Н.Ж. Наурызбаев, Н. Темиргалиев
О задаче эффективного восстановления в зависимости от "внутренних свойств"
сетки
(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана)
Изучается задача об определении таких "внутренних свойств" сетки, что числовая информация, полученная в ее узлах, позволяет описать глобальные свойства процесса.
Данная статья посвящена исследованию следующей задачи.
Пусть функция f описывает некоторый процесс, происходящий в области Ω. Пусть в точках ξ1, ..., ξN из Ω установлены измерительные приборы. Зададимся вопросом, можно ли по внутренним свойствам этой конечной последовательности (сетки) ξ1, ..., ξN установить насколько по значениям f(ξ1), ..., f (ξN) можно описать глобальные свойства функции f.
Например, таким "внутренним свойством" числовой последовательности, обеспечивающем ее глобальное свойство – сходимость, является условие Коши.
Однако такая общая постановка задачи слишком расплывчата и нуждается в дальнейших уточнениях.
Перечислим некоторые подлежащие описанию глобальные свойства: это задачи приближенного вычисления интеграла R
Ωf(x)dx (численное интегрирование), приближенного представления функции f(x) на всем Ω (восстановление функции) и дискретизации решений уравнений в частных производных с начальными и граничными условиями f = (f1, ..., fk).
Ради определенности и простоты здесь рассмотрим случай численного интегрирования.
Непрерывную на CN функцию ϕN(z1, ..., zN) с условием ϕN(0, ...,0) = 0 назовем алгоритмом переработки информации z1 =f(ξ1), ..., zN =f(ξN). Результатом применения к числовой информации f(ξ1), ..., f (ξN) алгоритма ϕN является вычислительный агрегат ϕN(f(ξ1), ..., f(ξN)) для приближенного вычисления интеграла R
Ωf(x)dx.
Далее, ясно, что от функции f априори требуется определенная гладкость, чтобы каждое значение f(ξi), в том или ином смысле, представляло поведение функции f в определенной окрестности ξi.
При этом предположение бесконечной гладкости функции f само по себе не обеспечивает даже какой-либо близости ϕN(f(ξ1), ..., f(ξN)) к R
Ωf(x)dx. Так, в случае Ω = [0,1], 0 ≤ ξ1 < ... < ξN ≤ 1 для всякого ε > 0 существует бесконечно дифференцируемая на R = (−∞,+∞) неотрицательная функция fε такая, что fε(ξ1) =...=fε(ξN) = 0 и R1
0 fε(x)dx >
ε, стало быть,
R1
0 fε(x)dx−ϕN(fε(ξ1), ..., fε(ξN)) > ε.
В качестве Ω возьмем s-мерный единичный куб [0,1]s, а гладкость функции f(x1, ..., xs) определим в виде принадлежности классу Коробова Esr (s= 1,2, ...;r >1), что означает выполнение неравенств ( ¯mj = max{1,|mj|})
fˆ(m1, ..., ms)
≤( ¯m1. . .m¯s)−r для всех m= (m1, ..., ms)∈Zs, где
fˆ(m) = Z
[0,1]s
f(x)e−2πi(m,x)dx, (m, x) =m1x1+...+msxs.
Выбор класса Коробова здесь объясняется тем фактом, что задача построения оптимальных или близких к оптимальным квадратурных формул для этого класса определяет эффективность применяемого метода к решению ряда смежных задач, включая т.н. "метод квази-Монте Карло" (см. [1-16] и имеющуюся в них литературу). Среди них, с учетом темы статьи, отметим три метода. Это метод сравнений (см. напр., [2-8]) и метод, основанный на теории дивизоров (см. [9-16]), применяемые для построения квадратурных формул с равными весами. С неравными весами - это "метод Смоляка", с дальнейшим развитием в виде тензорных произведений функционалов (см. [17-23]).
Несмотря на большое количество работ, в случае размерности s≥3, для классов Esr еще не построены квадратурные формулы с равными весами и заданной в явном виде сеткой, как это в двумерном случае было предложено Н.С. Бахваловым [3] и Хуа Ло-Кеном и Вань Юанем [4, стр. 92]
1 bn
bn
X
k=1
f 1
bn
k, bn−1
bn
k
,
где {x}-дробная часть x, а b1 = b2 = 1, bn = bn−1 +bn−2 (n≥3) - последовательность Фибоначчи.
