Коммерциялық емес акционерлік қоғам
ҚОЛДАНБАЛЫ СТАТИСТИКА
5В070400- Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін
есептеу-сызба жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар
Алматы 2017
Математикалық модельдеу және бағдарламалық қамтамасыз ету кафедрасы АЛМАТЫ
ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС
УНИВЕРСИТЕТІ
ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж.
Қолданбалы статистика. 5В070400- Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар. - Алматы: АЭжБУ, 2017. - 48 б.
5В070400 - Есептеу техникасы және бағдарламалық қамтамасыз ету мамандығы бойынша оқитын студенттер үшін есептеу-сызба жұмыстарды орындауға арналған әдістемелік нұсқаулар мен тапсырмалар «Қолданбалы статистика» пәнінің №1, №2 типтік есептеулерден тұрады. Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқаның шешімі келтірілген.
Кестелер- 19, без.- 16, әдеб.көрсеткіші – 5 атау.
Рецензент: ЭР кафедрасының доценті Елеукулов Е.О.
«Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2017 ж. жоспары бойынша басылды
«Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2017 ж.
Кіріспе
Математикалық статистика ықтималдық теориясымен тығыз байланысқан. Екі пән де жаппай кездейсоқ құбылыстарды зерттейді.
Ықтималдық теориясы математикалық статистика айналысатын кең ауқымдағы қолданбалы есептердің теориялық негізін қамтамасыз етеді.
Сондықтан әдістемелік нұсқаулықтар «Қолданбалы статистика» пәнінің есептік-сызба жұмыстарынан тұрады.
Әрбір бөлімде теориялық сұрақтар мен мәліметтер келтірілген. Әрбір есептік- сызба жұмыстардың типтік варианттың шешуі келтірілген.
Әр студенттің вариантының нөмірі топтың тізімі бойынша анықталады.
Есептік- сызба жұмыс оқушы дәптеріне анық орындалуы керек.
1 Есептік-сызба жұмыс №1. Кездейсоқ оқиғалар мен кездейсоқ шамалар
Мақсаты: кездейсоқ оқиғалар мен оның ықтималдығы туралы түсініктермен, ықтималдық теориясының негізгі теоремаларымен таныстыру.
Үлестірім заңдарын және дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамаларын оқып-үйрену.
1.1 Теориялық сұрақтар
1. Ықтималдық теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар. Элементар оқиғалар кеңістігі. Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың статистикалық, геометриялық және классикалық анықтамалары.
2. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Шартты ықтималдық.
3. Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формуласы. Бернулли формуласы.
4. Лапластың аймақтық және интегралдық теоремасы. Лаплас функциясы. Пуассона формуласы.
5. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы.
6. Интегралдық үлестірім функциясы. Үлестірім тығыздығы.
7. Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті (күтімі), дисперсиясы және орта квадраттық ауытқуы.
8. Биномдық үлестірім, Пуассон үлестірімі. Бірқалыпты және көрсеткіштік, сенімділік функциясы.
9. Қалыпты үлестірім.
10. Шектік теоремалар туралы ұғым. Үлкен сандар заңы, орталық шектік теорема.
1.2 Есептік тапсырмалар
1. Урнада n шар бар, олардың арасында n1ақ, n2қара, n3қызыл түстілері бар ( n n
i i
3 ).Табу керек:
а) ақ түсті шарлардың қатысты жиілігін;
б) m алынған шарлардың барлығы ақ түсті болу ықтималдығын;
в) m алынған шарлардың m1 ақ түсті болу ықтималдығын;
г) алынған m шарлар арасында m1- ақ, m2- қара, m3- қызыл шарлар болу ықтималдығын табу керек ( m m
i i
3 );д) алынған m шарлардың ішінде ең болмағанда біреуі ақ түсті болу ықтималдығын.
№ n n1 n2 n3 m m1 m2 m3
1.1 70 20 26 24 5 2 1 2
1.2 75 40 20 15 8 4 1 3
1.3 85 35 30 20 5 2 1 2
1.4 90 20 40 30 7 2 2 3
1.5 87 30 45 12 8 3 2 3
1.6 100 25 55 20 15 8 3 4
1.7 90 40 24 26 9 4 3 2
1.8 95 28 42 25 10 3 5 2
1.9 85 30 15 40 7 2 2 3
1.10 90 17 33 40 6 1 3 2
1.11 85 31 25 29 5 2 2 1
1.12 75 28 32 15 5 1 2 2
1.13 100 30 41 29 9 3 4 2
1.14 80 32 28 20 7 3 2 2
1.15 85 24 26 35 5 1 3 1
1.16 100 41 29 30 10 5 3 2
1.17 90 29 21 40 12 6 4 2
1.18 85 25 35 25 7 2 2 3
1.19 80 18 42 20 5 1 2 2
1.20 95 43 27 25 9 3 4 2
1.21 70 22 28 20 9 2 4 3
1.22 80 30 21 29 7 3 1 1
1.23 90 42 20 28 6 1 3 2
1.24 75 24 26 25 8 2 4 2
1.25 100 37 33 30 10 2 3 5
1.26 90 26 34 30 8 3 2 3
1.27 80 31 29 20 5 1 2 2
1.28 95 29 31 35 8 3 2 3
1.29 96 34 26 36 7 4 1 2
1.30 89 25 35 29 5 1 2 2
2. Үш атқыш нысанаға оқ атады. Нысанаға дөп тию ықтималдығы бірінші, екінші, үшінші атқыштар үшін сәйкес p1, p2, p3. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табу керек:
а) үш атқыш нысанаға дөп тиеді;
б) нысанаға тек біреуі дөп тиеді;
в) нысанаға екеуі дөп тиеді, біреуі тигізе алмайды;
г) ең болмағанда біреуі дөп тиеді.
