ЭЛЕМЕНТАРНАЯ , ГЕОМЕТРИЯ

Б. И. А Р Г У Н О В , М. Б. Б А Л К ъ(1

A g o

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ , ГЕОМЕТРИЯ

У Т В Е Р Ж Д Е Н О М И Н И С Т Е Р С Т В О М П Р О С В Е Щ Е Н И Я Р С Ф С Р

В К А Ч Е С Т В Е У Ч Е Б Н О Г О П О С О Б И Я ДЛЯ П Е Д А Г О Г И Ч Е С К И Х И Н С Т И Т У Т О В

ПРЕДИСЛОВИЕ

Назначение этой книги — служить учебным пособием по элементарной геометрии для лиц, которым предстоит преподавать эту дисциплину в школе.

Этим определяется и содержание книги, и характер изложения материала.

Предполагая, что читатель знаком с предметом в объеме школьного курса, мы нередко ссылаемся на страницах этой книги на школьные учебники.

Расположение материала и стиль его изложения не сходны с изложением в школьных учебниках. Так, например, здесь нет деления курса на планиметрию и стереометрию. Нередко оказывается, что вопросы, которые в школьном курсе геометрии изучаются в различных классах, рассматриваются в одном параграфе.

Мы полагаем, что для лучшего осмысливания элементарной геометрии представля­

ется особенно полезным сопоставление родственных понятий, идей и методов.

В частности, по нашему мнению, целесообразно рассматривать параллельно анало­

гичные вопросы планиметрии и стереометрии.

Предусмотренный учебным планом пединститутов курс элементарной геомет­

рии ве:ьма близок, с одной стороны, курсу оснований геометрии (который сейчас включен в курс высшей геометрии) и, с другой стороны, курсу методики препо­

давания математики. Однако курс элементарной геометрии не должен их дубли­

ровать. Эго соображение сказалось на содержании и на характере изложения данной книги. В частности, мы воздержались от включения в книгу явно сформу­

лированной полной (или избыточной) системы аксиом с последующим системати­

ческим выведением курса из такой системы аксиом. Нам представляется, что такого рода вопросы должны быть сконцентрированы в курсе высшей геометрии.

Учитывая крайнюю ограниченность объема лекционного курса элементарной геометрии в педагогическом институте и считаясь с необходимостью затронуть много вопросов принципиального характера и некоторых интересных для учителя мате­

матики фактов, мы нередко опускаем доказательства отдельных теорем, ограничи­

ваясь разъяснением их содержания.

Весь материал изложен в пяти главах.

Глава I содержит обзор важнейших понятий элементарной геометрии. Со мно­

гими из этих понятий наш читатель впервые встретился еще в первые месяцы изучения геометрии в школе. Но понятно, что такое знакомство с ними не могло быть достаточно содержательным.

Во II главе выясняется сходство понятий «многоугольник», «многогранный угол», «многогранник». Даются определения этих понятий. Рассматриваются пра­

вильные, полуправильные и другие виды многоугольников и многогранников.

Глава заканчивается общими соображениями относительно вычерчивания изображе­

ний многогранников и их сечений.

Глава I II посвящена геометрическим величинам. В отличие от большинства учебных пособий по элементарной геометрии мы отдаем предпочтение не аксиома­

тическому, а конструктивному построению теории геометрических величин— в духе идей, намеченных А. Лебегои в его известной книге «Об измерении величин».

3

Приведены некоторые сведения из истории и практики измерения геометрических величин. Рассмотрены примеры применения барицентрических и векторных методов.

Дан краткий обзор изопериметрических задач.

В IV главе речь пойдет о геометрических преобразованиях (на плоскости и в пространстве). Использование понятия репера позволяет здесь включить различные виды движения в единую схему. Гомотетия и инверсия определяются сразу и для плоскости, и для трехмерного пространства. Выясняется связь между инверсией и одним из наиболее важных способов построения географических карт — стерео­

графической проекцией.

Предмет главы V -— геометрические построения (на плоскости, в пространстве, на некоторых поверхностях). Глава начинается с аксиоматики конструктивной геометрии, необходимой в дальнейшем для выяснения конструктивных возможно­

стей отдельных инструментов. Выделяются и иллюстрируются примерами три основ­

ных метода геометрических построений: метод пересечения фигур (метод геомет­

рических мест), метод геометрических преобразований, алгебраический метод.

Устанавливается критерий разрешимости задач на построение циркулем и линейкой.

