nblib.library.kz - /elib/library.kz/jurnal/2020/physical and mathematical_02-2020/

N E W S

OF TH EN A T IO N A L A C A D E M Y OF SCIEN C ES OF TH E R EPU B LIC OF K A ZA K H STA N P H Y S IC O -M A T H E M A T IC A L S E R IE S

ISSN 1991-346Х h ttp s://do i.o rg /1 0.3 201 4/20 20 .25 18 -17 26 .23

V olum e 2, N um ber 330 (2020), 120 - 126

D .N . N u rg a b y l1,2, T .M . S eitov a2

institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, Kazakhstan;

2Zhetysu State University named after I.Zhansugurov, Taldykorgan, Kazakhstan.

E-mail: kebek.kz@mail.ru, terasyltolganai@mail.ru

INTRODUCING METHOD OF GENERALIZED DERIVATIVE CONCEPT IN MATHEMATICS

A bstract. In this paper, we consider a technique for introducing the concept of a generalized derivative function of one variable. Some assertions of combinatorics are given and proved; the concept of the derivative of the natural order is introduced using the limit of the sequence. Using the above statements, the concept of a fractional derivative is introduced. The basic properties of the fractional derivative are formulated and proved. Examples are given

Key words: mathematical analysis, derivative, combination, limit transition, fractional derivative.

In tro d u c tio n

M athem atical analysis is a field of m athem atics related to the concepts of function, derivative and integral.

The great English physicist, astronom er and m athem atician Isaac N ew ton and the G erm an m athem atician and philosopher G ottfried Leibniz com pleted the construction o f differential and integral calculi by the end o f the 17th century. The discovery o f differential and integral calculus w as the beginning o f a period o f rapid developm ent o f m athem atics.

M athem atics continues to develop rapidly. V arious generalizations of the concepts of function, derivatives, and integral have a particular interest. F or exam ple, m athem aticians, including Leibniz, Euler, Liouville, and R iem ann, dealt w ith generalization of the concept of a derivative. G eneralized functions and their derivatives find various applications in real processes o f the econom y and production [1-4].

O ur goal is to develop a m ethodology for introducing various definitions of a generalized derivative function o f one variable.

To achieve this goal, we first give som e statem ents of com binatorics, introduce the concept of a derivative o f the natural order using the lim it o f the sequence. U sing these statem ents, we introduce the concept of a fractional derivative

1. A u x ilia ry d efin itio n s a n d fo rm u la s

A s it is know n [5], the num ber o f com binations o f n elem ents by k is equal

n! ,

C n = --- , n > k . ( 1)

n k!(n- k)!

H ere it is convenient to assum e th at 0! = 1. The follow ing w ell-know n equalities are justly:

f*k | r k+1 _ r k+1 /’ОЧ

C n + C n = C n+1 ; (2)

c 0 . c k + C1 • Ck-1 + + Ck-1 • C1 + C k • C0 = C k m n > k (3) In particular, in n = m form ula (3) takes the form:

i k - i k

У C C = C , n > k (4)

n n 2n

/=0

120

O bviously, that the form ula ( 1) one can be w titten in the form o f

C k = n (n - 1)...(n - k + 1) (5)

n k! . )

N ow , we w ill consider a generalization o f form ulas (2), (3), (5). W e notice th at the right-hand side o f form ula (5) is defined for any real valu esn . Thus, by definition, w e assum e th at

C k = ( t - 0 ) ( t - 1)...(t - k + 1) (6)

r ~ k! , )

w here T is a real num ber. F or example:

C k2 - ( - 2 - 0 ) ( - 2 - 1 ) ( - 2 - 2 ) ...( - 2 - (k - 1 ) ) = ( - 1) k (k + 1) , с -k1 - ( - 1)k k!

Lemma 1. F or any real values o f T, the equality

k k k + 1

C + C - C (7)

T T + 1 T + 1 Proof: U sing (4), we have

C k+ C k +1 - t ( t- 1) . ( t - (k - 1)) | t ( t - 1) . ( t - ( k - 1 ))(t +1) =

t t ~ k! (k+1)! =

t ( t - 1) . . . ( t - (k - 1)) ^1 + t - k^ t ( t - 1) . . . ( t - (k - 1) ) ( t + 1)

k! V k +1 у (k + 1)!

