УДК 530.145.83 DOI 10.52167/1609-1817-2023-126-3-232-239 С.А. Жаугашева12, К.А. Нұрлан1, Б.Е.Толымбекова2, Н.К. Жусупова2, М.С. Абиева2
1Әл-Фараби атындағы ҚазҰУ, Алматы, Қазақстан
2Логистика және көлік академиясы, Алматы, Қазақстан E-mail: [email protected]
ЕКІ ЭЛЕКТРОНДЫ КВАНТТЫҚ ЖҮЙЕДЕГІ ҚАРПУ ПОТЕНЦИАЛЫН АНЫҚТАУ
Аңдатпа. Жұмыста сыртқы магнит өрісінде орналасқан екі электронды кванттық жүйедегі қарпу потенциалының қалыптасу механизмі талданады. Мұндай жүйенің қарапайым өкілі екі электронды кванттық нүкте болып табылады. Құрамында жартылай өткізгіш кванттық нүктелері бар гетероқұрылымдар қазіргі заманғы опто- және наноэлектроникада перспективалық материал болып табылады, осыған байланысты соңғы жылдары олардың қасиеттеріне қарқынды зерттеу жүргізілуде. Әртүрлі жартылай өткізгіштердің мөлшерін азайту үрдісі элементтер кванттық нүктелерді мүмкіндігінше аз мөлшерде алу және зерттеу қажеттілігін талап етеді, мысалы, бірнеше нанометрде.
Кванттық нүктенің қалыптасу механизмін сипаттауда кванттық-механикалық әсерлер негізгі рөл атқарғандықтан жұмыс Осцилляторда өрнектеу әдісіне негізделген. Кванттық нүкте жағдайы үшін параметрлердің нақты мәндерінде алынған тәуелділік графиктерінен екі электрондық кванттық жүйедегі қарпу потенциалы электростатикалық өрістегі электрондардың өзара әсерлесуінен анықталатыны байқалды. Жүргізілген талдау жұмыстары кванттық нүктенің қасиеттерін басқаруға мүмкіндік береді. Мұндай құрылым болашақ жоғарғы технологиялар базасы үшін негіз ретінде қолданыла алады.
Түйінді сөздер. Кванттық жүйе, кванттық нүкте, қарпу потенциалы, көмескі заряд,сипаттамалық ұзындық
Кіріспе.
Бүгінгі таңда жартылай өткізгіштік гетеро құрылымдарды өсіру процестеріндегі өзін-өзі ұйымдастыру құбылысын зерттеуге деген қызығушылық артуда. Нанометрлік өлшемдегі жүйелер соңғы 20 жылдықта физикада жаңа зерттеу аймағының пайда болуына алып келді. Бұған себеп, аз бөлшекті электрондық жүйелер теориялық тұрғыдан да, эксперименталды тұрғыдан да үлкен қызығушылық тудырды. Жартылай өткізгіштерді өңдеудің заманауи әдістері бірнеше электронның кванттық қарпылуын жасанды құруға мүмкіндік береді [1]. Мұндай ақырғы фермиондық жүйелердің атомдармен ортақ ұқсастықтары бар, бірақ олар зертханада жобаланған жасанды құрылымдар. Әдетте олар барлық үш кеңістік өлшемдеріндегі кванттық шектеулерге сілтеме жасай отырып, кванттық нүктелер (КН) деп аталады. Кванттық нүктелерді жасаудың кең таралған тәсілі жартылай өткізгішті гетеро құрылымдардағы екі өлшемді электронды газды электростатикалық қақпалар арқылы бүйір жағынан немесе тігінен ою әдістерімен шектеу болып табылады [2]. Олардың қасиеттерін электростатикалық қақпалар, нүктелік геометриядағы өзгерістер немесе қолданбалы магнит өрістері арқылы басқарылатын жолмен өзгертуге болады.