№ p1 p2 p3 № p1 p2 p3 № p1 p2 p3
2.1 0.9 0.6 0.5 2.11 0.5 0.9 0.4 2.21 0.5 0.7 0.9 2.2 0.8 0.7 0.6 2.12 0.7 0.8 0.5 2.22 0.6 0.5 0.8 2.3 0.7 0.5 0.8 2.13 0.5 0.7 0.6 2.23 0.7 0.9 0.7 2.4 0.6 0.9 0.8 2.14 0.4 0.6 0.7 2.24 0.8 0.4 0.6 2.5 0.5 0.7 0.9 2.15 0.5 0.5 0.8 2.25 0.9 0.5 0.5 2.6 0.9 0.6 0.8 2.16 0.6 0.9 0.5 2.26 0.4 0.6 0.8 2.7 0.8 0.5 0.7 2.17 0.7 0.8 0.6 2.27 0.5 0.7 0.9 2.8 0.5 0.8 0.6 2.18 0.8 0.5 0.7 2.28 0.6 0.8 0.7 2.9 0.6 0.9 0.5 2.19 0.9 0.6 0.8 2.29 0.7 0.9 0.5 2.10 0.7 0.9 0.4 2.20 0.9 0.4 0.9 2.30 0.8 0.9 0.4 3. Жинақтау бөліміне үш автоматтан тетіктер келіп түседі: n1 бірінші автоматтан, n2 екіншіден, n3 үшіншіден ( 1000
3
i
ni ). Бірінші автомат m1% сапасыз тетік шығарады, екіншісі - m2%, үшіншісі - m3%.
Табу керек:
а) жинақтау бөліміне сапасыз тетіктер түсу ықтималдығын табу керек;
б) жинақтау бөліміне сапасыз тетік түсті. Осы тетіктің i – ші автоматтан болу ( i =1,2,3) ықтималдығын табу керек.
№ n1 n2 m1 m2 m3 i № n1 n2 m1 m2 m3 i 3.1 520 220 5 8 7 1 3.16 100 250 7 8 5 1 3.2 270 410 10 5 9 2 3.17 430 180 5 4 7 2 3.3 250 140 8 7 4 2 3.18 170 540 6 5 8 3 3.4 190 380 5 9 30 1 3.19 650 120 10 9 8 2
3.5 290 610 6 3 3 2 3.20 400 180 7 10 5 1 3.6 270 430 10 6 4 2 3.21 120 380 10 6 9 2 3.7 280 360 7 10 9 1 3.22 270 340 9 5 4 3 3.8 520 110 5 7 10 1 3.23 430 120 10 7 6 2 3.9 240 290 9 8 4 3 3.24 360 120 5 10 8 1 3.10 310 410 7 2 5 3 3.25 420 210 8 7 6 1 3.11 520 110 3 6 7 2 3.26 370 130 10 6 5 2 3.12 280 310 9 8 4 2 3.27 410 200 5 10 8 3 3.13 400 320 4 5 8 1 3.28 280 510 10 6 5 3 3.14 350 240 9 8 7 1 3.29 710 120 2 10 4 3 3.15 190 520 5 2 4 3 3.30 460 240 5 9 7 1
4. Сынақта А оқиғасының әрбір сынақта пайда болу ықтималдығы р-ға тең. n сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығын табу керек:
а) дәл k1 рет;
б) k2-ден кем емес;
в) k3-ден артық емес;
г) ең болмағанда бір рет (тақ варианттар үшін, мұндағы n=10);
д) k1 -ден k2 -ге дейін (жұп варианттар үшін, мұндағы n=100).