Отметим, что здесь мы также воспользовались доказанным С. А. Смоляком [14]
фактом, что в случае выпуклых уравновешенных классов, к которым относятся и классы Коробова Esr, в задаче численного интегрирования вместо общих вычислительных агрегатов ϕN(f(ξ1), ..., f(ξN)) можно ограничиться квадратурными формулами, т.е. конечными суммами вида PN
k=1ckf(ξk), где PN
k=1ck= 1.
Теперь нам осталось определить т.н. "внутренние свойства".
Очевидный ответ на этот вопрос дает следующее
Предложение. Пусть даны числа s(s= 1,2, ...), r > 1 и β > 0. Пусть дана сетка {ξk}Nk=1 ⊂[0,1]s. Тогда для выполнения соотношения
sup
f∈Esr
Z
[0,1]s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(ξk)
s,r
(lnN)β
Nr . (1)
необходимо и достаточно существование весов c1, ..., cN таких, что
X
m∈Zs\{0}
PN
k=1cke2πi(m,ξk) ( ¯m1...m¯s)r
s,r
(lnN)β
Nr (2)
Здесь и всюду ниже, через c(...) будем обозначать некоторые положительные величины, разные, вообще говоря, в различных формулах и зависящие лишь от указанных в скобках параметров. При положительном A и B любого знака, запись B
α, β,...A будет означать |B| ≤ c(α, β, ...)A. При положительных A и B запись A
α, β,...B означает A
α, β,...B
α, β,...A. Перейдем к доказательству Предложения. Пусть выполнено условие (2). Тогда для всякого f ∈Esr имеем
Z
[0,1]s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(ξk)
=
X
m∈Zs\{0}
fˆ(m)
N
X
k=1
cke2πi(m,ξk)
≤
≤ X
m∈Zs\{0}
PN
k=1cke2πi(m,ξk) ( ¯m1...m¯s)r
s,r
(lnN)β Nr .
Пусть теперь выполнено условие (1). Для T(m) ≡ PN
k=1cke2πi(m,ξk) положим B(m) =
|T(m)|
T(m) , если T(m)6= 0 и B(m) = 0, если T(m) = 0. Тогда, |B(m)| ≤1 и, потому, функция fT(x) =P
m∈Zs
B(m)
( ¯m1...m¯s)re2πi(m,x) принадлежит классу Esr. Отсюда (lnN)β
Nr
Z
[0,1]s
fT(x)dx−
N
X
k=1
ckfT (ξk)
=
X
m∈Zs\{0}
B(m)
( ¯m1...m¯s)rT(m)
=
= X
m∈Zs\{0}
PN
k=1cke2πi(m,ξk) ( ¯m1...m¯s)r .
Отметим, что для данной системы узлов ξ1, ..., ξN условие (2) относится к т.н. "глухим" и, по существу, эквивалентна самой постановке задачи.
Как в случае квадратурных формул, исследование для данного класса надлежит начать с выяснения эффективности квадратурных формул с равномерной сеткой (если равномерная сетка вполне удовлетворительна, дальнейшие исследования не так уж актуальны), так и
"внутренние свойства" естественно начать с привлечения понятия дискрепанса, описывающего степень равномерной распределенности сетки (см., напр., [5, стр. 47]).
Напомним определение дискрепанса, начав с мотивов к его принятию.
Допустим, что имеются N приборов и необходимо их разместить на единичном кубе таким образом, чтобы получить максимальную информацию.
Понятно, что если "кучно" разместить эти приборы, то все остальные будут дублировать показания одного из них и потому вся собранная информация сведется к показанию одного прибора (разумеется, при определенных условиях).
Отсюда следует, что сетка должна быть каким-то образом "равномерно распределена" на единичном кубе. Так, если требуется 9 приборов "равномерно распределить на единичном квадрате", то интуиция подсказывает, что квадрат следует разбить на 9 одинаковых квадратиков, центры которых и составят искомое распределение.
Однако, следующая количественная характеристика степени "равномерной распределенности" сетки из N точек на s-мерном единичном кубе показывает, что такое распределение не относится к наилучшим (см. ниже соотношения (8) и (5)).
Именно, определим величину (χB - характеристическая функция множества B) Ds(ξ1, ..., ξN) =
= sup (
AJ
N −|J|
1
= 1 N
N
X
k=1
χJ(ξk)− Z
[0.1]s
χJ(x)dx
:J = [a1, b1]×...×[as, bs]⊂[0,1]s )
, (3) в котором изучается вопрос о том, насколько доля ANJ точек, попадающих в произвольный параллелепипед J со сторонами, параллельными осям координат, отклоняется от "доли"
объема |J| этого параллелепипеда в единичном кубе.