Рассматриваются теоремы Мора—Маскерони (о конструктивных возможностях цир­

куля) и Штейнера (о построениях с линейкой при наличии начерченной окружности).

Устанавливается неразрешимость циркулем и линейкой некоторых классических задач. Рассмотрены построения с другими средствами (например, с циркулем и линейкой ограниченных размеров), построения с недоступными точками, построения в пространстве и примеры построений на поверхностях, отличных от плоскости.

Приведено около 300 задач для практических занятий по данному курсу.

При подборе задач мы учитывали общее количество часов, отводимых на этот курс учебным планом, средний уровень подготовки студентов педвузов, возможность использования изученных задач будущими учителями в практике их работы.

Этот учебник написан на основании многолетнего опыта преподавания авторами элементарной геометрии в Смоленском педагогическом институте.

При подготовке рукописи мы частично использовали нашу книгу «Геометри­

ческие построения на плоскости» (Учпедгиз, 1957).

При написании некоторых параграфов (в особенности § 56) мы воспользовались ценными советами М. Я. Выгодского. В § 28—33 нами были использованы отдельные материалы из неопубликованной статьи В. Л. Рабиновича, любезно предоставленной им в наше распоряжение. Нам помогли также критические замечания, сделанные 3. А. Скопецом, В. А. Жаровым, Л. С. Атанасяном, И. М. Ягломом.

Выражаем свою искреннюю признательность этим товарищам.

ВВЕДЕНИЕ

Элементарная геометрия — одна из древнейших наук. Она возникла из насущных практических потребностей человечества в измерении земельных участков, в определении вместимости со­

судов, в определении высот или расстояний по косвенным данным и в решении многих других задач подобного рода, с которыми стал­

кивался человек в процессе труда, в ходе торговых отношений, при расчете строительных и других технических сооружений.

Процесс накопления человечеством геометрических сведений был очень длительным и осуществлялся в разнообразных формах- Первоначально единственным источником этих сведений был опыт, наблюдение над свойствами линий, поверхностей и тел, которые человек наблюдал в природе и в своей трудовой деятельности.

Получение геометрических сведений чисто опытным путем потре­

бовало очень большого времени. Вместе с накоплением таких све­

дений все более назревала необходимость систематизации материа­

ла, подкрепления наблюдений логикой.

Древнейшие из дошедших до нас исторических документов во­

сточных культур — папирус Ахмеса («Наставление, как достигать всех темных вещей, всех тайн, содержащихся в предметах») и Мос­

ковский папирус, относящиеся к 2000—1700 гг. до н. э ., — содер­

жат изложение важных геометрических результатов, вплоть до формулы объема усеченной пирамиды (с квадратным основанием).

В течение V II—III вв. до н. э. геометрия интенсивно разви­

валась в Малой Азии, Италии и Греции, где накопленные к этому времени сведения систематизировались и постепенно приоб­

ретали характер глубоко продуманной и широко развитой науки- Математические школы Фалеса Милетского, Евдокса Книдского, Менехма, Пифагора и философские школы Платона, Аристотеля и

Демокрита подготовили почву для того, чтобы геометрия приняла ту форму и приобрела то содержание, которые она имеет и в наше время.

Исследования древних ученых нашли блестящее завершение в сочинении Евклида Александрийского, написанном около ЗОЭ г. до н, э. под названием «Начала».

Евклидовы «Начала» оказали исключительное влияние на раз­

витие геометрии как науки в течение многих последующих сто­

летий. Существенным дополнением к «Началам» стала теория изме­

рения величин, основы которой были заложены другим великим мыслителем древности — Архимедом (287—212 гг. до н. э.).

Со времени Евклида и Архимеда прошло более двух тысяче­

летий. За это время в классической элементарной геометрии нако­

пилось много новых интересных фактов. Исключительную роль в истории элементарной геометрии сыграло открытие неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским.

Школьный курс геометрии почти во всех странах до последних десятилетий в большей или меньшей степени копировал содержа­

ние и стиль евклидовых «Начал». Сейчас преподавание геомет­

рии в школе все более отходит от этих традиций, существенные изменения вносятся и в программу, и в характер изложения этого предмета.

Вопрос о месте и содержании курса элементарной математики в педагогических институтах вызывал и вызывает много различных толкований. Но в настоящее время нет, по-видимому, сомнений в необходимости такого курса в системе подготовки учителя.

Выясним, каковы основные задачи преподавания элементарной геометрии в педагогическом институте.

