Шешілімді және нильпотентті ли алгебралары

(1)

1128

 

²²² ² ² ^² ²^ ²

2 2 2

2

1 1

, ( ) ( )

q p q p p

q n p q q

q q q n

n T x x dx M T x x x dx

T 







 









 



 



 





 





 . (9)

Егер  0 болса, онда x^^^q²^^p²^^^^q²^^p²^. Сондықтан

   

)

( ²

2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

, 1

q p

n p q

p q q

p q p p

n x x x dx T

T 

 



  ^



  

 







. (10)

(8)-(10)теңсіздіктерінен

 



 

 , ,

1 1 2 1 2 1 1

, ₁ ₂

2 2 2 1 2

2 n p p

q p p p p

n q C n T

T   ^^

 



 



















 



 . (11)

(5)-(11) теңсіздіктерінен T_nΓ_n p₂ q₂,  0_үшін

 









 ^^

















 



 



 





 ₁, ₂, ₂ 1,

, , 2 1

2 1 , 1 1 max 1 1

, ₁ ₂

2 1 2

2 2

2

q p p T

n C

T n p p

p p q

p p

n q 



 



теңсіздігі орындалады. Теорема дәлелденді.

Е с к е р т у. Егер  0 болса, онда 3- лемма, 1- теорема [5] мақалада дәлелденген.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Бари Н.К. Обобщение неравенств С.Н. Бернштейна и А.А. Маркова // Изв. АН СССР.

Сер. матем., 1954, Т. 18, № 2, С. 159–176.

2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменнных и теоремы вложения. – М., Наука, 1969, 133 с.

3. Смаилов Е.С. О влиянии геометрических свойств спектра многочлена на неравенства разных метрик С.М. Никольского. // Сиб. мат. ж., 1998, Т. 39, № 5, С. 1157 – 1163.

4. Нурсултанов Е.Д. Неравенства разных метрик С.М. Никольского и свойства последовательности норм сумм Фурье функции из пространства Лоренца // Труды математического института им. В.А. Стеклова РАН, 2006, Т. 255, С. 1-18.

5. Козко А.И. Аналоги неравенств Джексона-Никольского для тригонометрических полиномов в пространствах с несимметричной нормой // Мат. заметки, 1997, Т. 61, №5, С.

687 – 689.

6. Стечкин С.Б. Обобщение некоторых неравенств С.Н. Бернштейна // Докл. АН СССР.

1948, Т. 60, № 9, С. 1511-1514.

УДК 512.55

ШЕШІЛІМДІ ЖӘНЕ НИЛЬПОТЕНТТІ ЛИ АЛГЕБРАЛАРЫ Айтжанова Бахыт Зияддиновна

[email protected]

Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университеті

Механика-математика факультетінің 4-курс студенті, Астана, Қазақстан Ғылыми жетекшісі – PhD А.С. Науразбекова

Анықтама 1. ^F - қандай да бір ӛріс болсын. L сызықты кеңістік Ли алгебрасы деп аталады, егер келесі тепе-теңдіктер орындалса

0 ] ,

[x x  ,xL (1)

(2)

1129

 



x, y,z







y,

 

z,x







z,

 

x,y



0, x,y,zL. (Якоби тепе-теңдігі) (2) gl(V) – V кеңістігінің барлық сызықтық бейнелеулерінің жиыны.

Анықтама 2. gl(V) сызықтық кеңістігінде Ли жақшасын келесі түрде анықтасақ

 

x,y :xyyx, x,ygl

 

V ,

мұндағы



- бейнелеулердің композициясы. Онда ^gl

 

^V ^,



^, Ли алгебрасы болады [1] және жалпы сызықтық алгебра деп аталады.

Анықтама 3.^L- Ли алгебрасы болсын, онда келесі гомоморфизмді аджоинт (adjoint) гомоморфизм [2] деп атаймыз

 

L gl L

ad:  ,



adx

 

y :

 

x,y , x,yL. Келесі белгілеулерді енгізейік:

 ¹ L [L,L]

L   және k2үшін L^{ }^k [L^^k^¹^,L^^k^¹^], ]

,

1 [

L L L

L   және k2үшін L^k [L,L^k^¹].

Анықтама 4. Егер қандай да бір натурал m үшін ^L^{ }^m ^⁰болса, онда L Ли алгебрасы шешілімді деп аталады.