= ( t + 1 - 0) ( t + 1 - 1) ( t + 1 - 2 ) ..( t + 1 - k) = C k +1

= (k + 1)! = t + 1.

L em m a 1 is proved.

Lemma 2. F or any real values o f T, the equality

0 k 1 k - 1 k - 1 1 k 0 k

C C + C C + ... + C C + C C - C ( 8)

t t t t t t t t 2 t

Proof. W e use the follow ing statem ent [ 6].

I f the polynom ials P( x) and Q( x) , w hose degrees do n o t exceed n , have equal values for m ore than n different o f values unknow ns, then P ( x ) - Q ( x ) .

^ i k - i k

W e w rite the equalities P ( t ) = > C C , Q ( t ) - C , w here P ( t ) and P ( t ) are polynom ials

i=0 T T 2

t o f degree k .

By virtue o f form ula (4), the polynom ials P ( t ) and Q ( t) have equal values at ^t - n > k . Then, by based on the above statem ent, it is easy to verify the validity o f form ula ( 8) for any real values T . Lem m a 2 is proved.

2. A b o u t a d efin itio n o f a n a tu r a l o r d e r d e riv a tiv e

F or a function o f one variable, w e define a derivative o f the natural order in a slightly different way.

L et the function f (x) be defined and continuous on the interval [a, b ] , a < 0, b > 0 , at th at f ( x ) - 0 for x < 0 , w here x is a fixed p o int o f this interval.

x 2 x nx

W e divide the segm ent [0, x] into equal n parts by p o in ts 0, —, — ,...,— . W e define the increm ent

n n n

o f the function y - f ( x) at the poin t x in the form Ay - f (x) - f (x---) . A s it is know n, i f the ratiox n

f (x) - f ( x - - ) x

Ay n

has a lim it is at n — да, then this lim it is called the derivative o f the function f ( x ) at the point x and is denoted by:

f ( x ) - f | x - x ' f '( x) = l i m ---

n——да

2 N ow w e define the increm ent A y :

A y = f (x ) - f (x ) - n

x 2 x

f ( x - x ) - f ( x - — )

n n

x 2 x 0 1 x 2 2 x

= f ( x) - 2 f (x - - ) + f ( x --- ) = C f ( x ) + C f ( x - - ) + C f ( x ---) =

n n 2 2 n 2 n

= £ < - 1) k • c k f f x - - 1,

k=0 2 V n )

etc. continuing this process, we obtain:

m k kx

Amy = £ И ) “С f ( x--- ) . (9)

k=0 m n

L et m be a fixed positive integer. W e choose a positive integer n so th at n > m . Then the form ula (9) w ill take the form:

Amy = £ ( - 1) k C k • f ( x - , ( 10)

, . m V n

k=1 v

as C k = 0; k > m . U sing (10), w e obtain m

f (m) ( x) = lim - Amm = lim f x \ £ ( - 1) k C km • f f x - k x \ . x ■ (11)

x \ n—4 n ) k=0 v n

n

A s an exam ple, w e consider the function f ( x ) = x :2

2 x 2

- 2 Г /-j

2 x 2 2x 2

x - 2 (x ) + (x---) (x 2) " = lim f x

n—<&V n

n 2 k —

= lim — — = 2 , где C = 0 , k = 3, n .

n — да x 2

n 2

3. D efinition o f a fra c tio n a l o rd e r d eriv a tiv e . P ro p e rtie s

B ased on the fact th at the expression Ck according to (6) is defined for any real values o f T, then

T

the right-hand side o f form ula (10) is determ ined for any real values o f T . ---12 2---

x x

n n

n n

n n

N ow , using [7], for any real num b er T w e define the derivative o f the T th order:

f (t)(x) = H m - ^ У ( - 1)k c T f f x - - 1 . n ^ “ f x V k=0 v n j

Since any real num ber is an infinite decim al fraction, we call the derivative (14) fractional.

