4x, +?x, =10 3r, t "*r, 4t5 -rl5 - EPrints USM

UNTVERSITI SAiNS

MALAYSIA

Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik ^1998/99

OgoVSePtember 1998

MAT 2511351 - Pengantar Penyelidikan Otrerasi Masa: _[3 jam]

1.(a)

Selesaikan ^masalah PL berikut ^dengan menggunakan x4, xs ^dan xu sebagai penyelesaian asas Permulzun ^Yang tersaur

ARAHAN

KEPADA CALON:

Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan

ini

mengandungi EMPAT soalan

di

dalam EMPAT halaman ^dan DUA halaman Lampiran ^{yang bercetak} sebelum anda memulakan peperiksaan ini' Jawab SEMUA soalan.

maksimumkan

z= 3xr+ xr+2x,

terhadaP llx, +3x,

^{+ 6x.'}

+3xo -

⁹

8x'

+ x, -4x, +?x,

=10

3r, -re=O

xt,

x2, x3, x1'

xr' xu20

Tunjukkan ^bagaimana fungsi matlamat berikut boleh dilinearkan (b)

t

_j=t

"*r,

(so/100)

(30/100) ^, minimumkan ^z = ^maksimum

I I

t L,u*,

^j=r

(c)

Pertimbangkan ^masalah PL berikut ^dan tablo optirnumnya' maksimumkan a= ^10-r, +

6xr+5x,

terhadap 2x,

+3x,

+ 4x, ^<25 x,

*3x,

⁺

2x,

^<22

6xr+3x, +44<32

Xp Xr, XrZ0

4t5 -rl5

a5 -l/15

-vS

^1t5

t 0 0

0

^8/5

1

^8/15

oa5

0 0

I

IMAT

^2sl

Tentukan julat _bagi setiap nilai sebelah kanan (iaitu nilai sebelah kanan asal) boleh mengekalkan ketersauran penyelesaian semasa.

Tentukan julat bagi pekali

x,,

^dan

x,

di matlamat agar keoptimuman semasa te{ejas.

(iii) Jika x,

ingin dimasukkan

ke

dalam asas, sebanyak manakah pekalinya matlamat harus diubah?

(40

Z.(a)

^{Pengurus bahagian} pemasangan ISO Inc. telah merumuskan model PL berikut:

maksimumkarr z= IZx, +

l0x,

(keuntungan)

terhadap

^!

Barisan

I : llx, +lhr Sl2l

^jam

Barisan

2:

^{8-x, +15-x, < 120 jam}

Bahagian pemeriksaan : 3x, +

l5:i

< 60 minit

Di

sini

x,

mewakili bilangan keluaran

i

yang akan dihasilkan. j =

I, 2.

Jawab soalan berikut berpandukan graf.

(D

Apakah nilai optimum bagi

x,

^{xrdan z?}

(ii)

Apakah

julat

keuntungan bagi keluaran 1 yang tidak akan mengubah optimum di bahagian (i)?

(iii)

Jika masa bahagian pemeriksaan boleh ditambah, berapakah masa tambahan

i

(iv)

Jika masa

di

barisan 2 dikurangkan sebanyak ¹ jam, apakah kesannya keuntungan?

(v)

Jika masa di barisan

I

boleh ditambah, berapa lama masa ini boleh di tanpa menyebabkan pembaziran?

(b)

Sebuah syarikat bas meramalkan yang

ia

memerlukan bilangan pemandu berikut di ^{dalam masa} lima tahun yang akan datang.

Pada permulaan setiap tahun syarikat ^bas ini harus menennrkan berapa banyak ^pen yang harus diambit bekerja dan berapa banyak pemandu yang harus diberhentikan.

untuk mengambil seorang pemandu ialah RM4000 manakala kos untuk

seo!"ng ^pemandu ialah RM2000. Gaji ^seorang pemandu bas ialah RM10,000 Pada permutaan tahun

l,

^terdapat

50

^{pemandu bas}

di

^{syarikat tersebut.}

pemand,u yang diambil bekerja pada permulaan ^sesuatu tahun boleh digunakan memenuhi keperluan tahun tersebut ^cian dibayar gaji penuh. Rumuskan suatu

yang

memilimumkan

kos untuk

membayar

gaji dan kos

pengambilan pemberhentian pekerja di daiam masa lima uhun ^yang akan datang.

