N E W S
OF TH E N A T IO N A L A C A D E M Y OF SCIENCES OF THE REPU BLIC OF K A Z A K H S T A N P H Y S IC O -M A T H E M A T IC A L S E R IE S
IS S N 1991-346Х
V olu m e 3, N um ber 307 (2 0 1 6 ), 12 - 22
ON THE PERIODIC SOLUTIONS FOR THE SYSTEM OF PARTIAL INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS
A .T . A ssa n o v a
Institute o f Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan E-mail: [email protected], [email protected]
Key words: integro-differential, period, problem, algorithm, solvability.
A bstract. The periodic problem for a system o f partial integro-differential equations is considered. The questions o f the existence unique periodic solution o f the considering problem and ways o f its construction are investigated. The problem is reduced to the Cauchy problem for a system o f integral-differential equations and system o f Volterra integral equations o f the second kind by introducing an additional parameter. An algorithm for finding a solution obtained an equivalent problem is constructed and the conditions for its convergence are formulated. The conditions o f the existence unique solution to the considered periodic problem for the system of partial integro-differential equations in the terms o f initial data. The periodic problem on the plane for a system o f hyperbolic equations with mixed derivatives is considered which leads to the investigated problem. The periodic problem on the plane is reduced to a periodic boundary value problem in a rectangle under the periodicity o f the data. For the solve o f periodic boundary value problem for the system o f hyperbolic equations o f second order is applied a method o f introducing functional parameters. This problem is reduced to an equivalent problem, consisting o f a periodic problem for the system o f partial integro-differential equations with functional parameters and a periodic boundary value problem for a system o f ordinary differential equations. The algorithms o f finding solution to setting equivalent problem are proposed. The conditions o f feasibility and convergence o f the constructed algorithm are proved in the terms o f the data to problem. The conditions o f the unique solvability to the periodic boundary value problem for the system o f ordinary differential equations are formulated in the terms o f initial data.
Sufficient coefficient conditions o f the unique solvability to the periodic boundary value problem for the system o f hyperbolic equations are established. Theorem o f the existence unique classical solution to the periodic problem on the plane for system o f hyperbolic equations is formulated.
This results are supported by grant o f the Ministry education and science o f the Republic Kazakhstan No 0822 / ГФ4.
Э О Ж 5 1 7 .9 5 6
ДЕРБЕС ТУЫНДЫЛЫ ИНТЕГРАЛДЬЩ-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЬЩ ТЕНДЕУЛЕР ЖУЙЕС1Н1Ц КЕЗЕЦД1 ШЕШ1МДЕР1 ТУРАЛЫ
А .Т . А с а н о в а
КР BFM Математика жэне математикальщ моделдеу институты, Алматы, Казакстан Тушн сездер: интегралдык-дифференциалдык, кезец, есеп, алгоритм, ш еш ш мдш к.
Аннотация. Дербес туындылы интегралдык-дифференциалдык тецдеулер ж уй еа ушш кезецдi есеп карастырылады. Карастырылып отырган есептщ жалгыз кезецi шешiмiнiц бар болуы мэселелерi жэне оны куру тэсiлдерi зерттеледi. Косымша функционалдык параметр енпзу аркылы зерттелiп отырган есеп интегралдык-дифференциалдык тецдеулер ж уй еа Yшiн Коши есебi мен екiншi тектi Вольтерра интегралдык тецдеулер жYЙесiне келтiрiледi. Алынган пара-пар есептщ шешiмiн табу алгоритмi тургызылады жэне оныц жинактылык шарттары тужырымдалады. Карастырылып отырган дербес туындылы интегралдык-дифференциалдык тецдеулер жYЙесi Yшiн кезендi есептщ жалгыз шешiмiнiц бар болуыныц шарттары бастапкы берiлiмдер терминiнде тагайындалады. Зерттелш отырган есепке келтiрiлетiн аралас
12
туындылары бар гиперболальщ тевдеулердщ ж у й ес Yшiн жазыктыктагы кезендi есеп карастырылады.
Берiлiмдерi кезендi болган жагдайда зертгелiнетiн жазыктыктагы кезендi есеп тжтертб^рыштагы кезендi шеттiк есепке келтiрiледi. Екiншi реттi гиперболалык тендеулер жYЙесi Yшiн кезендi шеттiк есептi шешу Yшiн функционалдык параметрлер енгiзу эдiсi колданылады. Кдрастырылып отырган есеп функционалдык параметрлерi бар интегралдык-дифференциалдык тендеулер жYЙесi Yшiн кезендi есептен жэне жэй дифференциалдык тендеулер жYЙесi Yшiн кезендi шетпк есептен т^ратын пара-пар есепке келпршедг Осы пара-пар есептiн шешiмiн табудын алгоригмдерi ^сынылган. Кдоылган алгоритмнiн жузеге асырылымдыгы мен жинактылыгы шарттары есептщ берiлiмдерi терминiнде алынган. Жэй дифференциалдык тендеулер ж уй еа Yшiн кезендi шетпк есептiн бiрмэндi шешiлiмдiлiгiнiн шарттары бастапкы берiлiмдер терминiнде т^жырымдалады. Гиперболалык тендеулер ж у й ес Yшiн кезендi шеттiк есептщ бiрмэндi шешiлiмдiлiгiнiн коэффициенттiк жеткiлiктi шарттары тагайындалган. Гиперболалык тендеулер жYЙесi Yшiн жазыктыктагы кезендi есептiн жалгыз классикалык шешiмiнiн бар болуы туралы теорема тужырымдалган.
Гиперболалы к тектес диф ф еренциалды к тен деулер Yшiн ш етп к есептер накты физикалык п роц естердщ математикалык модел1 рет1нде колданы старда ж и кездесед1 ж эн е д ер б ес туындылы диф ф еренциалды к тев д еу л ер д щ к ^ р п замангы теориясы ны н аукымды эр1 белсенд1 дамып жаткан б е л т н к¥райды. Ек1нш1 р е т п гиперболалы к тектес тен деулер теориясы нда кептеген физикалык есептерд1 ш еш у бары сы нда туы ндайты н д е р б е с туындылы интегралдык- диф ф еренциалды к тендеулер мацы зды орын алады. Ек1нш1 р е т п гиперболалы к тен деулер теориясы ны ц басты ж эн е к еп зерттелген есеп тер ш щ б1р1 - кезецщ ш ет п к есеп болы п саналады, оны ш еш у Yшiн Ф урье э д ю , б1ртшдеп жуы ктау э д ю , ф ункционалды к талдау эдютер1 м ен вариациялык эд ю колданылды, ш олу м ен енбектер библиограф иясы н [1-16] жумы стары нан керуге болады . Ек1нш1 р е т п гиперболалы к тектес тен деулер Yшiн кезенд1 есептерд1 карастыру ж эн е ш еш у бары сы нда д е р б е с туындылы интегралды к-дифф еренциалды к тен деулер Yшiн кезенд1 есептерд1 ш еш у м э с е л е с к ептеген ен бектерде к ездеседь
Ек1нш1 жагы нан, гиперболалы к тектес интегралды к-дифф еренциалды к тен деулер Yшiн к е з е н д ш ет п к есептерд1 зерттеудщ к а ж е т т ш п практиканын сураны стармен де аныкталады: физика, химия, биология ради о м ен электротехниканы н эралуан м эсел ел ер ш ш еш уге колданыстары бар.
