ГЛАВНОЕ У П Р А В Л Е Н И Е ВЫСШИХ И С РЕДН И Х ПЕДАГОГ ИЧ ЕС КИХ У ЧЕБН Ы Х ЗА В Е Д Е Н И Й
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР М О СКО ВСКИ Й ГО С У Д А РС Т В Е Н Н Ы Й ЗА О Ч Н Ы Й
П Е Д А Г О Г И Ч Е С К И Й ИН СТИ ТУ Т
М. Б. Б А Л К , В, А, П Е Т Р О В , А, А, П О Л У Х И Н
З А Д А Ч Н И К - П Р А К Т И К У М ПО Т Е О Р И И А Н А Л И Т И Ч Е С К И Х Ф У Н К Ц И Й
Учебное пособие для студентов ' ков педагогических инстшпуг
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1976
Одобрено кафедрой математического анализа Государственного заочного педагогического института
Редактор М ГЗПИ О, Л, Павлович
60G02 — 513
Б 1 0 3 ( 0 3 ) - 7 6 ИК ШЛ-
© Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ),
П Р Е Д И С Л О В И Е
Задачник-практикум предназначен для студентов-математиков аочных отделений педагогических институтов. Он составлен в соот- .етствип с действующей программой курса «Математический анализ
! теория функций» и охваты вает раздел «Теория аналитических
>ункцнй».
Значительно большее внимание по сравнению с другими сбор- :иками подобного рода здесь уделено упраж нениям , которые могут ыть использованы на факультативны х зан яти ях в ш коле, и упраж - :ениям, позволяющим учителю более глубоко осмыслить отдельные опросы школьного курса математики.
В начале каждого параграф а указан а литература, в которой итатель найдет необходимый минимум теоретических сведений.
Студенту-заочнику достаточно воспользоваться одной (любой) з трех книг [ 1] — [3].
[1] М а р к у ш е в и ч А. И. Краткий курс теории аналитиче- ких функций. Изд. 3-е, испр. и доп. М ., «Наука», 1966.
[2] П р и в а л о в И. И. Введение в теорию функций комп- ексного переменного. Изд. 11-е. М ., «Наука», 1967.
[3] X а п л а н о в М. Г. Теория функций комплексного пере- :ениого. (К раткий курс). Изд. 2-е. М ., «Просвещение», 1965.
По каждой теме указаны соответствующие параграфы (или стра
нны) этих книг. При отсутствии основных источников студент может эспользоваться и другой литературой, в частности:
[4] Е в г р а ф о в М. А. Аналитические функции. Изд. 2-е, спр. и доп. М ., «Наука», 1968.
[5] Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории ункцпй комплексного переменного. Изд. 4-е, испр. М ., «Наука», Э73.
[6] М а р к у ш е в и ч А. И. Теория аналитических функций, дц. 2-е. Т. 1 ,2 . М ., «Наука», 1967— 1968.
[7] С в е ш II и к о в А. Г., Т и х о н о в а. Н. Теория функ- ий комплексной переменной. Изд. 2-е, стереотип. М ., «Наука», 370.
з
[8j Ф у к с Б . А ., Ш а б а т Б . В. Функции комплексног переменного и некоторые их прилож ения. И зд. 3-е. М ., «Наука>:
1964.
[9] Ц ы р к и н М. Я. К раткий курс теории функций комплекс ного переменного. Пособие для студентов-заочников ф из.-маі фак. пед. ин-тов. М ., «Просвещение», 1964.
[10] Ш а б а т Б . В. Введение в комплексный анализ. М,
«Наука», 1969,
После ознакомления с теоретическими сведениями по матер иг лу того или иного параграфа студент может приступить к решенш задач. При этом можно ограничиться лишь некоторым минимумо задач. В такой минимум рекомендуем включить следующие задач*
4, 6 , 7, 10, 14, 17, 27, 36, 38, 46, 53, 54, 61, 69, 81, 86, 95, 104, 10S 114, 127, 132, 145, 151, 161, 166, 170, 174, 180, 185, 202, 204, 201 207, 208, 214, 222, 228, 234, 248, 258, 267, 273, 274, 276 (д), 271 285, 298, 315 (а), 328, 339, 353, 360, 366, 372, 384, 393, 399, 403, 40*
416, 423, 432, 438, 444, 448, 458, 462, 476, 480, 488, 504, 519, 52І 526, 538, 545, 578, 580.
Задачи минимума желательно решать в том порядке, в которо они расположены в параграфе, учитывая приведенные в текст методические указания и замечания. Некоторые из указан ны х зг дач даны вместе с решениями; однако ж елательно, чтобы студег попытался их решить самостоятельно, обращ аясь к решения лиш ь в случае, когда у него возникнут затруднения. Самостоятелі но полученное решение целесообразно сравнить с тем, которс приведено в тексте. Почти все задачи снабжены ответами.
Некоторые задачи (189—201, 316—320, 548—570, 588—59*
студент-заочник может не решать. Включение этих задач продикт<
вано желанием дать материал для курсовых работ, спецсеминаре и спецкурсов по теории аналитических функций.
Авторы благодарят кафедры математического анализа МГЗП1 и Смоленского педагогического института за ряд ценных советоі
Автор
Г Л А В А I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ Р Я Д Ы
§ I. К ОМ П ЛЕ КС НЫ Е ЧИ СЛ А И ИХ ГЕ О М Е Т РИ Ч Е С КИ Е И С Т О Л К О В А Н И Я НА п л о ск о ст и
Л и т е р а т у р а : [1], гл. I, п. 1, 2; [2], гл. I, § 1, 2; [3], Введение.