В период обучения в школе учащийся усваивает курс матема­

тики на разных этапах своего умственного развития. Подготовка учителя должна предусматривать соответствующее в ы р а в н и ­ в а н и е различных уровней строгости и полноты, на которых изучается геометрия в различных классах школы. Студент педа­

гогического института должен взглянуть на свой геометрический багаж иными глазами — глазами будущего преподавателя этой дисциплины в школе.

Повторение и критическое осмысливание изученного в школе геометрического материала составляет первую основную задачу преподавания геометрии в педагогическом институте.

Повторение школьного курса геометрии в институте должно осуществляться параллельно с изучением нового материала и глав­

ным образом в форме систематических самостоятельных занятий студентов по школьным учебникам геометрии. Каждому студенту удобнее всего пользоваться для повторения тем учебником, по которому он обучался в школе. Но одновременно необходимо знако­

миться и с теми учебниками, которые появились за годы, прошедшие после окончания студентом школы.

Второй задачей преподавания элементарной геометрии в педа­

гогическом институтг является изучение полезных предложений этой науки, еще не получающих освещения в школьном курсе мате, матики.

К сведениям такого рода относятся, например, теорема Стюарта о трансверсали треугольника, теоремы Птолемея о вписанном четы­

рехугольнике, «парадокс» Шварца о поверхности цилиндра, описа­

ние полуправильных многоугольников и многогранников, теорема Бояи — Гервина и многие другие предложения, доступные для изложения элементарными методами. Такие сведения будут спо­

собствовать обобщению и углублению знаний, полученных студен­

том в школе, и окажутся очень полезными учителю в практике внеклассной работы по математике с учащимися.

Преподавание школьного курса геометрии имеет целью систе­

матическое ознакомление учащихся со свойствами фигур, приме­

нение этих свойств к решению задач, развитие у учащихся про­

странственных представлений и умения применять полученные знания к выполнению практических работ.

Третья задача преподавания элементарной геометрии в педа­

гогическом институте состоит в том, чтобы развить у студентов навыки решения задач по геометрии, приобретенные ими в школе.

В ходе практических занятий решаются задачи различного харак­

тера: на вычисление, на доказательство, на построение. Решение задач развивает геометрическую интуицию и пространственные представления студента, обогащает его сведениями относительно практических приложений геометрии, вооружает его полезными навыками.

В задачи школьного обучения и воспитания входит развитие у учащихся навыков логического мышления. Учитель математики должен повседневно добиваться воспитания логической куль­

туры своих учеников, повышать требовательность к логической

строгости преподавания геометрии от класса к классу. Для этого сам учитель должен быть подготовлен и к тому, чтобы заметить не­

логичность в рассуждении ученика, и к тому, чтобы исправить ее надлежащим образом, и к тому, чтобы критически отнестись к пе­

чатному тексту учебной или методической литературы.

Воспитание логической культуры, потребности в логической доброкачественности формулировок и рассуждений, критического отношения к прочитанному или услышанному из области геом ет ­ рии (т. е. преодоление привычки к бесспорному восприятию таких сведен ий) — четвертая основная задача преподавания элементар­

ной геометрии в педагогическом институте.

)

\

ГЛАВА I

Г Е О М Е Т Р И Ч Е С К И Е Ф И Г У Р Ы

§ 1. ВИДЫ ПОНЯТИЙ, ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ

1. В элементарной геометрии встречаются понятия, содер­

жание и смысл которых раскрываются в других науках, напри­

мер в философии, логике, в других математических дисциплинах.

Таковы понятия: «существует», «совокупность» («множество», «класс»),

«принадлежит к совокупности», «понятие», «определение», «умо­

заключение», «доказательство», «число», «уравнение» и т. п. В рам­

ках геометрии эти понятия не определяются. Их смысл и содер­

жание считаются известными.

Наряду с этим курс элементарной геометрии содержит также определения большого числа различных понятий (например, опре­

деления ромба, пирамиды, скрещивающихся прямых, диаметра шара и др.).

Так как каждое определение вводит новое понятие через ранее рассмотренные понятия, то ясно, что определить все без исключе­

ния понятия невозможно. Поэтому при люэом построении курса элементарной геометрии приходится явно или неявно выделить несколько геометрических понятий, которые вводятся в курс без определения.

Так, например, нигде в школьном учебнике геометрии мы не найдем определения терминов: «точка лежит «а прямой (или на плоскости)», «точка лежит между двумя другими точками», нигде не сказано, что значит «построить геометрическую фигуру».

