ТРИБУНА МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ
П.Ю. Цыба
Модель F(T)-гравитации расширения Вселенной
(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана)
В настоящее время существует несколько подходов к рассмотрению ускоренного расширения Вселенной. Одним из таких подходов является метод F(T)-гравитации. В статье изучено поведение Вселенной на основе этого метода, показано, что Вселенная подвергается ускоренному расширению. Рассмотрена иерархия моделей F(T)-гравитации.
Открытие ускоренного расширения Вселенной [1] вызвало глубокое изменение космологической парадигмы. Это открытие указывает на то, что Вселенная является почти пространственно плоской и состоит из приблизительно 70% темной энергии, которая способствует космологическому ускорению. Для того, чтобы поддерживалось это ускорение, уравнение параметра состояния (УПС) w для темной энергии должно быть w < −1/3. Современные ограничения на УПС лежат в пределах w = −1. Здесь можно отметить, что с теоретической точки зрения существуют три различных подхода: w > −1 так называемая квинтэссенция, w = −1 — космологическая константа, и w < −1 — фантомные поля.
Космологическая постоянная может объяснить настоящее ускоренное расширение Вселенной, для которого w=−1. Хотя, космологическая константа является самым простым кандидатом на темную энергию, существуют теоретические проблемы связанные с так называемой проблемой калибровки.
Другой альтернативный подход к проблеме ускорения Вселенной предложенный в [2-5], заключается в изменении гравитации через модификацию действия посредством использования F(R), F(G) и F(R, G) вместо действия Эйнштейна–Гильберта. В этом случае лагранжиан F является произвольной функцией R, G или и R и G. Полевые уравнения этих модифицированных теорий гравитации являются уравнениями четвертого порядка что, создает сложности при получении точных и численных решений.
Однако недавно, в [6-7] были предложены некоторые модели гравитации с полевыми уравнениями 2-го порядка. Эти модели, основанные на телепараллельном эквиваленте Общей теории относительности [8-10], который, вместо того, чтобы использовать искривление, определенное через связь Леви-Чивиты, использует четырехмерную связь, в которой имеется только кручение. В[9] и [10] были представленны некоторые модели, основанные на измененной телепараллельной гравитации, как альтернатива инфляционным моделям.
Рассмотрим действие для F(T)-гравитации [6], [7], которое может быть представлено в виде
S= Z
d4xe 1
2κ2F(T) +Lm
, (1)
где T является скаляром кручения, e = det (eiµ) = √
−g и Lm обозначает функцию Лагранжа вещества. Здесь eiµ являются компонентами четырехмерного векторного поля eA в координатном базисе, то есть eA ≡ eµA∂µ. Изменение действия относительно этой четырехмерной области приводит к следующим гравитационным уравнениям движения
[e−1∂µ(eSµνi )−eλiTµλρ Sρνµ]FT +Siµν(∂µT)FT T +1
4eνiF = 1
2k2eρiTρν. (2)
Здесь скаляр кручения T
T =SρµνTµνρ , (3)
с
Sρµν = 1
2(Kµνρ+δρµTθνθ−δρνTθµθ). (4) Конторсионный тензор определен как
Kµνρ=−1
2(Tµνρ−Tνµρ−Tρµν) (5) и тензор кручения
Tµνλ =wΓ
λ νµ−wΓ
λ
µν=eλi(∂µeiν−∂νeiµ). (6) Векторные области имеют следующую связь с метрикой
gµν(x) =ηijeiµ(x)ejν(x), (7) где ei·ej =ηij и ηij =diag(1,−1,−1,−1). Теперь примем плоскую гомогенную и изотропную Вселенную с метрикой ФРУ
ds2 =−dt2+a(t)2
3
X
i=1
(dxi)2, (8)
где t космологическое время. Тогда модифицированные уравнения Фридмана и уравнение непрерывности запишутся в виде [6], [7]
−2T FT +F = 2k2ρm, (9)
−8 ˙HT FT T + (2T−4 ˙H)FT −F = 2k2pm, (10)
˙
ρm+ 3H(ρm+pm) = 0. (11)
Эти выражения могут быть переписаны в виде
−T−2T fT +f = 2k2ρm, (12)
−8 ˙HT fT T + (2T−4 ˙H)(1 +fT)−T −f = 2k2pm, (13)
˙
ρm+ 3H(ρm+pm) = 0, (14)
с действием
S= Z
d4xe 1
2κ2(T +f(T)) +Lm
, (15)
где f =F−T. Отметим, что можно переписать гравитационные уравнения (1)-(2) как
Mˆ1F = 2k2ρm, (16)
Mˆ2F =−Mˆ3Mˆ1F = 2k2pm, (17)
Mˆ3ρm=−pm, (18)
где
Mˆ1 =−2T ∂T + 1, (19)
Mˆ2 =−8 ˙HT ∂T T2 + (2T −4 ˙H)∂T −1 = (4 ˙H∂T −1) ˆM1 = − 1
3H∂t+ 1
Mˆ1 =−Mˆ3Mˆ1, (20)
Mˆ3 = 1
3H∂t+ 1. (21)
Используя эти основные уравнения можно построить иерархию F(T)-гравитации. Для случая ρm=pm= 0 такая иерархия может быть записана в виде
Mˆ1nFn= 0, (22)
где F1 =F. Некоторые уравнения из этой иерархии для n= 1,2,3, ...
