ЯКОБИ МАТРИЦАСЫНЫҢ КЕЙБІР ҚАСИЕТТЕРІ

УДК 51

ЯКОБИ МАТРИЦАСЫНЫҢ КЕЙБІР ҚАСИЕТТЕРІ Асет Насихат Магистрант, Әл-Фараби атындағы Қазақ Ҧлттық Университеті, Алматы

Ғылыми жетекші – ф.-м.ғ.к., доцент Керімбаев Р.К.

Бҧл тақырыпта Якобиан мәселесі қаралған, яғни айнымалысымен берілген кӛпмҥшелікке байланысты Якобиан мәселесі,онда осы кӛпмҥшеліктен анықталған эндоморфизм автоморфизм деп аталады.

Анықтама P[x₁ ,..., x_n ] нӛльдік P сипаттамалық аймақта n айнымалыға тәуелді

ассоцативті-коммутативті алгебралық кӛпмҥшелік

 : P[x1 ,..., x_n ]  P[x1 ,..., x_n ] f₁ (x₁ ,..., x_n ),..., f_n (x₁ ,..., x_n ) кӛпмҥшеліктермен анықталған алгебралық эндоморфизм

(xi )  f_i (x1 ,..., xi ,..., xn ), i  1,2,..., n

.

16

Алгебрада P[x₁ ,..., x_n ] келесі қатынасты тізбек беріледі, біртекті лесикографикалық және анық лексикографикалық ( f₁ ,..., fn ) f1 (x1 ,..., xn ),..., fn (x1 ,..., xn ) кӛпмҥшелігінің (( f_i ) _xi ), i, j  1,2,..., n Якобианы матрицаның анықтаушы сияқты есептелінеді және

айнымалысына тәуелді кӛпмҥшелігі болып табылады

( f₁ ) _x ( f₁ ) _x

2

... ( f₁ ) _x

1 n

( f2 ) x ( f2 ) x

2

... ( f2 ) x

( f₁ ,..., f_n )  ... ¹ ... n . ( f_n ) _x ( f_n ) _x

2

... ( f_n ) _x

n

1

Мҧндағы ( fi )_x x _j ,i, j 1,2,...,n ,айнымалысымен f _i кӛпмҥшелігінің жеке туындысы

j

( f , g) f , g

Теорема 1. f₁ (x₁ ,..., x_n ),..., f_n (x₁ ,..., x_n )  P[x₁ ,..., x_n ] болсы P аймақта анықталған аймақтардың көпмүшелігі, Егер (f₁,...,f_n) нөлге тең емес болса, онда осы көпмүшелігімен анықталған эндоморфизм мономорфизм болады.

Делелі: h(x₁,...,x_n)Ker болсын, онда

0  (h(x₁ ,..., x_n ))  h((x₁ ),..., (x_n ),..., f_n (x₁ ,..., x_n ))  H (x₁ ,..., x_n ) ,

осыдан

0  H _x  h _f ( f₁ ) _x  h _f

2( f ₂ ) _x  ... h _f ( f _n ) _x

1 1 1 1 n 1

0  H x

2  h f ( f₁ ) _x

2  h f

2( f ₂ ) _x

2 ... h f ( f _n ) _x

2

1 n

... ... ... ...

0  H _x

n  h _f ( f₁ ) _x

n  h _f

2( f ₂ ) _x

n  ... h _f ( f _n ) _x

n

1 n

Онда  ( f₁ ) _x ( f1 ) _x

2

... ( f₁ ) _x

n 

 ¹ 

( f₂ ) _x ( f₂ ) _x ... ( f₂ ) _x



2

n

(0,0,...,0)  (h_f1 , h_f2 ,...,hfn ) ¹  ^,

 ... ... ... ... 



( f

n

)

x₁

( f

n

)

x₂ ...



 ^{(fn ) x}n 

Біз ( f₁ , f ₂ ,..., f _n )  0 және P[x₁ ,..., x_n ] деп аламыз, бӛлімі нӛл болмағандықтан (h _f , h _f,..., h _f )  0 деп аламыз,демек h  cont,0  (h)  (cont)  cont ,кезектеh0.