Өлшемдері шамамен жүз нанометр болатын және бірнеше жүз электрондарды шектейтін мезоскопиялық жартылай өткізгіш құрылымдарды жасаудағы және басқарудағы алғашқы табысқа жеткеннен кейін көптеген топтар мұндай құрылғыларды одан әрі миниатюризациялауға баса назар аударды. Тәжірибелік техниканың одан әрі ілгерілеуімен жасанды атомдар көп денелер физикасы туралы ақпараттың бай көзі болып
қала береді. Наноқұрылымдық физика саласы соңғы жылдары қарқынды дамуда және тәжірибелік әдістер мен құрылғыға бағытталған қосымшалардағы прогрестің арқасында көптеген теориялық түсініктер алынды. Кванттық нүктелердегі қыбықтық құрылымның ашылуы және оған жүргізілген талдаулар КН бойынша теориялық және эксперименттік зерттеулерге үлкен әсерін тигізді [3].
Жартылай өткізгіштік гетеро құрылымдарда қалыптасқан кванттық нүктедегі электрондардың қарпу потенциалының пайда болу механизмін анықтау – кванттық нүкте қасиеттерін басқарудағы негізгі мәселе. Мұндай жүйенің қарапайым өкілі екі электронды кванттық нүкте болып табылады. Екі электронды кванттық нүкте параболалық конфайнмент потенциалы шегінде жақсы сипатталады [4]. Алайда, КН-дегі электрондар арасындағы өзара әсерлесу күштері кулондық болғандықтан, ол күштер өз кезегінде параболалық конфайнменттен өзгешеленеді. Екі бөлшекті кулондық өзара әсерлесуден параболалық конфайнмент алуға болады ма? Ол жүйе қандай талаптарға сай болуы керек?- деген сұрақ туындайды. Осы және басқа да сұрақтарға жауаптар КН қалыптасу механизмін және оларды құрылғылардың жаңа буынын жасауда пайдалануды түсіну үшін өзекті болып табылады.
Бұл жұмыстың мақсаты – сыртқы магнит өрісінде орналасқан екі электронды КН қарпу потенциалының қалыптасу механизмін талдау. КН электрондардың шектелген санына тұрады және аз өлшемдерге ие, сол себепті КН қалыптасу механизмін сипаттауда кванттық-механикалық әсерлер негізгі рөл атқарады.
Біздің міндетіміз келесідей қалыптасады: кванттық механикалық формализм шеңберіндегі электрондар мен кескіндік заряд арасындағы кулондық өзара әрекеттесуден электрондардың қарпу потенциалын анықтау. Ол үшін сыртқы магнит өрісіндегі үш денелі кулондық жүйені қарастырамыз. Ол жүйе екі электрон мен кескіндік зарядтан тұрады. Біздің анализ осцилляторда өрнектеу әдісіне негізделген.
Материалдар мен тәсілдер.
ХХ ғасырдың екінші жартысында техниканың жетістігі қатты дененің беттік құрылымдарының кескінін алуға мүмкіндік берді. Иондық кристаллдар үшін ондай құрылымдардың бірі 1а-суретінде көрсетілген. Дұрыс кристалл үшін центрлер арасындағы арақашықтық мұндағы - Бор радиусы. 1а-суреттен байқалатындай, кристаллдық беттің беріктігі түйіндер арасында тұйық орбитальдардың пайда болуымен анықталады. Мотт өзінің еңбегінде келесі идеяны ұсынған болатын: егер түйіндер арасындағы қашықтықты азайтсақ , онда түйіндер арасындағы тұйықталған орбитальдар саны көбейеді (1b-сурет); бұл диэлектриктен өткізгішке ауысуға мүмкіндік береді.