№ k1 k2 p № k1 k2 p № k1 k2 p
4.1 3 5 0.6 4.11 2 5 0.4 4.21 6 8 0.7 4.2 62 82 0.6 4.12 80 95 0.4 4.22 70 80 0.7 4.3 5 7 0.8 4.13 5 8 0.8 4.23 4 7 0.6 4.4 55 75 0.8 4.14 60 90 0.6 4.24 65 80 0.75 4.5 4 8 0.8 4.15 2 8 0.7 4.25 7 9 0.75 4.6 40 60 0.8 4.16 80 90 0.8 4.26 78 92 0.75 4.7 3 7 0.3 4.17 5 9 0.8 4.27 2 6 0.7 4.8 50 80 0.3 4.18 70 95 0.8 4.28 30 85 0.7 4.9 4 6 0.3 4.19 3 6 0.7 4.29 4 9 0.7 4.10 45 75 0.4 4.20 50 60 0.7 4.30 80 95 0.6
5. Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім заңдылығымен берілген.
Табу керек:
а) оның үлестірім функциясын F(x), оның графигін салу керек;
б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын;
в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығын.
Х х1 х2 х3 х4 х5 х6 а b
Р р1 р2 р3 р4 р5 р6
5.1 Х 0 1 2 4 6 9 -2 7
Р 0.05 0.15 0.3 0.25 0.15 0.1
5.2 Х -3 -2 -1 0 2 4 -1 3
Р 0.15 0.3 0.02 0.14 0.18 0.21
5.3 Х 1 2 3 5 7 8 -3 6
Р 0.3 0.14 0.16 0.1 0.2 0.1
5.4 Х -4 -3 -2 0 1 2 0 1
Р 0.2 0.08 0.23 0.27 0.12 0.1
5.5 Х 1 2 4 5 7 9 3 8
Р 0.19 0.21 0.06 0.14 0.12 0.28
6.6 Х -1 0 2 3 5 7 -4 4
Р 0.26 0.14 0.07 0.2 0.03 0.3
5.7 Х -2 -1 0 3 5 7 1 6
Р 0.18 0.09 0.01 0.2 0.22 0.3
5.8 Х 1 2 4 5 6 8 0 6
Р 0.3 0.17 0.13 0.1 0.2 0.1
5.9 Х 1 2 3 4 7 9 5 8
Р 0.11 0.29 0.06 0.14 0.17 0.23
5.10 Х 0 1 2 3 7 9 4 8
Р 0.06 0.14 0.3 0.25 0.15 0.1
5.11 Х -3 -2 0 1 2 4 -1 3
Р 0.15 0.3 0.01 0.14 0.19 0.21
5.12 Х -1 0 3 5 7 8 1 6
Р 0.25 0.14 0.16 0.1 0.2 0.15
5.13 Х -4 -3 -2 0 2 4 -1 3
Р 0.2 0.07 0.24 0.26 0.13 0.1
5.14 Х -3 -1 0 3 4 7 -2 6
Р 0.12 0.09 0.01 0.2 0.28 0.3
5.15 Х -1 0 1 3 7 8 2 6
Р 0.26 0.14 0.15 0.2 0.1 0.15
5.16 Х -2 -1 0 1 2 7 -3 5
Р 0.17 0.09 0.01 0.3 0.23 0.2
5.17 Х 1 2 3 5 6 7 0 4
Р 0.1 0.14 0.16 0.1 0.2 0.3
5.18 Х -3 -1 0 3 5 6 -2 4
Р 0.16 0.09 0.01 0.3 0.24 0.2
5.19 Х 1 2 5 6 7 8 3 6
Р 0.2 0.15 0.15 0.1 0.3 0.1
5.20 Х -1 0 2 4 7 8 1 5
Р 0.23 0.18 0.12 0.2 0.1 0.17
5.21 Х 1 2 4 5 6 8 0 7
Р 0.3 0.14 0.16 0.03 0.2 0.17
5.22 Х -4 -3 -1 0 1 3 -2 2
Р 0.2 0.03 0.24 0.26 0.17 0.1
5.23 Х 1 2 3 4 7 9 0 8 Р 0.17 0.23 0.09 0.11 0.12 0.28
5.24 Х 0 1 3 5 7 8 2 6
Р 0.2 0.14 0.16 0.12 0.3 0.08
5.25 Х -5 -3 -2 0 1 3 -4 2
Р 0.2 0.06 0.21 0.29 0.14 0.1
5.26 Х 1 2 3 5 8 9 4 7
Р 0.18 0.22 0.05 0.15 0.12 0.28
5.27 Х 1 3 4 5 7 8 2 6
Р 0.3 0.16 0.14 0.01 0.2 0.19
5.28 Х -5 -3 -1 0 1 3 -4 2
Р 0.1 0.03 0.14 0.36 0.17 0.2
5.29 Х 0 2 3 4 6 8 1 7
Р 0.26 0.14 0.05 0.15 0.12 0.28
5.30 Х -1 0 2 3 7 8 1 6
Р 0.21 0.16 0.14 0.1 0.2 0.19
6. Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім тығыздығымен f(x) берілген.
Табу керек:
а) оның үлестірім функциясын F(x);
б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;
в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығын.
F(x) және f(x) графиктерін салу керек.