1 2 n

Лемма 1. f1(x1,...,xn),...,fn(x1,...,xn)P[x1,...,xn] көпмүшелік P өрісінде берілсін,

n

f₁ (x₁ ,..., x_n )  f (x₁ ,..., x_n ) 



^aij x _j  c_i , i  1,2,..., n -жерде f (x₁,...,x_n ) көпмүшелік сызықтық

j1

және бас мүшесіз болады. Сонда, Якобиан (f1,f2,..., f_n )  c  0 , онда c  a

ij .

Делелі: Бізте ( f_i )_xj  ( f_i )_xj  a_ij деп берілген, одан тыс кӛпмҥшеліктер бос мҥшесіз, Онда ( f_i )_x (o,...,o)  0, i, j 1,2,...,n Якобиан ( f₁ , f₂ ,..., f_n )  c  0 болғандықтан,

j

x₁ , x₂ ,..., x_n айрымалыларына тәуелсіз ( f₁ , f₂ ,..., f_n )(0,..., 0)  c  0 . басқалай

( f₁ , f₂ ,..., f_n )(0,...,0)  a_ij , осыдан,

17

( f₁, f₂ ,..., f_n )(0,...,0) 

a

ij  0

.

Егер ( f₁ , f₂ ,..., f_n )  c  0 онда (a_ij ) GL_n (P) осыдан айнымалыларды тҥрлендіру

арқылы

n

y

i 



^aij x _j ,i 1,2,..., n

j 1

аламыз

n



^aij



^bij



^{ E}

_.

P[x₁ ,..., x_n ]x_i 



^bij x _j , i  1,2,..., n

j 1

Осы айнымалыдан тҧратын y₁ ,..., y_n кӛпмҧшелікті қарастырамыз.

n n n n

F ( y ,...,y )  f (



^{b y ,..., b y}j

)  f

i

(



^{b y,..., b y}j

)  y  c  F ( y ,...,y

n

) y  c ,

i1 n i 1 j j  ^nj 1 j j  ^nj ii i1 ii

j 1 j 1 j 1 j 1

i  1,2,...,n

мҧндағы Fi ( y₁,...,y_n ) кӛпмҧшелік сызықтық және бас мҥшесіз.

Лемма 2. f (x, y), g(x, y)  P[x, y] және ( f , g)  const  o болады. сонда якобианды өзгертпей ақ ( f , g) әртүрлі дәрежілі екенін қол жеткізуге болады.

Делелі: f  f_m  ...  f₀ , g  g_m  ...  g₀ болса, ( f_m ) _x (g_m ) _y  ( f_m ) _y (g_m ) _x  0 берілген,



. Онда f_m  ag_m

Яғни (( f_m )_x , (g_m )_y )  a((g_m )_x )(g_m )_y , a  P келесі кӛпмҥшелікті

қарастырамыз,

F(x, y)  f (x, y)  ag(x, y),G(x, y)  g(x, y).

Онда deg F  deg G және (F, G)  Fx Fy  f x  ag y f y  ag y  ^{f x} f y ( f , g).

G_x G_y g _x g _y g _x g _y

яғни, біз басында deg f  deg g екенін байқаймыз.

Әдебитет тер

1. У.У. Умирбаев, И. П. Шестаков, Полдалгебры и автоморфизмы колец моногочленов, Доклад РАН 368 (2002), 533-548.

2. У.У. Умирбаев, О продолжени автоморфизмов колец многочленов, Алгебра и логика 34 (1995), N. 2, 211-232.

3. У.У. Умирбаев, И. П. Шестаков, Полдалгебры и автоморфизмы колец моногочленов, Доклад РАН 368 (2002), 533-548.

4. У.У. Умирбаев, Определяющие соотношения группы ручных автоморфизмов колец многочленов и свободных ассоциативных алгебра, Доклад Академии наук 407 (2006), N. 3, 319-324.