F or exam ple, given th at С - = ( - 1)k , from (12) the form ula w e find:

f (-1) (x ) = l i m - ^ - p У f f x - - 1 = lim У f f x - - V * 1 n ^ ® f x 1 1 k=0 v n j n ^ x k=0 V n j V n j

Exam ple: W e define the (-1)st order derivative for function f (x ) = x . From (13) we get:

f (- 1) (x) = lim x у f x - * 1 = lim x n k==0 V *’ *’

(x - 1)x - —x (n • + 1)n

= lim nn^-x

x 2 in(n + 1) x 2 (n + 1) 2 x 2 2x

= x 2 = 2 In this w ay, (x) 1 = ^ .

N ow w e give the m ain properties o f the T th derivative for any real o f values o f T . T heorem 1. R ight

(a •f (x) + p • g (x))(t) = a •f (t) (x) + p • g (t) ( x ) , [ f (T1 ) (x ) ] (t2 )= f (t1+T2 ) (x ).

( 12)

(13)

(14)

To establish relations (14), it suffices to use representation (12) o f the derivative o f an arbitrary function.

т f kx 1 x

From form ula (15), w e note th at the sum у f I x --- !• — represents the integral sum o f the л=0 n j n

function f (x) fo r a given partition <! — 1, k = 1, n o f the segm ent [0; x ] , x e [ 0, x].

I n

Since the function f (x), being continuous on the segm ent [0, x ] , is integrable on [0, x ], therefore, n f kx 1 x x

the lim it (13) gives us a definite integral lim У f I x --- I • — = I f (t)dt and thus, w e obtain 1 n j n

k=0

f (1 )(x ) = I f (t)d t. (15)

T heorem 2. F or the natural value m , the derivative of the (-m )th order function is determ ined by the formula:

1 x

f (-m )(x)= (m - 1) I f ()(x - t )m+1 dt . (16) n

n

n n

Proof: B y hypothesis, the function f (x ) is continuous at any p oint x e [a, b ] . Therefore, the function x

f (-l)(x ) = g (x ) = j f (t )dt is also continuous in the sam e x e [a, b ] . Therefore, for the p oint x e [0, x] we 0

can find

f (-2)(x) = j f (t)(x - 1 ) d t . 0

N ext, by induction, w e establish that

x

f ^ x b f t T w l f (t )(x - 1 )k 1 d t. (17) 4 7 0

T heorem 2 is proved.

C o n clu sio n s

Thus, in this paper, we propose a technique for introducing the concept o f a fractional derivative.

U sing the lim it o f the sequence, the notion o f a derivative o f the natural order is introduced, the definition o f a fractional derivative is given for any real values o f x. The basic properties o f a fractional derivative are proved. E xam ples are given.

Practice has show n th at this approach o f introducing the concept o f a generalized derivative contributes to the effective assim ilation by students o f various definitions o f generalized functions.

Д.Н. HypFa6bL41,2, Т.М. Сеитова2

1 Математика жэне математикальщ модельдеу институты, Алматы, Казахстан;

2 I. Жансулров атындагы Жетюу мемлекетпк университет^ Талдыкорган, Казахстан М АТЕМ АТИКА КУРСЫ Н ДА Ж АЛП Ы ЛАН ГА Н ТУ Ы НДЫ ¥ Г Ы М Ы Н БЕ РУ ЭД1СТЕМЕС1 K83ipri математикада функция, туынды жэне интеграл угымдарыныц эртурл1 жалпылама тужырымдары ерекше кызыгушылык тудыруда. Мысалы, туынды угымныц жалпылауымен математиктер, оныц iшiнде Лейбниц, Эйлер, Лиувиль жэне Риман айналыскан. Жалпыланган функциялар мен олардыц туындылары экономика мен eндiрiстщ накты процестерiнде эртурл1 колданыстарын табуда. Бул жумыстыц максаты бiр айнымалы функцияныц жалпыланган туындысыныц эр тyрлi аныктамаларын енгiзу эдютемесш жасау болып табылады. Аталган максатка жету Yшiн бул макалада алдымен комбинаториканыц тужырымдарын, тiзбек шегi угымын пайдалана отырып, натурал реттi туынды угымы енгiзiлген. Осы тужырымдарды колдана отырып, белшек туынды деген угым енгiзiледi.