№ f(x) а b № f(x) а b
6.1 0, 0, 4
,0 4
8
x x
x x
1 3 6.16
3 0
3 , 3 1 2
3 , 0 , 0
x x x
x -1 2
6.2
2
0, 3, 2
6 , 3 2
x x
x x
-2,5 0 6.17
0, 0, 6 4sin 2 ,0
6
x x
x x
0
12
6.3 0, ,
2 2
0,5cos ,
2 2
x x
x x
0 4
6.18
2
0, 1, 2
2 ,1 2
x x x x
0 1,5
6.4
2
0, 0, 1
4 ,0 1
(1 )
x x
x x
0 3
3
6.19
3 2
5 , 2
3 , 2 , 0
x x
x
x 1 2,5
6.5
4 / 3 0
, 1
2
4 / 3 , 0 , 0
2 x
x x x
0 1 2
6.20
2
0, 0, 1
3
6 1
(1 ),0 3
x x
x x
0,1 1
6.6 0, 0, 0,5sin ,0 x x
x x
0 2
6.21
2 1
, ) 1 9( 1
2 , 1 ,
0
2 x
x
x
x 0 1
6.7 0, 0, 2 2,0 2 6
x x
x x
1 2 6.22
2
0, 0, 1 2
6 1
,0 2
1
x x
x
x
1 4
1
6.8
5 4
9 , 2
5 , 4 , 0
x x
x
x 3 4,5 6.23
2
0, 3, 5
7,5,3 5 x x x x
2 4
6.9 5
0, ,
2 6
2cos , 5
2 6
x x
x x
0 2 3
6.24
0, 0, 6 6sin 3 ,0
6
x x
x x
0
12
6.10
2
0, 1, 2
3( 1) ,1 2
x x
x x
1,5 2 6.25 0, 1, 2
2 2,1 2
x x
x x
0 1,5 6.11
0, 0, 4 2cos 2 ,0
4
x x
x x
8
4
6.26
2
0, 2, 2
1 4 , 2 2
2
x x
x x
0 1
6.12 0, 0, 4 1(1 ),0 4
2 4
x x
x x
1 3 6.27 0, 0, 5
2(1 ),0 5
5 5
x x
x x
1 4
6.13 0, 0, 2 1,0 2 4
x x
x x
-1 1 6.28
0, 0, 6 3cos3 ,0
6
x x
x x
12
9
6.14
2
0, 0, 1
3 ,0 1
x x
x x
0,2 1,2 6.29
2
0, 3, 3
1 9 , 3 3
2
x x
x x
0 2
6.15
0, 0, 3 2sin ,0
3
x x
x x
0 6
6.30 0, 1, 4
2 ,1 4
15 x x x x
2 3
Биномдық үлестірім.
7. Таңдап алынған N бұйымның ішінде m% стандарт емес. Таңдап алынған стандарт емес бұйымдар санының үлестірім заңын құрастыру керек
(Х кездейсоқ шама). Осы кездейсоқ шаманың математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын табу керек.
№ N m № N m № N m
7.1 3 10 7.11 4 15 7.21 3 11
7.2 2 12 7.12 5 13 7.22 2 16
7.3 4 20 7.13 3 14 7.23 4 29
7.4 5 25 7.14 2 20 7.24 5 10
7.5 3 30 7.15 4 27 7.25 3 17
7.6 2 10 7.16 5 20 7.26 2 21
7.7 4 15 7.17 3 19 7.27 4 22
7.8 5 17 7.18 2 23 7.28 5 24
7.9 3 12 7.19 4 11 7.29 3 18
7.10 2 15 7.20 5 28 7.30 2 22
Пуассон үлестірімі.
8. Радиоаппаратура N элементтен тұрады. Бір элементтің бір жыл бойына істен шығу ықтималдығы р-ға тең және қалған элементтердің жағдайынан тәуелсіз:
а) істен шыққан элементтер санының үлестірім заңын құрастыру керек;
б) жылына m-нен кем емес элементтің істен шығу ықтималдығы қандай?
№ N m р № N m р № N m р
8.1 2000 4 0,001 8.11 1500 6 0,005 8.21 1000 6 0,005 8.2 1000 5 0,007 8.12 4000 2 0,006 8.22 4500 2 0,003 8.3 3000 7 0,004 8.13 8000 2 0,001 8.23 2000 4 0,001 8.4 2000 5 0,002 8.14 6500 6 0,002 8.24 1000 5 0,007 8.5 1000 6 0,005 8.15 3000 2 0,005 8.25 3000 7 0,004 8.6 5000 2 0,001 8.16 1500 3 0,002 8.26 2000 5 0,002 8.7 2000 4 0,001 8.17 2000 4 0,001 8.27 1000 6 0,005 8.8 1500 5 0,008 8.18 1000 5 0,007 8.28 6500 8 0,007 8.9 3500 7 0,004 8.19 3500 1 0,002 8.29 7000 6 0,002 8.10 2000 2 0,003 8.20 2000 5 0,001 8.30 5500 9 0,004
Бірқалыпты үлестірім.