Как известно из курса алгебры, всякое ком плекс но е число можно за- тнсать в виде a -j- bi (а и b — действительные числа); при этом а называется j е щ е с т в е и н о й (или д е й с т в и т с л ь и о й) частью числа и обо- шачается Re z, b — м нимой частью и обоз начается 1 т z. Д в а комплексных шсла г г и z2 считаются равными тогда и только тогда, когда Re z x — Re z2, m z x — Im z2. Д л я числа z — a -\- bi сопряженным называется число z ~ =
= a — bi. Легко убедиться в том, что для любых ко м плексных чисел г х и :2 справедливы тождества:
Ч + Ч = zx + z2> — Zn = Zi — z2, z t • z2 = z t • z2,
Комплексное число z = a -j- bi м ожет білть ис толковано как точка Z іа декартовой координатной плоскости хОу с координатами (а; Ь). Число z іазывается к о м п л е к с и о й к о о р д и и а т о й1 точки Z. Расстоя ние г )т точки Z, изображ аю щ ей число z, до начала координ ат называется м о- I у л о м z и обо значает ся через |zj; угол а наклона вектора OZ к оси Ох іазывается а р г у м е н т о м числа z и обоз начае тся через Arg г . .У каждого шсла г -/= 0 имеется бе ск он ечн о много ар гументов. То т из них, который з а ключен меж ду — л и я , называется г л а в н ы м з н а ч с и н е м а р г у- I о н т а (короче, главным аргументом) и обоз начае тся так: arg г. Точнее оворя, но опр еделе нию
— л < arg г ^ л.
Справедливы сл едую щ и е зависимости:
г = | z | = ) / а 2 о- , \z\- — z • z, z — г (cos а -(- i sin а)
т р и г о н о м е т р и ч е с к а я ф о р м а к о м п л е к с н о г о ч и с-
| а).
1 Вместо вы ражения «точка с комплексной координатой г» часто го- юрят: «точка г», «число г»,
5
I *1 '• h I = I гх I • I ?2 |,
П ол ез н о учесть, что выражение |z2 — zx| (zx и za — комплексные числа м о ж н о истолковать геометрически как рас стоян ие м е ж ду точкамі с комплексными координатами г у и г 3 и что справедливы соотношения
|Zi + h \ < \h\ +1 **1. 1*2 — Ч\ > IN — kill, . J i l l .
* I «а Г
Напо мн им еще так называемую ф о р м у л у М у а в р а гп = [г (cos ф + t sin ф )]л = r n(cos яф + i sin пф) и ф о р м у л у для извлечения корня я-и степени из комплексного числа
п г - пг ~ ( Ф + 2/гя , . . ф + 2k n \ п ,
і / г => i/r cos --- 4- 1 sin--- , k = 0, 1, /г — 1.
\ n n )
Из этой формулы видно, что выражение Y г при z Ф 0 имеет я разлнч ных зн ачений. Геометрически эти значения и з обр аж аю тся как вершины не
кот орого правильного /і-уго льника , вписан ного в о к р у ж н о с ть с центрол в точке z = 0 радиуса у 7"г.
1. Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно квадрату другого?
Р е ш е н и е . Обозначим искомые числа через z и гъ z Ф zv Д л я них должны выполняться условия
г = г Д Zi = г2,
откуда z = г4 или z (г3 — 1) = 0. Реш ая последнее уравнение, найдем четыре возможных значения г :
2 = 0 , z — 1, 2 = — г = — ---i У Л .
2 2 2 2
Теперь из системы найдем соответствующие значения zx:
г1 — 0 , г, = 1, = гі = _ І + 1- £ і .
1
:
1 2 2 1 2 2И так, пару чисел (и притом единственную), удовлетворяющую условию задачи, образуют числа ~ и — ^ — і
2. Д оказать, что для любых вещественных чисел а, Ь, с сп ра
ведливо неравенство
| У а2 + с2 — | / а2 + 621 ^ | с — b |.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Ч исла У а2 + 62 и ] / а2 + с2 можно рассматривать как модули комплексных чисел Zj = b - f ai и z2 =
= с + сіі соответственно. В силу неравенства |г2 — z j ^ ||2г [ —
— \гх\\ имеем:
3. Майти целое число п, если (1 -{- і)п = (1 — і)п , 4. Вычислить:
a ) f i _ (- m 1002; 6 > ( 4 ± 1 Y ; B ) ( l + i >S
\ 2 2 I \ <1Э -I- 1 / (1 — 03 5. Решить уравнение:
а) г2 -I- И = 0 ; б) |z| + z = 2 + *'•
6. Может ли случиться, что:
а) модуль разности двух комплексных чисел окаж ется равным сумме модулей этих чисел?
б) модуль суммы двух комплексных чисел окаж ется равным разности модулей этих чисел?
в) модуль разности двух комплексных чисел окаж ется большим, чем сумма модулей этих чисел?
Ответы обосновать.
7. Вычислить все значения следующих корней:
а) / Л ; б) y ri\ в ) ] Л — i; г) 1^— 2 + 2 i .
Полученные значения корней изобразить в виде точек на комп
лексной плоскости.