Комбинаторикада n элементтен k бойынша алынган терулер саны

Ck = n(n - 1)...(и - k + 1) ( 1)

n k!

формуласымен аныкталатыны белгiлi. ( 1) формуланыц оц жагы кезкелген n = т накты саны саны Yшiн де аныкталатынын байкаймыз. Онда аныктама бойынша

Ck = (т - 0)(т - 1)...(т- k + 1) . (2)

т k!

формуласын кабылдауымызга болады. Осы формуланы пайдалана отырып бiр айнымалы функцияныц натурал ретп туындысын сэл баскаша енгiзелiк. f ( x) функциясы [a, b ] , a < 0, b > 0 аралыгында аныкталсын жэне осы интервалдыц кезкелген накты x нYктесi Yшiн f (x) = 0 , мунда x < 0 . 0 x — ... —

n n n нYктелерiмен [0, x ] кеан дган n бiрдей бeлiктерге белел1к. Сонда

Ay = f (x) - f (x - f >

x x

n n

---12 4---

датысынын n ^ да -да ш еп бар болса, онда бул ш екп f (x) функциясынын x нYктесiндегi туындысы деп атаймыз. Сонымен:

x

f ( x ) - f I x _~ _

f Xx ) = l i m ---xx---я^ да/x ^ - J L 1 ; f (m)(x)' ' ' = lim ^и^да f x Im = lim f x f " и^да| n In V L- r ^{( _}

1

^{) k C kmm • f i x}I ^{_ * )}n^{n ' (3)}

n [ n ' V 1 k=0 V

Сонда (2) формулага сэйкес Ck ернеп кезкелген т надты саны Yшiн аныдталатын болгандыдтан (3) т

формуланьщ он жадтары кезкелген т надты саны Yшiн де аныдталатын болады. Олай болса, кезкелген т надты саны Yшiн f ( x) функциясынын x нYктесiндегi т -ш i ретгi туындысы

(x )= l i m --- V ( _l)k c kr f[ x _ — I • (4) f (r ) ( x)= lim — L _ V (_ i f c kTf fx _ — ) •

n-^-даf x у k=0 I n| Jl,

Формуласымен аныдталады. Ал кезкелген надты сан ш еказ ондыд белшек болгандыдтан, (4) -ш i туындыны белшек ретгi туынды деп атаймыз .

Теорема . m натурал саны Yшiн f (x) функциясынын ( - m )-шi реттi туындысы:

f (_m)(x ) = ( m^ \ f (t)(x _ t )m+1 dt• формуласымен аныдталады.

Тушн сездер: математикалыд анализ, туынды, теру, шекке кешу, белшек ретп туынды

Д.Н. Н ургабы л12, Т.М .Сеитова2

1Институт математики и математического моделирования, Алматы, Казахстан;

2Жетысуский государственный университет им. И.Жансугурова,Талдыкорган, Казахстан М ЕТОДИКА ВВЕДЕНИЯ П О Н ЯТИ Я О БО БЩ ЕН Н О Й ПРОИЗВОДНОЙ

В КУРСЕ М АТЕМ АТИКИ

А ннотация. В современной математике особый интерес представляют различные обобщения понятий функции, производных и интеграла. Например, вопросами об обобщении понятия производной занимались математики, в том числе Лейбниц, Эйлер, Лиувилл и Риман. Обобщенные функции и их производные находят различные применения в реальных процессах экономики и производства.

Цель настоящей работы - разработка методики введения различных определений обобщенной производной функции одной переменной.

Для достижения этой цели вначале приведены некоторые утверждения комбинаторики, введены понятие производной натурального порядка с помощью предела последовательности. Используя эти утверждения, введены понятие производной дробного порядка.

В комбинаторике число сочетаний из n элементов по k определяется по формуле C k = n (n _ 1)...(n _ k + 1)

n k!

Заметим, что правая часть формулы (1) определена при любых вещественных значениях n = т . Тогда по определению можем положить, что

C k = ( т _ 0) ( т _ 1) ...( т _ k + 1)

т k! .

Используя эту формулу определим для функции одной переменной производную натурального порядка несколько иным образом.