9. а. 1-15 нұсқалары.
Өлшегіш құралы бірнеше бөлікке бөлінген, әрбір бөліктің бағасы а-ға тең. Құралдың көрсеткіші жақын бүтін бөлікке дейін жуықталады. Х кездейсоқ шамасы – жуықтау қателігі.
Табу керек:
а) оның үлестірім тығыздығын f(x);
б) үлестірім функциясын F(x);
в) математикалық үмітін, дисперсиясын;
г) есептегенде m-нен кем (артық) қате кету ықтималдығын.
F(x) және f(x) графиктерін салу керек.
9. б. 16 – 30 нұсқалары.
Қайбір маршруттың трамвайлары кесте бойынша ғана жүреді. Жүру интервалы а минут. Х кездейсоқ шамасы – трамвайды күту уақыты.
Табу керек:
а) оның үлестірім тығыздығын f(x);
б) үлестірім функциясын F(x);
в) математикалық үмітін, дисперсиясын;
г) аялдамаға келген жолаушы трамвайды m минуттен кем (артық) күту ықтималдығын.
F(x) және f(x) графиктерін салу керек.
№ а m № а m № а m
9.1 0,2 0,04 9.11 0,3 0,08 9.21 19 8 9.2 0,3 0,02 9.12 0,6 0,01 9.22 20 5 9.3 0,1 0,06 9.13 0,9 0,06 9.23 25 5 9.4 0,5 0,01 9.14 0,5 0,05 9.24 9 3 9.5 0,6 0,05 9.15 0,8 0,07 9.25 14 7
9.6 0,9 0,02 9.16 5 3 9.26 18 9
9.7 0,1 0,08 9.17 10 4 9.27 24 8
9.8 0,7 0,01 9.18 15 5 9.28 6 3
9.9 0,4 0,06 9.19 6 2 9.29 12 6
9.10 0,5 0,07 9.20 20 10 9.30 16 8 Көрсеткіштік үлестірім.
10. Элементтің мүлтіксіз жұмыс істеу уақыты (Т кездейсоқ шамасы) параметрімен көрсеткішті үлестірілген, мұндағы - істен шығу интенсивтілігі, яғни бірлік уақыт ішіндегі істен шығудың орта саны.
Табу керек:
а) f(t) үлестірім тығыздығын;
б) F(t) үлестірім функциясын, оның ықтималдық мағынасын көрсету керек;
в) сенімділік функциясын R(t), оның ықтималдық мағынасын көрсету керек;
г) математикалық үмітін, дисперсиясын;
д) элементтің t уақыт ішінде істен шығу ықтималдығын және элементтің t уақыт ішінде істен шықпау ықтималдығын F(t), R(t) және f(t) графиктерін салу керек.
№ t № t № t
10.1 1 5 10.11 2 5 10.21 3 8
10.2 2 10 10.12 3 10 10.22 4 4
10.3 3 6 10.13 4 6 10.23 6 3
10.4 4 8 10.14 6 8 10.24 7 2
10.5 6 4 10.15 7 4 10.25 8 1
10.6 7 3 10.16 8 3 10.26 9 10
10.7 8 2 10.17 9 2 10.27 10 6
10.8 9 1 10.18 10 1 10.28 1 7
10.9 10 7 10.19 1 10 10.29 2 8
10.10 1 9 10.20 2 6 10.30 3 2
Қалыпты үлестірім заңы.
11. Өлшеудің кездейсоқ қатесі (Х кездейсоқ шамасы) а және параметрлі қалыпты үлестірім заңына бағынады.
Табу керек:
а) f(х) үлестірім тығыздығын;
б) F(х) үлестірім функциясын;
в) математикалық үмітін, дисперсиясын;
г)
;
аралығына түсу ықтималдығын;д) өлшеу абсолют шамасы бойынша -дан аспайтындай қате жіберу ықтималдығын.
F(t) және f(t) графиктерін салу керек.
№ а № а
11.1 10 1 8 14 2 11.16 10 2 9 14 2
11.2 12 2 7 14 3 11.17 12 4 5 14 3
11.3 14 3 10 15 5 11.18 14 1 9 15 5
11.4 11 5 9 12 3 11.19 11 6 8 12 3
11.5 13 2 6 13 2 11.20 13 4 6 17 2
11.6 12 3 7 15 4 11.21 12 9 8 15 4
11.7 10 2 8 17 2 11.22 10 3 6 17 2
11.8 12 4 6 14 6 11.23 12 5 6 13 6
11.9 14 6 11 19 5 11.24 14 2 12 19 5
11.10 15 5 8 12 3 11.25 15 3 4 12 3
11.11 17 4 6 14 2 11.26 17 1 5 14 2
11.12 12 5 7 18 4 11.27 12 4 9 18 4
11.13 18 5 6 12 3 11.28 11 3 4 12 3
11.14 10 4 6 15 2 11.29 17 2 5 19 5
11.15 12 3 5 18 4 11.30 13 5 6 18 3
1.3 Типтік варианттың шешуі
1. Урнада 120 шар бар, олардың арасында 40 ақ, 50 қара, 30 қызыл түстілері бар.