21_ 2\_
8. «Очевидно, что г 1 =■ (tM) 1 = 1 1 = 1; с другой стороны, г 1 = ( t1)5 • i = 1г>/ = i. Следовательно, і = 1». В чем ошибка?
У к а з а н и е . Внимательно прочтите последний абзац п. 2,
гл. I книги [ 1]. _____
9. «П устьтребуется решить уравнение у б — х + x i = (х— 6) - f - f 7i в действительных числах. Так как для равенства двух комп
лексных чисел необходимо равенство их мнимых частей, то заклю чаем, что х — 7. Но данное уравнение можно, очевидно, привести к виду
6 — л' = (7 — л') i — i У х — 6 .
Подставив найденное значение я, получим І -- 1.» Где ошибка?
10. Существуют ли два неравных комплексных числа, каждое из которых равно кубу другого? Сколько таких пар чисел имеется?
11. Пусть z — а - 1- Ы. Верно ли, что a r g 2 = arctg —?
а Ответ обосновать.
12. Д оказать, что arg z = 2 a r c tg -------- , если г = а -{- bi не
а -[- | 2 |
является вещественным отрицательным числом или нулем.
У к а з а н и е . Обозначить arg г = 0, a r c tg --- --- = ф и а + I г |
сравнить t g — и tg ср.
7
В математике и ее п р и л о ж е н и я х часто встречается выражение вида cos ф + i si n ф (ф — вещественное число). Д л я него испол ьзу ю т различные сокращ енны е обозн ачени я. Н ап ример, в картографии его об оз н ачаю т з н а ком Іф^ в эл ектрот ехн ик е — знаком ^ ф , а в р або тах по математике — через ехр (/ф) или е*Ф . Таким обра зо м, по оп р ед елению
е{<р = cos ф + i sin ф. (1.1) Ч е р е з е ~1(р обозн ачают число
е1(—ф) _ cos ф — I sj n (1 2)
Обо знач ение (1.1) оправ дано сходством свойств вы ражени й вида е*Ф со свойствами по казател ьной функции. Н ап ример, при любых вещественных а , Р и ф справедливы следую щи е формулы1:
е«х . e<P= e «a+ P)f (1.3)
Г- (1-4)
( е{<г>) п = ( п — любое целое число). / (1*5) П осл едняя формула представляет собой фор мул у Муавра:
(cos ф + i sin ф)л = cos /гф -\- i sin wp. (1.6) И з (1.1) и (1.2) легк о выводятся формулы:
cos ф = ( е,ф + е ~ ,ф), sin ф = ( <?'ф — е“ ,ф). (1.7) Соотношение (1.1) называется ф о р м у л о и Э й л е р а2. Оно по зво ля ет к аж дое комплексное число г записать в виде ( п о к а з а т е л ь н а я ф о р м а)
г — ге1 Ф , где ф — ар гумент числа г, а г — его модуль.
13. Пусть = Rela, z2 — Re® (0 ^ a <С {3 < 2я). Д о к аза ть 3»
что
t С6+ fi
2« — г 1 — I 2 2 — Z i | ' ^
Д о к а з а т е л ь с т в о . С помощью формул (1.3) и (1.7) мо
жем записать:
. 3—a .0—a
a 4-3 1 2 1 2
һ — гі = R (e i|i— eia) = 2Rie c ~ e
‘- Г ( 1.8)
0 n . . В — a 1 2
= 2/ft sin ---e
2 i
1 В этом мо жно убедиться, по льзуяс ь формулами сл ожен и я тригономет
рических фун кций.
2 С более общим видом формулы Эйлера мы еще встретимся ни же (см. гл. II , § 8).
3 и г 2 м ожно рассматривать как комплексные координаты д в у х точек, ра спол оженн ы х на окр уж ности рад иуса R с центром в ну левой точке.
Так как
I а+Р
е 2 = 1, то из полученного соотношения вытекает:
\z2 — z, | = 2/? sin ^ 2
Сравнение найденных выражений для z2 — zx и \z» — гх| до
казывает справедливость формулы (1.8). Эта формула удобна при переходе от модуля разности двух комплексных чисел к самой р аз
ности и обратно. Ею можно воспользоваться при решении ряда приведенных ниже геометрических задач.
14. Какие комплексные числа заданы выражениями:
i — I — — І —
а) с"0; б) е 2 ; в) е 6 ; г) е 4 ; д) е 3 ?
15. С помощью формулы М уавра выразить cos Зср, sin Зср, sin 4ср, cos 4ф через тригонометрические функции аргумента ф.
16. Д оказать, что число р — (а2 -|- 1) (b~ + 1) (с2 - f 1), где а, Ь, с — целые числа, можно представить в виде суммы двух точ
ных квадратов. Единственно ли такое представление числа р?
Р е ш е н и е . Число а2 + 1, являющ ееся суммой двух точных квадратов, можно представить как квадрат модуля некоторого комп
лексного числа zx (например, числа zx — а + /), т. е. а2 + 1 =*
= l^i I2.
Аналогично, полагая z 2 = b -г i, z 3 = с -j- *, имеем:
62 -|- 1 = |г, | 2 и с2 - f 1 = [z3|2.
Тогда
р = (а2 + 1) (Ь2 + 1) (с2 + 1) = М Ы ' Ы * =
= \Z1Z»ZзР = И -[- В г|2 = Л 2 + В г, где А + B i = zxz 2z 3.