А у а агындары аркылы кепт1ру ж эн е газдык динамикадагы изоэнтропиялык б1релшемд1 жазык агыстын п роц естерш карастыру к езш де, сызыкты ж эн е бейсы зы к изотермадагы газдарды н сорбциясы ны н динамикасы м ен кинетикасында, су тазалагыш CYЗгiлердегi аз концентрацияланган с у суспензиялары н фильтрациялык агартуды н кинетикасын сипаттаганда, серп1нд1 ж эн е тущ ы р ортадагы соккылык толкындарды зерттеу кез1нде ек1нш1 р е т п аралас туындылы гиперболалы к тен деулер жYЙесi д ер б е с туындылы интегралды к-дифф еренциалды к тен деулер жYЙесiмен тыгыз байланы ста колданылады. Осыларды ескерсек, д ер б ес туындылы интегралды к-дифф еренциалды к тен деулер жYЙесi Yшiн ш етп к есептерд1 зер ттеудщ к ек ей к есп е к е н д ^ шыгады.
¥сы н ы л ы п отырган макалада интегралды к-дифф еренциалды к тен деулер ж у й е с Yшiн к е з е н д ш ет п к есеп карастырылады
м ун да A (t, x ) , B ( t, x ) , C ( t , x ) (n x n ) -матрицалары, F ( t , x ) n - вектор-функциясы Q = [0 , T ] x [0, о ] облы сы нда Y зiлiссiз д еп жорамалданады .
(1) тен деулер жYЙесi t айнымалысы бойы нш а дифф еренциалды к, ал x айнымалысы бойы нш а интегралдык болы п табылады. (2) к езев д1 шарты барлык x е [ 0 , о ] Yшiн орындалуы керек.
(1), (2) есеб ш щ шешгмг д е п Q облы сы нда Yзiлiссiз эр1 t айнымалысы бойы нш а Yзiлiссiз дифф еренциалданаты н, барлык (t, x ) е Q Yшiн (1) тен деулер ж у й есш ж эн е барлык x е [0 , о ] Yшiн (2) к езен дi шартын кагаттандыратын v ( t , x ) n - вектор-функциясы н атаймыз.
Бул ж ум ы ста (1), (2) есе б ш щ ш еш iм iн iн бар болуы ж эн е жалгыздыгы м эселелерi зергтеледi.
Осы есеп т щ ж уы к ш еш iм iн табу ал го р и тм усынылады ж эн е оны н жинактылыгы дэл ел ден едь (1), (2) есе б iн iн ж алгы з ш еш iм iн iн бар болуы ны н шарттары бастапкы б е р ш м д е р терм и ндерiнде тагайы ндалады .
d v
~дг (1)
v (0 , x ) = v ( T , x ) , x е [0 , о ] , (2)
13
(1), (2) к е з е ц д е с е б ш ш еш у уш ш параметрлеу эд ю ш [17] пайдаланамыз.
Л (x ) = ~ ( 0 , x) бел гш еуш ен п зеш к . (1), (2) есеб ш д е v (t, x) = ~ ( t , x) + Л ^ ) алмастыруын жасайыщ. О нда к е л е с пара-пар есепке келем1з
^ ,л ~ , ы ,лГ d v ( t , —) „ M V , С + A (t, x ) v + B ( t , x) I ( — ) d — + C ( t , x) I v ( t , —) d —
d t I 0 d t J
+ A ( t , x) Л ( x) + C ( t , x) | Л — ^ — + F ( t , x) , (3) 0
~ ( 0 ,x) = 0 , x e [ 0 , о ] , (4)
~ ( T , x) = 0 , x е [ 0 , о ] . (5)
(3)-(5 ) е себ ш щ шеш1м1 д еп (Л (x ), ~ ( t , x) ) функциялар ж убы н атаймыз, м унда ~ ( t , x) функциясы Q облы сы нда у зш с с 1 з ж эн е t айнымалысы бойы нш а у з ш с а з диф ф еренциалданады , Л (x ) функциясы [0, о ] аралыгында у з ш с а з , (3) тец деулер ж у й есш ж эн е (4), (5) шарттарын
^анагаттандырады.
Б е к т л г е н Л (x ) уш ш (3), (4) есеб1 интегралдыщ-дифференциалдыщ тец деулер ж у й е с уш ш К ош и есеб1 болады . А л (5) шарт Л (x ) белп с1з параметрш табуга м ум ю н дш береди
(3), (4) К ош и есеб ш щ шеш1м1 к е л е с Вольтерра интегралдьщ тен деулер ж уй есш е пара-пар болады
t x f* \ t x
v (t, x) = | A ( r , x) v ( r , x ) d r + 1 B ( r , x ) | ---,— d —d r + | C ( r , x) | v ( r , —) d —d r +
0 0 0 d r 0 0
t t x t
+ | A ( r , x )d r ■ Л ( x) + | C ( r , x ) d r ■ I Л — ^ —+ 1 F ( r , x ) d r , (t, x ) e Q . (6)
0 0 0 0
(6) v ( t, x) функциясыныц к еш птем есш ен t = T болгандагы м эн ш тауып (5) шартына
^оятын болса^ т е м е н д е п е р н е к т аламыз
T T x T
\ +
| A (r , x ) d r -Л( x) + 1 C ( r , x ) d r ■ | Л (—)d — = - | F (r , x ) d r -
0 0 0
x d v r — ) T x
,x) |--- d —d r - \ C ( r ,x)
- | A ( r , x ) ~ ( r , x ) d r - I B ( r , x ) | ---,— d —d r - I C ( r , x ) | ~ ( r , —)d —d r , x е [ 0 , о ] . (7)
0 0 0 d r 0 0
~ (t, x) функциясы б е к т л г е н ж агдай да бул тецщ к Л (x ) функциясы на ^атысты Вольтерра интегралдыщ тец деулер ж у й е с болады .