Табу керек:
а) ақ түсті шарлардың қатысты жиілігін;
б) 20 алынған шарлардың барлығы ақ түсті болу ықтималдығын;
в) 20 алынған шарлардың 9 ақ түсті болу ықтималдығын;
г) алынған 20 шарлар арасында 9- ақ, 6 - қара, 5 - қызыл шарлар болу ықтималдығын табу керек;
д) алынған 20 шарлардың ішінде ең болмағанда біреуі ақ түсті болу ықтималдығын.
Шешуі:
а) А оқиғасының қатысты жиілігі деп (белгіленуі Р*(А)) А оқиғасы пайда болған сынақ санының m барлық сынақтың жалпы санына n қатынасы айтылады: Р*(А) = m/ n.
А оқиғасы– ақ шарды таңдау болсын, онда Р*(А) = 40/120 = 1/3.
Қалған пункттерінде ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы m –А оқиғасының пайда болуына қолайлы сынақтар саны, n – сынақтардың жалпы саны;
б) А – таңдап алынған барлық 20 шардың ақ болу оқиғасы болсын.
Элементар оқиғалардың жалпы саны 120 шардың арасында 20 шарды таңдап алудың мүмкін әртүрлі тәсілдер санына тең, яғни n = С12020 ; қолайлы оқиғалар саны 40 шардың арасында 20 ақ шар алу жолдар санына тең, яғни m = С2 04 0. Сонымен, Р(А) = m/ n = С2 04 0/ С12020 = 4,6791012;
в) А –20 таңдап алынған шарлар арасынан 9-ы ақ болу оқиғасы болсын.
Жоғарыда айтылғандай, n = С12020 . m - А оқиғасына қолайлы оқиғалар саны комбинаторика ережелерінің біреуімен табылады: n элементті жиында s ішкі жиын бар болсын. Ішкі жиындар сәйкес n1, n2,...,ns элементтен тұрсын
( n n
s i
1
). Онда бұл жиыннан таңдау мына сұлба бойынша жүрсе: m1
элементті n1 элементтен, m2 -ні n2 элементтен,…, ms-ті ns элементтен таңдаса, онда m1, m2,...,ms элементтен (әрқайсысында ретін ескермегенде) s тобының пайда болуының жалпы саны N мына формуламен есептелінеді: N = Cmn11 Cmn22…Cmnss . Сонымен, біздің жағдайда m = С940С1 18 0, мұнда С94 0- 40 ақ шардың арасынан 9 ақ шарды таңдап алудың әртүрлі мүмкін жағдайлар саны, ал С1 18 0 - 80 ақ емес шардың арасынан 11 ақ емес шарды таңдап алудың әртүрлі мүмкін жағдайлар саны. Олай болса, Р(А) = m/ n = С940С1 18 0 / С12020 = 0,097;
г) А - алынған 20 шарлар арасында 9- ақ, 6 - қара, 5 - қызыл шарлар болу оқиғасы болсын. Бұл есепті шешу үшін А оқиғасының ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз: Р(А) = m/ n, мұндағы n - 120 шардың арасында 20 шарды таңдап алудың мүмкін әртүрлі тәсілдер санына тең, яғни n
= С12020 . А оқиғасына қолайлы оқиғалар саны m жоғарыда келтірілген комбинаторика ережесі бойынша табылады, яғни m = С940С450С53 0. Сондықтан Р(А) = m/ n = 0,021;
д) А - алынған 20 шарлардың ішінде ең болмағанда біреуі ақ түсті болу оқиғасы болсын, онда қарама-қарсы оқиға A - алынған 20 шарлардың ішінде ешқандай ақ шар болмайды. б) жағдайындағы сияқты бұл оқиғаның ықтималдығын келесі формула бойынша есептейміз Р(A) = m/ n = С8 02 0/ С12020 = 1,2104. Онда А оқиғасының ықтималдығы P(A)1P(A)11,2104 1, т.е.
бұл оқиғаны ақиқат оқиға деуге болады.
Теру санын есептегенде Mathcad-та combin функциясы қолданылды.
Төменде combin(Q,R) қолданушының C(Q,R) функциясы ретінде енгізілген файлдың көшірмесі келтірілген, ол Q мен R-дің кез келген мәндерінде орынды.
C 40 20( ) 1.378 1011 C 80 20( )
C 120 20( ) 1.2104 1 C 10 0( ) 0.8 00.210 1
C 40 9( ) C 50 6 ( )C 30 5( )
C 120 20( ) 0.021
2. Үш атқыш нысанаға оқ атады. Нысанаға дөп тию ықтималдығы бірінші, екінші, үшінші атқыштар үшін сәйкес 0,75, 0,8, 0,9. Келесі оқиғалардың ықтималдығын табу керек:
а) үш атқыш нысанаға дөп тиеді;
б) нысанаға тек біреуі дөп тиеді;
в) нысанаға екеуі дөп тиеді, біреуі тигізе алмайды;
г) ең болмағанда біреуі дөп тиеді.
