Ш. У. Ажгалиев, Е. Е. Нурмолдин, Н. Темиргалиев
Восстановление функций из классов Никольского-Бесова-Аманова SB
(Евразийский Национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г.Астана) (Институт теоретической математики и научных вычислений, г. Астана)
Посвящается памяти Т. И. Аманова
Получены точные порядки погрешности при восстановлении функции из классов Никольского-Бесова-АмановаSB в метрикахLqиL∞.
1. Введение. Сформулируем общую задачу восстановления (в редакции из [1-2]). Пусть даны нормированные пространства X иY числовых функций, определенных на Ωи Ω1 соот- ветственно. ПустьF ⊂X и отображениеT f =u(y;f) действует изF в Y.
Для каждого целого N ≥ 1 через {(l(N);ϕN)} обозначим множество всевозможных пар (l(N);ϕN), состоящих из набора N функционалов l(N) = (l1, ..., lN), lj(·) : F → C(j = 1, ..., N), функции ϕN(τ1, ..., τN;y):CN×Ω1 →C, и пустьDN ⊂ {(l(N);ϕN)}.
Задача заключается в получении оценок сверху и оценок снизу(желательно совпадающих с точностью до констант) для величины
δN(DN;T, F)Y = inf
(l(N);ϕN)∈DNsup
f∈F
ku(·;f)−ϕN(l1(f), ..., lN(f);·)kY (1) и в указании пары(l(N);ϕN) изDN, реализующей оценку сверху.
В данной работе изучается следующая конкретизация задачи (1)(другие результаты см., напр., в [1-2]и имеющуюся в них библ.):X =L(0,1)s,Y =Lq(0,1)s,(T f)(x) =f(x). В качестве DN возьмем множество ΦN всех пар (l(N);ϕN) таких, что l1(f) =fb(m(1)), ..., lN(f) =f(mb (N)) для некоторыхm(1), ..., m(N) ∈Zs, где fb(m) =R
[0,1]sf(x)e−2πi(m,x)dx(m∈Zs) есть тригономет- рические коэффициенты Фурьеf. КлассF естьSBp,θr (0,1)s(см. [3]).
Для классов SBp,θr Т.И.Амановым [3-5] получены теоремы представления, вложения, про- должения и интерполяции.
В 2003г. на посвященной 80-летию Т.И.Аманова конференции, проходившей в г.Семей, с разрешения и согласия академика АН СССР и России С.М.Никольского и член-корр.
РАН О.В.Бесова по предложению Н.Темиргалиева эти классы получили название "классы Никольского-Бесова-Аманова"(см. также [2, с. 31] и [6]).
Доказаны следующие теоремы восстановления.
Теорема 1.Пусть даны целое число s≥1, положительное r и2≤p < q <∞,1≤θ≤ ∞ такие, что r > 1p −1q. Тогда выполнено соотношение (в оценке снизу предполагаетсяθ≥q)
δ(ΦN, T f =f, SBp,θr (0,1)s)Lq(0,1)s ln(r−1p+1q+(1q−1θ)+)(s−1)N Nr−1p+1q
, где(α)+= max{α,0}.
Теорема 2. Пусть даны целое число s ≥ 1, действительное r и 2 ≤p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ такие, что r > 1p. Тогда выполнено соотношение
δ(ΦN, T f =f, SBrp,θ(0,1)s)L∞(0,1)s ln(r−p1−1θ)(s−1)N Nr−p1
.
2.Вспомогательные утверждения. Приведем общепринятые в данном круге вопросов обозначения и несколько утверждений, которыми будем пользоваться.
Пусть даны целоеs≥1,k= (k1, ..., ks)∈Z+s. Тогда пологают|k|=k1+...+ks, а черезρ(k) обозначают множество ρ(k) = {m = (m1, ..., ms) ∈ Zs : 2kj−1 ≤ |mj| <2kj, j = 1, ..., s}, а для каждого целого n≥1 черезQn=∪k:|k|≤nρ(k) – т. к. ступенчатый гиперболический крест.
Для каждой функции g(x) ∈L(0,1)s также используют следующее обозначениеδk(g, x) = P
m∈ρ(k)bg(m)e2πi(m,x).
Для конечного множества B через |B| или через cardB условимся обозначать число его элементов.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующим эквивалентным определением класса SBrp,θ(0,1)s.
Лемма 1 (см. [7]). Пусть даны целое s ≥ 1, r > 0, 1 < p < ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞. Для того, чтобы функция f(x) принадлежала классу SBp,θr (0,1)s необходимо и достаточно выполнение соотношения P
k=(k1,...,ks)∈Z+s 2θr(k1+...+ks)kδk(f, x)kθp 1.
Лемма 2 (В. Н. Темляков [8, с.25]). Пусть 1 ≤ p < q < ∞ и f ∈ Lp(0,1)s такая, что R
[0,1]f(xj)dxj = 0(j= 1, . . . , s). Тогда
kfkqq X
k
kδk(f)kqp2q|k|(1p−1q)).