Егер Л ( x) б е л г ш болаты н болса, (3), (4) интегралдыщ-дифференциалдыщ тен деулер ж у й е с уш ш К ош и есе б ш ен v (t, x) функциясын табамы з, ал керю ш ш е, v (t, x) функциясы б е л г ш б ол са (7) В ольтерра интегралдыщ тен деулер ж у й есш ен Л (x ) функциясын табамыз.
Бул ж ер де ~ (t, x) функциясы да, Л ( x) функциясы д а б е л п а з болгандыщтан,
(3)-(5 ) е се б ш щ шеш1м1 - (Л (x) , ~ ( t ,x)) функциялар ж убы н табу уш ш итерациялыщ п роц есс пайдаланы лады .
(3)-(5 ) е с еб ш щ шеш1м1 - (Л* (x ) , v * (t, x ) ) ж убы н (Л(k) ( x ) , v (k)(t, x ) ) ж уптары нан туратын т1збектщ ш е п ретш де, м унда k = 0 ,1 ,2 ,..., к е л е с алгоритм бойы нш а табамыз:
0-цадам . 1) (4) шартын пайдаланы п, (7) интегралдыщ тец деулер ж у й есш щ оц жагы нда
v d ~ ( t , x ) „(о), ч
v ( t , x) = 0 , --- = 0 , д еп есептеп , Л ( x ) алгаш^ы жуыщтауын барлыщ x е [0 , о ] уш1н d t
табамыз; 2) (3), (4) интегралдыщ-дифференциалдыщ тец деулер ж у й е с уш ш К ош и есебш ен , т ец д еу д щ оц ж агы нда Л (x ) = Л(0) ( x ) д еп санап, ~ (0) (t, x) алгаш^ы жуыщтауын барлыщ (t, x) е Q уш ш табамыз;
--- 14 ---
0
0
T T
1-цадам . 1) (7) интегралдык тец деулер ж уй есш щ оц ж агы нда
~(t, x)
=~ (0)(t,
x ) , d ~ ( t , x ) d ~ (0)( t , x ) (1), ,--- = --- , д е п есеп теп , л ( x ) ж уыктауы н барлык x е [0 , о ] Yшiн табамыз; 2) (3),
d t d t
(4) интегралды к-дифф еренциалды к тец деулер жYЙесi Yшiн К ош и есеб ш ен , тец д еу д щ оц ж агы нда Л ( x ) = Л(1)( x ) д е п санап, ~ (1)( t , x ) жуыктауы н барлык (t, x ) e Q Yшiн табамыз;
О дан эр1 ж алгастыра берем1з.
k -цадам. 1) (7) интегралдык тец деулер жYЙесiнiц оц ж агы нда ~ ( t , x ) = ~ (k !)(t , x ) , d ~ ( t , x ) d ~ (k-1)( t , x ) (k ), N
--- = ---, д еп есептеп , л ( x ) ж уыктауы н барлык x е [0 , о ] Yшiн табамыз; 2) (3),
d t d t
(4) интегралды к-дифф еренциалды к тец деулер жYЙесi Yшiн К ош и есеб ш ен , тец д еу д щ оц ж агы нда X (x ) = X k) ( x ) д еп санап, ~ (k ) ( t , x ) ж уыктауы н барлык (t, x ) e Q Yшiн табамыз.
¥сы н ы л ган алгоритм нщ жYзеге асырылымдыгы ж эн е жинактылыгы шарттары, оган коса (3)- (5) есеб ш щ бiр м эндi ш еш iлiм дiлiгi шарттарын туж ы ры м дау Yшiн келесi белгiлеулердi енгiзейiк
a = m a x || A ( t , x ) \ \ , р = m a x || B ( t , x ) | | , % = m a x II C ( t, x ) | | , a = a + w e ^ CD[ a + a % ] + o .
(t ,x )eQ (t ,x)eQ (t ,x)eQ
К е л е с теорем а орынды болады .
1 т ео р ем а . Твмендег1 ш арт т ар оры ндалсы н:
i) A ( t, x ) , B ( t, x ) , C ( t , x ) (n x n ) -м ат рицалары , F ( t , x ) n - вект ор-ф ункц иясы Q об л ы сы н да Y зiлiссiз болсын;
~ T
ii) A ( x ) = J A ( r , x ) d r м ат ри ц асы барлы ц x e [ 0 , о ] Yшiн ц айт ары м ды ж эн е 0
у = m a x | | [ A ( x ) ] -1 || болсын;
xe[0,m ]
iii) в у^Т(° у ^ ё
О н да (3)-(5) есеб iнiц ж а л гы з ш еш iм i - ( X ( x ) , ~ * (t, x ) ) ф ункциялар ж у б ы б а р болады ж эне к е л е с т ецсiздiкт i ц ан агат т анды рады
max ||
~ *(t,x) | + max || X (x) ||< K (Т,о) max || F(t,x) ||
, (8)(?,x)eQ xe [0 ,o ] (?,x)eQ
м у н д а гы K ( T , о ) - баст апцы б е р м м д е р арцы лы ернект елет т оц сан.
1 теорем аны ц дэл ел д еу i жогары дагы алгоритмге сэйк ес, [11] ж умы стагы 1 теорем аны ц д э л ед д еу iн е уксас жYргiзiледi.
Табы лган ~ * (t , x ) ж эн е X ( x ) функциялары аркылы (1), (2) есеб ш щ ш еш iм i - v *( t , x ) функциясын курамыз: v * (t, x ) = ~ * (t, x ) + X (x ) .
(1), (2) е с е б i м ен (3)-(5 ) е с е б i пара-пар болганды ктан, 1 теорем адан к е л е с тужырым шыгады.
2 т ео р ем а . 1 т еорем ан ы ц i)-iii) ш арт т ары оры ндалсы н.
О н да (1), (2) инт егралды ц -ди ф ф ерен ц и алды ц т ец деулер Ж Y йесi Yшiн кезец д i есебш щ ж а л гы з ш еш iмi - v * (t, x ) ф ункциясы б а р болады ж эн е к е л е с т ецсiздiкт i ц ан агат т ан ды рады
max || v
*(t, x)||< K( T ,o )m ax || F (t, x) ||
. (9)( t, x)eQ (t,x)e Q
Ендi (1), (2) к е з е ц д ес е б iн зерттеу к а ж е т т ш п туы ндайты н екiнш i реттi гиперболалы к тец деулер жYЙесi Yшiн кезецдi есепке кeш ейiк.