Шешуі: келесі оқиғалар енгіземіз: A1 – нысанаға бірінші атқыштың дөп тиюі, A2 – екінші, A3 – үшінші. Шарт бойынша P(A1)=0,75, P(A2)=9,8, P(A3)=0,9.
а) А – барлық үш атқыш нысанаға дөп тию оқиғасы болсын, сонда
3 2 1A A A
A және A1, A2,A3 тәуелсіз оқиғалар болғандықтан, P(А) = P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) =0,750,80,9= 0,54;
б) В – тек бір атқыштың нысанаға дөп тию оқиғасы болсын, сонда
3 2 1 3 2 1 3 2
1A A A A A AA A
A
B , мұндағы A1,A2,A3- A1, A2, A3 оқиғаларына қарама- қарсы оқиғалар, яғни сәйкес бірінші, екінші, үшінші атқыштардың тимеуі.
C Q R( ) combin Q R( ) C 120 20( ) 2.946 1022 C 40 9( ) 2.734 108
C 80 11( ) 1.048 1013
C 40 9( ) C 80 11 ( )
C 120 20( ) 0.097 C 40 20( ) 1.378 1011
25 , 0 75 , 0 1 ) ( 1 )
(A1 P A1
P , P(A2)1P(A2)10,80,2, P(A3)1P(A3) 1
, 0 9 , 0 1
. Қосылғыштар тәуелсіз оқиғалар болғандықтан, )
( ) (
) (
)
(B P A1A2A3 P A1A2A3 P A1A2A3
P =0,750,20,10,250,80,10,250,20,9= 0,08;
в) С - екі атқыштың нысанаға дөп тию оқиғасы болсын, яғни біреуі нысынаға тимейді, C A1A2A3A1A2A3A1A2A3. Оның ықтималдығы да алдыңғы пункттегідей есептелінеді:
) (C
P =0,750,80,10,250,80,90,750,20,9=0,3456;
г) D - ең болмағанда біреуі дөп тию оқиғасы болсын. Қарама-қарсы оқиғаны қарастырамыз: D- үшеуі де нысынаға тимеді. D A1A2A3 болғандықтан, P(D)1P(D) =1P(A1A2A3)=10,250,20,1=0,995.
3. Жинақтау бөліміне үш автоматтан тетіктер келіп түседі: n1=100 бірінші автоматтан, n2 = 300 екіншіден, n3 = 1000 - n1 n2= 600 үшіншіден
( 1000
3
i
ni ). Бірінші автомат 5% сапасыз тетік шығарады, екіншісі - 4%, үшіншісі - 6%.
Табу керек:
а) жинақтау бөліміне сапасыз тетіктер түсу ықтималдығын табу керек;
б) жинақтау бөліміне сапасыз тетік түсті. Осы тетіктің 2 – ші автоматтан болу ықтималдығын табу керек.
Шешуі: А – сапасыз тетік сатып алынған оқиғасы болсын, ал В1, В2, В3– лампа сәйкес бірінші, екінші, үшінші автоматтан келіп түскен оқиғалары болсын (бұл оқиғалар гипотезалар деп аталады).
а) А оқиғасының ықтималдығы толық ықтималдықтар формуласымен есептелінеді:
Р(А) = Р(В1)Р(А/ В1)+Р(В2)Р(А/ В2)+Р(В3)Р(А/ В3),
мұндағы Р(А/ Вi) – сатып алынған тетік i– ші зауыттан келіп түскен оқиғасының шартты ықтималдығы (i=1,2,3). Есептің шарты бойынша:
Р(В1) = 100/1000 = 0,1; Р(В2) = 300/1000 = 0,3; Р(В3) = 600/1000 = 0,6;
Р(А/ В1)=0,05; Р(А/ В2)=0,04; Р(А/ В3)=0,06.
Сондықтан Р(А) = 0.10.050,30,040,60,06= 0,053;
б) бұл пунктте Р(В2/А) шартты ықтималдығын табу керек. Ол үшін Байеса формуласын қолданамыз:
n n i
k P A Bk
Bk P
Bi A i P B A P
Bi
P , 1,2,...,
1
) / ( ) (
) / ( ) ) (
/
(
,
біздің есеп үшін ол былай жазылынады
3) / ( 3) ( 2) / ( 2) ( 1) / ( 1) (
2) / ( 2) ) (
2/
( P B P A B P B P A B P B P A B
B A P B A P
B
P = =
053 , 0
04 , 0 3 , 0
= 0,226.
