E-mail: shubatcan@mail.ru Кіріспе

1

КЕШІГУІ БАР ПАРАМЕТРЛЕРІ ТАРАЛҒАН ЖҮЙЕЛЕР ҮШІН РЕСВИКТІҢ ПИД РЕТТЕГІШІН ЖОБАЛАУ

А.К. Кусатаева, Б.Р. Қасымова Л.Н.Гумилев атындағы ЕНУ.

E-mail: shubatcan@mail.ru

Кіріспе. Қазіргі таңда автоматты басқару теориясында кешігуі бар жүйелерге үлкен көңіл бөлінуде. Бұл кешігуі бар жүйелерді басқарудың есептері ғылым мен техниканың әр түрлі салаларында туындайтындығымен түсіндіріледі.

§ 1. Жүйенің математикалық нобайын анықтау

Параметрлері таралған жүйелердің мысалы ретінде электр энергиясын қашықтыққа тасымалдауға арналған ұзын желілер қарастырылады.

Сурет 1. Электр энергиясын қашықтыққа тасымалдаушы ұзын желінің эквивалентті схемасы.

Шығынсыз желілер келесідей дербес туындысы бар дифференциалдық теңдеулермен сипатталады:

𝜕𝑢

𝜕𝑥 + 𝐿^𝜕𝑖

𝜕𝑡 = 0, ^𝜕𝑖

𝜕𝑥 + 𝐶^𝜕𝑢

𝜕𝑡 = 0, Олардың шешімі:

𝑈 = 𝑈₂ 𝑐ℎ𝛾𝑙 + 𝐼₂ 𝑍_𝑇𝑠ℎ𝛾𝑙 𝐼 = ^𝑈2

𝑍_𝑇 𝑠ℎ𝛾𝑙 + 𝐼₂ 𝑐ℎ𝛾𝑙.

𝑅 = 0; 𝐺 = 0; 𝛾 = 𝑝 𝐿𝐶 ≈ 0.01𝑝 𝑐ℎ𝛾𝑙 = 0.5(𝑒^𝛾𝑙 + 𝑒^−𝛾𝑙); 𝑙 = 250 км − желі ұзындығы; ескере отыра мынадай шешімге келеміз:

𝑊 𝑝 = ^𝑈2

𝑈₁ = ¹

𝑐ℎ𝛾𝑙 = 𝑒^−𝜏𝑝 = 𝑒^−0.01𝑝,

мұндағы 𝜏 = 𝑙 𝐿𝐶. Мұндағы τ таза кешігу уақытын сипаттайтын шама, l – желі ұзындығы, LC тізбек параметрлері. Қорытындысында біз таза кешігу

2

буынын аламыз,яғни шығынсыз желілер таза кешігу буыны болады деген қорытынды жасаймыз, бірақ олар ұзын желіні толық сипаттайды деп айта алмаймы себебі біз тек желінің соңы мен басындағы кернеудің тәуелділігін ғана алдық.

Электр энергиясын тасымалдаушы бірфазалы ұзын желілер келесідей дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеулермен сипатталады:

- ^𝜕𝑢

𝜕𝑥 = 𝑅₀𝑖 + 𝐿₀ ^𝜕𝑖

𝜕𝑡

- ^𝜕𝑖

𝜕𝑥 = 𝐺₀𝑢 + 𝐶₀^𝜕𝑢

𝜕𝑡

Осы теңдеулердің шешімі жоғарыда айтылғандай гиперболалық функциялар түрінде болады. Нәтижесіде беру функциясы келесі түрде болады (желінің соңындағы кернеу мәнінің желі басындағы кернеу мәніне қатынасы):

𝑊 𝑝 =𝑈₂ 𝑈₁ = 1

𝑐ℎ𝛾𝑙 = 1

𝑐ℎ 𝑅 + 𝐿𝑝 (𝐺 + 𝐶𝑝)

