x+x3 y(0)=O ( l. - EPrints USM

U{IVERSITI

^SAINS

MALAYSIA

Peperiksaan Semester Pertama

SiO*g

Akademik ^1998199 Ogos/SePtember ¹⁹⁹⁸

MAT

^{421 -} Persamaan Pembezaan

III

Masa: [3 jam]

ARAHAN KEPADA CALON:

Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan

ini

mengandungi

EMPAT

^soalan

di

dalam

EMPAT

^halaman yang bercetak sebelum ^anda memulakan peperiksaan ini'

Jawab

SEMUA

soalan.

1. (a) cari

^persamaan lengkung kamiran ^dan lakarkan plot ^fasa untuk setiap ^sistem berikut:

(i) x'-- 4x'5Y Y'=5x-4Y

(ii) x'=

J

| =x-x

1

(b)

2. (a)

Cari

titik+itik

^{genting untuk sistem berikut.} Dapatkan pelinearan terhadap ^setiap

titik

genting dan bincangkan kelakuan penyelesaian di sekeliling ^setiap

titik

^genting itu'

x'= |

Y'=-sinx-Y

lika x(r) , y(r)

^iatair penyelesaian bagi sistem

/. r \

x'=ylr' +y' -l)

y'=(4-r)(rt +/t -

¹⁾

r(o)=t , rtO)=3

daoatkan

hadx(r) dan

^hadY(r).

' t+- t+-

Tunjukkan bahawa penyelesaian sistem berikut:

x'=! ,

^{x(0) =xo}

y'=-x+x3

^y(0)=O

adalah ^berkala

jika

0

(

"o

( l.

(60/ 100)

(40/t00)

(30/ I 00)

(30/t00) at (b)

303

(c)

a

Dengan menggunakan

fungsi

Lyapunov genting

(0,0)

untuk sistem

x'=-xi-ryz

Y'=u-Y+2xzY di mana

s

adalah pemalar.

V

=ax' +bv'

^tentukan kestabilan

titik

, a>0

.J

I

(a)

^Cari jelmaan Fourier bagi fungsi

(c)

^Dengan menggunakan rumus:

-[ ^-ort l

r[€ l=

selesaikan masalah haba berikut:

rr'r={f : ll;;

Lakarkan ^graf jelmaan Fourier

F(o)

dan bahagian ^(a).

(b)

. ur=uu, -m(-r(e, t)0 u(x,O\=2-", -@(r(e

dan tunjukkan bahawa penyelesaiannya boleh dirulis dalam bentuk

| -'

2

u(*,t)=-p s

^t++t

..11 + 4t

304

IMAT 42ll

(40/r00)

(20/100)

Q0/ta0)

(a)

-3-

Cari jelmaan Laplace bagi ^setiap fungsi berikut:

(i)

_-f ^(r) = ^sin2 r

(ii)

g(t) =

re'

sin ^r

Dapatkan jelmaan Laplace ^songsang bagi ^setiap fungsi berikut:

2s

+3

(i) r(s)

⁼

,il*f

(ii) r(r)=f*

s\s *l)

(cl

Selesaikan:

Icos ^4r

x,+16_r=l

_o

,(0)=0 , x'(0)=l

x(l)

yang memenuhi Persamaan:

I'

'(r) +

,o

I

^(r

-t) x(r)dr=

^r

03t<n

t ^>-1t

t

IMAT 42ll

Q0/100)

Q0/t00)

(40/100)

(20/t 00) (b)

(d)

305

AI

{MAT 42ll

A

Jadual Jelmaan Laplace

- ooo0ooo ^-

306

fQ) F(s)= L{f G)l

I

I

.s

+

S

n=r,Z,

to-,

Ip , o'o

s

eul I

.s

-(I

sln 4t ^a

.s

11

+c

cos 4t ^.s

".', s +a

sinh ar

s -a

22

cosh al

--;---

^s

s- -a-

,,f J; J; r---

.t{.s + 4

5U

t 2e ^1l

zG

-oJi

u