Қарапайым алгебралық теңдеулер ҥшін асимптоталық қатарды тұрғызу

(1)

1273 УДК 510 (063)

ҚАРАПАЙЫМ АЛГЕБРАЛЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР ҤШІН АСИМПТОТАЛЫҚ ҚАТАРДЫ ТҦРҒЫЗУ

Аблахатқызы Бағым [email protected]

Семей қаласы Мемлекеттік медицина университеті жалпы медицина факультеті студенті Ғылыми жетекшісі - А.Е.Абдуакитова, аға оқытушы

Ӛзектілігі: Аналитикалық шешімдері табыла бермейтін немесе табылу жолдары ӛте күрделі есептер - ғылым мен есептеу техникаларының қарқынды дамуына байланысты математиканың қазіргі жағдайында қарқынды түрде зерттелуде. Аталған зерттелулерде математикалық аппаратты, оның ішінде ауытқулар тәсілін қолдану - қазіргі уақыттағы ӛзекті мәселелердің бірі болып табылады.

Жобаның мақсаты:

1) Асимптоталық тәсілдерді зерттеу;

2) немесе ұмтылып, еселі түбірлер болатын жағдайларында алгебралық теңдеулердің шешімдері үшін асимптоталық жіктеу әдістемесін құру;

Қарапайым алгебралық теңдеудің мысалында асимптоталық қатарды тҧрғызу

-нің шамалы аз мәнінде (1)

түріндегі теңдеуді қарастырайық.

Егер болса (2)

теңдеуін аламыз, оның түбірлеріболады.

(1) теңдеуі ауытқыған теңдеу, ал (2) – теңдеуі ауытқымаған немесе кемелденген теңдеу деп аталынады. шамалы аз, әрі ақырлы болса, онда (1) теңдеуінің шешімдері мәндерінен ӛте кӛп ерекшеленбейтіні белгілі.

Жуықтап шешудің алғашқы қадамы жіктеудің түрін таңдаудан тұрады. Біздің жағдайымызда ізделінді түбірлерді

(3) түріндегі қатарға жіктеуге болады деп ұйғарайық.

(3) ӛрнегін (1) теңдеуіне қойып, қарапайым түрлендірулерден кейін -нің бірдей дәрежедегі коэффициенттерін теңестірсек:

(4) (5)

(6)

теңдеулерін аламыз. мәндерін (3) ӛрнегіне апарып қойып, ұмтылғанда теңдеудің екі түбірін келесідей анықтаймыз:

(7)

(8) Бұл түрдегі жуықтаулардың -нің шамалы аз мәнінде дәл шешіммен сәйкес келетінін кӛреміз.

Алгебралық теңдеудің сингулярлы ауытқыған шешімдері ҥшін асимптоталық қатарды тҧрғызу

Шамалы аз - параметрі х-айнымалысының ең үлкен дәрежелі кӛбейткішінің алдында тұратын, яғни сингулярлы ауытқыған жағдайды қарастырайық

(7)

Бұл жағдайда бірінші түбір үшін

ал екінші түбір үшін

0

 

, 0 2 ) 2 3

2(   x 

 x

0

 ^x²^³^x^²^⁰

2

;

1 ²

1 x 

x



2 ...

2 1

0  

x x x

x  



0 1 2 3

2x₀x₁ x₁ x₀  0 2 3 ₀

2

0 x  

x

0 2 3

2x₀x₂x₁² x₂ x₁

 ¹ 13²..., x

 ² 233²....

x



0

2x1

x

 ¹ 1...

x

 ² ^¹1...

x

(2)

1274 екені анықталды.

Бұл жағдайда жіктелудің бірінші мүшесі түрінде алынды.

Яғни сингулярлы ауытқулар кезінде теңдеу түбірлерінің бір бӛлігі параметрдің кері дәрежесі қатысатын қатар түрінде жіктелетінін байқауға болады.

Біз ұмтылады деп ұйғарып, берілген теңдеуді асимптоталық тәсілмен шешу кезінде пайда болатын барлық сұрақтарды қарастырдық. Енді қарама-қарсы сұрақты, яғни үлкен ауытқулар жағдайын қарастырайық. ұмтылғандықтан, шамасы нӛлге ұмтылады, яғни кері аз шама болады, сәйкесінше деп белгілесек, онда жоғарыда кӛрсетілген әдістемені пайдаланып шамалы аз параметрі бойынша жіктелуді тұрғызуға болады.

Рационал аппроксимация

Сонымен, айнымалысы параметрі болатын кез-келген физикалық есепті және ұмтылатын жағдайларында ғана шешуге болатынына кӛз жеткіздік. Енді бұл ақпаратты -

нің аралық мәндерінде қалай қолдану керектігі жайлы сұрақтарды қарастырамыз.

Бұл мәселені шешуге кӛп жағдайда екі нүктелі рационал аппроксимацияны пайдаланған орынды болады. Қысқаша айтқанда, рационал аппроксимация

(*) (9)

түрінде анықталып, екі кӛпмүшеліктің қатынасы ретіндегі функция болып келеді. Мұндағы т.с.с.