4. А оқиғасының әрбір сынақта пайда болу ықтималдығы 0,8-ге тең. n сынақта А оқиғасы:
а) дәл k1 рет (А оқиғасы);
б) k1-ден кем емес рет(В оқиғасы);
в) k2-ден артық емес рет (С оқиғасы);
г) ең болмағанда бір рет (тақ нұсқалар үшін, мұнда n=10) (D оқиғасы);
д) k1- ден k2 -ге дейін (жұп нұсқалар үшін, мұнда n=100) (E оқиғасы).
Шешуі: бұл есепте n тәуелсіз оқиғалар арасынын А оқиғасы k рет пайда болуын табу керек. Белгіленуі Pn(k). Есептің шартына байланысты шешу жолы да әртүрлі:
- n =10, k1=9, k2=2 болсын (тақ нұсқалар үшін). Мұнда n үлкен емес, сондықтан ізделінді А оқиғасының ықтималдығын Бернулли формуласы бойынша табуға болады: Pn(k)Cnkpkqnk, мұндағы q1 p, (k 0,1,2,...n). В және С оқиғаларының ықтималдығын ықтималдықтар қосындысы ретінде анықталады: Pn(k)Pn(k 1)...Pn(n)- n тәуелсіз сынақта оқиға k-дан кем емес рет, яғни немесе k, немесе k+1,…, немесе n рет пайда болу ықтималдығы; Pn(0)Pn(1)...Pn(k)- n тәуелсіз сынақта оқиға k-дан артық емес рет, яғни немесе 0, немесе 1,…, немесе k рет пайда болу ықтималдығы.
Бұл ықтималдықтар комулятивті (жинақталған) деп аталады. Сонымен, а) Р(А)=P10(9) =C 10 9( ) 0.8 90.21 0.268 ;
б) P(B) P10(9) P10(10)1,246109; в) P(C) P10(0)P10(1)P10(2)0,96;
г) D оқиғасына қарама қарсы Dоқиғасын енгіземіз. D – бұл 10 тәуелсіз сынықтарда А оқиғаның мүлдем пайда болмауы. Онда
) ( 1 )
(D P D
P =1P10(0)0,566;
Төменде Mathcad-тан есетеулермен файлдың көшірмесі келтірілген.
C 10 9( ) 0.8 90.21 0.268
C 10 9( ) 0.08 90.921 C 10 10( ) 0.08 100.920 1.246 109 C 10 9( ) 0.08 90.921 C 10 10( ) 0.08 100.920 1.246 109
C 10 0( ) 0.08 00.9210 C 10 1( ) 0.08 10.929 C 10 2( ) 0.08 20.928 0.96 1 C 10 0( ) 0.08 00.9210 0.566
C Q R( ) combin Q R( ),
- n =100, k1=70, k2=80 болсын (жұп нұсқалар үшін). тәуелсіз тәжірибелер саны n үлкен болғандықтан, қандай да бір оқиғаның n тәжірибеде k рет пайда болу ықтималдығы Pn(k) Муавр-Лаплас аймақтық теоремасымен есептелінеді және жуық шамамен 1 ( )
)
( x
k npq
Pn тең, мұндағы
npq np
x k , 0 p1, exp( /2) 2
) 1
(x x2
(осы функцияның мәнін
кестеден немесе Mathcad жүйесіндегі dnorm функциясы арқылы табады).
В, С және Е оқиғаларының ықтималдығын анықтау үшін Муавр-Лаплас интегралдық теоремасын қолданады: қандай да бір оқиғаның пайда болу k саны k1-ден k2-ге дейінгі аралығында болу ықтималдығы Pn(k1,k2) жуық шамамен Pn(k1,k2)(x2)(x1) тең, мұндағы
npq np x2 k2 ,
npq np x1 k1 ,
dt t
x
x
) 2 / 2 exp(
) 1 (
0
2
- Лаплас функциясы, оның мәні арнайы кестеден немесе Mathcad жүйесіндегі pnorm функциясы арқылы.
а) Р(А)= (2,5) 0,018/4 0,0045 2
, 0 8 , 0 100 ) 1
80
100(
P ;
2 , 0 8 , 0 100
8 , 0 100 70
x =-2,5;
б) Р(В)=P100(k 80)P100(80,100)(x3)(x2)0,5; x3 5; в) Р(С)=P100(k 70)P100(0,70)(x1)(x4)0,006; x4 20; д) Р(Е)=P100(70,80)(x2)(x1)0,494, x2 0, x1 2,5. Mathcad жүйесіндегі есептелінген есептеулер көрсетілген.
dnorm x1 0( 1) 0.018 pnorm x3 0( 1) pnorm x2 0( 1) 0.5
pnorm x1 0( 1) pnorm x4 0( 1) 6.21 103 немесе басқа нұсқасы
n 100 k1 70 k2 80 p 0.8 q 1p
x1 k1 n p n p q
x2 k2 n p
n p q
x3 n n p
n p q
x4 0 n p
n p q
x1 2.5 x2 0
pnorm x2 0( 1) pnorm x1 0( 1) 0.494
( )x pnorm x 0( 1) 0.5