Геометрические понятия, которые принимаются при том или ином конкретном построении курса элементарной геометрии без определения, называют первичными, основными или неопределяе­

мыми в данной системе изложения. При тщательном построении курса элементарной геометрии необходимо четко выделить те по­

нятия, которые будут даны без определения.

Не давая определения первичных понятий, мы в то же время всегда подразумеваем, что эти понятия обладают какими-то из­

вестными нам свойствами, что между этими понятиями существуют некоторые «само собой разумеющиеся» связи и зависимости.

9

Предложение, устанавливающее связь между первичными поня­

тиями элементарной геометрии и принимаемое без доказатель­

ства, называется аксиомой элементарной геометрии.

Некоторые из аксиом явно сформулированы в школьном учеб­

нике геометрии, например: «Существует прямая, проходящая через две данные точки». При строгом построении курса элементар­

ной геометрии необходимо иметь список всех его аксиом.

В данном курсе мы не будем приводить полного списка аксиом.

Вопрос об аксиоматике элементарной геометрии подробно рассмат­

ривается в курсе «Основания геометрии». Отдельные аксиомы будут формулироваться в дальнейшем по мере того, как они потре­

буются но ходу изложения.

После того как первичные (неопределяемые) понятия выделе­

ны, следует уже все другие геометрические понятия о п р е д е ­ л я т ь . Определение, как и аксиома, тоже предложение, принимае­

мое без доказательства; определение тоже устанавливает связь между понятиями. Но определение вводит новое понятие, между тем как аксиома говорит о связи только между такими понятиями, которые уже ранее имелись. Определяемые понятия составляют, естественно, подавляющее большинство в списке понятий элемен­

тарной геометрии.

Очевидно, нет смысла давать определения таких понятий, существование которых противоречит аксиомам или ранее введен­

ным определениям. Например, в элементарной геометрии не имеет смысла вводить такое определение: «Смежными прямыми называ­

ются две различные прямые, имеющие две общие точки», ибо таких прямых не существует. При введении каждого нового понятия не­

обходимо тем или иным способом убедиться в его существовании.

Именно так и поступают, например, при введении понятий парал­

лельных прямых, параллельных плоскостей, правильного икоса­

эдра и др. В условиях элементарной геометрии доказательство существования определяемого объекта сводится обычно к указанию способа его построения.

При формулировке определений необходимо проявить осторож­

ность, чтобы не определять неизвестное понятие через такие поня­

тия, которые ранее не были определены и которые не содержатся среди первичных понятий элементарной геометрии. Например, определение «прямым углом называется угол, стороны которого взаимно перпендикулярны» допустимо лишь в том случае, если до этого в в е д е н ы (б ез помощи понятия прямого угла) следующие по­

нятия: «угол», «стороны угла», «перпендикулярные прямые».

Сама совокупность аксиом составляет, по существу, косвенное, неявное определение первичных понятий: все, что необходимо знать о первичных понятиях для построения курса элементарной геометрии, должно быть сказано в аксиомах.

При различных способах построения курса геометрии в каче­

стве первичных могут быть приняты р а з л и ч н ы е понятия:

10

понятия, которые являются первичными при одном способе по­

строения курса геометрии, могут оказаться определяемыми при других способах построения этого курса.

В зависимости от выбора первичных понятий меняется и спи­

сок аксиом. Так, например, возможно построить весь курс геомет­

рии на основании таких понятий: «точка», «прямая», «плоскость»,

«принадлежит» («лежит на», «проходит через»), «лежит между»,

«движение», «построить фигуру». Такой подход близок к принятому в средней школе способу построения курса геометрии. Но известны и другие варианты выбора основных понятий. Например, можно внести в список первичных понятий понятие «равенство» (отрезков, углов) вместо понятия «движения», понятие «следовать за» вместо понятия «лежать между» и т. п. В качестве еще одного примера упомянем об аксиоматике Г. Вэйля, где основными понятиями геометрии служат «точка» и «вектор».