Пусть функция f ( x) определена и непрерывна на промежутке [a, b] , a < 0, b > 0 , причем f (x) = 0 при x < 0 , где x -фиксированнная точка этого интервала.

^ 1Тл 1 ^ x 2 x nx

Отрезок [0, x] разобьем на n равных частей точками 0, —, — ,..., — . Тогда, если отношение

n n n

Ay _ f ( x ) - f ( x - n)

имеет предел при n — да, то этот предел называется производной функции f (x) в точке x и обозначается:

f (x)

- f (

x ----

1

Am_. /

\-m n

'

. - 1)k

cm

•

f

i

x

— v \m n—даV

n

)

x \

^{v У}

k

⁼⁰

f '(x) = li m --- V---n

I

^{, f (m)(x) = lim = lim (}

^ V

^{( - 1)}

“c-

^{• f} f x - — \ (3)

n — да x ^n—да(x \m n—даV n ) ^ ^ V n )

n V n

На основании того, что выражение Ck согласно (2) определено при любых вещественных значениях т

т, то правая часть формулы (3) определяется при любых вещественных значениях т .

Следовательно, для любого вещественного числа т производная т -го порядка функции f (x) в точке x определяется в виде:

- i r < * f \ x - — \ . (4) f W(x) = lim _ L _ V (_ 1)‘С / fx- kkx1 .

n—да (x \ т

k

=0 V n ) ,n „

Так как любое вещественное число это бесконечная десятичная дробь, то производную (4) назовем дробным .

Теорема . Для натурального значения m производная функции f (x) ( - m )-го порядка определяется по формуле:

x

(~m) (x) = ^ - ^ - f f (t)(x - t) m+l d t. f (' m,(x ¹ f (' )(' -

0

К лю чевы е слова: математический анализ, производная, сочетание, предельный переход, дробная производная.

X X

n n

Information about the authors:

Nurgabyl D. N. - doctor of physic-mathematical Sciences, Professor: Zhetysu State University named after I.Zhansugurov, Taldykorgan and Kazakh National Women's Teacher Training University, Almaty; Leading Researcher: Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, Almaty, https://orcid.org/0000-0002-8111-862X

Seitova T.M. - Master student of Zhetysu State University named after I. Zhansugurov, Taldykorgan, https://orcid.org/0000- 0003-0175-7067

REFERENCES

[1] Serikbaev D., Tokmagambetov N. An inverse Problem for the Pseudo-Parabolic equation for a Sturm-Lioville operator // News o f the National Academy o f sciences o f the Republic o f Kazakhstan, Volume 4, Number 326(2019), pp. 122-128. ISSN 1991-346X. https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.50

[2] Assanova A.T., Bakirova E.A., Kadirbayeva Zh.M. Numerical implementation of solving a Boundary Value Problem for a System of loaded differential equations with parameter. News o f the National Academy o f sciences o f the Republic o f Kazakhstan, Volume 3, Number 325 (2019), pp. 77-84. ISSN 1991-346X. https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.27

[3] M.K. Dauylbayev, N. Atakhan, A.E. Mirzakulova, Asymptotic Expansion of solution of general BVP with initial jumps for higher-order Singularly Perturbed integro-differential Equation. News o f the National Academy o f sciences o f the Republic o f Kazakhstan, Volume 6, Number 322 (2018), pp. 28-36. ISSN 1991-346X. https://doi.org/10.32014/2018.2518-1726.14

[4] M.N.Kalimoldayev, A.A.Abdildayeva, M.A.Akhmetzhanov, F.M.Galiyeva, Mathematical modeling of the Problem of Optimal Control of Electric Power Systems, News o f the National Academy o f sciences o f the Republic o f Kazakhstan, Volume 5, Number 321 (2018), pp. 62-67. ISSN 1991-346X. https://doi.org/10.32014/2018.2518-1726.8

[5] Saveliev L.Ya. Combinatory and probability, Novosibirsk: Nauka, 1975 (in Russian).

[6] Kurosh A.G. Course of Higher Algebra, M: Nauka, 1975(in Russian).

[7] Rovinsky M. How to differentiate a function a fractional number of times // Quantum. M: Nauka, No. 8, 1986(in Russian).

126