УДК 536.2(07) DOI 10.52167/1609-1817-2022-123-4-389-396 Ж.У.Сугиров , Г.Г. Байсарова, М.К. Суйменова,
А.И. Избасар, Б.С. Акмурзаева
Каспийский университет технологий и инжиниринга имени Ш.
Есенова, Актау, Казахстан E-mail: [email protected]
ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ПРИ СОСТАВЛЕНИИ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Аннотация. Определение корней и коэффициентов характеристических уравнений, которые определяются в ряде случаев по графику, не удобны для применения в практических расчетах, тем самым ограничивают возможность использования компьютера при вычислениях. В этом случае для решения возникающих практических задач можно воспользоваться численными методами. Нестационарные тепловые режимы могут быть периодическими или временными. В периодических процессах определенное распределение температуры повторяется несколько раз через некоторое время. Переходы характеризуются переходом из одного стационарного режима в другой. В этом случае взаимосвязь между значениями теплопроводности, участвующими в теплообмене, на котором основана математическая теория теплопроводности, называют дифференциальными уравнениями теплопроводности.
Формулировка этого уравнения основана на законе сохранения энергии, который соответствует закону Фурье.
Научной новизной исследования является выявление для четверых родов граничные условия. При этом все четыре условия содержат различные модификации.
Модификации зависят от значений физических условий на концах имеющихся разделов сред. Определенную функцию температуры показали, как умножение трех функций.
Каждую из этих трех функций представили, как результат применения для неограниченной по длине стенке.
Ключевые слова. Теплопроводность, численные методы, дифференциальное уравнение, коэффициент, граничные условия.
Введение.
Изучение любого физического процесса математическими методами сводится к обнаружению аналитических отношений между величинами, которые характеризуют это явление. Также для сложных процессов, в которых значения детерминанта меняются в пространстве и времени, не всегда возможно установить связь между этими значениями.
В таких случаях применяют известные методы математической физики, с помощью которых ход процесса рассматривается не во всем изучаемом пространстве, а в определенном количестве материи и в нормальном времени. Это позволяет нам получить дифференциальное уравнение процесса, представляющее собой наиболее общую взаимосвязь между значениями, важными для изучаемых процессов, основанных на наиболее общих принципах.
Расчеты по распределению температуры для каждых элементов конструкции требуют построения уравнения теплового равновесия. В тех случаях, когда распределение тепла в теле зависит как от времени, так и от координат, это есть нестационарный тепловой режим. Нестатический режим теплопроводности существует в различных технологических операциях, таких как нагрев металла для ковки, тиснение,
закалка и т.д. в некоторых случаях расчет части головки самолета или стенки камер сгорания и сопел двигателя должен выполняться с учетом стационарного режима.
Самолеты и их двигатели в некоторых случаях работают очень недолго, поэтому тепловые процессы в их конструктивных элементах не успевают перейти в стационарный режим.
Нестационарные тепловые режимы могут быть периодическими или временными. В периодических процессах определенное распределение температуры повторяется несколько раз через некоторое время. Переходы характеризуются переходом из одного стационарного режима в другой.
В этом случае взаимосвязь между значениями теплопроводности, участвующими в теплообмене, называют дифференциальными уравнениями теплопроводности, на котором основана математическая теория теплопроводности. Формулировка этого уравнения основана на законе сохранения энергии, который соответствует закону Фурье.
Уравнение теплопроводности Фурье в декартовых координатах описывается следующей формулой [1,2]:
c Q x
T y
T z
a T t T
) 1
( 2
2 2 2 2
2 +
+
+
=
, (1) где c- теплоемкость рассматриваемого твердого тела;
T - температура;
) /(
c
a = - коэффициент температуропроводности;
- плотность материала;
- теплопроводность рассматриваемого твердого тела;
Q- плотность внутреннего источника тепла.
Под плотностью объемного теплового потока Q принимают количество теплоты, поглощенную (выделенную) единицей объема тела в определенном отрезке времени.
Единицею этой физической величины плотности принимают [Дж/(м3с)] или [Вт/м3].
При определенной мощности нагреваемого теплового излучателя [Вт], когда возникает необходимость определять плотность имеющегося теплового потока, то необходимо мощность нагреваемого источника разделить на объем тела. В случае отсутствия источника теплоты, т.е. Q=0, уравнение (1) будет принимать упрощенный вид.