Последовательность сеток n
ξk(Nt)oNt
k=1 из [0,1]s, где {Nt}∞t=1 - достаточно плотная возрастающая последовательность целых положительных чисел, называют равномерно распределенной на [0,1]s, если для некоторых положительных величин A(s) и β(s) и всех t≥1 имеет место неравенство
Ds
ξ1(Nt), ξ2(Nt), ..., ξ(NNtt)
≤A(s)lnβ(s)Nt Nt
. (4)
В основе этого определения лежит фундаментальная в данном круге задач теорема К. Ф. Рота [1], согласно которой для всякого s(s= 1,2, ...) найдется положительное A(s) такое, что для всякого целого N ≥2 и всякой сетки {ξk}Nk=1 из [0,1]s выполнено неравенство
A(s)(lnN)s−12
N ≤Ds(ξ1, ξ2, ..., ξN). (5)
Определение дискрепанса (3) является частным случаем общей постановки задачи численного интегрирования
c1+...+cinfN=1 y1,...,yN∈[0,1]s
sup
f∈F
N
X
k=1
ckf(yk)− Z
[0,1]s
f(y)dy
(6) в случае, когда класс F состоит из характеристических функций f = χJ всех параллелепипедов J со сторонами, параллельными осям координат, sup берется по всем J, а inf - при фиксированных c1 =...=cN = 1/N и y1=ξ1, ..., yN =ξN.
Такая постановка задачи для разрывных характеристических функций параллелепипедов корректна, поскольку они являются функциями ограниченной вариации в смысле Харди- Краузе (см. об этом [2, Глава 2, §5]).
И все-же, несмотря на большую общность постановки задачи (6) по сравнению с (3), задача построения равномерно распределенных сеток имеет самостоятельное значение (см. об этом [1]).
В связи с этим отметим, что задача построения равномерно распределенных сеток вида (сетка Коробова, a1, ..., as-целые числа)
ηk = k
Na1
, ..., k
Nas
(k= 1, ..., N) эквивалентна получению оценки
sup
f∈Esr
Z
[0,1]s
f(x)dx− 1 N
N
X
k=1
f(ηk)
r,s
(lnN)β(r,s)
Nr .
Таким образом, в качестве характеристики "внутренних свойств" сетки ξ1, ..., ξN из единичного куба [0,1]s выберем точный порядок убывания дискрепанса Ds(ξ1, ..., ξN). В соответствии с этим точным порядком требуется установить, с какой максимальной скоростью для функции f(x), гладкость которой определяется принадлежностью классу Esr, построенные по ее значениям f(ξ1), ..., f(ξN) вычислительные агрегаты вида ϕN(f(ξ1), ..., f(ξN)) могут приближать интеграл R
Ωf(x)dx?
Перейдем к точным формулировкам ответов на поставленные вопросы.
Для трех видов сеток справедливы следующие результаты.
1. Равномерная сетка (n= 1,2, ...;N =ns)
τ(N)={τk}Nk=1 ≡ k1
n, ...,ks n
:kj = 0,1, ..., n (j= 1, ..., s)
(N =ns). (7) a) Порядок дискрепанса (см. [5 (1963), стр. 70-71], [24, стр. 164-167]):
Ds τ(N)
s N−1s. (8) b) Порядок приближения:
Теорема 1.Для равномерной сетки (7) справедлива двусторонняя оценка
c1+...+cinfN=1 sup
f∈Ers
Z
[0,1]s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(τk)
r,sN−rs (n= 1,2, ...;N(n, s) =ns). (9)
2. Сетка Смоляка (см., напр., [23])
σ(N)={σk}Nk=1≡
≡
2µ1−1
2ν1 , 2µ2−1
2ν2 , ..., 2µs−1−1 2νs−1 , µs
2νs
:1≤µj≤max{1;2νj−1},νj≥0, j=1,2,...,s−1, 1≤µs≤2νs,Ps
j=1νj=q
. (10) a) Порядок дискрепанса:
Теорема 2. Для сетки Смоляка σ(N) имеет место двусторонняя оценка
Ds
σ(N)
s (lnN)−1
q≥s, N =Ns(q)
s 2qqs−1
. (11)
b) Порядок приближения (см. [17-22])
δN(Esr)≡
≡ sup
f∈Esr
Z
[0,1]s
f(x)dx−
s−1
X
l=0
(−1)l
s−1 l
X
(ν1,...,νs)∈Zs: νj≥0 (j=1,...,s), ν1+...+νs=q−l
1 2q−l
2ν1−1
X
k1=0
· · ·
2νs−1
X
ks=0
f k1
2ν1, ...,2kνss
s,r
s,r
(lnN)(r+1)(s−1) Nr
N
s 2qqs−1
. (12)
В связи соотношениями (11) заметим, что согласно определению (3) дискрепанс Ds σ(N) не может иметь хорошие свойства, поскольку к интегралу R
[0,1]sχJ(x)dx применяется не квадратурная формула Смоляка из (14), оптимальная в степенной шкале, а иная – с той же сеткой (10), но с другими, а именно, равными весами. В теореме 2 по существу выясняется величина потери от замены весов.