R 2 жазыктыгында к езецдi шарттары бар аралас туындылары бар екiнш i реттi гиперболалы к тец деулер жYЙесi карастырайык
d 2u „ d u „ d u
\ г Ш - 1 - Ш J + [ e ^ ° - 1JJa + с о в ) Т 1 т ец сiзд iгi оры н ды болсын.
= A ( t, x ) --- ъ B ( t , x ) --- ъ C (t, x ) u + f ( t , x ) , (10)
d td x d x d t
--- 15
u ( t + T , x ) = u ( t , x ) , ( t , x ) е R 2 , (11) u (t, x + о ) = u (t, x ) , ( t , x ) е R 2 , (12) м ^нда A (t, x ) , B ( t, x ) , C ( t , x ) (n x n ) -матрицалары, f
(t, x)
n - вектор-функциясыR2
жазыктыгында Yзiлiссiз, эр! ( T , о ) — кезенщ , ягни мына тендiктер оры н алады A ( t + T , x ) = A (t, x ) , A ( t , x + о ) = A ( t , x ) , B ( t + T , x ) = B ( t , x ) , B ( t , x + о ) = B ( t , x ) , C ( t + T , x ) = C ( t, x ) , C ( t , x + о ) = C ( t , x ) , f ( t + T , x ) = f (t, x ) , f (t, x + о ) = f (t, x ) , (t, x ) е R 2 .
n2 . . . . . .
du(t, x) du(t, x) 52u(t, x)
R жазыктыгында YЗiлiCCiЗ u ( t, x ) функциясы, YЗiлiCCiЗ --- , --- , ---
dx
d t d td xтуындылары бар болы п, (1 0 ) жYЙесiнiн классикалык ( T , о ) — к е з е н д ш еш iмi д еп аталады, егер ол (3) тендеулер жYЙесiн барлык ( t , x ) е R 2 Yшiн ж эн е (11), (12) кезендш ы к шарттарын канагаттандыратын болса.
C ( Q , R n) (сэйкесiн ш е C ( [ 0 , T ] ,R n) , C ( [ 0 , о ] , R n) аркылы Q ( [ 0 , T ] , [ 0 , о ] ) облы сы нда Y зiлiссiз и : Q ^ R n (Щ : [ 0 ,T ] ^ R n H : [ 0 , о ] ^ R n) функцияларынын к енiстiгiн белгiлейм iз, нормасы тeм ен д егiд ей
Н 0 = m x J u ( t , x ) l ( N I 1 = m x J k ( t ^ , И 2 = ^ И - Ф ,
n
м ^нда ||u(t, x)|| = m a x | u. (t, x ) | , ||A (t, x ) || = m a x ^ | a ij (t, x ) | .
i=1,n i =1,n j
Карастырылып отырган (1 0 -(1 2 ) ес е б i Yшiн
и ( 0 ,x ) = u( T ,x ) , x е [ 0 , о ] , (13) u (t,0 ) = u ( t , a ) , t е [ 0 , T ] , (14) тендiктерi (t, x ) бойы нш а Пуанкаре кезендш ы к шартынын баламасы болады
u(t,
x )е
C(Q,
R n)
функциясы,du(t, x) е
C(Q,
R n) ,du(t, x) е
C(Q,
R n) ,5
и ( ^x) е C(Q,
R n)
dx dt
d td xд ер б е с туындылары бар болы п, (10), (13), (14) е се б ш щ классикалык ш еш iмi д е п аталады, егер ол (1 0 ) тен деулер жYЙесiн барлык (t, x ) е Q Yшiн канагаттандыратын б ол са ж эн е (13), (14) ш етп к шарттары орындалатын болса.
u ( t , x ) - (10), (13), (14) есеб ш щ классикалык ш еш iмi болсы н. О нда t = k T , x = т о , k , т е Z , характеристикаларынын касиегтерiне орай ж эн е (13), (14) тецдiктерi бойы нш а, u ( t , x ) функциясынын t, x бойы нш а R 2 жазыктыгына сэйк есш ш е T м ен о к езен дер iм ен жалгасы болы п табылатын и * ( t , x ) функциясы (10) жYЙесiнiн классикалык ( T , о ) — к е з е н д ш еш iмi болады , ягни ею айнымалы бойы нш а кезецдiлы к шарттары орындалады и * (t + T , x ) = и * ( t , x ) ,
и * ( t , x + о ) = и * ( t , x ) , ( t , x ) е R 2 .
(10) жYЙесiнiн д ер б ес жагдайлары Yшiн жазыктыктагы к е з е н д есеп [18-20] ж^мыстарында ф ункционалды к параметрлер е н п з у эд iсiм ен [21-23] зерттелген болатын. Ж ана бел гiсiз функциялар ен гiзу аркылы карастырылып отырган есеп ж эй диф ф еренциалды к тен деулер жYЙесi Yшiн кезец дi ш етп к есептер эулетш е ж эн е ф ункционалды к катынастарга келтiрiлген едi. Е септiн берiл iм дерi терм и ндер iнде ш еш iлiм дiлiк шарттары тагайындалган болатын. Е н д екiнш i регтi гиперболалы к тен деулер жYЙесi Yшiн жазыктыктагы к езен дi есеп тiн б1рмэнд1 ш еш iлiм дiлiгi м эсел есi (1), (2) д е р б е с туындылы интегралды к-дифф еренциалды к тен деулер жYЙесi Yшiн к езецдi есеп тiн 6 !рмэнд! ш еш iлiм дiлiгi м эсел есш е экелiнедi. Ж ана бел гiсiз функциялар е н п з у аркылы (10), (13), (14) ес еб i д ер б е с туындылы интегралды к-дифф еренциалды к тен деулер ж у й е с Yшiн к езец дi ш егтiк есепке ж эн е ж эй диф ф еренциалды к тен деулер жYЙесi Yшiн к езен дi ш еттiк есепке
--- 16 ---
келт1ршедь Алы нган есеп тер дщ ш еш iм iн табу алгоритм дерi ^урылады ж эн е жинакгылыгы шарттары келтiрiледi. (10), (13), (14) есе б ш щ жалгыз классикалыщ ш еш iм ш щ бар болуы шарттары б а ста щ ы берiлiм дер т е р м и н д ер в д е алынган.