Т ак как А и В получаются из целых чисел а, Ь, с и 1 лишь с помощью слож ения, вычитания и умножения, то А и В — целые числа. Ясно, что такое представление числа р не единственно, хотя бы потому, что число а~ + 1 можно представить как квадрат модуля различных комплексных чисел, например:
а 2 + I = Iа + * I 2 = I 1 + ы I 2
17. Вычислить сумму
S = l - { - Ch cos а -[- С,2, cos 2 а + ••• -{- С! cos па.
Р е ш е н и е . Введем в рассмотрение еще одну сумму:
Т — С\ sin а -{- С,2 sin 2а + ... -|- С" sin па.
Очевидно, что 5 является вещественной частью следующей суммы:
S + і'Г = 1 -|- Ch (cos а + i sin а) + С2, (cos 2 а -J- i sin 2а) + ... + + Сп (cos п а + i sin па).
Ри с. 1
2" ■ cos" — е '1 2
Преобразуем эту сумму, исполь
зуя формулы (1.1) — (1.7), и з а тем выделим ее вещественную и мнимую части:
S + i T = 1 + С І eia + C;\<ri a + 4- ... + О л'“ = (і + Л " =
l a / / а
2 cos а 2 п а \
= 2" cos" — c o s --- 1- i sin
2 I 2 2
о " ,, a н и
2 cos" — cos — i 2 cos — sin — •. о." и а . п а
9 О
Поэтому
S = Re (S 4- tT) = 2" cos" j - cos
18. Через центр правильного /i-угольника проведем какую - либо прямую и подсчитаем сумму (S) квадратов расстояний от всех вершин многоугольника до этой прямой. Будет ли эта сумма зависеть от выбора прямой?
Р е ш е н к е. Пусть А ХА2 ... А п — данный многоугольник (рис. 1), R — радиус описанной окруж ности, О — ее центр, M N — какая-либо прям ая, проходящ ая через О.
Пусть NOA-l = а , ф = — . Тогда интересующая нас сумма2л
S — R~ {sin2 а 4- sin2 (a -f- ф) -|- sin2 (а + 2ф) 4 - ... -f- sin2 [ а 4 - + ( « - 1)<р]> = \ R 4 h- t-],
где
Т — cos 2 а -(- cos (2а -j- 2ф) 4- ... -]- cos [2 а 4- (2п — 2) ф].
Вычислим Т. Согласно формуле Эйлера Т является веществен
ной частью комплексной суммы (сравните с задачей 17):
Р = ei2a + с‘(2а+ 2ф) 4 - ... 4- e'L-a -H2/i—ад ^ С начала найдем Р:
Р = II 4- е'2ф + /(2/1—2)ф1 1 - ei2'U(>
1 - ei2<f О, 10
так как 2шр = 2я — = 4я, а еМя= 1. Но тогда и 7’= 0, т. е.
п
S = ^ R 2n и не зависит от выбора прямой M N .
19. Д оказать утверждение: если каждое из натуральных чисел n lt По, ..., пк представимо в виде суммы двух точных квадратов, то их произведение такж е представимо в виде суммы двух точных квадратов.
В задачах 20—26 вычислить суммы.
20. cos а — cos 2 а -|- cos З а — ... -f- cos 99а.
21. sin а — sin 2 а + sin З а — ... + sin 99а.
22. 1 + cos а + cos 2а + ... + cos па.
23. cos 2 а + cos 4 а + cos 6а -|- ... -{- cos 100а, 24. sin а + sin 2 а sin З а -}- ... -|- sin па.
0 _ sin а , sin 2 а . sin З а . , s i n /га
' j ————— J ,,, “ J •
cos а cos- а cos3 а cos" а
26. sin4 — - f sin'1 — + sin4 — ... -j- sin4
32 32 32 32
Если проекции вектора А В (точка А — начало вектора — может и не совпасть с началом координ ат О) на оси коор динат Ох и Оу равны с оотв ет
ственно а и Ь, то ко мплексное число z = а -j- bi называется к о м п л е к- с н о й к о о р д и н а т о й этого в е к т о р а . Пон ят но , что на к о о р д и натной плоскости точка Z и вектор OZ имеют одинаковые комплексные ко
ординаты. Заметим т а к ж е, что если число г — а - ) - Ы — комплексная ко
ордината каког о-либо вектора А В , то длина г этого вектора равна модулю числа z, а угол а м еж ду осью Ох и вектором А В есть Arg z. При решении задач полезно учесть следующее:
1) п ри сложении дву х векторов их комплексные ко орди нат ы складываются;
■ 2) комплексная коор д и н а т а вектора равн а разно ст и между комплексны
ми к оорди нат ам и его конц а и начала.
К а ж до е ко м плекс но е число с Ф 0 мо жно истолковать геометрически как о п е р а т о р п о в о р о т а и р а с т я ж е н и я . Это значит: если вектор А В был подвергнут опера циям поворота (на угол а ) и р астяж ен и я (с коэф
фициентом ра ст я ж ен и я р), то его комплексная координата z у м н ожи лась на ч и сл о с — р с ‘п- ; и н а о б о р о т , ес л и к о м п л е к с н у ю к о о р д и н а т у г к а к о г о -л и б о вектора А В умн ожи ть на ком плексное число с = ре‘« , то новое число и —
= cz пр едставляет собой ком плексную координ ату вектора C D , который
—У-
мо ж ет быть получен из вектора А В путем поворота (на угол а ) и растяж ен ия (с коэффициентом р а с т я ж ен и я р).