Лемма 3 (В. Н. Темляков, [8, с.21]). Пусть 1< q <∞. Тогда sup
t
ktk∞
ktkq 2nqn(1−1q)(s−1), где sup берется по всем многочленам t(x) = P
m∈Qncme2πi(m,x) со спектром в ступенчатом гиперболическом кресте Qn.
Лемма 4. Пусть1< q <∞, 1hθh∞. Тогда для всякого целого M ≥1
M
X
l=1
|al|q1q
hM(1q−θ1)+
M
X
l=1
|al|θ1θ .
Доказательство. Рассмотрим два случая. Если q < θ, то воспользуемся неравенством Гельдера для сумм
M
X
l=1
|al|q
hM(1−qθ)
M
X
l=1
|al|θθq . Если же q > θ, то воспользуемся неравенством Йенсена
M
X
l=1
|al|q1q h
M
X
l=1
|al|θ1θ . Лемма доказана.
Лемма 5. Пусть 2hq < ∞, B ⊂ ρ(k),|B| ≥ 12|ρ(k)|. Тогда для многочлена g(x) = P
m∈Be2πi(m,x) верно соотношение kgkq 2|k|(1−1q).
Доказательство. Дважды применяя неравенство разных метрик С.М.Никольского (см., напр., [3]) для оценки kgkq сверху черезkgk2 и снизу через kgk∞. Действительно,
kgkq 2(k1+...+ks)(1/2−1/q)kgk2 2|k|(1/2−1/q) X
m∈B
1
!1/2
h2|k|(1/2−1/q)·2|k|/2= 2|k|(1−1/q).
С другой стороны,
2|k|−s=|ρ(k)|h2|B|= 2 X
m∈B
1
!
= 2g(0)h2kgk∞2(k1+...+ks)(1/q)kgkq = 2|k|(1/q)kgkq. Соединяя оба полученных неравенства, получаем заключение леммы.
3. Доказательства основных результатов. Доказательство теоремы 1. Оценка сверху.
Пусть дано целое положительное число N. Без ограничения общности, можно считать, чтоN =|Qn| 2nn(s−1). Пусть AN =Qn, аϕN(z1, ..., zN;x) =PN
k=1zke2πi(m(k),x). Таким образом,для каждой функцииg(x)∈L(0,1)s имеем
ϕN(bg(m(1)), ...,bg(m(N));x) =
N
X
k=1
g(mb (k))e2πi(m(k),x)= X
k:|k|≤n
δk(g, x).
Пусть функция f ∈ SBpr(0,1)s. Отметим, что для функции f − ϕN ≡ f(x) − ϕN fb(m(1)), ...,fb(m(N));x
справедливо равенствоδk(f−ϕN, x) = 0, если |k|hn,δk(f−ϕN, x) = δk(f, x), если |k|> n.
Поэтому в силу леммы 2
kf −ϕNkqq X
k:|k|>n
kδk(f)kqp2q|k|(1p−1q).
Далее применим лемму 4, а затем, замечая, чтоcard{k:|k|=j} js−1, продолжим оценку, используя лемму 1
kf −ϕNkqq
∞
X
j=n+1
X
k:|k|=j
kδk(f)kqp2q|k|(1p−1q)=
∞
X
j=n+1
2qj(1p−1q) X
k:|k|=j
kδk(f)kqph
h
∞
X
j=n+1
2qj(1p−1q)|{k:|k|=j}|q(1q−1θ)+( X
k:|k|=j
kδk(f)kθp)θq
∞
X
j=n+1
2qj(−r+1p−1q)jq(1q−1θ)+(s−1)( X
k:|k|=j
2jrθkδk(f)kθp)qθ
∞
X
j=n+1
2qj(−r+1p−1q)2q(1q−1θ)+(s−1)
2qn(−r+1p−1q)nq(1q−1θ)+(s−1)
"
2n·ns−1
−r+1
p−1
q
n
r−1p+1q +
1 q−1θ
+
s−1#q
. Отсюда получаем требуемую оценку сверху.
Оценка снизу. Пусть даны целое число N ≥ 1, множество индексов AN ={m(1), ..., m(N)} из Zs и функция ϕN. Определим целое n= n(s, N) ≥s+ 1 из условий |{k:|k|=n}| ≥5N и
|{k:|k|=n}| N. Пусть
T ={k:|k|=n,|ρ(k)\AN|> 1
2|ρ(k)|}, S={k:|k|=n,|ρ(k)∩AN|> 1
2|ρ(k)|}.
Покажем, что |S| < 12|{k : |k| = n}|. Предполагая обратное, получаем противоречие (оче- видно, что для всехkтаких, что|k|=n выполнено|ρ(k)|= 2n−s):
N =|AN| ≥ X
k:|k|=n
|ρ(k)∩AN| ≥ X
k∈S,|k|=n
1
2|ρ(k)| ≥ |S| ·1
2 ·2n−s ≥
≥ 1
2|{k:|k|=n}|2n−s−1 ≥ 1
4|{k:|k|=n}|> 1
5|{k:|k|=n}| ≥N.