Әрбір кванттық нүкте диэлектриктік қасиеттері бойынша біртекті, ал жүйе жалпы алғанда біртекті емес деп болжасақ, онда тангенциал потенциалдардың үздіксіздік шарты орындалуы керек. Бұл болжамдар эффективті оң кескіндік зарядтың енгізілуіне алып келеді. Бұл тәсіл электростатикада диэлектриктердің қасиеттерін анықтауда жақсы таныс [5]. Қарпу потенциалының пайда болуында кескіндік заряд үлкен роль атқарады. Ол кванттық нүкте тудыратын қабаттардың диэлектриктік өтімділіктерінің үлкен айырмашылығына негізделген.
Кескіндік зарядтың шамасы ортаның диэлектриктік өтімділігінің айырмашылығына тәуелді:
,
мұндағы -ортаның толық заряды, және диэлектриктік өтімділік тұрақтылары.
үшін, яғни біртекті ортада кескіндік заряд нөлге тең.
КН электрондардан тұрады және кіші өлшемді, қабықтық құрылымғы ие, ядросыз атомға ұқсас. Біздің міндетіміз келесідей қалыптасады: кванттық механикалық формализм шеңберіндегі электрондар мен кескіндік заряд арасындағы кулондық өзара әрекеттесуден электрондардың қарпу потенциалын анықтау. Ол үшін сыртқы магнит өрісіндегі үш денелі кулондық жүйені қарастырамыз. Ол жүйе екі электрон мен кескіндік зарядтан тұрады. Біздің анализ осцилляторда өрнектеу әдісіне негізделген.
a) b)
1 сурет - Иондық кристалл жазықтығында электрондық тығыздықтың таралуы Кванттық нүктелерде қарпу потенциалы (x, y, z) координаттық осьтердің бірі бойынша күшті қарпумен сипатталады. Нәтижесінде, төменгі кванттық қозулар қарпу потенциалының қалған екі ось бойынша қасиеттерімен анықталады. Осылайшы, геометриялық тұрғыдан, кванттық нүктелерді эффективті екі өлшемді жүйе деп қарастыруға болады [6]. Сыртқы магнит өрісін кванттық нүкте жазықтығына перпендикуляр жазықтықта бағыттауға болады. Бұл жазықтықтардың қиылысуы сызықты және тек бойымен бағытталады, ал деп болжайық. Осы болжамды ескере отырып, бірнеше жеңілдетулерден кейін үш денелі кулондық жүйенің гамильтонианы екіге бөлінеді: массалар центрі жүйесі гамильтонианы:
;
(1)
және салыстырмалы қозғалыс гамильтонианы:
(2)
Кулондық өзара әсерлесу массалар жүйесі қозғалысы гамильтонианына (1) үлесі жоқ екенін айта кетуіміз керек. Параболалық конфайнмент орын алғанда массалар центрі гамильтонианының шешімін Фок талқылаған болатын және ол әдебиетте Фок-Дарвин теңдеуі деген атпен белгілі. Бірақ, қарастырылып отырған жағдай үшін массалар центрі гамильтонианының меншікті мәндері келесідей болады:
(3)
мұндағы N = 0, 1, 2 .. – радиал кванттық сан және M = 0, , … - азимуттік кванттық сан. Пораболалық конфайнмент потенциалы мен циклотрондық жиіліктен тәуелді Фок-
Дарвин шешімінен айырмашылығы біздің модельде массалар центрі қозғалысының энергетикалық спектрі электрондардың кинетиклық энергиясынан анықталады және электронның эффективті массасының құрама жүйелердің массаларының қосындысына қатынасына тәуелді [7]. Осцилляторда өрнектеу әдісі аясында салыстырмалы қозғалыс гамильтонианының меншікті функциялары мен мәндері туралы жоғарыда аталып өтті.
