Устойчивость многослойной пластины

(1)

УДК 539.3

УСТОЙЧИВОСТЬ МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ

К. К. Коксалов¹, А. А. Баймухаметов²

1Казахский национальный педагогический университет, E-mail: kkapal@mail.ru, ул. Толе би, 86, 050012, г. Алматы, Казахстан

2Институт механики и машиноведения МОН РК,

E-mail: abayab@mail.ru, ул. Курмангазы, 29, 050010, г. Алматы, Казахстан

Исследуется устойчивость многослойной пластины, состоящей из жестких и мягких слоев.

Жесткие слои, обладающие изгибной жесткостью, воспринимают краевые усилия, а мягкие слои выполняют роль связей между ними и работают на поперечный сдвиг и обжатие. Ис- пользуя принцип сглаживания, конечные разности для перемещений в выражениях деформа- ций заменены соответствующими дифференциалами и получены приближенные уравнения устойчивости в частных производных. Найдена формула для критического усилия.

Деформация, пластина, напряжение, устойчивость

STABILITY OF A SANDWICH PLATE

K. K. Koksalov¹, A. A. Baimukhametov²

1Kazakh National Pedagogical University,

E-mail: kkapal@mail.ru, 86 Tole bi St, 050012 Almaty, Republic of Kazakhstan

2Institute of Mechanics and Machine Engineering, RK Ministry of Education and Science, E-mail: abayab@mail.ru, 29 Kurmangazy St, 050010 Almaty, Republic of Kazakhstan

Under analysis is the stability of a sandwich plate composed of stiff and soft layers. The stiff layers with exceedignly high flexural rigidity undertake boundary forces while the soft layers being the links of the stiff layers work in transverse shift and compression. Using a smoothing principle, finite differences for displacements in the expressions of strains are replaced by the relevant differentails, and the approximated euqations of stability are derived in terms of partial derivatives. The critical force formula is found.

Deformation, plate, stress, stability

В работе [1] выведены уравнения устойчивости многослойной пластины в условиях плоской деформации при двустороннем сжатии:

, 0 ,

0

12 2 2 2 3 1 2 2 2 2 1 2

1 1 2 2 4 1 1 4

1 1 2 12 2 2 2 4 1 2

∂ = + ∂

∂

− ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ +∂

∂

− ∂

∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ + ∂

∂

x K w z K w x

w z

x K u x

w

z x

w z

K u x

u

(1)

где

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

1

)

^,

, 1 1

12

1 , 1 , 12

1 1 12

1 12 2 2

2 4 1 2

12 32

1 3

12 2 2

3 2 1

12 2 2

1

ρ

− ρ

= − ρ =

= −

ρ

− ρ

= − ρ

− ρ

= −

E v K G

P E K

P K v

E

v K E

E

v K G

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ ГОРНЫХ НАУК № 2, 2015

(2)

( )

2 2 2 2

2 1 1

2 1

1 , 2

, v

v E G

h h h h h

−

= − +

=

ρ — трансверсальный модуль, G2 — модуль сдвига, v2 — коэффициент Пуассона, h2 — толщина мягкого слоя; E1 — модуль упругости, h1 — толщина жесткого слоя; u w

h z z h

x1 = x, 1= ; , — горизонтальные и вертикальные перемещения; P= ph₁ — краевое давление.

Определим решения уравнений (1) при граничных условиях:

,

=0

w ₂ 0

1

2 =

∂

∂ x

w при x₁ =0,

h x₁ = b,

,

=0

w 0

1 1

∂ = + ∂

∂

∂ x w z

u при z₁ =0, (2)

, 0

1

∂ =

∂ z

w 0

1 1

∂ = + ∂

∂

∂ x w z

u при

h z₁ = H , где b — длина; H — толщина пластины.

Для определения критического усилия исследуем нетривиальные решения системы уравнений (1) при граничных условиях (2). Введем функцию перемещений ^Φ

(

^x₁^,^z₁

)

по формулам:

( )

1 1 2 2 4 1

1,

z K x

z x

u ∂ ∂

Φ

− ∂

= ,

( )

₂

1 2 42 12 2 1 1,

K z z x

x

w ∂

Φ + ∂

∂ Φ

= ∂ . (3)

При этом первое уравнение системы (1) обращается в тождество а второе уравнение принимает вид

( ) ( )

₄ ⁰^.

