PDF dspace.enu.kz

1159 УДК 512.55

КӚПМҤШЕЛІКТЕР САҚИНАСЫНЫҢ ЛОКАЛЬДІ НИЛЬПОТЕНТ ДИФФЕРЕНЦИАЛДАУЫНЫҢ ӚЗЕГІН ЕСЕПТЕУ АЛГОРИТМІ

Мамутбекова Айбала Алмахановна almahanovna_ai@mail.ru

Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ «Алгебра және Геометрия» кафедрасы

«6М060100-Математика» мамандығының 2-курс магистранты, Астана, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі: ф.-м.ғ.к.,аға оқытушы – Ш.У. Абуталипова

Кӛпмүшеліктер автоморфизмдерін зерттеуде ең негізгі құралдардың бірі - дифференциалдау болып табылады. Бұл жұмыста біз сақинадағы дифференциалдаулардың кейбір қасиеттерін еске түсіріп, ӛрістегі кӛпмүшеліктер сақинасының дифференциалдауына қатысты кейбір фундаментальді нәтижелерді аламыз.Соның ішінде біз дифференциалдаудың

«локальді ақырлы дифференциалдау» атты арнайы класын қарастырамыз [1]. Бұл дифференциалдаулардың маңызы келесідей кӛрсетіледі:«Кӛптеген есептерде локальді нильпотент және локальді ақырлы дифференциалдаулар жасырын түрде беріледі. Бірақ, егер олар есептерде айқын анықталса, онда олардың дифференциалдаулар жайлы мәліметтері қарастырылып отырған есепке маңызды болады».

B - k- ӛрісіндегі кӛпмүшеліктер сақинасы, k - сипаттамасы нӛлге тең кез келген ӛріс болсын.Bсақинасының дифференциалдауы деп D:BB k–сызықты бейнелеуін айтамыз, егер ол кез-келген a,bBүшін келесі шарттарды қанағаттандырса,

(1) D



ab



DaDb (2) D

 

ab aDbbDa

(2)-шартты Лейбниц ережесі деп атайды. Bсақинасындағы барлық дифференциалдаулар жиынын Der

 

B арқылы белгілейміз. Егер AB кез-келген ішкі жиыны болса, онда

 

B

Der_A жиыны D

 

A 0болатындай барлық DDer

 

B жиынының ішкі жиыны болады.





 

0



 b BDb

KerD жиыны Dдифференциалдауының ӛзегі.

(3) DDer

 

B үшін KerDB ішкі сақинасы болады.

(4) DDer

 

B үшін Qk болса, онда QKerD.

(5) bB және D,EDer(B)болсын, егер



D,E



DEED болса, онда



,



( )

,

,D E D E Der B

bD   болады [2].

 

B Der

D дифференциалдауы локальді нильпотент болады, егер кез келген f Bүшін

0 f

Dⁿ болатындай nZ_ саны табылатын болса. Белгілеуі: Nil

 

D B.

Локальді нильпотент дифференциалдаулармен қатар локальді ақырлы дифференциалдауларды қарастыру маңызды болып табылады. DDer

 

B дифференциалдауы локальді ақырлы болады, егер кез келген f Bүшін



^{Dnf n0}



кеңістігі ақырлы ӛлшемді кеңістік болса [3].

Бұл ұғымдардан кез келген локадьді нильпотент дифференциалдау локальді ақырлы дифференциалдау болатыны шығады. Ал кері қарай жалпы жағдайда орындала бермейді.

 

B

LND арқылы кез келген DDer

 

B локальді нильпотент дифференциалдаулардың жиынын белгілейміз. Локальді нильпотент дифференциалдаулардың маңызды мысалы ретінде кӛпмүшеліктер сақинасындағы операторлардың қарапайым дербес туындыларын алуға болады. Егер ABішкі сақинасы болса, онда LND_A

 

B :Der_A

 

B LND

 

B болады.

 

B LND

D болсын. Онда келесідей формула бойынша анықталатын expD:BBбейнелеу

 





 0 !

exp _i 1Dⁱf

f i D

1160 экспоненциалды бейнелеу деп аталады.

Анықтама.DLND

 

B болсын және кез келген rB - Dдифференциалдауы үшін локальді слайс болсын, яғни rB үшінDr0, ал D²r0орындалады [4]. Онда тӛмендегі формула арқылы анықталатын _r :BB_Drбейнелеуі Диксмье бейнелеуі деп аталады:

   





 

 

0 !

1

i i

i i i

r Dr

f r i D

 f .

Мұндағы, B_Dr - D_r дифференциалдауындағы локализация. D локальді нильпотент болғандықтан, expD және _r нақты анықталып тұр.

Мысал.R- коммутативтіQ-алгебра болсын, r₁,r₂Rжәне f

 

T R

 

T . Дифференциалдау



_{1 1 2 2}



_{2 1 1 2}



: rx r x r r

D тең. Осы DдифференциалдауыныңR



x1,x2



сақинасының үстінде локальді нильпотент дифференциалдау болатынын және expDэкспоненциалын есептеу керек.

Бізде дифференциалдау D:



r₁x₁r₂x₂



r₂₁ r₁₂



тең. Енді осы дифференциалдаудың әр айнымалы бойынша дифференциалдауын табайық,



_{1 1 2 2}



₂

1 rx r x r

Dx  

1 2 1

2x r r

D 

1 0

3x  D



_{1 1 2 2}



₁

2 rx r x r

Dx  

2 1 1

2x rr

D 

2 0

3x  D

Кӛріп тұрғанымыздай, D³f 0, олай болса DдифференциалдауыR



x₁,x₂



сақинасының үстінде локальді нильпотент дифференциалдау болады. Енді осы тапқан дифференциалдауларымызға байланысты expDэкспоненциалын есептейік, анықтамасы бойынша

 







0 ! exp 1

i

if i D f

D тең. Олай болса,



_{1 1 2 2}



_{2 2 1}

1

expDx1  x  rx r x r r r



1 1 2 2



1 1 2 2

expDx2  x  rx r x r rr .

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Arno van den Essen. Polynomial Automorphisms and the Jacobian Conjecture //

Birkhauser, Boston, 2000, P. 22-37.

2. A. Nowicki. Polynomial Derivations and their Rings of Constants // Uniwersytet Mikolaja Kopernika, Toru´n, 1994, P. 242-246.

3. A. van den Essen. Locally finite and locally nilpotent derivations with applications to polynomial flows and morphisms, Proc. Amer. Math. Soc., 1992, P. 861–871.

4. Gene Freudenburg. Algebraic Theory of Locally Nilpotent Derivations, 2000, P. 9-12.