Сонымен қатар, бұл жуықтауда үш денелі кулондық есеп екі денелі есепке өтеді және ол жағдайда Шредингер теңдеуі келесідей жазылады:
, (4)
мұндағы – бастапқы жүйенің энергетикалық спектрі, – ізделініп отырған қарпу потенциалы, келесі өрнекпен өрнектеледі:
. (5)
– көмескі зарядтың электростатикалық өрісінде пайда болған потенциал, екінші қосынды бөлшектердің салыстырмалы қозғалысына байланысты. Алынған қарпу потенциалы кулондық өзара әсерлесудің табиғатына және магнит өрісінің шамасына қарай әртүрлі шешімдерді қамтиды. Бұл жұмыста сфералық-симметриялық немесе шешімді қарастырумен шектелеміз. Сонда қарпу потенциалы келесідей жазылады:
(6)
мұндағы - осциллятордың жиілігі келесі өрнектен анықталады:
(7) Осылайша, екі электронды КН моделінде қарпу потенциалы параболалық конфайнмент потенциалынан ерекшеленеді және өрнектерімен анықталады.
шегін қарастыра отырып, және потенциалын айнымалысы бойынша Тейлор қатарына жіктесек:
,
(8)
мұндағы
(9)
(8)-өрнекте бойынша тек екінші дәрежемен шектелсек, онда конфайнменттік жиілігі бар параболалық конфайнмент потенциалын аламыз. (6), (8) және (9) өрнектерінен потенциалдық қасиеттер көмескі заряд және электрондардың эффективті массасынан тәуелді екендігі шығады. Бұл тәуелділік энергетикалық спектр үшін соңғы өрнекке
және параметрлері арқылы қосылады. Егер көмескі зарядтың массасы қоршаған ортаның барлық электрондарынан немесе ауыр иондардан пайда болса,
( ) үшін). Екі ортаның шекарасында қалыптасқан кванттық нүктенің сипаттамалық ұзындығы:
. (10)
Осылайша параболалық конфайнменттің интенсивтілігі көмескі зарядтың шамасына квадраттық тәуелді екендігі (9) және (10) өрнектерінен байқалады, яғни артқанда осциллятордың жиілігі артады, ал кванттық нүктенің сипаттамалық ұзындығы
артқанда кемиді. және параметрлері құрама жүйелердің массаларының қатынасынан да тәуелді.
Нәтижелер мен талқылау.
КН жағдайы үшін параметрлердің нақты мәндерін ала отырып, мысалы және , (7) өрнегі арқылы осциллятор жиілігінің шамасынан тәуелділігін анықтай аламыз. Сәйкесінше, ол көмескі зарядтың электростатикалық өрісі тудыратын потенциалының тәуелділігін анықтауға:
және электрондардың параметріне салыстырмалы қозғалысымен байланысты потенциалының тәуелділігін анықтауға мүмкіндік береді:
2 сурет - – осциллятор жиілігінің – екі электрон арасындағы қашықтыққа тәуелділігі
2-суреттен байқалатындай, артқанда осциллятор жиілігі 4.619-дан 0-ге дейін баяу кемиді. потенциалы координата басында нөлге тең, аз қашықтықтарда ол артады, артқанда бірден кемиді (3b-сурет). потенциалы болғанда шекті болып табылады, яғни сингулярлық жоқ, ал жағдайында кулондық секілді кемиді (3a- сурет). потенциалының шамасы абсолют мәнімен салыстырғанда бір ретке кем.
Осылайша, қарпу потенциалына негізгі үлес электрондардың көмескі заряд тудыратын электростатикалық өрістегі өзара әсерлесуімен анықталады.
3 сурет - Ұсталу потенциалының екі электрон арасындағы қашықтыққа тәуелділігі: а) көмескі зарядтың электростатикалық өрісінде пайда болған потенциал; b) электрондардың
салыстырмалы қозғалысынан пайда болған потенциал
Қорытынды.