(10), (13), (14) есеб ш ен пара-пар есепке к еш у ж олы н к ерсетеш к. Бул ж ер де ^осымша функционалдыщ параметр енгiзем iз: ju (t) = u ( t ,0 ) д еп белгiлейiк. (10), (13), (14) е с е б в д е iздел iн дi u ( t , x ) функциясын u ( t, x ) = u ( t , x ) + f ( t ) тYрiнде алмастырайыщ. О нда б iз келесi пара
пар есепке к еш ем iз
д 2u . d u ^ д й
= A ( t , x ) ---h B ( t , x ) ---h C ( t , x ) u + B ( t , x ) f i ( t ) + C ( t , x ) f ( t ) + f ( t , x ) , (15)
d td x d x d t
u ( 0 , x ) = u ( T , x ) , x е [ 0 , ю ] , (16)
u ( t , 0 ) = 0 , t e [ 0 , T ] , (17)
u ( t,a > ) = 0 , t e [ 0 , T ] . (18)
Оган ^оса, (13) шарттан f ( 0 ) = f ( T ) тендiгi туындайды.
(1 5 )-(1 8 ) есеб ш щ ш еш iмi д еп ( p ( t ), u ( t , x ) ) функциялар ж убы н атаймыз, м унда u ( t , x ) функциясыньщ Q облы сы нда бiрiнш i реттi ж эн е аралас екiнш i реттi Y зiлiссiз туындылары бар,
f ( t ) функциясы [0 , T ] аралыгында Yзiлiссiз дифф еренциалданады , (15) тен деулер жYЙесiн ж эн е ( 16)-( 18) шарттарын ^анагаттандырады.
(1 5 )—(18) есеб i бекiтiлген ju (t) Yшiн Q облы сы нда u ( t , x ) функциясына ^атысты бейлокал жартылай кезендi шеттiк есеп болы п саналады. А л (18) ^атынасы кезендi шартты
^анагаттандыратын бел гiсiз f ( t ) функционалдыщ параметрiн табуга мYмкiндiк береди du (t, x )
Ж ана б ел ггаз V ( t , x ) = --- функциясын ен п зеш к . С он да (17) шартты ескере отырып, dx
к е л е с тендiктердi аламыз:
;:(,,x) = u(t,0) + )
v(t,g)d$ = )v(t,g)d $
,= ) d V t 4 ) d4 .
i
J0dt i dt
Е ндеш е (1 5 )-(1 8 ) е себ iн келесi турде ж азуга болады
d V = A ( t , x ) V + B ( t , x ) ) d V ( ( , 4 "') d ^ + C ( t , x ) [ v ( t , 4 ) d 4 + B ( t , x ) f ( t ) + C ( t , x ) f ( t ) + f ( t , x ) , (19)
д 0 d t 0
V (0 , x ) = V ( T , x ) , x e [0 , ю ] , (20)
Ю
u ( t , a ) = ) V ( t , 4 ) d 4 = 0 , t e [ 0 , T ] . (21) 0
f ( 0 ) = f ( T ) . (22)
(2 0 ) ш арт (16) ж эн е (17) шарттарына пара-пар болады .
(1 9 ) тен деулер жYЙесi V ( t, x ) функциясы на ^атысты f ( t ) функционалдыщ параметрi бар интегралдыщ-дифференциалдыщ тендеулер жYЙесi болы п табылады. (20) шарты уа^ыт бойы нш а кезендшыщ шарты болады . (21) ^атынасы (22) ш артымен бiрге бел гiсiз f ( t ) параметрiн аныщтауга мYмкiндiк бередi.
(1 9 )-(2 2 ) ес еб iн iн ш еш iмi д еп ( V ( t, x ) , f ( t ) ) функциялар ж убы н атаймыз, м ун да V ( t, x ) функциясынын Q облы сы нда t бойы нш а бiрiнш i р е т п Y зiлiссiз туы ндысы бар, f ( t ) функциясы [0 , T ] аралыгында Y зiлiссiз дифф еренциалданады , (19) интегралдыщ-дифференциалдыщ тен деулер жYЙесiн, (20) шартын, (21) ^атынасы м ен (22) шартын ^анагаттандырады.
17
r d V (t ,E )
(2 1 ) т е ц д щ н t бойы нш а диф ф еренциалдаса^, I ---— d E = 0 тец дiгi шыгады. Одан Ь d t
кейiн, (1 9 ) тец деулер ж уй есш щ оц ж агы н осы интегралга x = £ м эн iн де ^оятын болса^, келесi тен деулер ж у й есiн аламыз
т т т
| B ( t , E d • / ( t ) = - 1 с ( t , £ ) d £ • / ( t ) - 1 f ( t , £ ) d £ -
0 0 0
т т E r)V ( t ^ т E
- 1 ^ ( t ,) V ( t ,E ) d E - 1 B ( t , E ) | ( ,E 1 ) dE id E - 1 с ( t , E ) | v ( t , E i ) d E i d E . (23)
0 0 0 d t 0 0
(2 3 ) тец деулер ж у й есi (22) к езендi ш арты мен бiрге, V (t, x ) функциясы бекiтiлген ж агдайда, / ( t ) функциясы на ^атысты ж эй дифференциалдыщ тец деулер ж уй есi уш ш к езец дi ш еттiк есеп болады .
Соны мен, ( V (t, x ) , / ( t ) ) функциялар ж убы н а к;атысты (19), (20) ж эн е (23), (22) есептерш е келдiк. Егер / ( t ) функциясы (эрi туы ндысы / ( t ) ) б е л г ш болса, он да (19), (20) интегралдык- диф ф еренциалды к тец деулер ж у й есi уш iн кезецщ ш еттiк есеп тен V (t, x ) функциясын табуга
dV (t, x)
болады . К ерiсiнш е, егер V ( t ,x ) функциясы (эрi д ер б ес туы ндысы --- ) б е л г ш болса, он да
St
(23), (22) ж эй дифф еренциалдьщ тец деулер ж у й е с уш iн кезецщ шеттiк есеб iн ен / ( t ) функциясы табылады. Бул ж ер де V (t, x ) функциясы да, / ( t ) функциясы д а бел гiсiз, сондыщтан (19), (20), (23), (22) есеб ш щ ш еш iм i болаты н ( V ( t, x ) , / ( t ) ) функциялар ж убы н аныщтау уш ш итерациялыщ процестi пайдаланамыз.