2. Остановимся еще особо на нескольких понятиях, которые со времен Евклида встречаются в первых разделах руководств по элементарной геометрии: «тело», «поверхность», «линия», «гра­

ница», «ограниченный» и некоторые другие. В школьном препода­

вании смысл этих понятий либо разъясняется на примерах, либо вводится с помощью предложений такого рода: «Тело— это часть пространства, ограниченная со всех сторон», «Граница тела есть повгрхность», «Граница поверхности есть линия», «Линия есть след движущейся точки» и т. п. Эти предложения следует рассматри­

вать не как определения названных пэнятий, а лишь как описания, так как содержание новых понятий раскрывается здесь через понятия, которые ранее не были определены. Описанием является также первое предложение «Начал» Евклида: «Точка есть то, что не имеет частей» (или: «Точка есть то, часть чего есть ничто»),

С помощью упомянутых понятий иногда пытаются ввести поня­

тие прямой, плоскости и т. п. Например, в «Началах» Евклида приводится такое определение: «Прямая линия есть такая, кото­

рая одинаково расположена относительно своих точек». В одном из «Диалогов» Платона (древнегреческий философ, IV в. до н. э.) встречается определение: «Прямая линия есть линия, у кото­

рой середина перекрывает концы». В некоторых учебниках да­

ется следующее определение плоскости: «Плоскость есть такая поверхность, которая целиком содержит принадлежащую ей прямую».

Указанные определения в логическом отношении неполноценны хотя бы по следующей причине. Данные выше описания линии, по­

верхности недостаточны, чтобы полностью раскрыть содержание этих понятий (в частности, потому, что содержание понятия «гра­

ница» предварительно совсем не раскрыто). Из этих описаний и из даваемых на их основании определений прямой и плоскости, вроде приведенных выше, не вытекают все те свойства этих понятий, которыми мы обычно пользуемся.

11

Проведенный в течение последних ста лет анализ показал всю сложность понятий «линия», «поверхность», «тело».

Ниже (§ 5) мы покажем, каким образом возможно определить понятия «тело», «линия» и другие, опираясь на понятия «точка»

«шар», «отрезок» и др.

Тщательное изучение этих понятий удалось провести только в течение последнего столетия. Наиболее полное определение по­

нятие «линия» получило сравнительно недавно в трудах известного советского ученого П. С. Урысона (1898—1924).

Общими понятиями произвольной линии, произвольного тела, произвольной поверхности в преподавании элементарной геомет­

рии пользуются редко.

3. Помимо определений и аксиом, в элементарной геометрии формулируются и другие предложения относительно геометриче­

ских понятий.

Каждое утверждение относительно геометрических понятий, справедливость которого устанавливается посредством некоторого рассуждения, называется в геометрии т е о р е м о й . Рассуждение, с помощью которого убеждаются в справедливости теоремы, назы­

вается доказательством. Сущность его заключается в том, что тео­

рема выводится из аксиом, определений и ранее доказанных теорем, т. е. представляется как их логическое следствие. Геометрические теоремы часто формулируются в так называемой силлогистиче­

ской форме, т. е. в таком виде, в котором явно выделено условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать). Напри­

мер: «Если две различные плоскости перпендикулярны одной пря­

мой, то они параллельны».

Общая схема теоремы, сформулированной в силлогистической форме, имеет следующий вид:

«Если А, то В» или: «из А следует В».

Обычно не составляет труда теорему, не записанную в силло­

гистическом виде, перефразировать так, чтобы она приняла сил­

логистическую форму. Например, теорему: «В равных треуголь­

никах против равных сторон лежат соответственно равные углы»—- возможно перефразировать так: «Если два треугольника равны, то в них против равных сторон лежат соответственно равные углы».

Или: «Из равенства двух треугольников следует равенство углов, лежащих в них против соответственно равных сторон».

Если теорема записана в силлогистической форме:

«Если А, то В»,

то возможно, пользуясь ею, образовать три других утверждения:

а) теорему, обратную данной, т. е. утверждение, которое имеет следующую силлогистическую схему:

«Если В, то Л»

12

(условием служит заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы);

б) теорему, противоположную данной, т. е. утверждение, которое имеет схему:

«Если не А, то не б»

(условием служит отрицание условия данной теоремы, а заключе­

нием — отрицание заключения данной теоремы);

в) теорему, обратную противоположной к данной теореме, т. е.

такое утверждение, которое имеет схему:

«Если не В, то не А»

(условием служит отрицание заключения данной теоремы, а за­

ключением— отрицание условия данной теоремы).

Обратим внимание на то, что из справедливости данной теоремы не всегда следует справедливость противоположной или обратной теоремы. Но теорема, обратная данной, справедлива тогда и только тогда, когда справедлива теорема, противоположная данной.

Действительно, пусть справедлива теорема:

«Если В, то Л».

Докажем теорему:

«Если не Л, то не В».

По условию последней теоремы Л не имеет места. Если бы имело место В, то по теореме: «Если В, то Л» — имело бы место Л.