27. Концы отрезка Z XZ* (рис. 2) имеют соответственно комплекс
ные координаты zx и z 2. К акова комплексная координата г середи
ны этого отрезка?
Р е ш е н и е . Векторы Z XZ и ZZ2 имеют одну и ту же комп
лексную координату, которую обозначим буквой с. Так как
11
Рис . 3
O Z = O Z x+ Z xZ и OZo =
oz+zz2,
z + с.
то Z = Zx -I- c, z„
Исклю чая с, найдем:
2 = j (*i -i- z 2).
И так, комплексная коорди
ната- середины какого-либо от- л2 резка равна полу сумме комплекс-
Рис . 4 ных координат его концов.
28. Известны комплексные координаты z x и z 2 точек Z, и Z2; \ZxC\—\ Z 2C\ — \CZ\, (CZ) ± {ZXZ 2) (рис. 3). Вычислить комплексную координату z точки Z.
Р е ш е н-н е. Задача сводится к нахождению комплексной ко
ординаты вектора 0Z. Имеем:
OZ = ОС + CZ. (1.9)
Вектор ОС имеет комплексную координату-^- (zx + z 2) (см. зад а
чу 27). Вектор CZ получается из CZ2 поворотом на ^ радиан, в ек тор CZ2 имеет комплексную координату
— \ (Ч + Ч) = \ (г2 — 2і).
Поэтому комплексная координата вектора CZ равна i • — (z2 — zx).
В силу равенства (1.9) 2
z ^ j ( z i + га) -Ь \ і (г2 - *i)-
29 (задача Эйлера). Известно, что в каждом параллелограмме сумма квадратов всех сторон равна сумме квадратов его диагоналей.
Н асколько отличаются те ж е суммы в случае произвольного четы
рехугольника?
Р е ш е н и е . Пусть А ХА 2А 3А Л — данный четырехугольник (рис. 4). Нас интересует величина
о = И 2Л 3|2+ |А 3А4 |2- f |^4i / l 4I2 — - (\АХА 312+ \А оЛ4|2),
12
Выберем на плоскости декартову систему координат хОу. Обо
значим комплексные координаты вершин соответственно zlt z2, z3, z4.
Тогда
о = |z2 — z j 2 + \z3 — z2|2 -I- |z4 — z3|2 + + l*i — z4|2 — (1*з — 2il2 -{- |г4 — z2|2).
С помощью равенства
|г% _ Z-у |“ = (z2 —_zx) (z2 — zx) = (z2 — Zj) (z2 — z x) =■
= (zxzx + z 2z 2) — (zxz 2 + Z2ZX) получим:
a — zxzx - f ZnZ2 — (zxzj + z 2zx) 4 - 4- z2z2 -b z3£ 3 — (z2z3 - f z 3J 2) 41 4- z 3Zj 4- z±z4 — (zAz.x -I- ZjZ3) 4- - r z4z4+ zxzx_— (z4zx 4- zx24)_—
— [ZjZj 4- 2;jZ3 — ( z ^ + ZjjZO] —
— [z 2z 2 4- Z4z4 — (z2z4 4- z4z 2)].
Сгруппируем члены, содержащие сомножитель zx, затем члены, содержащие z2, и т. д. Получим:
о = (гх — z2 -|- z3 — z4) (zx — z~ 4- z3 — z7) = \zx — z2 4- z3 — z4|2.
К аков геометрический смысл этого выражения? Мы знаем, что ^-(z1 4- z 3) (см. задачу 27) — это комплексная координата середины С отрезка А ХА 3, а число (z2 z4)— комплексная коор
дината середины D отрезка А 2А,к. Положим:
с = | ( 2 ’і 4 - г 3), d = | ( z 2 4 - z 4).
Тогда
о — 4 | с — d |2 = 4 | CD |2, так как |с — d| — длина отрезка CD.
Мы приш ли к следующему выводу, который называется теоре
мой Эйлера о четы рехугольнике: сумма квадратов сторон- любого четы рехугольника больше суммы квадратов его диагоналей на учетверенный квадрат отрезка, соединяющего середины диаго
налей.
30. Точка А на комплексной плоскости имеет комплексную координату z. Найти комплексные координаты: 1) точки В, сим
метричной А относительно действительной оси; 2) точки С, сим
метричной А относительно мнимой оси; 3) точки D , симметричной А относительно нулевой точки; 4) точки £ , симметричной А отно
сительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.
---►
31. Ч еты рехугольник О А ВС — квадрат. Вектор О А имеет ком
плексную координату z = 3 — i. Вычислить комплексные коорди-
13
наты wr и w* векторов ОС и ОВ соответственно.
32. При обходе против ча
совой стрелки контура правиль
ного треугольника, располо
женного на комплексной плос
кости, встречаются последова
тельно вершины zl f Zo, z 3. З н а я , что zy — 1, z2 = 2 -f- i, вычис
лить z3.
Комплексные числа весьма пло
дот ворно могут быть испо льзов аны для решения задач чисто геомет
рического харак тер а. Рассмо трим не сколько примеров решен ия пла
ниметрических зад ач с помощью комплексных чисел.
33. В окруж ность вписан выпуклый четырехугольник Л 2Л 3Л 4 (рис. 5). Требуется выразить сумму произведений противополож ных сторон четы рехугольника через его диагонали.
