УДК 517.95
ОБ УСЛОВИЯХ НЕКОРРЕКТНОСТИ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Айменова К.А.
Казахский национальный университет им. аль-Фараби, Алматы
Научные руководители – д.ф.-м.н., профессор Дженалиев М.Т., к.ф.-м.н.
Иманбердиев К.Б.
Интерес к задачам, не являющимся корректными по Ж.Адамару [1], у специалистов по уравнениям математической физики никогда не ослабевал. С ними приходится сталкиваться во многих прикладных задачах. Здесь можно отметить классические работы Ж. Адамара [1], А.Н.Тихонова [2], М.М.Лаврентьева [3] и многих других, обративших внимание исследователей на некорректные задачи и внесших существенный вклад в развитие этого важного направления математики.
Некорректная задача для уравнения Лапласа рассматривалась многими авторами.
Дадим следующую постановку граничной задачи для бигармонического уравнения.
В области Ω =
{
x,y|0< x < 2π, 0< y <1}
рассматривается следующая граничная задачаQ y
x f
u = ∈ ∈ =
∆
2, { ( 0 , 2 π ), ( 0 , 1 )}
; (1)0 ) , 2 ( ) , 2 ( , 0 ) , 0 ( ) , 0
( y = u y = u y = u y =
u
xπ
xπ
; (2)0 ) 1 , ( , 0 ) 0 , ( ), ( ) 0 , ( , 0 ) 0 ,
(x = u x = 1 x u x = u x =
u y ϕ yy yy ; (3)
с дополнительным условием
U g
x
u( ,1)∈ – выпуклое замкнутое множество из L2(0,2π), (4) Предполагается, что данные в задаче (1)-(3) удовлетворяет следующим условием:
)
2(Ω
∈ L
f , ϕ1 ∈L2(0,2π). (5) Используя методы оптимального уравнения для задачи (1)-(5), мы устанавливаем критерий однозначной сильной разрешимости некорректной граничной задачи (1)-(3) в терминах коэффициентов Фурье от заданных функций (5). Этот критерий раскрывает причину некорректности возникающей в задаче (1)-(3).
Литература
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. – М.: Наука, 1978. – 352 с.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 142 с.
Лаврентьев М.М. // Изв. АН СССР. Сер. мат. – Т. 20. – № 6. – 1956. – С. 819–842.
