PDF Д.К. Сатыбалдина, Т. Нурахмет

Д.К. Сатыбалдина,Т. Нурахмет

Д.К. Сатыбалдина, Т. Нурахмет

Модальное управление и синтез систем управления в классе трехпараметрических структурно - устойчивых отображений

(Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, г. Астана)

В данной статье излагается один из подходов к синтезу систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости для линейных объектов с законом управления в форме трехпараметрических структурно- устойчивых отоб- ражений (катастрофа ласточкин хвост). Обеспечивают системе управления высокий потенциал робастной устойчивости среди всех возможных структур.

В настоящее время уже общепризнано, что проектирование систем управления для реаль- ных объектов связано с необходимостью решения задачи в условиях той или иной степени неопределенности и непредсказуемым изменением параметров объекта управления в процессе эксплуатаций. В отличие от широко известного подхода к постановке и решению задач управ- ления в условиях параметрической неопределенности [1,2], в соответствии, с которым опреде- ляются ограничения на изменение параметров системы управления, при которых сохраняется устойчивость.

В данной статье излагается один из подходов к синтезу систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости [ 3,4] для линейных объектов группами вещественных простых, кратных и комплексно- сопряженных собственных значений, с правой нелинейной частью уравнения состояния системы управления, заданные в области канонических коорди- нат системы в форме трехпараметрических структурно- устойчивых отображений [5, 6] (ка- тастрофа ласточкин хвост). Обеспечивают системе управления высокий потенциал робастной устойчивости среди всех возможных структур.

Пусть стационарная система управления описывается уравнением состояния

x=Ax+Bx, (1)

где А - квадратная матрица коэффициентовn×n; В - матрица управленияm×n; x - n-мерный вектор состояния; u - n-мерная вектор-функция управления. Матрица объекта управления A может быть приведена [7, 8] с помощью неособой матрицы P, столбцами которой являются собственные функции матрицыA, к блочно-диагональной форме

A˜=P⁻¹AP =diag

Λ, J₁, ..., J_mj₁ⁱ, ..., j_kⁱ (2) с диагональными квадратными блоками вида

Λ =diag{λ₁, ..., λl} (3)

Ji=

λ_i 1 · · · 0 0 0 λi · · · 0 0 0 0 · · · λ_i 1 0 0 · · · 0 λ_i

, Ni×Ni, i= 1, m (4)

J_jⁱ=

α_j −β_j βj αj

, j = 1, k (5)

где λ1, ..., λ_l - вещественные простые, λi - вещественные, Ni кратные, λj = aj ± jβj - комплексно-сопряженные собственные значения матрицы А, причем очевидно l +N₁ +...+ Nm+ 2k=n.

Покажем, что принятая структура (2) позволяет раздельное управление каноническими ко- ординатами (гармониками) системы (1), соответствующие любому диагональному блоку мат- рицы A. Для этого подобно (1) запишем˜

x˙˜= ˜A˜x+ ˜Bu=

Λ 0

J 0 J¹

˜ x+

B˜₁ B˜₂ B˜₂

u (6)

где

369

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршы - Вестник ЕНУ им.Л.Н. Гумилева, 2010, №4

˜

x=P⁻¹x,A˜=P⁻¹AP,B˜ =P⁻¹B

и при этом размерности матриц B˜1,B˜2B˜3, и вектор - функции управления u соответствуют размерностям квадратных матриц ∧, J, Jⁱ . На основании (6), приняв B˜₂ = 0,B˜₃ = 0 нетруд- но убедиться, что можем управлять каноническими координатами (гармониками) системы (1), соответствующими матрице Λ, сохраняя неизменным канонические координаты (гармоники) системы (1), определяемые матрицамиJ иJⁱ. Аналогичные результаты можно получить отно- сительно матрицыJ илиJⁱ , соответственно приняв B˜₁ = 0,B˜₃ = 0или B˜₁ = 0,B˜₂ = 0. Таким образом, дальнейшая задача сводится к последовательному построению систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости для канонических объектов

x˙˜1= Λ˜x1+B1u (7)

x˙˜2 =Jx˜2+B2u (8)

x˙˜3 =Jⁱx˜3+B3u (9)

где

˜ x1 =

˜ x₁

˜ x₂

·

·

·

˜ xl

,x˜2=

˜ x_l+1

˜ x_l+2

·

·

·

˜ xl+L

,L=N1+...+Nm,x˜3=

˜ x_l+L+1

˜ x_l+L+2

·

·

·

˜ xn

,

с матрицами вида (3) - (5). Рассмотрим поочередно задачи (7), (8) и (9).

Предположим, что преобразованная матрица управления В и соответственно B˜₁,B˜₂ и B˜₃ в (7), (8) и (9) диагональные. Тогда для полной управляемости канонического объекта (7) необходимо и достаточно, чтобы все диагональные элементы матрицы B˜₁ были ненулевыми.

Наличие нулевых элементов˜b_ii= 0 означает, что соответствующие канонические координаты неуправляемы.

Системы (7), (8) и (9) можем записать в развернутой форме

˜˙xi=λix˜i+biiui, i= 1, l (10)

˜˙xi=λjx˜i+ ˜xi+1+biiui, j = 1, m, i=l+ 1, L (11) x˙˜i =αjx˜i+βix˜i+1+biiui, j= 1, k, i=l+L+ 1, n (12) Компоненты вектора - функции управления u_i,i= 1, n, выберем в виде трехпараметриче- ских структурно- устойчивых функций, описываются уравнениями:

u_ii=γ_i

−1 5x˜⁵_i −1

3k_1ix˜³_i −1

2k_2ix˜²_i +k_3ix˜_i

, i= 1, l (13)

u_ii=γ_i

−1 5x˜⁵_i −1

3k_1ix˜³_i −1

2k_2ix˜²_i +k_3ix˜_i−x˜_i+1

, i=l+ 1, L (14) uii=γi

−1 5x˜⁵_i −1

3k1ix˜³_i −1

2k2ix˜²_i +k3ix˜i+βix˜i+1

, i=l+L+ 1, n (15) если i- нечҷтное,

370

Д.К. Сатыбалдина,Т. Нурахмет

u_ii=γ_i

−1 5x˜⁵_i −1

3k_1ix˜³_i − 1

2k_2ix˜²_i +k_3ix˜_i−β_ix˜_i+1

, i=l+L+ 1, n

если i- чҷтное, где γi выбираем из условийγib˜ii= 1. Отсюда следует, что с учетом (10)- (12) и (13)- (15) системы (7)- (9) в развернутой форме можем представить в виде:

x˙˜_i=−1 5x˜⁵_i −1

3k_1ix˜³_i − 1

2k_2ix˜²_i + (λ_i+k_3i) ˜x_i, i= 1, l (16) x˙˜i =−1

5x˜⁵_i − 1

3k1ix˜³_i −1

2k2ix˜²_i + (λj+k3i) ˜xi+ ˜xi+1, i=l+ 1, L, j = 1, m (17) x˙˜_i=−1

5x˜⁵_i −1

3k_1ix˜³_i − 1

2k_2ix˜²_i + (α_j+k_3i) ˜x_i+β_ix˜_i+1, j= 1, k, i=l+L+ 1, n, (18) если i- нечҷтное

x˙˜i=−1 5x˜⁵_i −1

3k1ix˜³_i − 1

2k2ix˜²_i + (αj+k3i) ˜xi−βix˜i−1, j= 1, k, i=l+L+ 1, n,

если i- чҷтное. Тривиальные стационарные (установившиеся) состояния систем (16)-(18):

˜

x_1is= 0, i= 1, n (19)

Другие установившиеся состояния будут определяться решениями уравнений:

−1

5x⁴_is−1

3k_1ix²_is−1

2k_2ix_is+µ_i = 0, i= 1, n (20) где

µ_i =







λi+k3i i= 1, l,

λi+k3i, если i=l+ 1, L, j = 1, m, λ_i+k_3i i=l+L+ 1, n, j = 1, k

Исследовав критические точки вырожденности, определим другие стационарные состояния.

Приk2i = 0 уравнение (20) допускает следующие пары решений:

˜

x^2,3_2is =±

−(k_1i/2)± q

(k_1i/2)²+µ_i 1/2

, i= 1, n (21)

т. е. появляются в системе (16) - (18) пары дополнительных стационарных состояний.

Приk2i = 0, k3i=−(k1i/2)² уравнение (20) имеет решение:

˜

x^4,5_3is =± r

−k_1i 2 ±p

λi, k1i <0, i= 1, l (22)

˜

x^4,5_3is=± r

−k_1i 2 ±p

λj, k1i <0, i=l+ 1, L, j = 1, m (23)

˜

x^4,5_3is =± r

−k_1i 2 ±√

α_j, k_1i <0, j = 1, k, i=l+L+ 1, n (24) Устойчивость стационарных состояний (19), (21) -(24) систем (16) - (18) определим по ли- нейному принципу устойчивости [9, 10]:

x˙˜i = j

−(˜xis)⁴−k1i(˜xis)²−k2ix˜is+µi

k

˜

xi, i= 1, n 371

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршы - Вестник ЕНУ им.Л.Н. Гумилева, 2010, №4

Исследуя устойчивость стационарных состояний системы (9) можем утверждать, что (19) будут глобально асимптотически устойчивым, если µ_i <0, i= 1, n, а дополнительные стацио- нарные состояния (21)- (24), появляющиеся при µ_i > 0, i= 1, n, будут также асимптотически устойвыми, но не глобально.

Таким образом, путем выбора закона управления в форме трехпараметрических структурно- устойчивых отображений в области канонических переменных, можем придать исходной системе (1) свойства сверхробастной устойчивости.

Для систем с законом управления в форме трехпараметрических структурно- устойчивых отображений получены аналитические выражения для вычисления коэффициентов модаль- ных обратных связей системы управления по переменным состояния объектов при условии их неполной управляемости по Калману. Синтез законов управления в классе трехпараметри- ческих структурно- устойчивых отображений в области переменных состояния канонического преобразования позволяет неограниченно увеличить потенциал робастной устойчивости систем управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Siliak D.D. Parameter Space Method for Robust Control Design: A Guided Tour // IEEE Trans.

On Automatic Control. 1989/ AC -34.№7.

2.Vidyasagar M. Control System Synthesis: A Factorisation Approach.: The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1985.

3.Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения .- М.: Мир, 1980.-205c.

4.Томпсон Дж., Майкл Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. - М.: Мир, 1985.-337c.

5.Бейсембин М.А. Робастно устойчивые нелинейные системы первого и второго порядка.

//Труды Института проблем информатики и управления. Алматы, 2004.

6.Бейсенби М.А. Об одном подходе к построению робастной устойчивой системы управления.

//Материалы Международной научно-практической конференции. Современные проблемы информатики, управления и создания информационных технологий и систем. Алматы, 2006.

7.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.-239c.

8.Директор С., Рорер. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974.-305c.

9.Николис Г., Пригожин И. Познание сложного.- М.: Мир, 1990.-279c.

10.Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. /Под ред.

В.В.Солодовникова.- М.: Машиностроение. Кн. 1.- 1967.-303c.

Сатыбалдина Д.К., Нурахмет Т.

Үш параметрлi құрылымдық орнықты бейнелеу класында басқару жүйелерiн синтездеу және модаль- дi басқару

Аталған мақалада ретi жоғарылатылған робасты орнықты үш параметрлi құрылымды орнықты бейнелеу түрiнде- гi заңдылыққа бағынатын сызықты объектi басқару жүйесi синтезi қарастырылған. Басқару жүйесiне барлық мүмкiн құрылымдар iшiнде жоғары потенциалды робасты орнықтылық қамтамасыз етiледi.

Satybaldina D. K., Nurahmet T.

Model control and synthesis of control system in a class of three-parametrical structura-steady displays

In given article is stated one of the approach to syntheses managerial system with raised by potential робастной to stability for linear object with law of management in the form three-parameter structurally stable maps (the catastrophe swallowtail).

Provide the managerial system high potential робастной to stability amongst all possible structures.

Поступила в редакцию 12.04.10 Рекомендована к печати 29.05.10

372