Анықтама 5. L Ли алгебрасы нильпотентті деп аталады, егер қандай да бір натурал m үшін ^L^m ^⁰ болса.

L Ли алгебрасы, adL – gl(L) алгебрасының ішкі алгебрасы болсын.

Келесі белгілеулерді енгізейік:

 

^x₁ ^^adL^,

 онда 

 

^x₁ ^^adx₁^,



x1^,x2

  

 adL ^{ }¹ ^,

 мұндағы 



x1,x2









   

x1 , x2

 

 adx1,adx2



,



^x₁^,^x₂^,^x₃^,^x₄

  

 ^adL^{ }² ^,



x1,x2,x3,x4











x1,x2

 

, x3,x4

  





adx1,adx2

 

, adx3,adx4

 

,



x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈

  

 adL ^{ }³,



x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈





   



x1^,x2^,x3^,x4 ^, x1^,x2^,x3^,x4

 



 

adx1^,adx2

 

^, adx3^,adx4

  

^,



adx5^,adx6

 

^, adx7^,adx8

  

^,

  

Дәл сол сияқты



1^, 2^,..., ₂

 ^{ }

^{ }^,

adL k

x x

x k 

 мұндағы



^x1,^x2,...,^x2^k

 

[ ^x1,...,^x₂^k^1

 

, ^x₂^k^1₁,...,^x₂^k



 ,



₁,..., ₂ 1

 

, ₂ 1 ₁,..., ₂

  

^ ¹^.



 



adL k

x x

x

x k  k k



Егер 



^x1,^x2,...,^x₂^k



жазылуында барлық ―ad” деген сӛзді алып тастасақ, онда біз L^{ }^k алгебрасының элементін аламыз, оны 



^x1,^x2,...,^x₂^k



арқылы белгілейміз, яғни



x1^,x2







x1^,x2



^,





^x₁^,^x₂^,^x₃^,^x₄



^







^x₁^,^x₂

 

^, ^x₃^,^x₄

 

^

 

^x₁^,^x₂

 

^, ^x₃^,^x₄

 

^,



       

   

       



, , , , , , ,



,

, , , , , , , ,

, , , , , ,

8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1 8

7 6 5 4 3 2 1

x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x



  



Дәл сол сияқты 



x1^,x2^,...,x2^k

 





 x1^,...,x₂^k¹

 

^, x₂^k¹_₁^,...,x₂^k

 

^.

Лемма 1. L – Ли алгебрасы, adL – gl(L)-дың ішкі алгебрасы болсын.

Онда



x1^,x2^,...,x2k

  

y ^[



x1^,x2^,...,x₂k



^,y^],

 

мұндағы, 



x₁,x₂,...,x₂k





 

adL ^{ }^k , 



^x1,^x2,...,^x₂^k



^^L^{ }^k .

Дәлелдеуі. k бойынша индукция жүргізейік. k=1 болғанда, лемма орындалады. Шынында да,

                    

 



1^,^, 2^,

 

2^,



^,1^,

  

1^,



2^,

  

2^,



^, 1

   

1^, 2



^,



^, ^, ^,

1 2 2

1 1

2 2

1 2

1

y x x x

y x y x x y x x y x x

y x adx y

x adx y

adx adx y

x x



















  



Якоби тепе-теңдігі бойынша, 



x₁,x₂

 

y [[x₁,x₂],y][



x₁,x₂



,y].

(3)

1130

Лемманың шарты k-1 үшін орындалады деп ұйғарайық.Онда индукцияның ұйғарымы бойынша:

         

       

  ^{ }

           

   

^

   

^















]]

, ,..., [

]]

, ,..., [

] , ,..., [

,..., ]

, ,..., [

,...,

,..., ,...,

,..., ,

,..., ,...,

,

1 1

1 2 2

1 2 1 2

1 2 2

1 2 1 2

1 2 2

1 2 1 2

2 1 2 1 2

2 2 1

y x x x

x y

x x

y x x x

x y

x x

y x x x

x x

x

x x

x x y

x x x

k k





       

   



^, ^,...,

  

^[[



^,...,

 

^, ^,...,



^], ^] ^[



^, ^,...,



^, ^].

].

