрақтар
1 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы. Биномдық үлестірім, Пуассон үлестірімі.
2 Интегралдық үлестірім функциясы (үлестірім функциясы).
3 Дифференциалдық үлестірім функциясы (үлестірім тығыздығы).
4 Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті (күтімі).
5 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы және орта квадраттық ауытқуы.
6 Биномдық үлестірім, Пуассон үлестірімі.
7 Бірқалыпты және кӛрсеткіштік, сенімділік функциясы.
8 Қалыпты үлестірім (интервалға түсу ықтималдығы, Лаплас функциясы, үлестірім функциясы, берілген ауытқудың ықтималдығы, үш сигма ережесі).
9 Шектік теоремалар туралы ұғым. Үлкен сандар заңы, орталық шектік теорема.
2.2 Есептік тапсырмалар
1. Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім заңдылығымен берілген.
а) оның үлестірім функциясын F(x), оның графигін салу керек;
б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын;
в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.
Х х1 х2 х3 х4 х5 х6 а b
Р р1 р2 р3 р4 р5 р6
1.1 Х 0 1 2 4 6 9 -2 7
Р 0.05 0.15 0.3 0.25 0.15 0.1
1.2 Х -3 -2 -1 0 2 4 -1 3
Р 0.15 0.3 0.02 0.14 0.18 0.21
1.3 Х 1 2 3 5 7 8 -3 6
Р 0.3 0.14 0.16 0.1 0.2 0.1
1.4 Х -4 -3 -2 0 1 2 0 1
Р 0.2 0.08 0.23 0.27 0.12 0.1
1.5 Х 1 2 4 5 7 9 3 8
Р 0.19 0.21 0.06 0.14 0.12 0.28
1.6 Х -1 0 2 3 5 7 -4 4
Р 0.26 0.14 0.07 0.2 0.03 0.3
1.7 Х -2 -1 0 3 5 7 1 6
Р 0.18 0.09 0.01 0.2 0.22 0.3
1.8 Х 1 2 4 5 6 8 0 6
Р 0.3 0.17 0.13 0.1 0.2 0.1
1.9 Х 1 2 3 4 7 9 5 8
Р 0.11 0.29 0.06 0.14 0.17 0.23
1.10 Х 0 1 2 3 7 9 4 8
Р 0.06 0.14 0.3 0.25 0.15 0.1
1.11 Х -3 -2 0 1 2 4 -1 3
Р 0.15 0.3 0.01 0.14 0.19 0.21
1.12 Х -1 0 3 5 7 8 1 6
Р 0.25 0.14 0.16 0.1 0.2 0.15
1.13 Х -4 -3 -2 0 2 4 -1 3
Р 0.2 0.07 0.24 0.26 0.13 0.1
1.14 Х -3 -1 0 3 4 7 -2 6
Р 0.12 0.09 0.01 0.2 0.28 0.3
1.15 Х -1 0 1 3 7 8 2 6
Р 0.26 0.14 0.15 0.2 0.1 0.15
1.16 Х -2 -1 0 1 2 7 -3 5
Р 0.17 0.09 0.01 0.3 0.23 0.2
1.17 Х 1 2 3 5 6 7 0 4
Р 0.1 0.14 0.16 0.1 0.2 0.3
1.18 Х -3 -1 0 3 5 6 -2 4
Р 0.16 0.09 0.01 0.3 0.24 0.2
1.19 Х 1 2 5 6 7 8 3 6
Р 0.2 0.15 0.15 0.1 0.3 0.1
1.20 Х -1 0 2 4 7 8 1 5
Р 0.23 0.18 0.12 0.2 0.1 0.17
1.21 Х 1 2 4 5 6 8 0 7
Р 0.3 0.14 0.16 0.03 0.2 0.17
1.22 Х -4 -3 -1 0 1 3 -2 2
Р 0.2 0.03 0.24 0.26 0.17 0.1
1.23 Х 1 2 3 4 7 9 0 8
Р 0.17 0.23 0.09 0.11 0.12 0.28
1.24 Х 0 1 3 5 7 8 2 6
Р 0.2 0.14 0.16 0.12 0.3 0.08
1.25 Х -5 -3 -2 0 1 3 -4 2
Р 0.2 0.06 0.21 0.29 0.14 0.1
1.26 Х 1 2 3 5 8 9 4 7
Р 0.18 0.22 0.05 0.15 0.12 0.28
1.27 Х 1 3 4 5 7 8 2 6 Р 0.3 0.16 0.14 0.01 0.2 0.19
1.28 Х -5 -3 -1 0 1 3 -4 2
Р 0.1 0.03 0.14 0.36 0.17 0.2
1.29 Х 0 2 3 4 6 8 1 7
Р 0.26 0.14 0.05 0.15 0.12 0.28
1.30 Х -1 0 2 3 7 8 1 6
Р 0.21 0.16 0.14 0.1 0.2 0.19
2. Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім функциясымен F(x) берілген.
Табу керек:
а) оның үлестірім тығыздығын f(x);
б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;
в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.
F(x) және f(x) графиктерін салу керек.
F(x) а b F(x) а b
2.1
2
0, 0
,0 5
25 1, 5
x
x x
x
1 4 2.16
2
0, 0
,0 7
49 1, 7
x
x x
x
4 5
2.2
2
0, 0
,0 3
9
1, 3 x
x x
x
1 2 2.17
2
0, 1
,1 2
2 2
1, 2 x
x x
x x
0 1,5
2.3
3
0, 0
,0 1
1, 1 x
x x
x
0,5 1 2.18
2
0, 0
,0 1
1, 1 x
x x
x
0,2 0,9
2.4 0,
2
cos , 0
2 1, 0
x
x x
x
4
2.19
0, 0 sin ,0
2 1, 2
x
x x
x
-6
6
2.5
2
0, 3
( 3) ,3 4
1, 4 x
x x
x
2 4 2.20
2
0, 3
0, 25( 3) ,3 5 1, 5
x
x x
x
0 4