-2- (i)

(ii)

60 70 50 65 75

254

-3-

(b)

Bagi masalah PL

maksimumk Nr

z=20xr+l0.rr +x,

MAT zslt3srl

terhadap

3xr-

3xr+5x, S50

xt + xr<10 xt- xr+44320

X1, X2, Xr

20

di arah

manakah ruang penyelesaian

tak terbatas?

Tanpa menjalankan sebarang pengiraan, apakah yang anda boleh simpulkan tentang penyelesaian optimum ^masalah

ini? (20//,00)

3.(a)

^{Jadual berikut} memberikan maklumat tentang aktiviti-ahiviti ^suaru

projek'

Berdasarkan maklumat ini

(i)

bina gambarajah anak _Parah

(iD

tentukan lintasan genting

(iii)

^{tenrukan tempoh minimum} untuk menyiapkan projek ini Aktiviti

C D B E F

I

J G H K

Kegiann

pendahulu

Janeka masa (hari)

A C

A

E

B,D

F,I

G H

5 8 2 nI

3

.10

6 8

I 2 17

(s0/rco)

(b)

Bagi bahagian (a) di atas,

(i)

binakan skedul perlaksanaan

bagi

^{projek tersebut}

jika

semua tugas ^dimulakan

selewat

mungkin. * '

(ii)

bentukkan suatu model PL ^yang boleh digunakan untuk menenhrkan Panjang lintasan genring projek

rersebut.

Gv/Ir/,)

(c)

Min ^{jangka masa dan} varians bagi suatu projek

R&D

ditunjukkan

di

atas gambarajatt anak parah

berikut.

Tenrukan teUaranlm1ian bahawa projek

ini

boleh ^disiapkan di dalam masa

(i)

kurang daripada 50 minggu

(ii)

lebih ^daripada

5l

minggu

(iii)

di ^{antara 49 dan}

5l

minggu

...4t-

IMAT

^2sli35

Bagi masalah pengangkutan fang diberikan berikut, jumlah permintaan melebihi b Katakan kos penaliti per unit permintaan yang tidak dapat dipenuhi ialah

5'

3

(40/

asas ^yang

4

4.(a)

masing-masing bagi destinasi

l,

^{2 dan}

3.

^Dapatkan penyelesaian optimum.

Destinasi 2

Bekalan

Funca

Permintaan

(b) Bagi masalah pengangkutan 3 x

3 (3

punca dan

3

destinasi) katakan .ru ialah yang diangkut daripada punca

i

ke destinasi

j

dan cu mewakili kos pengangkutan

unit.

Amaun ^bekalan

di

punca 1, 2 dan 3 adalah 15' 30 dan 85 unit masing- Manakala permintaan di ^destinasi

1,2

^dan 3 adalah 20, 30 dan 80 unit masing Katakan penyelesaian asas perTnulaan yang diperolehi dengan petua sudut barat memberikan penyelesaian

optimum. Katakan ur=-Z,

Lk=3dan

%=5

^{serta vl}

v"=5danYa=10.

Tentukan kos pengangkuran yang optimum.

Apakah nilai-nilai terkecil

bagi cu

untuk pembolehubah tak mengekalkan penyelesaian optimum di atas?

Terdapat lima orang pekerja yang boleh melalarkan empat rugas. Masa yang ^di untuk melaksanakan setiap tugas diberikan

di

dalam jadual

berikut.

