51 (075) DOI 10.52167/1609-1817-2023-125-2-254-262

(1)

УДК 51 (075) DOI 10.52167/1609-1817-2023-125-2-254-262 Ж.Т. Джулаева¹ , В. Вуйцик², Г.Б. Кашаганова³, К.О. Тогжанова⁴, Н.Б. Жұмахан⁴

1Академия логистики и транспорта, Алматы, Казахстан

2Люблинский технический университет, Люблин, Польша

3Университет Туран, Алматы, Казахстан

4Алматинский технологический университет, Алматы, Казахстан E-mail: [email protected]

РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА СКОЛЬЗЯЩЕМ ИНТЕРВАЛЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Аннотация. Предложен алгоритм синтеза рекуррентного управления со скользящим интервалом оптимизации, который может быть использован для нахождения движения замкнутой системы управления с небольшим числом циклов оптимизации N.

Получено уравнение для движения замкнутой многомерной дискретной системы в общем нестационарном случае с учетом длины интервала оптимизации и их основных свойств.

Изучается влияние длины скользящего интервала оптимизации на устойчивость одномерных дискретных систем управления.

Основной особенностью систем управления с оптимизацией на скользящем интервале постоянной конечной длины при постоянных значениях параметров объектной модели и функционала установлено, что результирующая система управления с замкнутым контуром имеет параметры, инвариантные во времени, которые зависят только от длины интервала оптимизации N, в отличие от случая, когда конечный интервал оптимизации имеет фиксированный по времени конец.

Ключевые слова. Управление дискретными процессами, оптимизация, скользящий интервал, замкнутая система управления, уравнение движения замкнутой системы.

Введение.

При управлении сложными объектами трудности возникают в тех случаях, когда неизвестна или малоизучена природа протекающих в них процессов, то есть приходится сталкиваться с неполнотой информации об объекте управления. Какая именно стратегия с точки зрения заданного критерия окажется в указанных выше условиях оптимальности существенно зависит от тех ограничений на множестве допустимых стратегий, которые возникают в связи с неполнотой информации. Развитие разных подходов к построению систем управления, осуществляющих оптимизацию процессов управления в условиях неполной информации, представляет особый интерес для автоматизации и повышения эффективности различных производственных процессов, управления автоматизированными технологическими комплексами как составными частями интегрированных автоматизированных производств. Поэтому, разработка эффективных способов оперативного управления и математических моделей управления технологическими объектами в условиях специфической неполноты информации об объекте есть актуальной научной задачей.

Известны работы [1-5], в которых решается задача синтеза управления с оптимизацией прогноза на скользящем интервале при использовании дискретных линейных моделей объекта. Для оптимизации на скользящем интервале прогнозирования используется дискретный аналог принципа максимума Понтрягина, что приводит к решению двухточечной краевой задаче, которая решается с помощью фундаментальной

(2)

матрицы решений. Такой подход создает определенные преимущества при аналитическом исследовании одного класса процессов. В частности, позволяет в явном виде обнаружить зависимость параметров замкнутой системы от числа тактов оптимизации N и исследовать их поведение при

N → 

.

Однако для исследования движения систем управления, которые замыкаются на оптимизации на малом числе тактов N=0, 1, 2..., рассмотренный в литературе [4, 5] подход неудобен, и в этом случае, целесообразно воспользоваться другим методом решения краевой задачи – факторизации, который к тому же лучше приспособлен к исследованию многомерных процессов с помощью компьютеров (ПК).

Материалы и методы.

Как показано в [3], искомое управление может быть найдено из решения краевой задачи для системы линейных разностных уравнений:

, (1)

где y^

k - значения вектора состояния;

- значения вектора возмущений;

- значения вектора управления;

AK, BK, WK – матрицы с данными, которые известны и описывают начальные условия объекта управления;

– фактическое значение вектора состояния в текущий момент n (nNy , Ny = {0,

}, kNn , Nn = {n, n+N}, N  0);

N - будущие дискретные моменты времени;

 



k – управляющее воздействия;

Qk – значения матрицы исходных координат;

Rk - значения матрицы управляющих воздействий;

- объект управления, который в каждый текущий момент дискретного времени n характеризуется m-мерным вектором состояния и r-мерным вектором управления .