3◦. Сетка Коробова
η(N)={ηk}Nk=1 ≡
k Na1
, ...,
k Nas
:k= 1, ..., N
. (13)
a) Порядок дискрепанса (см., напр., [14]) Ds
η(N) s
(lnN)2s N b) Порядок приближения
sup
f∈Ers
Z
[0,1]s
f(x)dx− 1 N
N
X
k=1
f(ηk)
s,r
(lnN)3sr
Nr . (14)
Как показывает неравенство И.Ф. Шарыгина [25]
c1+...+cinfN=1 y1,...,yN∈[0,1]s
sup
f∈Ers
Z
[0,1]s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(yk)
s
(lnN)s−1 Nr ,
соотношения (14) и (16) неулучшаемы в степенной шкале, а (9) в s- раз хуже возможного.
Квадратурные формулы из (16) весьма примечательны по той причине, что имеют равные веса ck = N−1 (k= 1, ..., N), а система узлов (15) – их называют сетками Коробова - полностью определяется заданием одного (s+ 1) мерного целочисленного вектора (a1, ..., as;N), по которому легко восстанавливается, при этом каждая координата каждого узла есть дробь с малым, в данных условиях, знаменателем.
Как показал Н.М. Коробов [5], сетки вида (15) с условием (4) действительно существуют и их исследованию посвящена обширная литература [2-16].
Итак, изучение вопроса о "внутренних свойствах" сетки в данном случае сводится к выяснению соотношений между скоростью убывания дискрепанса и наихудшей погрешности по классу Esr квадратурной формулы с заданными узлами и подобранных к ним весами.
Здесь вырисовывается пока не поддающаяся объяснению картина: сетка с "плохим"
дискрепансом (а именно, сетка Смоляка с логарифмической скоростью убывания дискрепанса (11), посредством подбора весов может дать близкую к неулучшаемой квадратурную формулу из (14) для данного класса (здесь Esr), в то же время как сетка с большей скоростью убываниия дискрепанса (а именно, равномерная сетка со степенной скоростью убывания), как бы веса ни выбрали, остается неэффективной (сравните (8) и (9) – с одной стороны, (11) и (14) – с другой).
И такую картину завершает сетка (15) с предельно большой скоростью убывания дискрепанса, которая уже при равных весах дает почти оптимальный результат (16).
Стало быть, в этом круге вопросов решающую роль играет не степень равномерной распределенности сетки, а какие-то другие, подлежащие выяснению, свойства сеток.
В свете полученных результатов основной вопрос в данном случае будет состоять в следующем: по каким внутренним признакам сетки можно установить, чтобы, пусть даже подбором неравных весов, иметь возможность построения квадратурной формулы, близкой к оптимальной на классе Esr?
Частичный, уже не тривиальный, ответ на обсуждаемый вопрос дан в следующей теореме, где представлено необходимое условие на любую сетку с рациональными узлами, не противоречащее сеткам Коробова и Смоляка, но отсекающее равномерную сетку.
Теорема 3.Пусть даны числа r >1, s(s= 1,2, ...), N (N = 2,3, ...) и дана сетка из N узлов
ξk = v1(k) u(k)1
, ... , vs(k)
u(k)s
!