^Tentukan

umpukan pekerja kepada tugas agar jumlah _masa untuk melaksanakan empat tersebut dapat diminimumkan.

perhatian: .-' menunjukkan bahawa pekerja tidak boleh menjalankan tugas tersebut'

-ooo0ooe'

256

2l rl 3L _,

l0

80

l5

75 50

(i) (iD

(c)

mln

! /u*unt

18.0.

Pekeria

Tugas

II 2 ^J 4

I a

J 4 5

ZL

l8

26

l6

21

l8

20

T

30 27 28 25

l8

22 28

t4

28

(HAr 251/351) LAMPIMN

I.

r..:- FUNCTION TABLE 4. THE NORMAL DISTRIBUTION

The function trbulrtcd

ir

^o(r)

- t ['--"-"'dl.

^{@(.:) ir}

the probrbiliry thtt

I

rrndorn vrrirblc, normllly diltributcd with zcro rncrn end unit vtrirncc, will ^bc lcrr then:or cqurl to

*'

^Whcn

r

<

o

ure

o(r) = r-@(-r)'

^{gr thc'normrl}

distribution with zero mcrn rnd unit vrrirncc is ryrrunctric rbout zero.

J,

o'oo'oI .ol

.o3

.o{

o'r)5

'$

'|D7

'tt

'o9 o(r)

o.5ooo '50+o '5o8o '5 r20 '5r6o o'5r99 's239 's279 '5319 '53s9

o'ro

^o'5398

'!r

^'5438

'\?

^'5478

'x3

^'5517

'14

^'5557

o'rS

^o'sS96

'16

^'56t6

'.7

'5675

':.8

^'5Zr+

'r9

'5753

o'ao

^o'5793

.zr

^.58J2

'22

'SgZr

'23

'59ro

'a4

'59+8

o'a5

^o'5987

.i6

^.6o26

'zZ

'6o6+

'28

^'6ro3

'zg

'614r

o'3o

^o.6t7g

'3r

'6217

'gz

'6zss

'J3

',6293

'&+

^{'63 3 r}

o'3t

^o'6368

'f6

^'6+o6

'37

^'6+*l

.38

'6+8o

'39

^{'65 t7}

o',lo

^o'6554

r

^@(r)

o'40

o'655+

'4t

^'659t

'+/

^'6628

..03

_'666+

'4

'67cE

o'{S

o'6n6

'q6

^'677z'

'17

^'68o8

..3

^.68ca

'.19

'6Els

.,6'go

^0'69I5

'Sr

^'6CSo

'Sz

'6c8s

53

^'70t9

54

^'7054

o.5S ^o'7o88

'S6

^'71z-3

s7

^'1rsi

SE

^{'7 r9o}

'59

'72"+

o'6o

^o'7257

'6r

'729r

'6'r

^'7tz+

'63 'itsl '64

'7389

0'65

^0'74z2

'66

^'7+s4

'e7

^'7186

.6t

_'ZSr7

69

^'75+9

o'7o

o758o

'72

'76rt

'72

^.7612

'73

'7673

'?1

^'770+

o'7s

^o'7734

'25

^'7?6+

'77

^'779+

-78

'7823

'79

'7852

o'Eo o'788r

I' ^Q(:)

o'to

o'788r

'tr

^'79ro

'Eo

^'7939

'ts

^'7q67

'8.1

^'?995

o'tS

^o'8o23

't5

^{'8o5 r}

.'V

'8o28

.88

'8ro6

't9

^'8t33

r

^O(r)

t.20

o'88+g

'ar

^'8t69

'z?

^'8888

'23 'W .al

'8c25

rz5

^o'8944

.r5

_:8962

'27

^'8f8o

.2E

'8C97

.29

_'?ors

r'3o

o'9o32

'31

^'9o.+9

'Jz

^'q,o06

.33

^.9082

'3,

^'9099

r'3S

^{o'9t l5} '36 ^{. .'9r3t}

'37 ')r47 .38

_'9t6r

'39'

^'9177

r'40

o'9192

'4/

^'92o7

'F ^'9,.22

'/t3

^'9136

't4

^{'925 I}

.

r.45

^o'9265

'16

^'9279

'17

^'9792

'fE

^'93o6

'{9

^'93r9

I'5o

^o'y332

'tr

^'9315

'5?