1 4 22 42 12 12

4 22 32 42 14 4 12 32 12 14

6 42 16

6 =

∂ Φ

− ∂

∂

∂ Φ

− ∂

∂ + Φ

− ∂

∂ +

∂ Φ + ∂

∂ Φ

∂

K z z K

K x K x K

K z K

K x

x (4)

Запишем граничные условия:

2 0

1 2 2 2 4 1

2 =

∂ Φ + ∂

∂ Φ

∂

K z

x , ₂ 0

2 1 1 2 4 4 4 1

4 =

∂

∂ Φ + ∂

∂ Φ

∂

z K x

x ,

0

2 1 1

3 =

∂

∂ Φ

∂ z

x при x₁ =0,

h

x₁ = b, (5)

,

2 0

1 2 42 12

2 =

∂ Φ + ∂

∂ Φ

∂

K z

x ₃ 0

1

3 =

∂ Φ

∂

x при z₁ =0, ,

3 0

1 2 3 4 2 1

1

3 =

∂ Φ + ∂

∂

∂ Φ

∂

K z z

x ₃ 0

1

3 =

∂ Φ

∂

x при r h

z₁ = H = . (6)

Граничные условиия (5) будут удовлетворены и переменные разделяются, если решение уравнения (4) будем искать в виде

(

^x₁^,^z₁

)

⁼^Ψ

( )

^z₁ ^sin^mx₁^,

Φ (7)

где π −

= b

m nh безразмерное волновое число.

Подставляя (7) в уравнение (4), получим

( ) ( ) (

2

) ^{( )}

1 ⁰^.

3 2 1 2 2 2

4 1

2 2 3 2 2 2 2

1 2 ⎟⎟⎠Ψ + + − Ψ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

−

Ψ m K K z

K K z m K K

m K K

z m ^II

IV (8)

(3)

Граничные условия (4) имеют вид:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0,

( )

0. , 0 0 , 0 0 0

2 4 2

= Ψ

= Ψ ′′′

+ Ψ′

−

= Ψ

= Ψ + Ψ

−

r r

K r m

K

m ^II

(9)

Решение уравнения (8) ищем в виде

Ψ

( )

z1 =Cexp

( )

λz1 . (10)

Подставляя (10) в уравнение (8), получим характеристическое уравнение

(

2 3²

)

⁰

2 1 42 22 2 4 32 2 42 22 22

4 2 ⎟⎟⎠λ + + − =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

−

λ m K K

K K K m

K m K K

m . (11)

Уравнение (11) имеет четыре корня:

1 2 , 1 =±τ

λ , λ3,4 =±τ2, где

42 22 12 2 2 32 42 22 32

42 22 2 2 2

, 1

4

2 K

K m K

K K K K

K m K K

m ⎟⎟⎠ −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟⎟±

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

τ .

Запишем общее решение уравнения (8):

( )

z1 =C1chτ1z1+C2shτ1z1+C3shτ2z1+C4shτ2z1

Ψ , (12)

где C₁,C₂,C₃,C₄ −произвольные постоянные.

Подставляя общее решение (12) в граничные условия (9), получим C₁ =C₃ =0, а относительно C₂,C₄ имеем систему уравнений

( ) ( )

. 0

, 0

2 4 1 2

2 2 2

2 4 2 4 2 1

2 1 2 4 1 2

= τ + τ

= τ τ

− τ + τ τ

− τ

r sh C r sh C

r ch K m C r ch K m

C (13)

Из условия существования ненулевого решения системы (13) находим уравнение

( ) (

2

)

2 1 ⁰

2 4 2 1 1 2 2 1

2 4 2 2

2 −τ τ τ −τ −τ τ τ =

τ m K sh rch r m K sh rch r ,

или

(

² ¹² ⁴²

) (

² ² ² ²² ⁴²

)

⁰

1

1 =

τ

− τ

− τ τ

− τ

τ

K m

r th K

m r

th . (14)

Функция перемещений Φ

(

x1,z1

)

, определенная с точностью до одного произвольного параметра l, имеет вид

(

x1,z1

) (

=l shτ1rshτ2z1−shτ2rshτ1z1

)

sinmx1

Φ . (15)

Подставляя (15) в (3), определим выражение для перемещений:

( ) ( )

(

¹^,^, ¹

) [ (

² ¹¹² ²⁴²

)

¹²¹ ¹²¹

(

¹ ² ² ²²¹ ^cos⁴²

)

¹¹^, ² ¹

]

^sin ¹^.

42 1

1

mx z

rsh sh K m

z rsh sh K m

l z x w

mx z

rch sh z

rch sh lmK z

x u

τ τ τ

−

− τ τ τ

−

=

τ τ τ

− τ τ τ

= (16)

Рассмотрим приближенное решение данной задачи. Пренебрегая горизонтальными перемещениями по сравнению с нормальными, получим уравнение нейтрального равновесия [2]:

( )

₂ ⁰

1 2 2 2 2 1 2 2 2 3 4 1 1

4 =

∂

− ∂

∂

− ∂

∂ −

∂

z K w x K w x K

w . (17)

Граничные условия:

(4)

0 ,

0 ₂

1

2 =

∂

= ∂ x

w w при x₁ =0,

h x₁ = b,

=0

w при z₁ =0, 0

1

∂ =

∂ z

w при r h

z₁ = H = . (18) Решение уравнения (17) будем искать в виде

(

x1,z1

)

lsinkz1sinmx1

w = , (19)

где ; —

2 l

H

k = πh параметр прогиба.

Подставляя (19) в уравнение (17), получим формулу

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= 1₂ ² ₁² ² ₂²² m

K K k

K m

P . (20)

Для того чтобы найти критическое усилие, надо положить в (10) b m= πh. Тогда

(

^ρ⁻

)

⁺^ρ

⁽

⁻^ρ

⁾

^⎜⎜_⎝^⎛ ⁺

⁽ ⁽

⁻⁻

⁾ ⁾

^⎟⎟_⎠^⎞

=

2 2 2 2 2

12 2 1 2

2 1 1 1 2 1 1

12 m v

k v G

v m

Pkp E . (21)

Критическое усилие (21) принимает минимальное значение при

( ) ( )

14 3

2 2 1

12 2 2 2

1 2

1

1 1

6 ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

ρ

− ρ

−

= π

α E v r

v v

G ,

равное

( ) ( )

(

1

) (

1 2

)(

1

)

^.

6

1 1

12

2 2 1

min 2 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

ρ

−

− ρ +π

ρ

−

=ρ

v v

v G E r

Pkp G (22)

Подставляя значение K₃² из (20) в характеристическое уравнение (11), убеждаемся, что корни уравнения λ1,2 =±τ1— действительные, а λ3,4 =±τ2i — мнимые, где

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

±

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

=

τ ₂ ₃²

4 22 2 42

22 12 2 32 2 42 22

2 2

, 1

4

2 K

K m K K

K K K

K m K K

m .

Отсюда имеем

. 4 ,

32 42 22 2 22 2 2 2 2 1

42 22 12 32

2 42 22 22 2 2 2 2 1

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

= τ

− τ

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= τ + τ

K K m K K m

K K K K

K m K K m

(23)

Исключая из этих уравнений K₃², получим

22 12 2 42 2 22 22 12 2 42 12

K K m K m m

K τ τ −τ = − +

τ . (24)

Уравнение (24) имеет вид

(5)

(

² ²² ⁴²

) (

¹ ² ¹¹² ⁴²

)

2

K m

thr K

m thr

τ

− τ

= τ τ + τ

τ . (25)

Из уравнения (24) определим значение критического усилия

( )

_⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + − τ −τ

= ₂ ²₂² ₁² ²₂

4 22 2 2

1

m K K m K

P_kp K . (26)

Величины τ₁ и τ₂ находим из системы уравнений (24), (25).

ВЫВОДЫ

Получены приближенные уравнения устойчивости в частных производных.

Найдена формула для критического усилия.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коксалов К. К. Уравнение устойчивости слоистых пластин регулярного строения // Вестн. КазНПУ.

Сер. физ.-мат. — 2013. — № 1.

2. Коксалов К. К. Устойчивость эллипсоидальной литосферной оболочки. — Алматы: РИО ВАК РК, 1999.

Устойчивость многослойной пластины

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

( ) ( ) (

) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( ) ( )

( ) (

)

(

) (

)

(

)

(

) (

)

( ) ( )

(

) [ (

)

(

)

]

( )

(

)

(

)

(

)

( (

) )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

(

) (

)(

)

(

) (

)

( )

) ^{( )}

⁽

⁾

⁽ ⁽

⁾ ⁾