мұндағы 𝑐ℎ𝛾𝑙 = 0.5(𝑒^𝛾𝑙 + 𝑒^−𝛾𝑙) 𝑙 = 250 км −желі ұзындығы ; 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 – таралу тұрақтысы 𝛼 = ^𝑅

2 𝐶 𝐿 +^𝐺

2 𝐿

𝐶 = 0.9 ∙ 10⁻⁴; 𝛽 = 𝜔 𝐿𝐶 = 𝜔 ∙ 3.16 ∙ 10⁻⁵; 𝛾𝑙 = 0.02 + 0.0079𝑝;

𝑒^𝛾𝑙 = 𝑒^0.02𝑒^𝑝0.01 = 1.02𝑒^0.01𝑝; 𝑒^−𝛾𝑙 = 𝑒^−0.02𝑒^−0.01𝑝 = 0.98𝑒^−0.01𝑝;

𝑐ℎ𝛾𝑙 = 0.5 𝑒^𝛾𝑙 + 𝑒^−𝛾𝑙 = 0.5𝑒^0.01𝑝 + 0.49𝑒^−0.01𝑝

Беру функция күрделі кешігу буыны болатынын көреміз:

𝑊 𝑝 = 1

0.5𝑒^0.01𝑝 + 0.49𝑒^−0.01𝑝 = 2𝑒^−0.01𝑝

1 + 0.49𝑒^−0.01𝑝 ∙ 2𝑒^−0.01𝑝

Шығынсыз желі мен біртекті желілер үшін гиперболалық функциялар көмегімен алынған беру функциялары ұзын желінің басы мен соңындағы кернеудің тәуелділігін сипаттайды. Тәжірбиеде ұзын желілерді нобайлау күрделі әрі қиын болғандықтан, оларды қысқа желілердің тізбектей қосылған схемаларға бөліп (Сурет 2), бір бөлігін ғана қарастырамыз, ал қалған бөлігіндегі әрбір қысқа желінің кедергілері өзара тең деп ұйғарамыз, яғни

3

біртекті желілерді қарастырамыз. Кирхгоф заңдарының көмегімен ұзын тізбектің қысқа бөліктері үшін математикалық нобай, беру функциясын анықтауға болады [1].

Сурет 2. Қысқа тізбектердің қосындысы ретіндегі ұзын тізбек.

Сурет 3. Бірлік тізбек үшін эквивалентті схема.

Бүкіл контурдың кедергісі:

𝑍 = (𝑅₀ + 𝑗𝜔𝐿₀) +^{𝑅н(𝑅2+1/𝑗𝜔𝐶0)}

𝑅_н+𝑅₂+1/𝑗𝜔 𝐶₀ = ^{𝑅1+𝑝𝐿0 𝑅н+𝑅2+}

1

𝑗𝜔 𝐶0 +𝑅_н(𝑅₂+1/𝑗𝜔 𝐶₀) 𝑅_н+𝑅₂+1/𝑗𝜔 𝐶₀ ; 𝑈₂ = 𝐼₂ ∙ 𝑅_н =^{𝐼1∙(𝑅2+1/𝑗𝜔 𝐶0)}

𝑅_н+𝑅₂+1/𝑗𝜔 𝐶₀𝑅_н = ^{𝐼1(𝑅2𝑝𝐶0+1)𝑅н}

𝑅_н𝑝𝐶₀+𝑅₂𝑝𝐶₀+1; 𝐼₁ = ^𝑈1

𝑍 = ^{𝑈1(𝑅н𝑝𝐶0+𝑅2𝑝𝐶0+1)}

(𝑅₁+𝑝𝐿₀) 𝑅_н𝑝𝐶₀+𝑅₂𝑝𝐶₀+1 +𝑅_н(𝑅₂𝑝𝐶₀+1); Беру функциясы келесі түрде болады:

𝑊 𝑝 = ^𝑈2

𝑈₁ = ^{𝑅2𝑝𝐶0+1}

𝑝^{2 𝑅}н𝐿0𝐶0+𝑅2𝐿0𝐶0

𝑅н +𝑝 𝑅1𝑅𝐻 𝐶0+𝑅1𝑅2𝐶0+𝐿0+𝑅𝐻 𝑅2𝐶0

𝑅𝐻 +^𝑅1

𝑅𝐻+1=

=0.8∙(0.0005𝑝+1) 0.001𝑝²+ 2𝑝+ 1;

K=0.8;T=0.0005; T₁=2;T₂=0.03

𝑊_о 𝑝 = ^{𝐾(𝑇𝑝 +1)}

𝑇₂²𝑝²+𝑇₁𝑝+1;

§ 2. Жүйенің критикалық кешігу уақыты мен жиілігін анықтау

4

Беріліс теңдеуіне p=jw қою арқылы тіке тізбегінде кешігуі бар тұйықталмаған тізбектің беру функциясын анықтаймыз:

W_τ jω = W jω e^−jωτ = A ω e^{−jφ ω} e^−jωτ = A ω e^{jφτ ω} W jω = 33.28(0.0005jω+1)

2jω+1 (0.0005jω+1)e^−τjω; Амплитудты-жиілікті сипаттама:

𝐴 𝜔 = 𝐾 (𝑇²𝜔²+ 1) 𝑇₃²𝜔²+ 1 (𝑇₄²𝜔²+ 1);

Фазалық-жиілікті сипаттама:

𝜑_𝜏 𝜔 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑇𝜔 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑇₃𝜔 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑇₄𝜔 + 𝜔𝜏 Аргумент пен модульді жеке-жеке теңестіреміз:

𝐴 𝜔 = 𝐾 (𝑇²𝜔² + 1) 𝑇₃²𝜔²+ 1 (𝑇₄²𝜔²+ 1)=1

33.28 ∗ ( 0.0005)²∗ 𝜔_кр² + 1 = 8 ∙ 10⁻⁷∗ 𝜔_кр⁴ + 4 ∗ 𝜔_кр² + 1;

𝜔_кр = 16.6;

𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑇 ∙ 𝜔_кр − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑇₃ ∙ 𝜔_кр − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑇₄ ∙ 𝜔_кр − 𝜔_кр ∙ 𝜏_кр = −𝜋;

𝜏_кр = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0.0005 ∙ 16.6 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 ∙ 16.6 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 0.00045 ∙ 16.6 + 3.14 16.6

= 0.098сек

Жүйе өз орнықтылығын жоғалтатын критикалық жиілік 𝜔_кр = 16.6, ал критикалық кешігу уақыты 𝜏_кр = 0.098сек тең.

§ 3. Кешігуі бар жүйелер (ұзын желі үшін) үшін Ресвиктің ПИД реттеуішін жобалау

Кешігуі бар кешендер үшін идеалды реттеуіштің құрылымын анықтайық [13]. Біздің жағдайымызда параметрлері таралған немесе ұзын желі үшін . Беру функциясын келесі түрде беруге болады:

𝑊₀ 𝑝 = 𝑊₀^′(𝑝)𝑒^−𝑝𝜏0, (1) Бұл жерде 𝑊₀^′ 𝑝 − кешеннің инерционды бөлігін сипаттайтын бөлшекті функция; τ₀ – кешеннің таз кешігу уақыты. τ0 – кешігу уақыты бар кешендердің идеалды реттеуішінің беру функциясы:

5

𝑊_𝑝.и 𝑝 = ^{Фопт(𝑝)}

1−Ф_опт(𝑝)𝑒^{−𝑝 𝜏0} 1

𝑊₀(𝑝) (2)

Ескеретін жайт, (52)-ні (53)-ке қойған кезде реттеуіштің беру функциясында 𝑒^+𝑝𝜏0 көбейткіші пайда болады, бұл идеалды озғышқа сәйкес келеді және оның дәл техникалық реализациясы мүмкін емес. Сондықтан ізделінді реттеуіштің құрылымын қарапайым ету және оның техникалық реализациясын оңайлату үшін былай жасаймыз:таза 𝜏₀ кешігуі бар жүйелер үшін идеалды жүйе бергіш әсерді 𝜏₀ кешігумен шығаруы керек, яғни:

Ф_𝑥 𝑝 = Ф_опт р = Ф^′_опт(р)𝑒^−𝑝𝜏0,

мұндағы Ф^′_опт р − 𝑥_з және х_п сигналдары үшін оптималды фильтр болып табылады. Біздің жағдайымызда х_п=0.Олай болса, кешігуі бар жүйелер үшін идеалды реттеуіш аламыз:

𝑊_𝑝.и 𝑝 = ^{Фопт′ (𝑝)}

1−Ф_опт^′ (𝑝)𝑒^{−𝑝 𝜏0} 1

𝑊₀^′(𝑝) (3) (3)-ке 4-суретте келтірілген құрылым сәйкес келеді. Ресвик реттеуішіндегі таза кешігу буыны бар ішкі кері байланыс у басқару әсерінің кезекті өзгерісінен кейін кешеннің шығысында қандай сигнал пайда болу керектігін болжайды. Бұл байланыс оң болғандықтан, онда болжанатын сигнал оған тең кешеннің шынайы шығыс сигналын нейтралдайды немесе компенсациялайды. Нәтижелік сигнал 𝜀_𝑝 тек 𝑥_з, 𝑥_п, 𝑥_в мәндерінің өзгеруінен кейін бірінші моментте пайда болады. Сөйтіп кешеннің динамикасын нобайлайтын қосымша кері байланыстың арқасында негізгі контурдан орнықтылықты нашарлататын таза кешігу 𝜏₀ жойылады.

Сурет 4. Кешігуі бар жүйелер үшін идеалды Ревик реттеуіші.

Жоғарыда айтылған теорияны қолданып, біздің жүйе үшін Ресвик реттеуішін жобалайық.

𝑊 𝑝 =𝑇₃+ 𝑇₄

𝑘_п𝜏 [1 + 1

𝑇₃+ 𝑇₄ 𝑝+ 𝑇₃𝑇₄ 𝑇₃+ 𝑇₄𝑝]

6

Табылған ПИД-реттеуіштің параметрлерін есептейік

Белгілі болғандай: T₃ = 2; T₄ = 0.00045; τ = l L₀C₀=l/υф=0.0008;

𝑘_𝑝 =^𝑇3+𝑇4

𝑘_п𝜏 = 0.6 ;T_н=𝑇₃ + 𝑇₄ = 2;T_Д= ^𝑇3𝑇4

𝑇₃+𝑇₄ = 0.000449, немесе: 𝑘_𝑝 = 0.6; 𝑘_𝑢 = 0.3; 𝑘_д = 0.00026,

нәтижесінде ПИД реттеуіш аламыз:

W(p)=(k_p+k_u/p+k_Дp).

Тұйықталмаған АРЖ беру функциясы:

W_раз(р)=^{0.000004 𝑝3+0.0185 𝑝2}+19.97𝑝+9.9

(0.001𝑝²+2𝑝+1) 𝑒^−𝜏𝑝.

Сурет 5. MATLAB-та тұрғызылған құрылымдық схема.

Сурет 6. ПИД реттеуіші бар жүйенің өтпелі сипаттамасы.

Қорытынды. 6-суреттен көріп отырғанымыздай синтезделген реттеуіш жүйенің критикалық кешігу уақытына тең болған кезде де орнықтылығын сақтайды, яғни критикалық кешігу уақыты артты, кешігу компенсацияланды.

Әдебиеттер:

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. – М: ГАРДАРИКИ, 2006. – 255 б.

7

2. Бернас С., Цёк З. Математические модели элементов электроэнерге- тических систем. / Перевод с польского Э.В.Турского. Н.Н.Шелухина). – М:

Энергоиздат, 1982. – 66 б.

3. Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М., 1990. – 128 с.