Будем искать зависимость между векторами

 

^

и y^

в виде:

+



= −

 

_k

d 

_k

Г

_к

у 

_к ₁

. (2) В уравнении (2) Гк – (m x m) и d_k

– (m x l) искомые матрицы и вектор.

Подставив (2) в (1), исключим y^_k

из системы (1). Это всегда допустимо, потому что (Е + РкГк)  О, к (n, n + N):

( )

 

(

k k

) (

k k k k k k

)

k T k

k k k k T k k k k k k к k

Т к

W Р d

В V Г Р Е Г А

y Q d А d

Г y А Q

Г Р Е Г А

^



 

  + +

+

−

− +

−

=

− + +

−



−

3 1

1 1

. (3)

Так как это условие должно выполняться тождественно при произвольном y_k^ , то оно эквивалентно двум соотношениям:

(3)

 







+ +

+

− +

=

+ +

=

− −

K K K K

К ЗК К

К К Т K

ЗК К K K

К К

К Т К

К К К

d P W

В V Г

Р Е Г А d

Y Q d

А Г

Р Е Г А Г Q



(

) (

1 1

или, учитывая тождество:

( + )

⁻¹

 ( + )

⁻¹

− Г

_к

Е Р

_к

Г

_к

Р

_к

Е Г

_к

Р

_к

Е

^,

представим эти соотношения в эквивалентном виде:

( )

( ) ( ) ( )



 



+ +

− +

+

=

+ +

=

−

− −

k k k k k

k k

T k k k k T

k k k k

T k k k

W В V

Г Р Е Г d А

Р Г Е y А

Q d

А Г Р Е Г Q А

Г

 



 



3 1 1

3 1

1

1 , (4)

которые могут рассматриваться как разностные уравнения в отношении искомых Гк и d_k . Учитывая выражение (2), краевое условие (1) и принимая во внимание то, что условие (3) должно выполняться при произвольном y^_n_+N

, получим начальные условия для уравнения (4):

Г_k₌_n₊_N =O и d_k _n _N O

+ =

= . (5) Подставляя значение (5) в (4) и делая N шагов по рекуррентным формулам, мы получим значение искомых матриц Гк и векторов d_k

.

Прогноз оптимальной траектории движения объекта на всем скользящем интервале прогнозирования можно определить из формулы:

(

k k

) (

k k k k k k k k

)

k

Е Р Г А у В V W Р d

у    



^₊₁

= +

⁻¹ ^

+

₃

+  +

, (6)

где y_k^₌_n = x_n; ; E – единичная матрица.

Прогноз оптимального уравнения определяется по формуле:

Т к к к к

к V R B Г y R B d

V   ₁ 

1 1

3

−

+

−

 = − + . (7) Принимая во внимание то, что траектория оптимальной замкнутой системы имеет порядок соприкосновения с прогнозом оптимальной траектории не ниже первого, т.е.:

= + = _k _n

n y

x 

1 ,

 n  Ny

получим уравнение движения замкнутой системы:

(

n n

) (

n n n n n n n n

)

n

Е Р Г А x В V W Р d

х 

₊₁

= +

⁻¹

 + 

₃

+   + 

, (8) и, принимая во внимание условие замыкания системы, получим закон оптимального управления:

( ) ( )



n n n n n n n n n n n n



T n n n

n T n n n

n T n n n n

d P W

V B x Г A

P Г E

d B R V

d B R Г x

B R V

U      

 



+ +

− +



 +

+

=

− −

+ −

−

3



1 1 3

1 1

1

3 . (9)

(4)

Учитывая выражение (9), уравнение движения замкнутой системы (8) можно представить в эквивалентной форме:

(

1

)

3

1 +

+ = _n + _n _n + _n _n + _n _n − _n _n

n A x B V W P d Г x

x  



   . (10)

При использовании указанного выше способа получения уравнений движения оператор, действующий в замкнутом контуре системы управления, описывается выражением:

( ) (

_n _n

( ) )

_n

n

N E P Г N A

А

₃

 ˆ +

⁻¹ . (11) Таким образом мы получили оператор в "мультипликативной" форме, т.е. оператор замкнутого контура выходит, как результат умножения оператора

( E + P

_n

Г

_n

( ) N )

⁻¹ на оператор объекта A_n.

Также получен оператор замкнутого контура в “аддитивной” форме, т.е. оператор получился как результат добавления оператора

(

P_nK_n

( )

N

)

к оператору объекта A_n.