Поэтому|S|< 12|{k:|k|=n}|, стало быть,|T| ≥ 12|{k:|k|=n}|, поскольку|ρ(k)\AN|+|ρ(k)∩ AN|=|ρ(k)|.
Пусть
f(x) =RX
k∈T
X
m∈ρ(k)\AN
e2πi(m,x). Тогда, если |k|= n, то δk(f, x) = RP
m∈ρ(k)\ANe2πi(m,x), поэтому, силу леммы 5, получим kδk(f, x)kpR2n(1−1p). Если же |k| 6=n, тоδk(f, x) = 0.
Отсюда следует, что X
k
kδk(f, x)kθp2rθ|k|=X
k∈T
kδk(f, x)kθp2rθ|k|X
k∈T
Rθ2θn
1+r−p1
Rθ2θn
1+r−1
p
|T| Rθ2θn
1+r−1
p
ns−1.
Отсюда,в силу леммы 1, при некотором c >0 иR=c2−n(r−1p+1)n−s−1θ функция f ∈SBp,θr . Оценим снизу kfk∞. Имеем kfk∞ ≥ |f(0)| = RP
k∈T
P
m∈ρ(k)\AN1 RP
k∈T2n R · 2n|T| R2nns−1.
Оценим снизуkfkq. Для этого применим к f лемму 3
kfkq kfk∞2−nqn−(1−1q)(s−1) 2−n(r−1p+1)n−s−1θ 2nns−12−nqn−(1−1q)(s−1) 2−n(r−p1+1q)n(1q−1θ)(s−1).
Поэтому
kfkq ln(r−p1+1q+(1q−1θ))(s−1)N Nr−1p+1q
.
Заметим, что выполнены соотношения fb(m(1)) = ...fb(m(N)) = 0. Следовательно, в силу произвольностиAN иϕN, получим требуемую оценку снизу в случае θ≥q.
Теорема 1 полностью доказана.
Теорема 2 доказывается аналогично.
Замечание 1.Не исключено, что оценка снизу в теоремах 1 и 2 имеет место при прибли- жении вычислительными агрегатами вида (см. также [1-2])
ϕN(l1(f), ..., lN(f);x),
где l1(f), ..., lN(f)– всевозможные линейные функционалы, аϕN – произвольный алгоритм.
Замечание 2. Отметим, что соотношение междуq и θ типа
1 q−1θ
+
в условиях вложе- ния Bp,θr ⊂ Lq в случае векторных параметров r, p и q установлено в [10] (скалярный случай содержится в [9]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье // Вестник Евразийского университета. 1997. №3. С. 90-144.
2. Темиргалиев Н. Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод квази-Монте Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье. // Вест.ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, 2010. Спец. выпуск,
посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева, -194 с.
3. Аманов Т.И. Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной. Алма-Ата:Наука, 1976.
4. Аманов Т.И. Теоремы представления и вложения для функциональных пространств Spθr B(Rn)и S∗rpθB(0≤xj ≤2π)//Труды МИАН СССР, 1965, т. 77.
5. Аманов Т.И. Исследование свойств классов функций с доминирующими смешанными производными. Теоремы представления, вложения, продолжения и интерполяции. Автореф.
докт. дисс., Новосибирск, 1967.
6. Темиргалиев Н., Баилов Е.А., Жубанышева А.Ж. Об общем алгоритме численного инте- грирования периодических функций многих переменных // Докл. РАН, 2007, т. 416, N 2, с.
169-173. 7.Кудрявцев Л. Д., Никольский С. М. Пространства дифференцируемых функций многих переменных и теорем вложения. М.: ВИНИТИ, Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. т.26, 1988.- C. 1 - 157.
8. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды МИАН СССР.- 1986.-Т.178.-C.1-112.
9. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизотропных пространств Никольского - Бесова с модулями непрерывности общего вида // Тр. МИАН СССР им. В.А. Стеклова. - 1984.-Т.170.- С.86-104.
10. Сулейменов К.М. О вложении некоторых классов функций переменного приращения и со смешанной нормой // Дисс. ... канд. физ.-мат.наук, 2006.
Әжғалиев Ш. О., Нүрмолдин Е. Е., Темiрғалиев Н.
Никольский-Бесов-АмановSB класстарындағы функцияларды тригонометриялық коэффициенттер- ден алынған мәлiмет арқылы жуықтау
Lq және L∞ метрикаларында Никольский-Бесов-Аманов SB класстарындағы функцияларды тригонометриялық коэффициенттерден алынған мәлiмет арқылы жуықтаудағы қателiктердiң дәл реттерi алынған.
Azhgalyev Sh. U., Nurmoldin E.E., Temirgalyev N.
Restoration of functions from Besov-Nikol’skii-AmanovSBclasses.
Obtained the exact order of the error in the restoration of functions from Besov-Nikol’skii -AmanovSBclasses inLq and L∞- metrics.
Поступила в редакцию 12.04.10 Рекомендована к печати 25.05.10