Ал асимптоталық қатардың сәйкес коэффициенттері, және олар Тейлор қатарындағы айнымалылардың коэффициенттеріне тең болады. Бұл қарапайым идеяны қолдану кӛптеген маңызды нәтижелерге алып келді.

Рационал аппроксимацияны пайдаланып асимптоталық қатарды тҧрғызу Рационал аппроксимацияның қолданылуын кӛрсету үшін қарапайым алгебралық мысалды қарастырайық. Тӛмендегі биквадрат теңдеу берілсін:

оның түбірлері болады.

Берілген теңдеу қандай да бір физикалық жүйені сипаттап және оның параметрлері аздаған ӛзгерістерге ұшырасын. Бұдан теңдеу келесі түрге келеді:

(7)

Бұл теңдеу асимптоталық тәсілді пайдаланылып шешіліп, әр жағдай үшін келесі түбірлер анықталды:

ұмтылғанда

- бірінші түбір;

- екінші түбір;

ұмтылғанда

- бірінші түбір;

- екінші түбір;

Енді бұл шешімдерді рационалаппроксимацияны пайдаланып кеңейтіп кӛрейік. Бірінші және екінші түбірлер үшін рационал аппроксимацияның кӛмегімен тұрғызылған жуықталған шешімдер сәйкесінше

(8)

(9) түрінде анықталды.

1-суретте (8 ) формуласы бойынша функциясының графигі келтірілген. (8 ) формуласымен жуықтап, анықталған шешімді (7) түріндегі теңдеудің дәл шешімімен салыстырғанда бірінші түбірдің салыстырмалы қателігі 10% пайыздан аспайтыны анықталды. Есептеу Mathcad математикалық пакетінде жүргізілді.

...

 y ^v

x 



^1

1



10







0



0

 

 

 

...

) ...

(

1 0

2 2 1 0



 













  y

yi

; ) ( y₀

y   _'₍ ₎ _; ₀_,₅_y_'_'₍_₎__y₂_;

y1

y  

0 8 2 ²

4 x  

x

1

; 2

; 2 ₃_,₄

2 ,

1  x  i i 

x

0 8 2 ²

3

4 y  y  

y 

0

 _{ }

2 1 20.3330.065

 y² 20.3330.065² y

 ¹  y



 

 2 1/3

2 ^



  y

 



 

097 . 0 1

097 . 0 527 . 0

2 ²



  y

 

₇_/₃ ²

0325 . 0 1

065 . 0 333 . 0 2



 



  y

(3)

1275 2-сурет.

1-сурет. (7) теңдеуінің бірінші түбірін (8) формуласымен жуықталған

шешімімен салыстыру. 2-суретте (9) формуласымен жуықтап анықталған шешімнің (7) түріндегі теңдеудің дәл шешімімен салыстырылуы келтірілген.

(7) теңдеуінің екінші түбірін (8) формуласымен жуықталған шешімімен салыстыру.

жуықталған шешім, дәл шешім

Ары қарай интерполяция тәсілінің кӛмегімен рационал аппроксимацияның параметрлерінің дәлдігі арттырылып, екінші түбір үшін

(10) формуласы анықталды.

3-сурет. (7) теңдеуінің екінші түбірін (10) формуласымен жуықталған шешіммен салыстыру.

Алгебралық теңдеулердің еселі түбірлері үшін ұсынылған рационал аппроксимацияның құрылымы - жуықталған шешімнің қателігі тұрғысынан тиімді екендігін кӛрсетіп отыр.

Қорытынды

1. Ауытқыған теңдеудің түбірлері үшін асимптоталық жіктелулер зерттеліп, үш жағдай анықталды:

Нақты және комплекс түбірлер (әртүрлі) жағдайында жіктелу параметрдің бүтін дәрежелері бойынша тұрғызылады;

Сингулярлы ауытқу жағдайында жіктелуде параметрдің кері дәрежелері қатысатын болады.

2. және ұмтылып, алгебралық теңдеудің қарапайым (еселі емес) түбірлері болған жағдайда жуықталған шешімді тұрғызу үшін рационал аппроксимацияны қолдану мүмкіндігі параметрінің барлық ӛзгеру интервалында кӛрсетілді (1-сурет).

3. Алгебралық теңдеудің еселі түбірлері болған жағдайда жуықталған шешімді тұрғызудың оптималды құрылымы (10) формула түрінде анықталды және рационал аппроксимацияның параметрлерін анықтау үшін интерполяцияға негізделген әдістеме қорытылып шығарылды.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Касымов К.А., Жакипбеков Д.А., Нургабыл Д.Н. Представление решений краевой задачи для линейного дифференциального уравнения с малым параметром при старших производных // Вестник КазНУ им. аль-Фараби, серия мат., мех., инф. – 2001. №3. - С.73-78.

73 2

384 , 0 1

75 , 0 37 , 0 ) 2

( 



 







 f





0