Установим связь между ними:

( )

_n ^ _n

( )

_n₊₁

n N x Г N x

K  

или

А

₃_n

( ) N  ( A

_n

− P

_n

K

_n

( ) N )  ( E + P

_n

Г

_n

( ) N )

⁻¹

A

_n, (12)

откуда следует, что матрицы ^K_n

( ) ( )

^N ^,^Г_n ^N ^,^P_n^иА_n удовлетворяют тождеству:

( ) ( ) ( ) ( )

(

K N Г N P K N Г N A

)

O

P_n _n + _n _n _n − _n _n  , (12) а матрицы K_n

( ) ( )

N ,Г_n N ,P_nиА₃_n

( )

N - тождеству P_n

(

K_n

( )

N −Г_n

( ) ( )

N A₃_n N

)

O.

Если P_n 0, то K_n

( )

N  Г_n

( ) ( )

N А₃_n N .

Если P_n 0 и Г_n

( )

N 0, то A₃_n

( )

N  Г_n⁻¹

( ) ( )

N K_n N . Таким образом, вычисление Г_к и d_k

по рекуррентным формулам (4) при начальных условиях (5) позволяет определить все необходимые параметры системы управления с оптимизацией прогноза на скользящем интервале.

Результаты и обсуждения.

Управления с оптимизацией прогноза при малом количестве тактов скользящего интервала. Если "аддитивную" форму оператора

(

P_nK_n

( )

N

)

замкнутого контура целесообразно использовать при изучении асимптотического поведения системы, то

"мультипликативную" форму

( E + P

_n

Г

_n

( ) N )

⁻¹ удобно использовать для изучения поведения системы управления при малых числах N.

Например, используя уравнения (4) и начальные условия (5), при N=0 получим:

( ) ( ) ( )

( )

n

n n

n

V O U

O O d

А О А

О Г

3

;

; 0



=



(13)

(5)

Уравнение движения системы при N=0 описывается выражением:

n n n n n

n

A x B V W

x 

₊₁

=  + 

₃

+  

. (14) Таким образом:

1) При числе тактов оптимизации N = 0 система разомкнута и движется под действием внешних возмущений и заданного желаемого значения управляющего воздействия.

2) При N=1:

. (15) Уравнение движения системы при N=1 имеет вид:

(

n n

) (

n n n n n n n n n

)

n

Е Р Q А x В V P Q y W

х 

₊₁

= +

₊₁ ⁻¹

 + 

₃

+

₊₁



₃ ₊₁

+  

, (16) или в эквивалентной форме:

(

₃ ₁ ₁

)

1 3

1 + + +

+

=

_n _n

+

_n _n

+

_n _n

+

_n _n _n

−

_n

n

A x B V W P Q y x

x       

.

Таким образом, при оптимизации прогноза всего лишь на один такт вперед, в управляющем воздействии появляется корректирующий сигнал прямо пропорциональный ошибке на будущем такте

(

y₃_n₊₁ ⁻x_n₊₁

)

с коэффициентом пропорциональности

1

1 +

−

n T n n nR B Q

B , что зависит от эффективности управляющего воздействия B_n и его ценности R_n в текущий момент времени, а также от ценности ошибки Q_n₊₁ на следующем (будущем) такте.

Изменение параметров функционала оказывает существенное влияние на коэффициенты усиления замкнутого контура, а также на движение всей управляющей системы (16).

Таким образом, оптимизация прогноза на один такт вперед обеспечивает замыкание системы управления из-за ошибки на будущем такте.

3) При N=2:

( ) ( )

( )  ( ( ( ) ) 

( ) ( ) ( ) ( )

( )  ( ) ( ) ( )

( ) ( )















+ +

−

− +

− + +

− +

=

+ +

− +

+

=

+ +

+

=

+ +

=

+ + + +

− + + +

+

− + + +

+ +

− + + +

+ + +

−



+ + + +

− + + +

+ + +

− + + +

+ +

− +

− + + +

+ +

+

− + + +

+ +

1 1 1 3 1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

2 3 2 1 1 2 1

1 1 3 1 1

3

1 1 1 3 1 1 2 1 2

1 2 3 2 1 1 2 1

1 3 1

1 1 1 2 1 2

1 1 3

1 1 2 1 2

1 1

2

; 2

n n n n n

n n

n n n n

n n n T n

n n n n T n n n n

n n n n n

n n

T n n n n n T

n n n n

n n

n n n

T n n n n

n n n n

T n n n

W V

B Q

P E Q

x Q P E Q y

Q P Q A E

x y Q B R V U

W V

B Q

P E Q A y

Q P Q E A y Q d

А A

Q P E Q A Q P А E

A Q P E А Q

Г Q



 