(19), (20), (23), (22) есеб ш щ ш еш iмi - ( V * ( t , x ) , / i * ( t )) ж убы н ( V (m)( t , x ) , / (m)( t ) ) ж уптары нан туратын тiзбектiц ш е п ретiн де, м унда m = 0 ,1 ,2 ,..., к е л е с P алгоритмi бойы нш а табамыз:
0-цадам . а) (19), (20) интегралды к-дифф еренциалды к тец деулер ж у й есi уш iн кезецщ есебiн ен , т ен д еу д iц оц ж агы нда / ( t ) = 0 , / ( t ) = 0 д е п санап, V (0)
(t, x)
алгаш^ы ж уыктауы н барлыц (t, x ) е Q уш iн табамыз; э) (23), (22) ж эй дифференциалдыщ тец деулер ж у й е с к езец дi есебiн ен , оц ж агы нда V (t, x ) = V (0 )(t, x ) , S V (t, x ) = ^ K — ( ^ x ) д еп санап, / (0)( t ) функциясын барлыцS t d t
t e [ 0 ,^ ] уш iн табамыз.
1-цадам . a) (19), (20) интегралды к-дифф еренциалды к тец деулер ж у й е с уш iн к езен дi есебш ен , тец ц еудщ оц ж агы нда / ( t ) = / (0)
(t)
, (л(t)
= / (0)(t)
д еп санап, V (1)(t, x)
ф ункциясын барлыц(t, x ) e Q у ш ш табамыз; э) (23), (2 2 ) ж эй дифференциалдыщ тец деулер ж у й есi уш ш кезецщ есеб iн ен , оц ж агы нда
V(t, x) = V(1)(t, x)
, d V (t, x ) = d V — (ti x ) д еп санап, ( (1)( t ) функциясынd t d t
барлыщ t e [ 0 ,^ ] у ш ш табамыз.
О дан эрi ж алгастыра берем iз.
m -цадам . а) (19), (2 0 ) интегралды к-дифф еренциалды к тец деулер ж у й есi уш iн кезецщ есеб ш ен , т ец д еу д щ оц ж агы нда / ( t ) = / (m 1)(t) , ( i (t) = ( i (m 1)( t ) д е п санап,
V(m)(t,x)
функциясын барлыц (t, x ) e Q уш ш табамыз; э) (23), (22) ж эй дифференциалдыщ тец деулер ж у й е с
18
л 1Л т )и л d V (t, x ) d V (m )( t , x )
у ш ш к езен д1 есеб ш ен , оц ж агы нда V ( t, x ) = V J ( t, x ) , --- = --- д еп санап,
d t d t
ju(m\ t ) функциясын барлыц t g [0, T ] уш ш табамыз.
Соны мен, усыны лган P алгоритм ш щ эрб1р цадамы ею к езецнен турады:
1) V (t, x ) функциясына цатысты (19), (20) кезецщ есеб1 ш еш ш едц 2) ju (t) функциясына цатысты (23), (22) кезецщ есеб1 ш еш ш едь
(23), (22) ж эй диф ф еренциалды к тен деулер ж у й е с уш ш кезецщ ш етп к есе б ш щ б1рмэцщ о
ш е ш ш м д ш к шарттары, B ( t ) = | B (t,£)d<% матрицасы барлыц t G [0, T ] уш ш цайтарымды болган 0
ж агдайда, [17] ж ум ы ста ею нуктел1 ш етп к есептерге цатысты бастапцы б е р ш м д е р терм инш де тагайындалган болатын. А л (19), (20) интегралды ц-дифф еренциалды ц тен деулер ж у й е с уш ш кезецщ ш етп к есеб1 осы мацалада арнайы царастырылып, ж огары да цойылган (1), (2) есеб ш щ б1рмэцщ ш е ш ш м д ш п н щ шарттары аныцталды.
Енд1 (23), (22) есеб ш е сэй к ес келетш к е л е с ж эй диф ф еренциалды ц тен деулер ж у й есш царастырайыц
0 о
1 B ( t, £ ) d £ • U ( t ) = — I C (t, %)d% • u ( t ) — g ( t ) , (24)
0 0
м ун да g ( t ) - n — елшемд1 \ 0 , T ] аралыгында у зш с с 1 з функция.
со о
Оган ц оса B ( t ) = I B ( t , 4 ) d £ , = m a x \ B ( t ) ] —1 , C ( t ) = I C ( r , g ) d g ,
1 tG [0T ] 1
T
\ B ( t ) ] ~ 1C~(t) белгш еулерш ен п зеш к ж эн е D ( T ) = | \ B (T )]~ ^ C (T )d T матрицасы 0
цайтарымды болсы н.
К е л е с тужырым (24), (22) ж эй диф ф еренциалды ц тен деулер ж у й е с уш ш кезецщ есептщ б1рмэцщ ш е ш ш м д ш п шарттарын береди
3 т ео р ем а . Т вм ен дегi ш арт т ар оры ндалсы н:
i) B ( t, x ) , C ( t , x ) (n x n ) -м ат рицалары Q облы сы нда, g ( t ) П - вект ор-ф ун кц иясы \ 0 , T ] а р а л ы гы н д а Y зiлiссiз болсын;
о
ii) B ( t ) = | B ( t , £ ) d £ м ат ри ц асы барлы ц t G [0, T ] Yшiн ц айт ары м ды болсын;
0 T
iii) D ( T ) = | \J ~ (r)]~ 1C~(T)dT м ат ри ц асы ц айт ары м ды болсын ж эн е 0
|| \ D ( T )] 1 ||< а болсын, м у н д а
а
- оц сан;у = m a x tG \0,T ]
iv)
а
' e y T — 1 — ~~T| < 1 т ец сiзд iгi оры н ды болсын.О н да (24), (22) ж эй ди ф ф ерен ц и алды ц т ец деулер Ж Y й есi Yшiн кезец дi есеб ш щ ж а л гы з ш еш iм i - и ( t ) ф ункциясы б а р болады ж эн е к е л е с т ецсiздiкт i ц ан агат т ан ды рады
m a x || u * ( t ) ||< k ( T ) m a x || g ( t ) | | , (25)
t e \ 0 ,T ] te \ 0 ,T]
м у н д а гы k ( T ) - баст апцы б е р м м д е р арцы лы ернект елет т оц сан.
2 теорем аны ц дэлелдеу1 [17] жумы стагы 1 теорем аны ц д эл ел деуш е уцсас ж у р п зш ед ь
19
Ж огары да к ел ^ рш ген 2 теорем аны н ж эн е осы 3 теорем аны н н егiзiн де (10), (13), (14) е себ ш щ классикалыц ш еш iм ш щ бар болуы м ен жалгыздыгы шарттары тужырымдалады. Бул тужырым ж огары да тургы зы лган P алгоритм iнiн жинацтылыц шарттарын д а орнатады.