Наноөлшемді кванттық жүйелер жаңа технологияларды ойлап табуда кванттық электрониканы қолданудың жоғарғы әлеуетін көрсетеді. Жасанды атомдар өлшемі кішірейтілген көп бөлшекті жүйелердің физикалық қасиеттерін зерттеуге көп мүмкіншілік тудырады. Зерттеу барысында бізге кванттық механикалық формализм шеңберіндегі электрондар мен кескіндік заряд арасындағы кулондық өзара әрекеттесуден электрондардың қарпу потенциалын анықтау міндеті қойылды. Жұмыс барысында кванттық нүкте жағдайы үшін параметрлердің нақты мәндерінде алынған тәуелділік графиктерінен екі электрондық кванттық жүйедегі қарпу потенциалы электростатикалық өрістегі электрондардың өзара әсерлесуінен анықталатыны байқалды. Талданған көмескі зарядтың электростатикалық өрісінде электрондардың өзара әсерлесу потенциалы кулондық жүйенің пайда болу механизмі мен электрлік зарядтардың экрандалу эффектісін анықтауда практикалық маңызға ие. Сыртқы магнит өрісінде орналасқан екі электронды кванттық нүктенің қарпу потенциалының қалыптасу механизмін талдау КН қасиеттерін басқаруға мүмкіндік береді. Мұндай құрылым болашақ жоғарғы технологиялар базасы үшін негіз ретінде қолданыла алады.
ӘДЕБИЕТТЕР
[1] W. Leidemann, G. Orlandini. Modern ab initio approaches and applications in few- nucleon physics with A 4 // Progr. Part. Nucl. Phys. / 2013. – Vol. 68. – P.158-214.
[2] J.M. Bang, A.I. Mazur, A.M. Shirokov, Yu.F. Smirnov and S. A. Zaytsev. P-Matrix and J-Matrix Approaches: Coulomb Asymptotics in the Harmonic Oscillator Representation of Scattering Theory // Ann. Phys. (N.Y.) / 2000. – P. 280-299.
[3] Reimann S. M., Manninen M. Electronic structure of quantum dots //Reviews of Mod- ern Physics. – 2002. – Vol. 74. – No. 4. – P. 1283.
[4] Levchuk E. A., Makarenko L. F. On controlling the electronic states of shallow donors using a finite-size metal gate //Semiconductors. – 2016. – Vol. 50. – No. 1. – P. 89-96.
[5] M. Kammermeier, A. Seith, P. Wenk and J. Schliemann, Persistent spin textures and currents in wurtzite nanowire-based quantum structures // arXiv:2001.06571v2 8 May 2020 Icond-mat.mes-hall] (2020).
[6] J. M. Lia and P. I. Tamborenea, Physica B 126, 114419 (2020).
[7] Mazur, A.M. Shirokov, A.I. Mazur, J.P. Vary, Description of resonant states in the shell model // arXiv:1512.03983 [nucl-th] p. 1-11 (2015); принято к публикации в ЭЧАЯ (2016).
REFERENCES*
[1] W. Leidemann, G. Orlandini. Modern ab initio approaches and applications in few- nucleon physics with A 4 // Progr. Part. Nucl. Phys. / 2013. – Vol. 68. – P.158-214.
[2] J.M. Bang, A.I. Mazur, A.M. Shirokov, Yu.F. Smirnov and S. A. Zaytsev. P-Matrix and J-Matrix Approaches: Coulomb Asymptotics in the Harmonic Oscillator Representation of Scattering Theory // Ann. Phys. (N.Y.) / 2000. – P. 280-299.
[3] Reimann S. M., Manninen M. Electronic structure of quantum dots //Reviews of Mod- ern Physics. – 2002. – Vol. 74. – No. 4. – P. 1283.
[4] Levchuk E. A., Makarenko L. F. On controlling the electronic states of shallow donors using a finite-size metal gate //Semiconductors. – 2016. – Vol. 50. – No. 1. – P. 89-96.
[5] M. Kammermeier, A. Seith, P. Wenk and J. Schliemann, Persistent spin textures and currents in wurtzite nanowire-based quantum structures // arXiv:2001.06571v2 8 May 2020 Icond-mat.mes-hall] (2020).