Значит, допущение ложно, имеет место «не В». Аналогично можно показать, что из теоремы, противоположной данной, следует тео­

рема, обратная данной.

Что касается теоремы, противоположной обратной теореме, то она справедлива одновременно с данной теоремой. Доказательство аналогично предыдущему.

§ 2. ПОНЯТИЕ ФИГУРЫ

1. С простейшими геометрическими фигурами читатель зна­

комился еще по первым страницам школьного учебника геометрии.

Изложение рассчитано там на детей 12—13 лет, только приступа­

ющих к изучению геометрии. Естественно поэтому при изучении повторительного курса элементарной геометрии прежде всего глубже осмыслить эти понятия.

Учитель должен быть знаком не только с такими определениями понятий, которые упрощены из педагогических соображений, но и с более полными и строгими определениями тех понятий, кото­

рые встречаются в процессе преподавания.

Мы не ставим здесь вопроса о том, каким образом следует дать учащимся представление о названных выше понятиях на первых

13

уроках геометрии в школе, относя эту задачу к курсу методики преподавания математики.

2. Геометрической ф и г у р о й (или просто фигурой) называ­

ется всякое непустое множество точек.

Примерами фигур могут служить: одна точка, любое конечное множество точек (см., например, рис. 1). Прямую и плоскость мы тоже будем рассматривать как фигуры, состоящие из всех принад­

лежащих им точек.

Принадлежность точки Р к фигуре Ф записывают так: Р £ Ф.

Одна фигура Ф, называется частью другой фигуры Ф2, если . каждая точка первой фигуры принадле­

жит второй фигуре. Это записывают

* • так: Фі с Фз- Например, частями плос­

кости будут: каждая лежащая в этой

• * * * плоскости прямая, любое конечное в число точек этой плоскости, сама эта

* * плоскость.

В геометрии часто приходится иметь дело с равными фигурами, т. е. та-

Рис. 1. кими, которые могут быть совмещены.

Здесь мы будем пользоваться теми сведениями о р а в е н с т в е фигур (в частности, отрезков и углов), которые наш читатель получил в средней школе. К более тщательному рассмотрению отношения равенства мы еще вернемся в главе IV.

3. Геометрия занимается изучением свойств фигур. Помимо эле­

ментарной геометрии, студенты педагогических институтов зн а ­ комятся с аффинной геометрией, с проективной геометрией и с то­

пологией. Эти ветви различаются тем, что в каждой из них изуча­

ется некоторым образом выделенный класс свойств фигур. Пред­

ставим себе в самых общих чертах, каковы эти классы.

В элементарной геометрии рассматриваются преимущественно так называемые метрические понятия и свойства фигур, т. е. такие понятия и свойства, которые могут быть связаны с рассмотрением равенства углов и отношения отрезков (в частности, равенства от­

резков). Типичным примером метрических понятий могут служить понятия: «перпендикулярность прямых», «окружность», «куб».

Свойство четырехугольника быть квадратом есть метрическое свой­

ство. Теорема Пифагора — метрическая теорема.

В отличие от элементарной геометрии в аффинной геометрии мы имеем дело с такими понятиями и с такими свойствами фигур, которые связаны лишь с параллельностью (прямых и плоскостей) и с отношением трех точек1. Эти понятия и свойства фигур назы­

1 Отношением (ABC) трех точек однсй прямой называется чигло АС : ВС, взятое со знаком плюс, если ректоры АС и ВС направлены одинаково, и со зна­

ком минус, если они имеют противоположные направления.

14

ваются аффинными. Так, свойство четырехугольника быть парал­

лелограммом есть аффинное свойство, аффинный характер носит теорема о пересечении медиан треугольника в одной точке.

Проективная геометрия занимается изучением так называемых проективных понятий и свойств фигур. Это понятия и свойства, связанные с отношением взаимной принадлежности точек, прямых и плоскостей и с двойным отношением четырех точек одной прямой1.

Топология же изучает свойства фигур, связанные лишь с

«близостью», «непрерывностью», т. е. свойства, сохраняющиеся при деформациях «без разрывов и склеиваний».

В элементарной геометрии мы можем встретиться и с такими свойствами фигур, которые носят аффинный, проективный или даже топологический характер. Например, подсчет числа диагоналей многоугольника есть задача топологического характера, так как здесь нас не интересуют ни размеры углов или сторон многоуголь­

ника, ни параллельность каких-либо линий, ни даже то обстоя­

тельство, что стороны многоугольника прямые: такую же задачу и с тем же результатом можно решать не на плоскости, а, напри­

мер, на сфере. «Высшие» разделы геометрии являются в этом смыс­

ле менее универсальными: в проективной геометрии мы не ветре-- тим метрических вопросов, а в топологии не решают вопросов про­

ективного или аффинного характера.