^'e357

.'53

^',9370

.5.f

'9382

r'55

0'9394

'96

^'9+06

's7

^'94t8

'5t

^'9429

'59

^'9++r

r'6o

^o'9152

r

^O(r)

r'oo

^0'97725

.ot

'9777e

'sir-

'9?8lr

'qJ

'9788a

'o4

^'97932 1'oS ^o'97982

.o5

'98o3c

'v7

^'98oT7

'oE 'gtrq .o9

'98ro9

a'ro

^o'982r+

.tr

'98r.sz

'tz

^'9E3oa

't3

'983< ^I

'tl

^'9838e

.'tS

^o'g84zz

'16

^'9846r

't7

'985*

'rt

^{'9E j37}

'r9

^'9E52+

e'ro. ^o'986tc

.er

'986*5

-rt

^.et6?s

't3

^{'982r g}

'r1

^'98745

,'ri1

^o'g8778

z6

^'s88oc

't, .d

^'988+0'9t8zo

, '19

^'r88c9

1

r'Jo

^o'9E9a8

.3r

'98956

'}|

^'98e83

' '33

^'99oto

'&l

^'99016

a r'6o'6r

.a

'6gi

'6r r'65.65

.e,

-. .68 .6,9

o(*)

o'9452 '9+63 '9+7+

'9+84 '9+95 o'9505 '95r5 '9525 '9535 '95+J o'955+

'956+

'9573 '9s82 '959r t'7o

'7r 'zz '73 '71 o'90

'9r

'9

'93

'9r

o'95

'n

'96 '98 '99

o.8r59 '8r86 '8ztz

'8a38 '8264 o..8189

'8315 '83+o '8r6s '818s

roo

^o'8+r3

'or

'8+lB

'ot:-

'8461

'o3

^'8+85

'o4.

^'85o8

r'o5

^o'853r

'06

'8Ss+

'e7

^'8szz

'o8

^'8sCC

.o9

'854t

r'to

^o'86+r

'rlE665 'r,

^'8686

't3

^'EZq8

'r4

^'8729

rr5

^0'87+9

'26

^'8zlo

't7

^'8lco

'rE

'E8ro

'19

^'883o

t'zo

^o'8849

t'75

0'9599

'76

^'etu8

'7?

^'e6t6

'7t

^'9625

.79

'963 ₃

r.8o

^o'964r

'8r

^'96+9

' .8r

_'9696

.83

'e66+

.8+

_'967r

rtS

^o'9628

't6

^'e686

"Et

^'9693

'88

^'96ee

'89

^'9?06

o'97t3 '9719 '9726 '9732 's738

o'97#

'975o '9756 '976r '9767

o'94o6r '99o86 '99r ^{r r} '99r34 '99t58

o'99rBc

,'35

'36 '37

'3t

'39

,'*

t'90'9I

'9

'93 '94

r'95 :96

'vl

'9t

'99

?.oo

^o'9772

,l*,:X'- ,i,, $;'1 'lrr".* ':H ':Hi3; 'I ".ffiH '::[ ":Rll:'

.it .ee'oa .:: :*X tr: '.T'ir * '*lfi :fr :l#t ::l .l$il

'Li :;":; ;i ';;;;; '72 'eeel4 .fi ;;:$ ::i :r$3: :; :H::

'fr ffiZ .* :3H:: 11, ;

,.d o.ooErl 3.os o.co!g6 r'T ":T:li

m,o2 z.F o.e8r3 ,::i ":ffi;; .ar

^.eee3{:

*71"ffi:: a6o ':illii -1:j: ",fiil ':* -:*il: .; ,;r,i '2

^cagso

.1? .ses4 'f 6;6" a-to '.i;;;e 'e3 'qqsii ';i :1ti ''3

^'ccEr8'

.4t 'eer43 ':l .nil: .i2 .'ri!;Z ;i ;;B;; 'oe 'eeeoo '4

^:qeeru

TABLE 4''I tlD l\L'a'r5'-

tr/-\*O(r)rO(r)rO(r)rO(*)

'4E '99J43 vr' 6iE; .?g .Cszt6 '9.t -everv

^,

'1g '9936r 'o4 '9'5o5

'

' '

- ^o ^.