∈[0,1]s∩Qs (k= 1, ..., N) (15) с рациональными координатами (при этом считается, что целые числа νj(k) и u(k)j -взаимно просты) и пусть dN = min
j=1,...,s
n d(N)j o
, где d(N)j = НОКn
u(1)j , ..., u(N)j o
(j = 1, ..., s). Тогда для произвольных чисел c1, ..., cN,удовлетворяющих условию c1+...+cN = 1, существует функция f из класса Esr такая, что имеет место соотношение
Z
[0,1]s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(ξk)
r,sd−rN ,
константа в которой зависит лишь от r и s.
Действительно, из этой теоремы вытекают следующие оценки снизу:
1) Для равномерной сетки {τk}Nk=1 справедливы равенства dN =d(N)j =n, откуда, в силу теоремы 3, имеет место неулучшаемая оценка снизу
c1+...+cinfN=1 sup
f∈Esr
Z
{0,1}s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(τk)
r,sd−rN =n−r =N−r/s. (16) 2) Для сетки Смоляка {σk}Nk=1 величина dN равна 2q, стало быть, из N
s 2qqs−1 следует dN = 2q
s N
lns−1N , откуда, опять же в силу теоремы 3, имеем
c1+...+cinfN=1 sup
f∈Ers
Z
{0,1}s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(σk)
r,sd−rN
s
(lnN)(s−1)r
Nr . (17)
Таким образом, из общей теоремы 3 следует точная в степенной шкале оценка снизу (19), в то время как точный порядок (см. (14) есть (lnN)(s−1)(r+1)Nr .
3) Для любой сетки Коробова (15) имеем dN = N, откуда следует неулучшаемая в степенной шкале оценка снизу
inf
aj∈Z(j=1,...,s), c1+...+cN=1
sup
f∈Esr
Z
[0,1]s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckfna1 Nko
, ...,nas Nko
r,sd−rN =N−r
И в этом случае искомое соотношение следует из теоремы 3.
Таким образом, теорема 3 означает, что для того, чтобы по заданной сетке с рациональными координатами вида (17) из N узлов посредством подбора весов иметь возможность построить квадратурную формулу для класса Esr, точную в степенной шкале, необходимо выполнение условия dN N(lnN)−β. Причем этому условию удовлетворяют сетки Коробова и Смоляка, но не удовлетворяют равномерные сетки.
Сделаем выводы общего характера из разобранного частного случая.
Изучается следующая задача. Пусть дан класс F определенных и непрерывных на [0,1]s функций и сетка ξ1, ..., ξN из [0,1]s. Вычисляется (или оценивается) величина
δN(ξ1, ..., ξN;F) = inf
c1+...+cN=1sup
f∈F
Z
[0,1]s
f(x)dx−
N
X
k=1
ckf(ξk)
. (18)
Это известная задача Сарда (см. [26]).
Далее, величина (20) сравнивается с величиной δN(F) = inf
ξ1, ..., ξN
δN(ξ1, ..., ξN;F)
и задача определения качества сетки заключается в нахождении свойств сеток ξ1, ..., ξN, обеспечивающих близость, в том или ином смысле, последовательности {δN(ξ1, ..., ξN;F)} к последовательности {δN(F)}.
Заметим также, что задача (20) вписывается в общую задачу восстановления (необходимые определения, обозначения и точную формулировку см., например, в [12])
inf
(l1(f),...,lN(f);ϕN)∈DNsup
f∈F
kT f(·)−ϕN(l1(f), ..., lN(f) ;·)k (19) в случае
T f = Z
[0,1]s
f(x)dx,
DN = (
(l1(f), ..., lN(f) ;ϕN)≡ϕN(l1(f), ..., lN(f)) :lj(f) =f(ξj) (j = 1, ..., N),
N
X
k=1
ck= 1, ϕN(z1, ..., zN) =
N
X
k=1
ckzk )
.
Полагая T f = f в (21) также получаем задачу о качестве сеток при восстановлении функции по информации, полученной от заданной сетки {ξ1, ..., ξN} посредством системы функционалов {f(ξ1), ..., f(ξN)}.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рот К. Ф. "Ограничения для регулярности" // Сб. "Математика: границы и перспективы", М: ФАЗИС, 2005, C. 375–394.
2. Кейперс Л., Нидеррейтер Г. Равномерное распределение последовательностей. М.: Наука, 1985.
3. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. МГУ. Сер.
матем., мех. 1959. №4. C. 3–18.
4. Hua Loo Keng, Wang Yuan. Application of Number Theory of Numerical Analysis. Berlin;
Heidelberg: New York: Springer Yerlag, 1981.
5. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе,(2-е изд., перераб. и доп.) М.: МЦНМО. 2004.
6. Dick J., Kuo F. Y., "Constructing good lattice rules with millions of points, in Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2002", H. Niederreiter, ed., Springer-Verlag,2004. P. 181–197.
7. Dick J., Sloan I. H., Wang X., Woz´niakowski H. Good lattice rules in weighted Korobov spaces with general weights, Numer. Math.103 (2006), 63–97.
8.Васильковский Г. В., Возняковский Г. Обзор сложности в средней ситуации для линейных многомерных проблем // Известия вузов. Математика. 2009. №4. С. 3–19.
9. Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Матем. заметки. 1989. T. 46. № 2. C. 34–41.
10.Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных // Матем. сб. 1990. T. 181. № 4.
C. 490–505.
11. Воронин С. М.Избранные труды: Математика, М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006.
12. Темиргалиев Н. Теоретико-числовые методы и теоретико-вероятностный подход к задачам Анализа. Теория вложений и приближений, абсолютная сходимость и преобразования рядов Фурье // Вестник Евразийского университета. 1997. № 3, C. 90–144.
13. Темиргалиев Н., Баилов Е. А., Жубанышева А. Ж. Об общем алгоритме численного интегрирования периодических функций многих переменных // Докл. РАН. 2007. T. 416 № 2.
C. 169–173.
14. Жубанышева А. Ж., Темиргалиев Н., Темиргалиева Ж. Н. Применение теории дивизоров к построению таблиц оптимальных коэффициентов квадратурных формул // ЖВМ и МФ.
2009. T. 49. № 1. C.14–25.
15. Темиргалиев Н. Компьютерный (вычислительный) поперечник. Алгебраическая теория чисел и гармонический анализ в задачах восстановления (метод квази – Монте Карло). Теория вложений и приближений. Ряды Фурье // Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. 2009. Спец.
выпуск, посвященный научным достижениям математиков ЕНУ им. Л.Н.Гумилева. C. 1–194.
16. Сихов М., Темиргалиев Н. Об алгоритме построения равномерно распределенных сеток Коробова // Матем. замет. 2010. T. 87. № 6. C. 948–950.
17. Смоляк С. А. Об оптимальном восстановлении функций и функционалов от них // Дисс.
. . . к.ф.-м.н., Москва. 1965. Орг. п/я 2325.
18. Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // Докл. АН СССР. 1963. T. 148. № 5. C. 1042–1045.
19. Paskov S. "Average case complexity for multivariate integration for smooth functions", J.
Complexity, 9 (1993), 291–312.
20. Wasilkowski G., Woz´niakowski H., "Explicit cost bounds of algorithms for multivariate tensor product problems", J. Complexity,11 (1995), 1–56.
21. Темиргалиев Н. Классы Us(β, θ, α;ψ) и квадратурные формулы // Докл. РАН. 2003.
T. 393. № 5. C. 605–608.
22. Темиргалиев Н., Кудайбергенов С. С., Шоманова А. А. Применение тензорных произведений функционалов в задачах численного интегрирования // Изв. РАН, Сер.
матем. 2009. T. 73. № 2. C. 183–224.
23. Наурызбаев Н. Ж., Темиргалиев Н. О порядке дискрепанса сетки Смоляка. // Матем.
заметки. 2009. T. 85. № 6. C. 947–950.
24. Соболь И. М.Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара.М.: Наука, 1969.
25. Шарыгин И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций //
ЖВМ и МФ. 1963. № 3. C. 370–376.
26. Sard A., "Best approximate integration formulas; best approximation formulas", Amer. J.
Math., 71 (1949), 80–91.
Наурызбаев Н.Ж., Темиргалиев Н.
Торлардың "iшкi қасиеттерi" бойынша тиiмдi жуықтау есебi туралы
Мақалада түйiндерiнен алынған сандық мәлiметтер арқылы процестiң глобальдi қасиеттерiн сипаттауға мүмкiндiк беретiн торлардың "iшкi қасиеттерi" зерттеледi.
Nauryzbaev N.Zh., Temirgaliev N.
On the effective recovery depending on the "intrinsic properties" grid
We study the problem of finding such "intrinsic properties" grids, that the numerical information obtained in its nodes, allows us to describe the global properties of the process.
Поступила в редакцию 15.10.10 Рекомендована к печати 30.10.10