Некоторые соображения о предмете геометрии приведены еще в конце главы IV этой книги в связи с изучением геометрических преобразований. Соответствующие идеи развиваются более обстоя­

тельно в курсе высшей геометрии.

4. О т р е з о к и л у ч . Напомним сначала определения этих понятий, приводимые в школьных учебниках.

«Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, называется от­

резком этой прямой. Отрезок обыкновенно обозначается двумя бук­

вами, поставленными у его концов» ([20], ч. I, стр. 5; см. также 131], стр. 9; [12], ч. I, стр. 102).

«Лучом называется часть прямой линии, ограниченной с одной стороны» ( [31 ], стр. 9).

«Иногда рассматривают прямую, ограниченную только с одной стороны, например в точке А. О такой прямой говорят, что она ис­

ходит из точки А\ ее называют лучом (или полупрямой)» ( [311, стр. 5).

В чем недостатки таких определений?

Для определения понятия отрезка используется понятие «часть прямой» (иными словами, часть множества тех точек, которые при­

надлежат прямой); выражение «ограниченная с обеих сторон» пред­

полагает несомненным, что часть прямой может быть ограничена

1 Двойным отношением четырех точек одной прямой (ABCD) называется отношение (А Б С ): (ABD) двух (простых) отношений трех точек этой прямой.

2 Си. список литературы в конце книги.

16

не более чем с двух сторон. Что же означает «ограничена», «с двух сторон»? Откуда следует, что часть прямой может быть ограничена не более чем с двух сторон? Почему нельзя луч (в привычном пони­

мании) считать «ограниченным с

—-f----5— ■— £ — -2---■%-- обеих сторон» («сверху» и «снизу»)?

’ г ' 1 2 Почему нельзя, например, совокуп- Рис- 2- ность двух отрезков (в привыч­

ном понимании) А гА 2 и В1В2 и точки С, принадлежащих одной и той же прямой (рис. 2), считать «частью прямой, ограниченной с обеих сторон»? Наконец, что же такое «концы отрезка»? Ведь если мы употребляем этот термин и он не относится к первичным поня­

тиям, то его следует до этого определить. Следует ли считать, что концы отрезка принадлежат отрезку? Сходные вопросы могут возникнуть и по отношению к цитированным выше определениям луча.

Понятия отрезка и луча можно строго определить, если считать известным понятие «лежать между». Смысл понятия «лежать между»

раскрывается в аксиомах. Вот некоторые из них. «Если какая-то точка С лежит между двумя другими А я В, то эти три точки — на одной прямой». «Если точка С лежит между точками А и В, то она лежит также между В и Л». «Между любыми двумя точками лежит еще бесконечно много точек».

О т р е з к о м (или замкнутым отрезком, или сегментом) называется ' фигура, состоящая из двух точек А и В и всех тех точек прямой АВ, которые лежат между этими двумя точками. (Не исключа­

ется и тот случай, когда точки А и В совпадают. При этом отре­

зок называется нулевым.) Эту фигуру обозначают символом \АВ\

или АВ. Точки А и В называются граничными точками отрезка АВ или его к о н ц а м и . Остальные точки отрезка называются внутренними его точками.

Иногда рассматривают открытый отрезок, или интервал. Под этим понимают фигуру, состоящую из всех точек, лежащих между точками А и В.

Отрезок А В называют иногда также расстоянием между точ­

ками А и В. Если нет надобности в указании концов отрезка, то его иногда обозначают малой буквой: а, Ь, с и т. д.

Если относительно концов отрезка указано, какой из них сле­

дует считать началом, а какой концом отрезка, то такой отрезок называется направленным отрезком или вектором.

Понятие луча несколько сложнее. Для точек прямой имеет ме­

сто следующий факт, который мы примем в качестве аксиомы: каж ­ дая точка О прямой а разбивает множество всех точек этой прямой на два класса (на две части) в том смысле, что точка О лежит меж­

ду любыми двумя точками, взятыми из различных классов, и не лежит между какими-либо точками одного и того же класса.

Л у ч о м прямой а с началом в точке О называется фигура, состоя­

щая из точки О и любого из тех двух точечных классов, на ко- 16

торые прямая а разбивается точкой О. О всех точках одного класса говорят, что они лежат по одну сторону от точки О.