−2T F1T +F1 = 0, (23)
4T2F2T T+F2 = 0, (24)
−8T3F3T T T −12T2F3T T−2T F3T +F3 = 0, (25)
необходимо решить только уравнение (16), поскольку это гарантирует решение уравнений (17) и (18). Наконец представим эффективный параметр уравнения состояния
wef f =−1−3−1H−1[ln ( ˆM1F)]t=−1−3−1[ln ( ˆM1F)]N. (26) Рассмотрим частные случаи F(T) гравитации. Функция Лагранжа для M13-модели запишется в виде
F(T) =
n
X
j=−m
νj(t)Tj =ν−m(t)T−m+...+ν−1(t)T−1+ν0(t) +ν1(t)T +...+νn(t)Tn. (27) Рассмотрим случай когда m=n= 1 и νj =const. Тогда
F =ν−1T−1+ν0+ν1T, FT =−ν−1T−2+ν1, FT T = 2ν−1T−3. (28) Подставляя эти выражения в (1)-(2) получаем
3k−2H2=ρef f +ρm, (29)
−k−2(2 ˙H+ 3H2) =pef f +pm, (30) где
ρef f =k−2[3H2−1,5ν−1T−1+ 0,5ν1T−0,5ν0], (31)
pef f =k−2[6ν−1HT˙ −2+ 1,5ν−1T−1−0,5ν1T + 0,5ν0+ 2(ν1−1) ˙H−3H2]. (32) Получим эффективный параметр уравнения состояния
wef f = pef f
ρef f = 6ν−1HT˙ −2+ 1,5ν−1T−1−0,5ν1T+ 0,5ν0+ 2(ν1−1) ˙H−3H2
3H2−1,5ν−1T−1+ 0,5ν1T−0,5ν0 . (33) Положим ν1= 1. Тогда
ρef f =k−2[−1,5ν−1T−1−0,5ν0], pef f =k−2[6ν−1HT˙ −2+ 1,5ν−1T−1+ 0,5ν0] (34) и
wef f = pef f
ρef f = 6ν−1HT˙ −2+ 1,5ν−1T−1+ 0,5ν0
−1,5ν−1T−1−0,5ν0
=−1− 6ν−1HT˙ −2 1,5ν−1T−1+ 0,5ν0
, (35)
Для M21-модели функция Лагранжа запишется в виде
F =T +αTδlnT. (36)
Тогда
FT = 1 +αδTδ−1lnT+αTδ−1, FT T =αδ(δ−1)Tδ−2lnT +α(2δ−1)Tδ−2. (37) В этом случае уравнения (1)–(2) приобретают вид
−T −2αTδ−α(2δ−1)TδlnT = 2k2ρm, (38)
α(2δ−1)(T−4δH)T˙ δ−1lnT+T−4 ˙H+ 2αTδ−4αH(4δ˙ −1)Tδ−1 = 2k2pm. (39) Имеем
ρef f = 0,5k−2[2αTδ+α(2δ−1)TδlnT], (40) pef f =−0,5k−2αTδ−1[(2δ−1)(T−4δH) ln˙ T+ 2T−4(4δ−1) ˙H]. (41) Случай с δ = 0,5 заслуживает отдельного рассмотрения. В этом случае вышеупомянутые уравнения принимают более простую форму
−T −2αT0,5= 2k2ρm, T−4 ˙H+ 2αT0,5−4αHT˙ −0,5= 2k2pm. (42) Для плотности энергии и давления получаем следующие выражения
ρef f =k−2αT0,5, pef f =−k−2αT−0,5(T−2 ˙H). (43) Рассмотрим M22-модель. В этом случае функция Лагранжа принимает вид
F =T +f(y), y= tanh[T]. (44)
Тогда
FT = 1 +fy(1−y2), FT T =fyy(1−y2)2−2y(1−y2)fy (45) так как уравнения (1)-(2) берем в виде
−T−2(1−y2)T fy+f = 2k2ρm, (46)
T−4 ˙H−8(1−y2)2THf˙ yy+ (16yHT˙ + 2T−4 ˙H)(1−y2)fy−f = 2k2pm. (47) Получаем
ρef f = 0,5k−2[2(1−y2)T fy−f], (48) pef f = 0,5k−2[8(1−y2)2THf˙ yy−(16yHT˙ + 2T−4 ˙H)(1−y2)fy+f]. (49) Параметр уравнения состояния запишем в виде
wef f = 8(1−y2)2THf˙ yy−(16yHT˙ + 2T−4 ˙H)(1−y2)fy +f
2(1−y2)T fy−f =
=−1 +8(1−y2)2THf˙ yy−(16yHT˙ −4 ˙H)(1−y2)fy+f
2(1−y2)T fy−f . (50)
Для M25-модели функция Лагранжа запишется в виде F =
n
X
−m
νj(t)ξj, (51)
где ξ = lnT. В качестве примера рассмотрим случай m = n = 1, νj = const, который является
F =ν−1ξ−1+ν0+ν1ξ. (52) Тогда
Fξ=−ν−1ξ−2+ν1, Fξξ = 2ν−1ξ−3 (53) и