], ,..., ,

,..., [[

]]

,..., ,

[ , ,..., [

]]

, ,..., [

2 2 2 1

1 2 1 2

2 2 1

2 1 2 1 2

1 2 2

1 2 1 2

1 1

y x x x y

x x

x x y

x x x

y x x

x x

x x y x x

y x x

x x

k k

k

k k

k

k k













Тҧжырым 1. L – Ли алгебрасы болсын. Онда L шешілімді болады сонда тек қана сонда, егер adL gl(L)-дың шешілімді ішкі алгебрасы болса.

Дәлелдеуі.L – шешілімді Ли алгебрасы болсын, яғни L^{ }^m 0:m1. Лемма 1 бойынша,

 

^adL ^{ }^k ^



^y^,^L^{ }^k



^ ^L^{ }^k ^– ^{шешілімді} болғандықтан,

 

^adL ^{ }^k ^



^y^,^L^{ }^k



^⁰^, ^^y^үшін

 

adL ^{ }^k 0.

 adL gl(L)-дың шешілімді ішкі алгебрасы болсын, яғни

 

adL ^{ }^m 0:m1. Лемма 1 бойынша,



^y^,^L^{ }^k



^

 

^adL ^{ }^k ^⁰^, y⁰ болғандықтан ^{ } ^⁰^.

Lk Келесі белгілеулерді енгізейік:

 

x₁ adL,

 онда 

 

x₁ adx₁,



x1^,x2



⁽adL⁾¹^,

 мұндағы 



x₁,x₂



[

   

x₁ , x₂ ][adx₁,adx₂],



x₁,x₂,x₃

  

 adL ²,

 мұндағы 



x1,x2,x3









  

x1 , x2,x3

 





adx1,



adx2,adx3

 

,



x₁,x₂,x₃,x₄

  

 adL ³,

 мұндағы



x₁,x₂,x₃,x₄









  

x₁, x₂,x₃,x₄

 





adx₁,



adx₂,



adx₃,adx₄

  

,

 Дәл сол сияқты



^x₁^,^x₂^,...,^x_k

   

^adL ^k^, ^x₁^,^x₂^,...,^x_k

 



 

^x₁ ^,



^...,





   

^x_k ₁ ^, ^x_k

  

^.

   _

Егер 



x₁,x₂,...,xk



жазылуында барлық ―ad” деген сӛзді алып тастасақ, онда біз L^k алгебрасының элементін аламыз, оны (x₁,x₂,...,x_k) арқылы белгілейміз, яғни

   

^, ^]



^,



^,

[ ) ,

(x₁ x₂   x₁  x₂  x₁ x₂



 



, ,



, ]

) , ( , ) ( [ ) ,.

,

(x₁ x₂ x₃   x₁  x₂ x₃  x₁ x₂ x₃



 



, , ,



, ]

) , , ( , ) ( [ ) , , ,

(x₁ x₂ x₃ x₄   x₁  x₂ x₃ x₄  x₁ x₂ x₃ x₄



Дәл сол сияқты

 



^,^..., ^,



^.

] ) ,..., ( , ) ( [ ) ,..., ,

(x₁ x₂ x_k   x₁  x₂ x_k  x₁ x_k_₁ x_k



Лемма 2. L – Ли алгебрасы, adL – gl(L)-дың ішкі алгебрасы болсын.

Онда



^x¹^,^x²^,...,^x^k

 

^y



^⁽^x¹^,^x²^,...,^x^k⁾^,^y



^,

 

мұндағы,

    

k



^k

k

k adL x x x L

x x

x₁, ₂,...,  , ₁, ₂,..., 

 .

Дәлелдеуі. k бойынша индукция жүргізейік. k=1 болғанда, лемма орындалады. Шынында да,

                    

 



1^,^, 2^,

 

2^,



^,1^,

  

1^,



2^,

  

2^,



^, 1

   

1^, 2



^,



^, ^, ^,

1 2 2

1 1

2 2

1 2

1

y x x x

y x y x x y x x y x x

y x adx y

x adx y

adx adx y

x x



















  



Якоби тепе-теңдігі бойынша, 



x₁,x₂

 

y [[x₁,x₂],y][



x₁,x₂



,y].

(4)

1131

Лемманың шарты k-1 үшін орындалады деп ұйғарайық.Онда индукцияның ұйғарымы бойынша:

                        

      ^ ^{  }   ^{  } ^ ^ ^{  }

  

,[ ,...,



, ]] [



,...,



,[ ,

 

]] [[

  

, ,...,



], ].