Р е ш е н и е . Выберем систему координат так, чтобы ее начало совпало с центром данной окруж ности. Обозначим через z l f z 2 , z 3 , z x
комплексные координаты вершин A lt Л 2, Л 3, Л 4 соответственно.
Эти числа можно записать так:
г „ = R e " 4 ‘ ( k = 1 ,2 , 3 , 4 ) .
Составим сумму произведений противоположных сторон и п ре
образуем ее (применяя формулу ( 1.8)):
|ЛхЛ2| • \Л:,А ,\ + \ А , А 3\ ■ И_,Л 11 =
= |г. — 2,1
Z o — Z,
*ЗІ + |2а а,+а2
г . — z.
I- Н"
1*4 Z4
Zl\
а:+а3
1C іе
ZgZj - zaz, — z lzi + ZXZ3
. а,+а2-г-а^Һа »
te іе
гяг4 — гдгх — z 2z,t -j- z 2z, _
-а.+а,-і-я4
i-e ‘ і ге
— z2z3 — zxz4 + z :)z,j -j- z,z x _ (Zt
а,+ а2+ ая4-a*
2
z2) • (z3 — гх)
■ ■> l V
I-£
= I z . — Z„
9 7
1 e • іе
Z l \ = I ^ 2 ^ 4 I * I ^ И з I-
Итак* в каждом вписанном выпуклом четы рехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей. Мы установили известную теорему Птолемея.
34. Н а сторонах треугольни
ка A і А о А 3 (рис. 6) как на осно
в ан иях построены квадраты , не имеющие с треугольником об
щих внутренних точек. Д о к а зать, что отрезок, соединяющий центры квадратов, построенных на боковых сторонах треуголь
ника, и отрезок, соединяющий вершину треугольника с цент
ром третьего квадрата, конгру
энтны. Под каким углом они пе
ресекаются?
Р е ш е н и е. Выберем в плос
кости треугольника декартову систему координат хОу. Комплек
сные координаты точек A lt А», А 3, В 1у В 2, В 3 и векторов В хВ г и А 3В 3 обозначим со о тв етств ен н о ^, а 2, а3, Ьи Ь«, Ья и z, w. Выра
зим z и w через аъ а ъ а 3: z = b 2 — bu w = Ь3 — а3. Пусть С2 — се
редина стороны А ХА3. Точка С 2 имеет координату а'л ° 1, тогда у вектора С2А 3 комплексная координата равна:
(7., а а., — а.
а --- ± J _ i = -Л— 1.
3 2 2
Координата вектора С 25 2 получается умножением на i коорди
наты вектора С 2Л 3, поэтому она равна t 3
Тогда координата конца В 2 вектора С»В2 равна:
Һ — 03 + а 1 - L / ~ «1
° г ~ 2 | 1 2 •
Совершив в этой формуле круговую замену индексов (1 зам еня
ется на 2 , 2 — на 3, 3 — на 1), получим выражение для Ь3:
Аналогично
b i п2 т~ ая | ая Теперь нетрудно подсчитать, что
'і 2 а 2 а х -
'2
16
Отсюда видно, что w — iz. Это озн а
чает, что при повороте вектора В ХВ 2 на угол 90° против часовой стрелки полу
чают вектор, равный вектору А 3В 3. Но в таком случае
\А 3В 3\ = \ВхВ г \ и ( А 3В 3) JL (ВХВ 2).
35. Решить задачу 34 в предполо
жении, что каждый из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника, перекрывается с этим треугольником
Рис . 7 (рис. 7).
36. Н а сторонах А В и А С тр еу го л ь
ника A B C построены квадраты А В В ХА Х и А С С ХА2, перекрывающ иеся с этим треугольником. Д о казать, что медиана А/VI перпендикулярна прямой А ХА 2\ вычислить от
ношение И х/421 : \А М \.
37. Сформулировать и решить задачу 36 в предположении, что ни один из двух квадратов, построенных па сторонах треуголь
ника, не перекрывается с этим треугольником.
38. Пусть А ХА 2А 3— треугольник на плоскости, С — какая- либо точка той же плоскости. Построим точку Сь симметричную точке С относительно А х, точку С 2, симметричную точке Сх относи
тельно А2, точку С3, симметричную точке С 2 относительно А 3, точ
ку С4, симметричную точке С 3 относительно A Xl и т. д. Д оказать, что не более чем через шесть таких отражений получим точку, ко
торая совпадет с исходной точкой С.
39. Вершины каждого из двух правильных треугольников, л е ж ащ их на плоскости, пронумерованы против часовой стрелки;
вершины с одинаковыми номерами соединены отрезками. Д о казать, что середины этих отрезков такж е являются вершинами некоторого правильного треугольника (случай вырождения этого треугольни
ка в одну точку не исключается).
40. Н а плоскости имеются два параллелограмма А ХА 2А 3А 4 и В ХВ 2В 3В± (вершины указаны в том порядке, в котором они встре
чаются при обходе параллелограммов против часовой стрелки).
Вершины с одинаковыми номерами ( А х и B lt /12 и В 2 и т. д.) соеди
нены отрезками, на каждом из которых отмечена середина. П рове
рить, будут ли образовавшиеся таким образом четыре точки верши
нами параллелограм ма (случай вырождения параллелограмма в отрезок или точку не исключается).