FT = (−ν−1ξ−2+ν1)e−ξ, FT T = (2ν−1ξ−3+ν−1ξ−2−ν1)e−2ξ. (54) Для этого случая, уравнения (1)-(2) примут вид
2ν−1ξ−2+ν−1ξ−1+ν0−2ν1+ν1ξ= 2k2ρm, (55)
− 4 ˙H(4ν−1ξ−3 + ν−1ξ−2 − ν1)e−ξ − 2ν−1ξ−2 − ν−1ξ−1 + 2ν1 − ν0 − ν1ξ = 2k2pm. (56) Представленна модель F(T)-гравитации, относящаяся к типу модифицированых, способная объяснить существующее ускоренное рассширение Вселенной без необходимости привлечения темной энергии. Эта модель основывается на телепараллельном эквиваленте Общей теории относительности в котором имеется только кручение. Приведены некоторые частные случаи данной модели. F(T)-гравитация представляет собой очень интересную модель и заслуживает дальнейшего изучения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. A.G. Riess et al. [Supernova Search Team Collaboration], Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant, Astron. J. 116, 1009 (1998) [arXiv:astro- ph/9805201]; S.Perlmutter et al. [Supernova Cosmology Project Collaboration]
2. Astrophys. J. 517, 565 (1999) [arXiv:astro-ph/9812133].
3. Myrzakulov R., Saez-Gomez D., Tureanu A. Phys. Rev. D, 0120900 (2010) 4. Elizalde E., Myrzakulov R., Obukhov V.V., Saez-Gomez D.
Class. Quantum Grav. 27 095007 (2010)
5. Myrzakulov R., Singleton D. et al. Phys. Rev. D, 04567000 (2010)
7. G.R. Bengochea, R. Ferraro. Dark torsion as the cosmic speed-up. Phys.Rev.D79:124019,2009 8.
E.V. Linder. Einstein’s Other Gravity and the Acceleration of the Universe, Phys. Rev. D 81, 127301 (2010) [arXiv:1005.3039]
9. A. Einstein, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl., 217 (1928); 401 (1930); A. Ein- stein, Math. Ann. 102 (1930) 685.
10. R. Ferraro, F. Fiorini, Modified teleparallel gravity: inflation without inflation, Phys. Rev. D75, 084031 (2007)
11. R. Ferraro, F. Fiorini, On Born-Infeld Gravity in Weitzenbock spacetime, Phys. Rev. D78, 124019 (2008)
12. K.K. Yerzhanov, Sh.R.Myrzakul, I.I.Kulnazarov, R. Myrzakulov. Accelerating cosmology in F(T) gravity with scalar field. [arXiv:1006.3879]
Цыба П.Ю.
Әлемнiң ұлғаюының F(T)-гравитация моделi
Қазiргi кезде Әлемнiң үдемелi ұлғаюын зерттейтiн бiрнеше әдiстер бар. Мұндай әдiстердiң бiрi F(T)-гравитация.
Бұл жұмыста осы әдiс негiзiнде Әлемнiң дамуы зерттелген және Әлемнiң үдемеi ұлғаятындығы көрсетiлген. F(T)- гравитация моделдердiң иерархиясы қарастырған.
Tsyba P. Yu.
F(T) model of gravity expansion of the Universe
Currently, there are several approaches to rassmtreniyu accelerated expansion of the universe. One of these approaches yavyaetsya method F(T)-gravity. The paper studied the behavior of the universe based on this method, it is shown that the universe undergoes an accelerated expansion. We consider a hierarchy of F(T) gravity models.
Поступила в редакцию 15.10.10 Рекомендована к печати 30.10.10