[

]]

, [ , ,..., [

]]

, ,..., [

, [ ] , [ ,..., ]

, ,..., [

,..., ,...,

,..., ,

2 1 1

2 2

1

1 2

2 1

1 2

2 1

1 2

2 1

2 1 2

1

y x x x x

y x x y

x x x

y x x

x y

x x x

y x x

x y

x x x

y x x

x y

x x x

y x x x y

x x x

k k

k

k k





















  



x1^,x2^,...,x_k

 

y ^[[

  

x1 ^, x2^,...,x_k



^],y^] ^[



x1^,x2^,...,x_k



^,y^].

   Тҧжырым 2. L – Ли алгебрасы болсын. Онда L нильпотентті болады сонда тек қана сонда,

егер adL gl(L)-дың нильпотентті ішкі алгебрасы болса.

Дәлелдеуі. L – нильпотентті Ли алгебрасы болсын, яғни L^m 0:m1. Лемма 2 бойынша,



^adL



^k ^

 

^y^,^L^k ^ ^L^k– нильпотентті болғандықтан,



^adL



^k ^

 

^y^,^L^k ^⁰^,^^y^үшін

 

adL ^k ⁰^.

 adL gl(L)-дың нильпотентті ішкі алгебрасы болсын, яғни

 

adL ^m ⁰^:m¹. Лемма 2 бойынша,

 

y^,L^k 

 

adL ^k ⁰^, яғни ^y ^⁰ болғандықтан L^k 0.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. K. Erdmann, M.J. Wildon. Introduction to Lie Algebras // Springer-Verlag, 2006, 251 p.

2. N. Jacobson. Lie Algebras // Dover, New York, 1962, reprinted 1979, 357 p.

ӘОЖ 512

ВАРИНГ МӘСЕЛЕСІ

Ақантаева Айдана Ақантайқызы, Сыдықова Аяулым Рахымбекқызы [email protected],[email protected]

Семей қаласының Шәкәрім атындағы мемлекеттік университеті, 5В010900-Математика мамандығының 2 курс студенттері, Семей, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі - А.Қ. Ерденова

1,4,9,16... квадраттарының қатары шексіз жалғасудан кейін сирей бастайды: бұл қатардағы мүшелердің аралықтары біртіндеп ӛседі. Дегенмен, бұл аралықтарда екі санның квадратының қосындысы ретінде жазуға болатын сандар кездеседі, мысалы:

және т.б.

Бірақ кез келген сан екі санның квадраттарының қосындысы ретінде жазыла бермейді;

мысалы, егер бізге 6 саны берілсе, онда квадраттарының қосындысы 6 болатын 1 мен 4 сандары ғана болатын еді. Бірақ, 1+1 де, 4+4 те, 1+4 те 6-ны бермейді. Қосындыдан 6 санын алу үшін, үш санның квадратын қосу керек: . Бұл тәсілді 7 санының жіктелуіне қолдансақ, тіпті үш санның квадратының қосындысын пайдалансақ та нәтиже бермейді; бұл жерде тӛрт санның квадратының қосындысы қажет: . 8 саны үшін қайтадан екі санның квадратының қосындысы ғана жеткілікті: ; 9 саны ӛзі санның квадраты болып табылады;

және т.б.

Бұл алғашқы бақылаулар, жақында тӛрт санның квадраты да жетпейтінін, ары қарай жалғасыру үшін одан үлкен квадраттар саны қажет екенін кӛрсетеді. XVII ғасырдың математиктері Декарт пен Ферманың алған нәтижелері қызығарлықтай кӛрінеді. Ферма кез келген оң бүтін санды ең үлкен дегенде тӛрт санның квадраттарының қосындысы ретінде кӛрсетуге болатынын айтты. XVIII ғасырдың ағылшын математигі Э. Варинг кубтар, биквадраттар және жоғары дәрежелер үшін ұқсас теоремаларды табуды ӛзіне тапсырма, міндет етіп қойды.1770 жылы Варинг дәлелдеусіз мынандай тұжырым жасаған: Кез-келген n≥2 бүтін дәреже үшін r=r(n) бар болып, кез келген бүтін N>0 санын былай жазуға болады: