drfi+x=O, 0<;r<l - EPrints USM

(1)

UNIVERSITI SAINS

MALAYSIA

Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik 1996197

Oktober/1.{ovember | 996

MSG 442 - Kaedah Unsur Terhingga Masa:

[3jam]

ARAHAN KEPADA CALON:

Sila pastikan bahawa kertas

peperiksaan

in mengandungi TICA soalan di

^dalam

TIGA

halaman yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.

Jawab

SEMUA

^soalan.

l.

Pertimbangkan masalah berikut:

d2v

^dv

(l +.r)

d*r*fi+x=O, 0<;r<l

)(0) = 0, )(l) =

⁰

(a)

Dengan menggunakan kaedah kolokasi dengan fungsi cubaan

y =

a)c

-

^a)(2

dapatkan penyelesaian hampiran bagi masalah tersebut di atas supaya sisanya R("r) sama dengan sifar

untuk , = l.

(b)

Dapatkan penyelesaian kaedah unsur terhingga bagi masalah tersebut dengan menggunakan tiga unsur linear.

(c)

Dapatkan penyelesaian tepat bagi masalah tersebut.

(d) Bandingkan

kedua-dua penyelesaian

hampiran yang diperolehi

dengan penyelesaian tepat itu.

(

r00/t00)

161

...2t-

(2)

-2-

2. (a)

Selesaikan ^masalahberikut:

+.+=o dx'

_dy-

didalamCl

dengan syarat

0(x'0)=3Ox+2O, 0<x<2

a0

# = O padasisi x = 0

dan

sisi x =

²

fr=-0+2

a0

padasisi J=1

lMsG

⁴⁴²¹

di mana

f,l

ialah rantau berikut:

D(0, l) ^{c (2, t)}

A (0,

0)

B e,0)

Rajah ^I

Gunakan dua unsur segitiga linear ^sepertiditunjukkan dalam Rajah

l.

(40/t00)

(b)

Pertimbangkan masalah bersandarkan masa berikut:

d'g =2+. o<x<3, t>o

dx'-'dt ' v \/v

$(x,0)=10, 0<xS3

0(0, t) = 10, 0(3' t) = 100, r >

0

Dengan menggunakan tiga unsur linear dengan perumusan

gumpal, O = +

dan

A

t = l,dapatkan

Q

(1, l) dan

Q

(2, t)

^pada

/ = I

^saat.

(30/t00)

(c)

Dapatkan masalah variasi yang setara dengan masalah berikut:

*'o:l +*+*(" -r)y=o

dx"

^dx

y(o)= t. *(D=-2y+3

Seterusnya dapatkan ^persamaanEuler-Lagrange bagi masalah variasi itu.

(30/100) ...3t-

(t)

(2)

i62

(3)

IMSG ⁴⁴²¹

Pertimbangkan penyelesaian untuk persamaan:

L'o,a'o -aQ

a7*au'=oa,

melalui kaedah unsur terhingga dengan perumusan konsisten. Untuk segitiga A (0, 0), B (b, A), C ^(O,b) dapatkan syarat atas A

t

supaya ayunan berangka dapat dielakkan.

(40/t00)

Dapatkan nilai hampiran bagi kamiran berikut:

f5

||_----;

J {l+x'dx

dengan menggunakan kuadratur Gauss dengan tiga

titik

persampelan.

(30/100)

(c)

Suatu unsur dengan segiempat mempunyai bucu-bucu

(0, 0),

(10,

0), (6,

6) dan (0,

8).

Dengan menggunakan fungsi bentuk segiempat bilinear, dapatkan

transformasi dari koordinat (x, y) kepada koordinat (E,n)

^yang

-3-

3. (a)

(b)

mentransformasikan segiempat tersebut

^kepada

{(€,q)' -l<6 < I dan -l sn < l}.

Seterusnya, dapatkan matrix Jacobian untuk transformasi itu.

ooo000ooo

segiempat

(30/r00)

i.63

(4)

LauprRrx (MSG 442)

=g! 2[U Jl\

{r'"'

Unsur Ltnear t-D

[n'"'J

⁼

ol r -rl

L L -1 1 I'

Unsur Seeltlqa Llnear

il, = [ar+ brx + crJr),/(?A),

ff* = [a*+ b*x + c*/)/(?A)

dengan

2A=

dan

Ar,

= [ar+ br* * crl)/QA)

. ,\. |

Kr(J - !

-YY

b

_IJK

=

^)'

. -

^Y.,

h=Y -Y

b=Y -Y

_kiJJXI

c=X -X

_tkJ

c=X -X c=X -X

_kJl

Jtk

/l I

lXY

_tl

1XY

ll

1VWtnt

kk

il

r

I

I,

2l

I

I r. 'l

L*;' I

⁼

ol

0

I

I,

UJ

I

fr'"'l

⁼

LX I

I alblcl

lLtLoLcd.rt=._---

^zA

l^ 1 2 ' ,"+b+c+Z)l

UA

ik

Y

Y Y

kt

rJ a=X

_I

a=',(

J

k

bb1 I kl f ,'

n I

^t

bb j kl l.21." A' I t

₎

| .rl1 _I

b- |

)tl_kJ

| c.c

L I k

","*l

"rt.

^I

.:

_J

I oi

I

lbb

I t)

I

L o,o*

[. t'rl

tK ^I

LD I

{,'''} =#{i}

1 )

Jk

ux

4A

hh

!)

,2

J

bb

_jk

lz

^r'

vAl"_tl/

12

¹

lr

¹

L^

Mr l2 I

t'"t t I

AI

- L0

⁰

i65

-l

(5)

( /r?J\t n?-4-!

Unsur Sesienpat Lega! Bllinear

ffr=4(1-E)(t-n),

1

n,

il*=i(1+E)(1+n), f"

/ c\/ rl

il, = L'-,r,| L'-;j ,

^N)

t*=#'

= | ti + €)(t -

^rr)

=; (1 - El(1 + n)

s(. tl

=26['-7e)

t(. s'l

^:

= zel' - fr)

; ll .'il:

: :) 6a |.-l

[,.;.,] T li

i:]

{,,",i =*lil

-,

.)

1

-1

21

+1

.AL+

r2

1n

20

nn

I -l

2-2 -22

-l ¹

-zl

-11

I

Ia

f*j''l =#l:

L;

[nl"'] ?ll

zl

rl

I

I'

-l1l

sJ

ol

ol,

:J

/tl l

Unsur Kuadratik

^1-D

rv tz = i

I

((€-1), = ! e({.r)

Unsur Seqltlqa Kuadratlk

6-Nod

il, = Lr(ZLt-l), Nr= 4LrI.r,

N, = Lr(lLz-L),

^No

= 4Lr(t-L;L2)

il. = 1 - 3(Lt+Lzl + Z(Lr*Lr\z,

^Nu

= 4Lr(1-L;Lz)

-z-

i.6 6

(6)

(aSe q42)

Unsur Seriemoat Kuadrallk

^8-Nod

il

N

,1,

rV

5

-!tr-e)(1-n)(t+€+4),

la t.r)

⁽

l-n) (€-n-i ), ft t"E1

⁽^1+r⁾

({+n-1

⁾^,

-i, t-r

⁾⁽1+rr)

(€-n+1

₎_,

I tr-e"r (1-rr)

! tt,-n')

⁽^1+€)

L rr-ut){i*a)

! tr-n')

⁽

1-E)

rVz

l{{ ff6 rY

B

Kuadratur Gauss-Leqendre

n=l

^-a

I'-L

n=3

n=4

I I

-t

= 0.0

!o.577350

nn

lO.774597

!0.361136 :0.339981

z.o

i.0

8/9

>/Y

0.

347855

0.552145

t, I

V=

I

'rl

₌

I

t

V=

I

V=

t

Unluk Domain Seqitisa

Tir!k

t/3 t/2

t/

z

L/J

L/?

t/6 t/6

L/ O

o

L/2 r/2

- I.67

(7)

(usc 4a\

Masalah Bersandarkaq

Masa

- (r-etorr*lJrr)" * AtItt-tl{F}" +

"rtro)

It"r +€artn]toro=

[t"r

'rll

L 2l

[.'"']

⁼

* ti :], [.'"'] = # li

f-zLtl

r.4 12 4 z ll

"L: : : I

Perumusan Konslsten

At,

^ALz

6D6

Perunusan Terqumpal

f

^r"r1

L: i=

AT

AL

.,2

."( r-o)

A, . AL' rzD(t-el

n'l

vl

li' [.'"']

⁼

fr

L:

ol

:l

I

["'''] = Y

0

f r"r'l A[ [t

L' J= rl"

::l :1

v|; :

=[:

168

-4-

d*r*fi+x=O, 0<;r<l - EPrints USM