[6] J. M. Lia and P. I. Tamborenea, Physica B 126, 114419 (2020).
[7] Mazur, A.M. Shirokov, A.I. Mazur, J.P. Vary, Description of resonant states in the shell model // arXiv:1512.03983 [nucl-th] p. 1-11 (2015); pro publication in ECHA (2016).
Сауле Жаугашева, к.ф.-м.н., ассоциированный профессор, Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы, Казахстан, [email protected]
Камила Нурлан, магистрант, Казахский национальный университет имени аль- Фараби, Алматы, Казахстан, [email protected]
Баян Толымбекова, магистр, лектор, Академия логистики и транспорта, Алматы, Казахстан, [email protected]
Назым Жусупова, магистр, ассистент преподаватель, Академия логистики и транспорта, Алматы, Казахстан, [email protected]
Мадина Абиева, магистр, лектор, Академия логистики и транспорта, Алматы, Казахстан, [email protected]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА УДЕРЖАНИЯ В ДВУХЭЛЕКТРОННОЙ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЕ
Аннотация. В работе анализируется механизм формирования потенциала удержания в двухэлектронной квантовой системе, находящейся во внешнем магнитном поле. Простым представителем такой системы является двухэлектронная квантовая точка.
Гетероструктуры, содержащие полупроводниковые квантовые точки, являются перспективным материалом современной опто- и наноэлектроники, в связи с чем в последние годы их свойства интенсивно изучаются. Тенденция к уменьшению размеров различных полупроводников требует необходимости получения и исследования квантовых точек как можно меньшего размера, например, в несколько нанометров.
Поскольку основную роль в описании механизма образования квантовой точки играют квантово-механические эффекты, в основу работы положен метод выражения в осцилляторе. Из графиков зависимости, полученных при точных значениях параметров для случая квантовой точки, было замечено, что потенциал удержания в двухэлектронной
квантовой системе определяется взаимодействием электронов в электростатическом поле.
Проведенный анализ позволяет контролировать свойства квантовой точки. Такая структура может быть положена в основу фундамента будущих высоких технологий.
Ключевые слова. Квантовая система, квантовая точка, потенциал удержания, изображенный заряд, характерная длина.
Saule Zhaugasheva, candidate of physico-mathematical sciences, аssociate professor, al- Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan, [email protected]
Kamila Nurlan, мaster's student, al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan, [email protected]
Bayan Tolymbekova, master, lecturer, Academy of logistics and transport, Almaty, Kazakhstan, [email protected]
Nazym Zhusupova, master, teaching assistant, Academy of logistics and transport, Almaty, Kazakhstan, [email protected]
Madina Abieva, master, lecturer, Academy of logistics and transport, Almaty, Kazakhstan, [email protected]
DETERMINATION OF THE RETENTION POTENTIAL IN A TWO-ELECTRON QUANTUM SYSTEM
Abstract. The paper analyzes the mechanism of formation of a retention potential in a two-electron quantum system in an external magnetic field. A simple representative of such a system is a two-electron quantum dot. Heterostructures containing semiconductor quantum dots are a promising material for modern opto- and nanoelectronics, and therefore their properties have been intensively studied in recent years. The tendency to reduce the size of various semiconductors requires the need to obtain and study quantum dots as small as possible, for example, a few nanometers. Since quantum mechanical effects play the main role in describing the mechanism of quantum dot formation, the method of expression in an oscillator is the basis of the work. From the dependence plots obtained for the exact values of the parameters for the case of a quantum dot, it was noted that the retention potential in a two-electron quantum system is determined by the interaction of electrons in an electrostatic field. The performed analysis makes it possible to control the properties of a quantum dot. Such a structure can form the basis of the foundation of future high technologies.
Keywords. Quantum system, quantum dot, retention potential, pictured charge, characteristic length.
*****************************************************************************