- ,.16 o.ooeo3 3'1g

^o'gg9{:'

;t .sgrt" .f 'ec632 -cr ;;;;i .ee .ee86r 'r4

^'eeere

;i ''o6i'o '69 'ca64s '41:. 'eet't+ "

-'^'-o,

e.ss o'ee+6r

^2'?o

'o'ee6s3 I'tsi'i'o'ssz8' p'oo '*tu:.

^,r::, .. :::,,,..^trl:

"'li "{li ',f

iffi ".$"ilir '.E".'*ili 't'lnl "'l

ffi

i o'99+or ' tJ

rc of vrluer ^of r ^{for which} o(*)

orttt-*::J":'on

thc riSht' Ttre criticd

olle {low

qlll.e' on thc lcft t}p

nnt

@rscct to tlre

ruta3ur"t*,-r

^ia

criticrl.er.i:i.t"il:tT:::tt" ii"""

of o(r) indietcd'

lriun ,.',ilSli

^s.r?.

o'99c" i#t#' l#:#t

g'+ro

l.ll iiittffii 3H:ffii ffiiffil {'r;;;;

.'li3:gi iC::ffi i's6';#;

^{4'4rz 'ooo@}

rir

^teblc

;uction

- a-"

When

*

^> 3'3 thc'forrnuh

r-O(r) * 6;

lecr *-en g+s/r'o,

givte pcrccatrgc

poinr r(P)

^dcfrncd

by

^tht

'D t lE

-L - L- | roo

^{4ztr J tlP')c-t" d't'}

TABLE 5. PERCENTAGE POIN'TS..OT THE NORMAL DISTRIBUTION

x

^ic

r

^v$iabrc,

""lfa:H S:fiB,"rFi,n:i';"1 itr #l

qLl

";,ili

t'{i-F.ri:T'i il*# :rHif ic'(P)'

rd rhc ProbrbilitY trut

P dP) P r(n P

^r(P)

so o'o€o 3'9 v1f2

+S o'rz17 4't

^t6616

' {o tl'3533 ;6

^r'68+c

' is o'3853 1'1

^r'?om

30 o'52++ 1'z

^r'7279

P I'O o'9

o,t

o"7 o,6 o'5 o'4 o.3 o'2 o.I P

2.O

r'9

rt

r.7 r'6

a5

rc

r5 IO 5

o'67+3 ^'

.l'o

_''7so7

o.8+16 3't t'77*

ro364 3'5

^l'?99r

r'etr6 3'1

^r'uz5o

r'6+t9 3'2

^r'8522

r(P) P

^t,(P)

z.9z63 o'ro

^3'o9oe

".r6s6 o'o9

3'tzr4

".Lec o'o8

^3'1559

2'1573 o'el

l'r917

;;;;-' o'o6

r'zg8c

z.s?sB o'o5

3'z9o'

".Oc.r o'ot

^{3'7^r9o}

;ii;g o'oos 3'es

f.it o'oot

;26+9

3.o9oz o'o@5

^1'1t72

3'o

^rt8o8

,,g

^r'8c57

e't

^r'9rro

zt7

^r'9468

z'5

^r'9+3r

*:5

^l'96o0

2'1

^,'9774

e'3

^t'9954

.2',

^1',Ot1l

t'r

^{,'o3 3 5}

r(P) ,'a537 .'s?+9 z'oS69 2'1201 z'raA1

t'5

^2'r7or

r'1

^,'t973

t'3

^t'zz6z

t',

^2'257r

l'r

_.2'290.1

I

4.. f ,4'* -'1+

258