 



 



 

Уравнение движения системы при N=2 имеет вид:

( )

  ( ( ) )

( )

^^

















+ +

+



 +

−

− +

+ +

=

+ +

− + + +

+ + +

+ +

+

− + + +

− + +

− + + +

+ +

+

2 3 2 1 1 2 1

1 3 1 1

1 1

3 1

1 2 1 2

1 3 1

1 1 2 1 2

1 1

1

n n n

n T

n n

n n n n

n n

n

n n n

T n n

n n n n n n

n n

T n n n n n

y Q P Q А E

P

y Q P W

V B

Q P E А Q

P

W V B x A A

Q P E А Q

P Q P х E



 





(6)

или в эквивалентном виде:

( )

( ) ( )

_^^













+ +

−

− +

−

− +

+

− +

+ +

=

+ + + +

− + + +

+

− + + +

+ +

− + + +

+ + + +

1 1 1 3 1 1 2 1 2

1 1 2 1 2

2 3 2 1 1 2

1 1

1 3 1 3

1

n n n n n n n

n n n n

n n n n T

n n n n n n n n n n n n

W V B Q P E Q

x Q P E Q

y Q P Q E A P x y Q P W V B x A x



 



 



. Таким образом, при оптимизации прогноза на два такта вперед управляющее влияние состоит из двух слагаемых: U_n

( )

2 =U_n

( )

1 +U_n^

( )

2

, первое из которых U_n

( )

1 совпадает с управлением, полученным при оптимизации всего лишь на один такт вперед, а второе слагаемое:

( )  ( ) ( ) (

1 1 3 1 1 1

) 

1 2 1 2

2 3 2 1 1 2 1

ˆ 1

2 ⁻ ₊ ₊ ₊ ⁻ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ⁻ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊

  _n _n^T _n^T + _n _n _n _n − _n + _n _n _n + _n _n + _n _n

n R B A E Q P Q y Q E P Q x B V W

U ^ ^ ^ ^ , (17)

корректирует управляющее влияние с учетом будущих переменных значений:

1 2 3 1 1

3_n₊

,

_n₊

, y

_n₊

и x

_n₊

V    



. (18) При исследовании одномерного процесса на два такта вперед член U_n^

( )

2 существенно изменяет управляющее воздействие и вид движения замкнутой системы управления.

Управление дискретными процессами с моделями предсказания. Необходимость управлять указанными выше процессами с оптимизацией прогноза на скользящем интервале обычно возникает в тех случаях, когда в функционал оптимизации входят задающие и внешние воздействия, измерения которых возможны только на ограниченном скользящем интервале вперед.

Такие задачи часто возникают, когда, например, необходимо управлять подвижными объектами под водой, на земле, в воздухе или в космосе вблизи неизвестных поверхностей в условиях ограниченной видимости, технологическими процессами с неполной информативностью из-за непредсказуемых и неконтролируемых изменений характеристик сырья [6 - 11].

Или, когда из вычислительных пониманий выгодно заменять нахождение решения на бесконечном интервале повторными вычислениями на скользящем интервале постоянной длины [3, 4].

Рассмотрим полностью управляемый объект, характеризующийся m – мерным вектором состояния

x 

и r – мерным вектором входов

u 

. На него действует измеряемое препятствие W



^_n, исчезающее на бесконечности, т.е. _O

k k

 

→



→ 

lim ^.

Пусть свойства объекта таковы, что на N тактов вперед его траектория в фазовом пространстве может быть представлена решением системы линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами:







+



=

+ +

=

= +

N n k n x y

W В V

у А у

n n k

k k k

к к к к

,

1 



 





. (19)

Критерий качества, определенный на всем интервале прогнозирования, возможен в виде:

  

⁺

 ( ) ( ) ( ) ( ) 

=

−

− +

−

 ⁿ ^N

n k

k k k k k

k T k k

k y y Q y y V V RV V

ФV        

3 3

3

2 3

ˆ 1 ^{, (20)}

где Q0, R  0.