4 т е о р е м а . i) A ( t , x ) , B ( t, x ) , C ( t , x ) (n x n ) -м ат рицалары , F ( t , x ) n - вект ор-ф ункц иясы Q об лы сы н да Yзiлiссiз болсын;
ii) 1 т еорем анъщ ш арт т ары оры ндалсы н;
iii) 2 т еорем аны ц ш арт т ары оры ндалсы н;
iv)
max(jk(T) +1, k(T))p ■
т е ц а з д т оры ндалсы н.
О н да (10), (13), (14) ги перболалы ц т ец деулер Ж Y йесi Yшiн кезецдi шеттЫ есебш щ x
u* ( t , x ) = ) v* ( t , 4 ) d 4 + f f ( t ) ж а л гы з классикалы ц ш еш iм i б а р болады.
0
Бастапцы б е р ш м д е р д щ ( T , ю ) — к езен д ш ш н ж эн е сипаттамалардын цасиеттерш ескерсек, келесi тужырым орынды болады .
5 т ео р ем а . i) A ( t, x ) , B ( t, x ) , C ( t , x ) (n x n ) -м ат рицалары , f (t, x ) n - вект ор-ф ункц иясы R 2 ж азы ц т ы гы н да Y зiлiссiз ж эн е ( T , ю ) — кезец дi болсын;
ж эн е 4 т еорем аны ц ii)-iv) ш арт т ары оры ндалсы н.
О н да (10), (11), (12) ги перболалы ц т ец деулер Ж Y йесi Yшiн ж азы цт ы цт агы кезец д i есепт щ u * ( t , x ) ж а л гы з классикалы ц ( T , ю ) — кезец д i ш еш iмi б а р болады.
Корытынды. Соны мен, (1), (2) интегралдыщ-дифференциалдыщ тен деулер жYЙесi Yшiн к езендi есеп зерттелдь (1), (2) интегралдыщ-дифференциалдыщ тен деулер жYЙесi Yшiн к езен дi есеп тiн ш еш iм iн табу алгоритш параметрлеу эд iс i аркылы тургызылды. (1), (2) интегралдыщ- диф ф еренциалды ^ тен деулер жYЙесi Yшiн кезен дi есеп тiн бiр м эн дi ш е ш ш м д ш п шарттары бастап^ы берiлiм дер терм инiнде тагайындалды. М ундай есеп гиперболалы ц тен деулер жYЙесi уш iн жазыцтыцтагы к езен дi есептi царастыру бары сы нда туындайтыны к ерсетiлдi. Бул гиперболалы ц тен деулер жYЙесi Yшiн жазыцтыцтагы кезецщ есеп тiн ш еш iм iн табу алгоритмiн цуруга ж эн е оны н жинацтылыгын дэл ел деуге мYмкiндiк бер дi. Оган цоса гиперболалы ц тен деулер жYЙесi Yшiн жазыцтыцтагы к езен дi есеп т щ ж алгы з ш еш iм iнiн бар болуы шарттарын бастапцы берiлiм дер арцылы орнатылды.
ЭДЕБИЕТ
[1] Vejvoda O. Herrmann L., Lovicar V. et al. Partial differential equations: time - periodic solutions. Prague: Martinus Nijhoff Publ, Hague, Boston, London, 1982. - 358 p.
[2] Перов А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний. Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1981. - 196с.
[3] Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными.
Киев: Наук. думка, 1984. - 264c.
[4] Митропольский Ю.А., Хома Г.П., Громяк М.И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа. Киев: Наук. думка, 1991. - 232с.
[5] Самойленко А.М., Ткач Б.П. Численно-аналитические методы в теории периодических решений уравнений с частными производными. Киев: Наук. думка, 1992. - 208с.
[6] Колесов А.Ю., Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений. М.: Наука, 1998. - 191 с. - (Тр. МИАН; Т. 222)
[7] Cesari L. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Proc. Internat. Sympos. Non-linear Vibrations (Kiev 1961), Izd. Akad. Nauk Ukrain. SSR. Kiev. 1963. Vol. 2. P. 440-457.
[8] Cesari L. A criterion for the existence in a strip of periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Rend.
Circ. Mat. Palermo. 1965. Vol. 14. No 2. P. 95-118.
[9] Aziz A.K. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations. // Proc. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 17. No 3.
P. 557-566.
a a + (p + x ) — ю max v [(a + x<o) K (T, ю) + 4 K (T, (*))■{£+ X }< 1
20
[10] Hale J.K. Periodic solutions of a class of hyperbolic equations containing a small parameter // Arch. Rational Mech.
Anal. 1967. Vol. 23. No 5. P. 380-398.
[11] Lakshmikantham V., Pandit S.G. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Comput. and Math.
1985. Vol. 11. No 1-3. P. 249-259.
[12] Жестков С.В. О двоякопериодических решениях нелинейных гиперболи-ческих систем в частных производных //Украинский математический журнал. 1987. Т. 39. No 4. C. 521-523.
[13] Kiguradze T. Some boundary value problems for systems of linear partial differential equations of hyperbolic type //Mem. Differential Equations Math. Phys. 1994. Vol. 1. P. 1-144.
[14] Kiguradze T. On periodic in the plane solutions of second order hyperbolic systems // Archivum mathematicum. 1997.
Tomus 33. No 4. P. 253-272.
[15] Kiguradze T. On periodic in the plane solutions of nonlinear hyperbolic equations // Nonlinear Analysis. 2000. Vol.
39. No 1. P. 173-185.
[16] Kiguradze T., Lakshmikantham V. On doubly periodic solutions of fourth-order linear hyperbolic equations //
Nonlinear Analysis. 2002. Vol. 49. No 1. P. 87-112.
[17] Dzhumabayev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation // USSR Computational mathematics and mathematical Physics. 1989. Vol. 29. No 1. P.34-46.
[18] Асанова А.Т. Периодическая краевая задача для систем гиперболических уравнений // Доклады НАН РК.
2002. No 4. C. 5-11.
[19] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Periodic solutions of systems of hyperbolic equations bounded on a plane //
Ukranian Mathematical Journal. 2004. Vol. 56. No 4. P.682-694.
[20] Асанова А.Т. Аралас туындылары бар гиперболалык; тецдеулердщ арнайы турдеп жуйес ушн жазык;тык;тагы кезецд1 есеп туралы // ¥ЕА Хабарлары. Физика-математика сер. 2015. No 4 (302). 104-117 Б.