Материалы и методы.
Для дальнейшей интеграции дифуравнений (2) в частных производных, необходимо знать значения величин граничных и начальных условий.
Значения начальных условий имеет вид:
При
t=0,T(x,y,z)=Tf =const. (2) Уравнение теплопроводности температуры могут быть заданы граничными условиями [1,2]:
1) Необходимо задание граничных условий первого рода, когда известны температуры на исследуемых поверхностях, ограничивающие тело. В рассматриваемом случае температура на границах возможна быть зависима от координат значений точек и времени этой границы.
( , , , ) ( , , , ) .
; ) , , , ( )
, , , (
; ) , , , ( )
, , , (
; 0
, 0 3
, 0
, 0 2
, 0 ,
0 1
, 0
b x b
x
h y h
y l
z l
z
t z y x T t z y x T
t z y x T t
z y x T t z y x T t z y x T t
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(3) 2) При задании граничных условий 2 рода будут находиться производные от температур по нормалям к поверхности, представленную в виде координат точек поверхности функции и времени.
3) При задании граничных условий 3 рода, имеют ввиду, что тепловые потоки распределяются пропорционально разности температур поверхности и окружающей среды.
; ] ) , , , ( [ )]
, , , [ (
;
0 x 0,b T x y z t Tf x 0,b
x t z y x
t T = = − =
−
; ] ) , , , ( [ )]
, , , [ (
;
0 y 0,h T x y z t Tf y 0,h y
t z y x
t T = = − =
−
(4) .
] ) , , , ( [ )]
, , , [ (
;
0 z 0,l T x y z t Tf z 0,l
z t z y x
t T = = − =
−
4) В случае задания граничных условий 4 рода, когда принимают равенство значений теплового потока и температур, когда решается задача о теплообмене двоих сред (твердое тело-жидкость, тело-тело, жидкость-жидкость). В этом случае перенос теплоты будет записываться уравнением:
T1=T2 гр , n T n
T
−
=
−1 1 2 2
гр . (5) При работе основные элементы конструкции часто подвергаются неоднородному температурному полю и механической нагрузке одновременно. Таким образом, расчет состояния напряжения и оценка прочности должны выполняться на основе решения соответствующей проблемы теплопроводности и механики твердого деформируемого тела.
В целом решить эту проблему в многомерном представлении очень сложно.
Создание относительно простой модели приложения требует введения некоторых гипотез. Чтобы подтвердить достоверность полученных теоретических результатов, необходимо провести экспериментальное исследование, которое также позволит нам проверить достоверность введенных гипотез. Для количественного расчета необходимо знать зависимость температуры от времени в зоне нагрева нижней поверхности стержня.
Поэтому необходимо установить функция в граничных условиях для объединения дифференциальных уравнений теплопроводности. В таблице 1 показаны результаты повторных измерений температуры в нагревательном отсеке, полученных во время эксперимента. Согласно этим данным, мы определяем средние температуры через регулярные промежутки времени. Это объясняется тем, как в матрице, т. е. функция может быть размещен дискретно, как и следующие матрицы T и T.
Таблица 1 - Результаты измерений температуры в нагревательном отсеке Вре-
м я наг- ре- ва, (с)
Темпер атура по длине нагрева
( )
Температура в измеряемой точке, ( )
Показания индикаторов (дел).
В вертикальном направлении
Горизонтальном направлении
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 0 27 26 25 23 26 26 536 553,5 06/23 01/54 02/84 01/94 2 40 81 96 78 27 30 29 540 553,5 06/31 01/54 02/84 01/94 3 80 106 109 109 32 37 34 540 553,5 06/32 01/63 02/84 01/94 4 120 118 131 120 38 42 39 540 553,5 06/32 01/74 02/90 01/98 5 160 123 144 138 49 47 44 540 553,5 06/31 01/90 02/98 02/00 6 200 133 154 142 52 52 50 540 553,5 06/31 01/94 03/12 02/15 7 240 142 161 146 58 58 56 540 553 06/31 02/08 03/28 02/32 8 280 151 160 155 62 63 62 535,5 553 06/30,5 02/18 03/41 02/47 9 320 157 163 156 68 68 68 535,5 553 06/30,5 02/26 03/57 02/55 10 360 160 164 160 72 73 74 535,5 553 06/30,4 02/39 03/70 02/75 11 400 163 172 166 78 78 79 535,5 553 06/30,4 02/46 03/87 02/90 12 440 164 174 167 83 83 84 535,5 553 06/30,2 02/57 04/00 03/01 13 480 169 178 169 87 87 89 535,5 553 06/30,2 02/64 04/14 03/15 14 520 142 161 146 58 58 56 540 553 06/31 02/08 03/28 02/32 15 560 151 160 155 62 63 62 535,5 553 06/30,5 02/18 03/41 02/47 16 600 157 163 156 68 68 68 535,5 553 06/30,5 02/26 03/57 02/55 17 640 160 164 160 72 73 74 535,5 553 06/30,4 02/39 03/70 02/75 18 680 163 172 166 78 78 79 535,5 553 06/30,4 02/46 03/87 02/90 19 720 164 174 167 83 83 84 535,5 553 06/30,2 02/57 04/00 03/01 20 760 169 178 169 87 87 89 535,5 553 06/30,2 02/64 04/14 03/15
Результаты.
Описанные вышеприведенные условия допускают на разделах сред разные формулировки зависящих от величин физических параметров. Когда контакты между двумя твердыми материалами не будет идеальными, то первое условие (5) может привести к скачку температуры. Если на границе разделов источников теплоты (химическая реакция, фазовый переход), то в условие (5) присоединяют тепловой поток, который образуется при возникновении поверхностного источника.
На определенном участке при распространении в теле внутреннего источника теплоты, плотность теплового потока Q будут определять с помощью функций Дирака
или Хэвисайда Н1.
При решении одномерной задачи источник теплоты будет определяться с помощью значения функции Дирака, где y0 - значение координат источника.
Обсуждение.
Разработанные многомерные функции показаны в виде произведения одномерных функций в количествах, равных размерностям пространства.
Для источников теплоты имеющие координаты х0, у0, при решениях двухмерных задач в уравнении теплопроводности, имеем выражение: Q(x−x0)(y−y0).
Также для трехмерной задачи получили: Q(x−x )(y−y )(z−z ).
А уравнение (5) будет составлять вид:
).
( ) ( ) 1 (
)
( 2 0 0 0
2 2 2 2 2
z z y y x x c Q x
T y
T z
a T t
T + − − −
+
+
=
(6) Начальными одномерными функциями будут являться функции Хэвисайда:
0 , 1 ) (
; 0 , 0 )
( 1
1 x = x H x = x
H .
Если значение аргумента будет равно нулю, то это указывают в записи функции, представляющее выражение
0 , 2 / 1 )
1(x = x=
H .
При использовании программы Mathcad функция Хэвисайда будет возвращаться к единице при х≥0. Ступенчатую функцию Хэвисайда используют для генерации величин импульса с шириной a, H1(x)−H1(x−a), воздействия которых будет продолжаться.
Плотность потока при нагревании стержней на участке [a, b], нужно учитывать с использованием функции Хэвисайда:
)]
( ) (
[H1 x a H1 x b
Q − − − .
В этом случае уравнение теплопроводности будет иметь вид:
)].
( ) ( 1 [
)
( 2 1 1
2 2 2 2 2
b x H a x H c Q x
T y
T z
a T t
T + − − −
+
+
=
(7) Заключение.
Для обычных строительных конструкций, когда они теряют стабильность во время воздействия на упругость, критическая нагрузка часто слишком близка к разрушительной и опасной. Кроме того, отклонения от рассчитанной схемы, которые всегда присутствуют, отрицательно влияют на стабильность элемента или всю структуру. Поэтому в бюджетных моделях необходимо максимально учитывать геометрические параметры конструкции и режимы нагрузок конструкции в имеющихся условиях эксплуатации.
При изучении стабильности каркаса стойки необходимо учитывать его собственный вес, внешние нагрузки и нерегулярность температурного поля, которые могут быть вызваны различными причинами (чрезвычайные ситуации, климатические условия и т. д.). Такие расчеты имеют отношение к внедрению новых строительных материалов. Здесь важно определить зависимости критических нагрузок от температурных градиентов на пересечении и времён возникновений критических состояний для структур. При определении критических нагрузок и форм деформируемого элемента, надо изучить нелинейную термоупругую геометрическую задачу. Аналитическое решение этой нелинейной задачи будет сложным и неэффективным, из-за проблем теплопроводности и механики стержней. Эта задача, возможно, эффективно будет решена численными методами, позволяющие автоматизацию сложных инженерных вычислений. Определенную таким образом
функцию температуры рассматривают как произведение трех различных функций.
Таким образом каждую из функций можно выявить путем решения задач с неограниченной стенкой. Здесь необходимо учитывать, что параллепипед является фигурой с тремя пересекающимися стенками.
Также коэффициенты характеристического уравнения и корни возможно находить по графикам. Эти действия вызывают некоторые неудобства при проведении практических расчетов, и соответственно, имеют ограничения по применению компьютеров. Соответственно, при решении этих задач надо использовать численные методы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. -М.: Наука, гл.ред.
физ.-мат. литературы, 2013. -296 с.
[2] Светлицкий В.А. Механика стержней. В 2-х ч.-М.: Высшая школа, 1987. Ч.1- 320 с, ч.2-304 с.
[3] Коновалов А.А. Дифференциальные уравнения для больших перемещений пространственного стержня//Ижевск. 1974.
[4] Вержбицкий В.М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2012. – 840 c.
[5] Самарский А.А. Теория разностных схем. – М.: Наука, 2013. – 656 с.
[6] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Наука, 2015. – Т. 1. – 464 с.
[7] Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – М.: Наука, 2015. – Т. 2. – 639 с.
[8] Киквидзе О.Г., Киквидзе Л.Г. Большие перемещения термоупругих стержней при плоском изгибе//Проблемы прикладной механики. Изд-во «Комитет ИФТоММ-а Грузии». -№4(5). -2001.-С.73-77.
[9] Киквидзе О.Г., Киквидзе Л.Г. Геометрически нелинейная задача изгиба термоупругих стержней. - Тбилиси. Груинский технический университет, сб. трудов межд.симпозиума «Проблемы тонкостенных пространственных конструкции», 4-5.07.01 – С.28-31.
[10] Киквидзе О.Г. Большие перемещения термоупругих стержней при изгибе//
Проблемы машиностроения и надежности машин, РАН. -№1.-2003.-С.49-53
[11] Киквидзе О.Г., Махутов Н.А. Уравнение состояния сплавов с эффектом памяти формы//Проблемы машиностроения и надежности машин, 1996.-№2.-С.51-56.
[12] Киквидзе О.Г., Байсарова Г.Г. Обобщенные геометрические характеристики для расчета лопаток турбин//III International Scientific Conference ENERGY: REGIONAL PROBLEMS AND DEVELOPMENT OPPORTUNITIES 24-25.10.2015 Kutaisi, Georgia
[13] Коновалов А.А. Дифференциальные уравнения для больших перемещений пространственного стержня//Ижевск. Динамика, прочность и долговечность деталей машин. 1974, вып.3. С.3-12.
[14] Лурье А.И. О малых деформациях криволинейных стержней. – Тр. Ленингр.
политехн. института, 1941.-№3.- С.47-54.
[15] Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л., Гостехиздат, 1935.- 674 с.
[16] Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad.- СПб.: БХВ – Петербург, 2004.-512 с.
[17] Макушин Н.Н. Теория упругой линии при продольно – поперечном изгибе/Тр. Моск.мех.-маш.стр.ин-та им. Н.Э.Баумана, вып.56/3, машгиз,1939.
[18] Масленков С.Б., Масленкова Е.А. Стали и сплавы для высоких температур.
Справочник в двух книгах. - М.: Металлургия, книга1/ 1991. - 383с. Книга 2.1991. – 832с.
Жиенбек Сугиров, т.ғ.д., профессор, Ш. Есенов атындағы Каспий технологиялар және инжиниринг университеті, Ақтау, Қазақстан, [email protected]
Гульбану Байсарова, PhD, аға оқытушы, Ш.Есенов атындағы Каспий технологиялар және инжиниринг университеті, Ақтау, Қазақстан, [email protected]
Маржан Суйменова, магистр, аға оқытушы, Ш.Есенов атындағы Каспий технологиялар және инжиниринг университеті, Ақтау, Қазақстан, [email protected]
Айжан Избасар, магистр, аға оқытушы, Ш.Есенов атындағы Каспий технологиялар және инжиниринг университеті, Ақтау, Қазақстан, [email protected]
Балжан Акмурзаева, магистр, оқытушы, Ш.Есенов атындағы Каспий технологиялар және инжиниринг университеті, Ақтау, Қазақстан, [email protected]
ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІКТІҢ НЕГІЗГІ ТЕҢДЕУЛЕРІН ҚҰРУ ҮШІН САНДЫҚ ӘДІСТЕРДІ ҚОЛДАНУ
Аңдатпа. Бірқатар жағдайларда график бойынша анықталатын сипаттамалық теңдеулердің түбірлері мен коэффициенттерін анықтау практикалық есептеулерде қолдануға ыңғайлы емес, осылайша есептеу кезінде компьютерді пайдалану мүмкіндігін шектейді. Бұл жағдайда пайда болатын практикалық мәселелерді шешу үшін сандық әдістерді қолдануға болады. Стационарлық емес жылу режимдері мерзімді немесе уақытша болуы мүмкін. Мерзімді процестерде температураның белгілі бір таралуы біраз уақыттан кейін бірнеше рет қайталанады. Ауысулар бір стационарлық режимнен екіншісіне ауысумен сипатталады. Бұл жағдайда жылу өткізгіштіктің математикалық теориясы негізделген жылу алмасуға қатысатын жылу өткізгіштік мәндерінің арасындағы байланыс. Бұл теңдеудің тұжырымы Фурье Заңына сәйкес келетін энергияның сақталу заңына негізделген. Төрт ұрпақ үшін шекаралық жағдайлар анықталды. Сонымен қатар, барлық төрт жағдайда әртүрлі модификациялар бар.
Модификациялар қоршаған ортаның қол жетімді бөлімдерінің ұштарындағы физикалық жағдайлардың мәндеріне байланысты. Температураның белгілі бір функциясы үш функцияның көбейтіндісі ретінде көрсетілді. Осы үшеуінің әрқайсысы ұзындығы шектеусіз қабырғаға арналған қосымшалар ретінде ұсынылған.
Түйінді сөздер. Жылу өткізгіштік, сандық әдістер, Дифференциалдық теңдеу, коэффициент, шекаралық шарттар.
Dzhienbek Sugirov, doctor of technical sciences, professor, Caspian University of Technology and Engineering named after Sh. Yesenov, Aktau, Kazakhstan, sugirov - [email protected]
Gulbanu Baysarova, PhD, senior lecturer, Caspian University of Technology and Engineering named after Sh. Yesenov, Aktau, Kazakhstan, [email protected]
Marzhan Suimenova, master's degree, senior lecturer, Caspian University of Technology and Engineering named after Sh. Yesenov, Aktau, Kazakhstan, [email protected]
Aizan Izbasar, master's degree, senior lecturer, Caspian University of Technology and Engineering named after Sh. Yesenov, Aktau, Kazakhstan, [email protected]
Balzhan Akmurzayeva, master's degree, teacher, Caspian University of Technology and Engineering named after Sh. Yesenov, Aktau, Kazakhstan, [email protected]
THE USE OF NUMERICAL METHODS FOR THE COMPILATION OF THE BASIC EQUATIONS OF THERMAL CONDUCTIVITY
Abstract. The determination of the roots and coefficients of characteristic equations, which are determined in some cases according to the schedule, are not convenient for use in practical calculations, thereby limiting the possibility of using a computer for calculations. In this case, numerical methods can be used to solve emerging practical problems. Non-stationary thermal modes can be periodic or temporary. In periodic processes, a certain temperature distribution is repeated several times after a while. Transitions are characterized by a transition from one stationary mode to another. In this case, the relationship between the values of thermal conductivity involved in heat exchange, on which the mathematical theory of thermal conductivity is based. The formulation of this equation is based on the law of conservation of energy, which corresponds to the Fourier law. Boundary conditions were revealed for four genera. At the same time, all four conditions contain various modifications. Modifications depend on the values of the physical conditions at the ends of the available media sections. A certain temperature function was shown as a multiplication of three functions. Each of these three was presented as an application for an unlimited length of the wall.
Keywords. Thermal conductivity, numerical methods, differential equation, coefficient, boundary conditions.
****************************************************************************