В з а д а ч а х 41—49 все решения указанны х уравнений тре
буется изобразить на комплексной плоскости.
41. г8 = i. 42. г2 = 3 — 4i. 43. 2:> = 1.
44. 23 = — 1. 45. 27 -|- 1 = 0. 46. г8 - 1 f I.
47. 2° = —8 . 48. 25 = —4 + 3i. 49. 2« = 1.
50. ГІусть a , b , с — комплексные координаты трех точек А , В, С на комплексной плоскости. Каков геометрический смысл равенства
Л и т е р а т у р а : [2], гл. I, § 4; [ 1J, гл. I, п. 4.
Комплексные числа м ож но нагляд но из об ра зи ть в виде точек некоторой сферы, которая называется ко м плексной ч и с л о в о й с ф с р о й (или сфе
рой Рнмана). В качестве таковой выбирается сфера ст единичного диаметра, касающаяся комплексной плоскости в ну левой точке (ее наглядно можно представить в виде земного гл обус а). Обычно гл о б у с распо лагается так, что точка касания является Южным полюсом S гл обуса, причем вещественная ось касается нул евого меридиана.
Каж дом у ком плексному числу г сопоставля ется точка Z' пересечения поверхности сферы с лучом, ис хо дящ им из Северного полюса /V глобуса и проходящим через ту точку Z комплексной плоскости, которая имеет ком
пл ексную координ ату г. При этом число z называется к о м п л е к с и о й к о о р д и н а т о и т о ч к и Z' и а с ф с р е.
Установленное соответствие является взаимно однозначным соответстви
ем м еж ду точками комплексной плоскости и точками сферы а с выколотым по
люсом N . В теории ана литических функций полезно рассматривать соответ
ствие меж ду полной сферой и комплексной плоскостью, допо лн ен но й симво
лической точкой, которая называется б с с к о н е ч и о у д а л е н н о й т о ч к о й и обозначается знаком со. При этом будем полагать, что беск о
нечно удаленной точке соответствует па сфере Северный полюс N.
Комплексная плоскость, дополн ен ная точкой со, называется р а с ш и*
р е п н о й (или полной) к о м и л е к с и о й п л о с к о с т ь ю . Опи сан
ное выше взаимно од нозначное соответствие м е ж ду точками плоскости и точками сферы называется с т е р е о г р а ф и ч е с к о й и р о е к ц и е и.
Д л я перехода от географических координат (tp, /„) точки Z' (ср — широта, X — долгота) к ее комплексной координате z — ре1) можно воспользоваться формулами
О тм ети м д в а в а ж н ы х си ой сти а с т е р е о г р а ф и ч е с к о й п р о е к ц и и , к отор ы е ч а с т о и с п о л ь з у ю т при р еш ен и и з а д а ч .
1. Кругов ое свойство. При стереографической проекции каж дая о к р у ж ность у сферы о п р еобр азу ется ли бо в о к р у ж н о сть (если у не п р охо дит через центр проекции /V), л и бо в п рям ую (если у проход ит через N).
2. Свойство сохра нения углов1. Если при стереографической проекции точка Р' и линии у[ и у,,, взятые на сфере и выходящ ие из точки Р ' , и з о б р а жаю тся на пл оск ости в виде точки Р и ли ний у г и у 2, то
1 Напомним, что углом м еж ду двум я линиями в точке Р их пересечения называется угол м е ж ду Касательными к этим линиям , проведенным» в точке Р .
Im = 0?
а — с
§ 2. К О М П ЛЕ КС НА Я ЧИ СЛОВАЯ СФЕРА И С Т Е Р Е О Г Р А Ф И Ч Е С К А Я П РО Е К Ц И Я
(2.1)
ҮІР ' \ 2 ■= ViPy*.-
17
51. О трезок Л, А 2 я в л я ется диаметром комплексной числовой сферы, причем Л / и Л о' не совпадают с полю са
ми N и 5 . Известно, что точ
ка Л -у имеет комплексную координату zx. Вычислить комплексную координату точ
ки Л 2'.
Р е ш е н и е . Обозначим географические координаты точки Л ' через срх и Хх, а точки Л 'о через ср2 и X.,. Так как точки Л, и Л„ диамет
рально противоположны, то 9 о — *“ * и ^2 — ^ я . И спользуя формулы (2. 1), можно записать:
гі = P i < A где Өі = Aj, рх = tg •rc I Фі
4 2
to,
4 2
где 02 = X2, p, = tg
В ы раж ая 0 2 и p 2 через 0j и рь получим:
Ө2 - ЯА - я = Өх — я; р2 = t g ^ + ^ = tg i ~ — ^
= ctg ' "
Поэтому
Pi
Pi
— 1
Pit’,-rc,
И так, комплексная координата точки Л равна — —.1 Zi
52. Точки А ' и Z', расположенные на комплексной числовой сфере, имеют комплексные координаты а и г. Чему равна длина хорды А ' Z' (хордальное расстояние между точками А ' и Z')?