Чтобы задать луч, достаточно, помимо точки О, указать еще одну какую-либо его точку Р. Луч с началом в точке О, содержащий точку Р, удобно обозначать символом ОР.

Заметим, что совершенно аналогично тому, как вводится поня­

тие луча (полупрямой), можно ввести понятия полуплоскости и полупространства.

Понятие отрезка используется для определения понятия выпук­

лой фигуры. Фигура называется в ы п у к л о й , если она содержит каждый отрезок, соединяющий любые две ее точки (рис. 3). Простей­

шими примерами выпуклых фигур могут служить прямая, плоскость, луч, отрезок, полупространство.

5. Введем еще одно важное понятие, связанное с понятием фи­

гуры. Пусть даны некоторая фигура Ф и некоторая точка Р. Рас­

смотрим всевозможные отрезки, соединяющие точку Р с точками фигуры Ф. Если среди этих отрезков существует наименьший, то его называют расстоянием точки Р от фигуры Ф. Иными словами, если среди точек фигуры Ф имеется такая точка М, что при любом выборе точки N фигуры Ф P/W<PjV, то отрезок РМ и есть рас­

стояние точки Р от фигуры Ф.

Итак, р а с с т о я н и е м точки Р от фигуры Ф называют крат­

чайшее из расстояний от точки Р до всех точек фигуры Ф 1. Эту величину мы будем обозначать через q(P, Ф).

Может случиться, что среди расстояний от точки Р до точек фигуры Ф нет кратчайшего. Так, например, обстоит дело, если Ф — интервал АВ, а проекция точки Р на прямую АВ лежит вне отрезка АВ (рис. 4). Можно дать более общее определение расстояния точки от фигуры, которое охватывает и этот слу­

чай. Можно показать, что среди отрезков, которые не больше каждого из расстояний от точки Я до точек фигуры Ф, всегда имеется наибольший 2 (на рис. 4 это отрезок РВ). Этот отрезок и принимается в таких случаях за расстояние точки Р от фигуры Ф.

Более общим является понятие расстояния между двумя фигу­

рами. Если среди отрезков, соединяющих точки фигуры Фх с точ­

ками фигуры Ф2, имеется наименьший, то этот отрезок принимается

1 Здесь мы считаем известным, что значит сравнить два отрезка по величи­

не. О точном смысле этой задачи будет сказано еЩе в главе IV.

- Не исключено, что это будет нулевой отрезок.

Рис. 3. Рис. 4.

2 Заказ № 142 17

за расстояние между фигурамиФ, иФ2 и обозначается черезд(Ф,,Ф2).

Понятие расстояния между фигурами также можно обобщить аналогично тому, как это было сделано для понятия расстояния точки от фигуры.

6. Весьма распространенным является способ задания фигуры путем указания такого свойства, которым должны обладать все точки этой фигуры и только они. Если фигура задана именно та­

ким образом, то ее иногда называют геометрическим местом точек, обладающих этим свойством.

Именно таким образом удобно дать определение понятий

«окружность», «круг» и аналогичных им понятий «сфера», «шар».

О к р у ж н о с т ь ю радиуса г с центром в точке 0 называется мно­

жество всех точек некоторой плоскости, которые находятся на дан­

ном расстоянии г от некоторой точки О той же плоскости. Эта точка называется центром окружности, а каждый отрезок, со­

единяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности.

К р у г о м радиуса г с центром в точке О называется множество всех таких точек некоторой плоскости а, для которых расстояние от лежащей в этой плоскости точки О не больше данного отрезка г.

Точка О называется центром круга. Множество всех таких точек М плоскости а, для которых ОМ<г, будем называть внутрен­

ностью круга.

Аналогично определяются понятия «сфера», «шар», «внутрен­

ность шара»: для этой цели нужно в последних определениях за­

менить слова «окружность», «круг», «плоскость» соответственно словами «сфера», «шар», «пространство».

Рис. 6.

7. Имея понятие «отрезок», можно определить понятие «ломанья».

Л о м а н о й (или ломаной линией) будем называть совокупность конечного числа направленных отрезков Л0А 1, A^ 2,..., Л п_1Лл, заданных в определенном порядке и расположенных в простран­

стве так, что конец каждого отрезка (кроме последнего) совпадает с началом следующего за ним отрезка (рис. 5).

Отрезки, составляющие ломаную, называют ее звеньями (или сторонами), их концы—вершинами ломаной, начало первого зве­

18