(7)

Структурная схема замкнутой системы управления, эквивалентной уравнению с оптимизацией прогноза на скользящем интервале, приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Структурная схема замкнутой системы управления, эквивалентной уравнению с оптимизацией прогноза на скользящем интервале: ОУ – объект управления,

ОП – оптимизатор замкнутого контура

Таким образом, возможность для данного класса процессов представить фундаментальную матрицу в виде (35) позволяет установить явный вид зависимости всех интересующих нас переменных от числа тактов оптимизации N, что открывает широкие возможности для их анализа.

Основная особенность систем управления с оптимизацией на скользящем интервале постоянной конечной длины при постоянных значениях параметров модели объекта и функционала заключается в том, что получаемая при этом замкнутая система управления имеет параметры, инвариантные во времени, которые зависят только от длины интервала оптимизации N, в отличии от случая, когда конечный интервал оптимизации имеет фиксированный по времени конец.

Заключение.

Предложен рекуррентный алгоритм синтеза управления со скользящим интервалом оптимизации, который может применятся для нахождения движения замкнутой системы при малом числе тактов оптимизации N. Выведено уравнение движения замкнутой многомерной дискретной системы в общем нестационарном случае, учитывающее длину интервала оптимизации и их основные свойства. Подробно исследовано влияние длины скользящего интервала оптимизации на устойчивость одномерных дискретных систем управления.

Главная особенность систем с оптимизацией на скользящем интервале постоянной конечной длины при постоянных значениях параметров модели объекта и функционала заключается в том, что получаемая при этом замкнутая система управления имеет параметры, инвариантные во времени, зависящие только от длины интервала оптимизации N, в отличии от случая, когда конечный интервал оптимизации имеет фиксированный во времени конец. Это позволяет получить уравнение движения замкнутой многомерной системы в общем нестационарном случае с учетом длины скользящего интервала оптимизации.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Saidmamatov, A. T. (2022). Theory of Optimal Design of Construction. Eurasian Journal of Engineering and Technology, 11, 43-48. Retrieved from https://www.geniusjournals.org/index.php/ejet/article/view/2325

[2] Balashevich, N. V., Gabasov, R., & Kirillova, F. M. (2000). Numerical methods for open-loop and closed-loop optimization of linear control systems. Computational mathematics

(8)

and mathematical physics, 40 (6), 799-819.

https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type=pdf&doi=01ad974672970347830ad2f0 8083b520fc10c5ec

[3] Pontryagin, L. S. Selected Works: The Mathematical Theory of Optimal Processes, 2018. DOI: https://doi.org/10.1201/9780203749319.

[4] Pandey, A. P., & de Oliveira, M. C. (2019). Discrete-time H∞ control of linear parameter-varying systems. International Journal of Control, 92(12), 2750-2760. DOI:

https://doi.org/10.1080/00207179.2018.1459855

[5] Chang, X., Liu, R., & Park, J. H. (2019). A Further Study on Output Feedback H∞

Control for Discrete-Time Systems, IEEETransactions on Circuits and Systems II: Express Briefs. Early Access.

[6] Isufi, E., Loukas, A., Perraudin, N., & Leus, G. (2019). Forecasting time series with varma recursions on graphs. IEEE Transactions on Signal Processing, 67(18), 4870-4885.

Dyatlov S., Zworski M. Mathematical theory of scattering resonances. – American Mathematical Soc., 2019. – Т. 200. DOI: 10.1109/TSP.2019.2929930

[7] Zhang, F. (2011). Matrix theory: basic results and techniques (pp. 199-245). New York: Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4614-1099-7

[8] Ghaemi, M. B., Gharakhanlu, N., Rassias, T. M., & Saadati, R. (2021). Advances in Matrix Inequalities. Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-030-76047-2

[9] Vasilevskyi, O., Kulakov, P., Kompanets, D., Lysenko, O. M., Prysyazhnyuk, V., Wójcik, W., & Baitussupov, D. (2018, October). A new approach to assessing the dynamic uncertainty of measuring devices. In Photonics Applications in Astronomy, Communications, Industry, and High-Energy Physics Experiments 2018 (Vol. 10808, pp. 728-735). SPIE.

https://doi.org/10.1117/12.2501578

[10] Antipov, A. S., Krasnov, D. V., & Utkin, A. V. (2019). Decomposition synthesis of the control system of electromechanical objects in conditions of incomplete information. Mechanics of Solids, 54, 669-682. https://doi.org/10.3103/S0025654419050042

[11] Aliev, F. A., Aliev, N. A., Velieva, N. I., & Safarova, N. A. (2020). Larin Parameterization to Solve the Problem of Analytical Construction of the Optimal Regulator of Oscillatory Systems with Liquid Dampers. Journal of Applied and Computational Mechanics, 6(Special Issue), 1426-1430. https://doi.org/10.22055/JACM.2020.34950.2548

Жазира Джулаева, докторант, Логистика және көлік академиясы, Алматы, Қазақстан, [email protected]

Вальдемар Вуйцик, т.ғ.д., профессор, Люблин политехникалық университеті, Люблин, Poland, [email protected]

Гулжан Кашаганова, PhD, Логистика және көлік академиясы, Алматы, Қазақстан, [email protected]

Күлжан Тогжанова, PhD, доцент, Алматы технологиялық университеті, Алматы, Қазақстан, [email protected]

Нұржан Жұмахан, магистр, асистент оқытушы, Алматы технологиялық университеті, Алматы, Қазақстан, [email protected]

ЖЫЛЖЫМАЛЫ БОЛЖАУ АРАЛЫҒЫНДАҒЫ БАСҚАРУ ЖҮЙЕЛЕРІН ОҢТАЙЛАНДЫРУДЫҢ ҚАЙТАЛАНАТЫН АЛГОРИТМІ

Аңдатпа. Оңтайландыру интервалының ұзындығын және олардың негізгі қасиеттерін ескере отырып, жалпы стационарлық емес жағдайда жабық көпөлшемді дискретті жүйенің қозғалысы үшін теңдеу алынды. Оңтайландырудың жылжымалы

(9)

интервалының ұзындығының бір өлшемді дискретті басқару жүйелерінің тұрақтылығына әсері зерттелуде.

Объектілік модель мен функционал параметрлерінің тұрақты мәндерінде тұрақты ақырлы ұзындықтың жылжымалы интервалында оңтайландырылған басқару жүйелерінің негізгі ерекшелігі нәтижесінде алынған тұйық тізбекті басқару жүйесінде уақыт бойынша инвариантты параметрлер бар екендігі анықталды, олар тек N оңтайландыру интервалының ұзындығына тәуелді болады.

Түйінді сөздер. Дискретті процестерді басқару, оңтайландыру, жылжымалы аралық, тұйықталған басқару жүйесі, тұйықталған жүйенің қозғалыс теңдеуі.

Zhazira Dzhulaeva, doctoral student, Academy of logistics and transport, Almaty, Kazakhstan, [email protected]

Waldemar Wojcik, doctor of technical sciences, professor, Politechnika Lubelska, Lubelska, Poland, [email protected]

Gulzhan Kashaganovа, PhD, Academy of logistics and transport, Almaty, Kazakhstan, [email protected]

Kulzhan Togzhanova, PhD, docent, Almaty Technological University, Almaty, Kazakhstan, [email protected]

Nurzhan Zhumakhan, master, аssistant lecturer, Almaty Technological University, Almaty, Kazakhstan, [email protected]

RECURRENT ALGORITHM FOR OPTIMIZING CONTROL SYSTEMS ON A SLIDING PREDICTION INTERVAL

Annotation. A recurrent control synthesis algorithm with a sliding optimization interval is proposed, which can be used to find the motion of a closed control system with a small number of optimization cycles N. An equation for the motion of a closed multidimensional discrete system in the general nonstationary case is derived, taking into account the length of the optimization interval and their main properties. The influence of the length of the sliding optimization interval on the stability of one-dimensional discrete control systems is studied.

The main feature of control systems with optimization on a sliding interval of constant finite length with constant values of the parameters of the object model and the functional is established that the resulting closed-loop control system has parameters that are invariant in time, which depend only on the length of the optimization interval N, in contrast to from the case when the final optimization interval has a time-fixed end.

Keywords. Discrete process control, optimization, sliding interval, closed control system, equation of motion of a closed system.

*****************************************************************************