Р е ш е н и е . Сначала рассмотрим случай, когда а Ф оо и г Ф оо. Обозначим (рис. 8) через Л и Z точки на комплексной п ло
скости с координатами а и z. Тогда
| 5 Л | = | а | , |S Z |
| N А | — у ' Т
= z | A Z \ = \ г — а\, | N S | = 1,
\ м г \ = у т г щ \
И з подобия прямоугольных треугольников A N S и S N A ' следует, что
A N | | N S |
откуда
Аналогично
I N S | | A 'N |
\ N A ' \ = - — L = - . (2.2)
V i + I« P v ;
| N Z ' | = —— =L===.. (2.2')
1 / 1 + 1* I2
Обозначим расстояние H 'Z 'I через k (a, z) или /г. Из треуголь
ника А ' N Z ' по теореме косинусов получаем:
/г2 = | Л М ' | 2 + IvVZ' |2 — 2 \ N A ' \ \ N Z ' \ c o s q > ,
где ср = A ' N Z' . Или с учетом (2.2) и (2.2')
/г2(1 - b | a | 2) ( l + | 2 |2) = (1 - | - | z | 2) + (l + | a j 2) -
— 2 У 1 + I а |2 • У \ -}-1 z |2 cos ф. (2.3) С другой стороны, из Д A N Z (по теореме косинусов) следует, что
|г — а | 2= (1 + | я | 2) + ( 1 + |z | 2)—2 + | a j 2 • У 1 + | z |- cos ф. (2.4) Сравнивая формулы (2.3) и (2.4), найдем:
к (а’ г)
Пусть теперь а — оо. Тогда расстояние \A'Z'\ оказывается рав
ным \NZ'\t и поэтому (см. формулу (2.2') /((От, z) =|A /Z'| = - 7= L = .
1 K ! + | Z | a
53. Описать положение (найти географические координаты) тех пунктов на комплексной числовой сфере, которые имеют комп
лексные координаты: 1, — 1, i, — i, 1 — i.
54. К акова комплексная коорд и н ата точки Z' на земном глобу
се, если ее географические координаты: 60° северной широты, 45°
восточной долготы.
55. Решить задачу 54 в предположении, что географические координаты точки Z ' таковы: 30° южной широты, 60'J западной долготы.
56. Точка Р на комплексной числовой сфере имеет комплексную координату z. К ак располагаю тся (по отношению к точке Р) на этой сфере точки с координатами: а) г; б) —z; в) «г; г) 4-?
z
57. Выяснить, во что преобразуются при стереографической проекции следующие фигуры на плоскости: а) семейство п ар ал
лельны х прямых; б) гюлоса между двумя параллельны ми прямыми;
в) полуплоскость; г) угол с вершиной в точке касания сферы и пло
скости.
58*. У полярной экспедиции имеется карта Антарктиды, по
лученная с помощью стереографической проекции (с центром про
екции в Северном полюсе Земли). Экспедиция долж на пройти от станции А х к станции Л 2, географические координаты которых из
вестны. Каким образом можно найти на карте кратчайш ий путь, соединяющий (на поверхности Земли) эти пункты?
59. Комплексная числовая плоскость я касается земного глобу
са (его диаметр принят равным 1) в точке Р пересечения экватора с нулевым меридианом, причем ось Ох направлена по касательной к экватору на восток, а ось Оу — по касательной к меридиану на север. Глобус проецируется на плоскость я из точки Q, симметрич
ной точке Р относительно центра глобуса. Найти связь между гео
графическими координатами (cp, А) какой-либо точки глобуса и комплексной, координатой ее проекции на плоскость я .
§ 3. К ОМ П Л Е К С Н Ы Е Ч И С Л О ВЫ Е ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И Р Я Д Ы
Л и т е р а т у р а : [1], гл. I, п. 3, гл. IV , п. 1; [2], гл. I, § 3, § G, пп. 1— 4;
[3], гл. I I , § 2.
О к р е с т н о с т ь ю к о н е ч н о й т о ч к и с на ко м плекс но й плос
кости называется всякий открытый круг (кр уг без границы) с центром в этой точке (иными словами, множе ство всех точек г , для которых \г — с| <
< е; число 8 > 0 называется радиусом окрестности, круг \г — с| < 6 на
зывают обычно е-окрестность:о точки а). О к р е с т н о с т ь ю б е с к о н е ч н о у д а л е н н о й т о ч к и называется внешность к а ж д о г о круга с центром в точке г — 0 (иными словами, множество всех точек г, д ля к ото
рых |г| > R ).
Говорят, что последовательность точек комплексной плоскости (или, что то ж е самое, п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь к о м п л е к с н ы х ч и с е л) г и г2, . .. , г„, ... (короче, {г„}) и м е е т п р е д е л о м1 т о ч к у с, если к аж дая окрестность точки с содерж и т все точки п оследовательн ост и, начиная с некоторог о номера /V; при этом, вообще говоря, число N зависит от выбора окрестности. Заметим, что это опр еделение пр игодно и в случае С = оо.
При решении задач полезно учесть след ую щи е свойства пр еделов по- след оват ельност ей.
1) Последовательность {z n ) тогда и только тогда имеет конечный предел с = а + bi, когда сущ ествуют конечные пределы:
lim Re Z/i = а и lim I m z rl — b.
2) Если lim г п = с, то lim \zn \ — |c|; если lim zn = со,то Iim|2r/t| = сю;
lim z n = 0 тогда и только тогда, когда lim \zn\ — 0.
3) Известные из курса ана лиза теоремы о пр едела х по следовательностей остаются в силе и для последовательностей комплексных чисел. В частности, если
lim zn — с', lim zn = с" (с' Ф оо, с ’ Ф оо),
1 Или сходи тся к с; обозначим эго так: с = lim г п (иногда с — lim z„) п -» со или г п -*■ с.