[21] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Unique solvability of the boundary value problem for systems of hyperbolic equations with data on the characteristics // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2002. Vol.42. No 11. P.
1609-1621.
[22] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Unique solvability of nonlocal boundary value problems for systems of hyperbolic equations // Differential Equations. 2003. Vol.39. No 10. P. 1414-1427.
[23] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Well-posedness of nonlocal boundary value problems with integral condition for the system of hyperbolic equations //Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2013. Vol. 402. No 1. P.167-178.
REFERENCES
[1] Vejvoda O. Herrmann L., Lovicar V. et al. Partial differential equations: time - periodic solutions. Prague : Martinus Nijhoff Publ, Hague, Boston, London, 1982. - 358p.
[2] Perov A.I. Variatsionnye metody v theorii nelineinyh kolebanii. Voronezh: Izd-vo Voronezh. Un-ta, 1981. -196s.
[3] Ptashnik B.I. Nekorrectnye granichnye zadachi dlia differentsial’nyh uravnenii s chastnymi proizvodnymi. Kiev: Nauk.
dumka, 1984. - 264s.
[4] Mitropol’skii Yu.A., Khoma G.P., Gromiyak M.I. Asimptoticheskie metody issledovaniya kvazivolnovyh uravnenii giperbolicheskogo typa. Kiev: Nauk. dumka, 1991. - 232s.
[5] Samoilenko A.M., Tkach B.P. Chislenno-analiticheskie metody v teorii periodicheskih reshenii uravnenii s chastnymi proizvodnymi. Kiev: Nauk. dumka, 1992. - 208s.
[6] Kolesov A.Yu., Mishenko E.F., Rozov N.Kh. Asimptoticheskie metody issledovaniya periodicheskih reshenii nelineinyh giperbolicheskih uravnenii. M.: Nauka, 1998. - 191 s. - (Trudy MIAN; T.222)
[7] Cesari L. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Proc. Internat. Sympos. Nonlinear Vibrations (Kiev 1961), Izd. Akad. Nauk Ukrain. SSR. Kiev. 1963. Vol. 2. P. 440-457.
[8] Cesari L. A criterion for the existence in a strip of periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Rend.
Circ. Mat. Palermo. 1965. Vol. 14. No 2. P. 95-118.
[9] Aziz A.K. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations. // Proc. Amer. Math. Soc. 1966. Vol. 17. No 3.
P. 557-566.
[10] Hale J.K. Periodic solutions of a class of hyperbolic equations containing a small parameter // Arch. Rational Mech.
Anal. 1967. Vol. 23. No 5. P. 380-398.
[11] Lakshmikantham V., Pandit S.G. Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations // Comput. and Math.
1985. Vol. 11. No 1-3. P. 249-259.
[12] Zhestkov S.V. O dvoiyakoperiodicheskih resheniyah nelineinyh giperboli-cheskih system v chastnyh proizvodnyh //Ukrainskii matematicheskii journal. 1987. T. 39. No 4. S. 521-523.
[13] Kiguradze T. Some boundary value problems for systems of linear partial differential equations of hyperbolic type //
Mem. Differential Equations Math. Phys. 1994. Vol. 1. P. 1-144.
[14] Kiguradze T. On periodic in the plane solutions of second order hyperbolic systems // Archivum mathematicum. 1997.
Tomus 33. No 4. P. 253-272.
[15] Kiguradze T. On periodic in the plane solutions of nonlinear hyperbolic equations // Nonlinear Analysis. 2000. Vol.
39. No 1. P. 173-185.
[16] Kiguradze T., Lakshmikantham V. On doubly periodic solutions of fourth-order linear hyperbolic equations //
Nonlinear Analysis. 2002. Vol. 49. No 1. P. 87-112.
[17] Dzhumabayev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation // USSR Computational mathematics and mathematical Physics. 1989. Vol. 29. No 1. P.34-46.
21
[18] Asanova A.T. Periodicheskaiya kraevaiya zadacha dliya sistem giperbolicheskih uravnenii // Doklady NAN RK.
2002. No 4. S. 5-11.
[19] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Periodic solutions of systems of hyperbolic equations bounded on a plane //
Ukranian Mathematical Journal. 2004. Vol. 56. No 4. P.682-694.
[20] Asanova A.T. About the periodic problem on the plane for the system of hyperbolic equations with mixed derivatives a special form // News of the NAS rK. Physico-mathematical series. 2015. No 4 (302). P.104-117.
[21] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Unique solvability of the boundary value problem for systems of hyperbolic equations with data on the characteristics // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2002. Vol.42. No 11. P.
1609-1621.
[22] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Unique solvability of nonlocal boundary value problems for systems of hyperbolic equations // Differential Equations. 2003. Vol. 39. No 10. P. 1414-1427.
[23] Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Well-posedness of nonlocal boundary value problems with integral condition for the system of hyperbolic equations //Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2013. Vol. 402. No 1. P.167-178.
О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ СИСТЕМЫ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ А.Т.Асанова
Институт математики и математического моделирования МОН РК, Алматы, Казахстан Ключевые слова: интегро-дифференциальное, период, задача, алгоритм, разрешимость.
Резюме. Рассматривается периодическая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Исследуются вопросы существования единственного периодического решения рассматриваемой задачи и способы его построения. Путем введения дополнительного параметра исследуемая задача сводится к задаче Коши для системы интегро-дифференциальных уравнений и системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Строится алгоритм нахождения решения полученной эквивалентной задачи и формулируются условия его сходимости.
Устанавливаются условия существования единственного решения рассматриваемой периодической задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных в терминах исходных данных. Рассматривается периодическая задача на плоскости для системы гиперболических уравнений со смешанными производными, которая приводится к исследуемой задаче. При периодичности данных исследуемая периодическая задача на плоскости сводится к периодической краевой задаче в прямоугольнике. Для решения периодической краевой задачи для системы гиперболических уравнений второго порядка применяется метод введения функциональных параметров.
Рассматриваемая задача сводится к эквивалентной задаче, состоящей из периодической задачи для системы интегро- дифференциальных уравнений с функциональными параметрами и периодической краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Предлагаются алгоритмы нахождения этой эквивалентной задачи.
Получены условия осуществимости и сходимости построенного алгоритма в терминах данных задачи. Сформулированы условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в терминах исходных данных. Установлены коэффициентные достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для системы гиперболических уравнений. Сформулирована теорема о существовании единственного классического решения периодической задачи на плоскости для системы гиперболических уравнений.
Поступила 04.04.2016 г.
22
