49'=6+,0<x<3, r>o ' i.?l) - EPrints USM

(1)

UNIVERSITI SAINS

MALAYSIA

Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik 1997 198

September 1997

MSG 423 - Kaedatr UnsurTerhingga Masa: _t3jarnl

ARAHAN KEPADA CALON:

Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan

ini

mengandungi

TIGA

soalan di dalam

TIGA

halaman dan EMPAT halaman lampiran yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.

Jawab

SEMUA

soalan.

1.(a)

Cari penyelesaian hampiran bagi persamaan

++ y=x'. d2v 0<.r<1 dx'

)(0)

=

0,

₎₍₁₎= 0

dengan menggunakan kaedatr unsur terhingga dengan tiga unsur linear.

(b)

Dapatkan penyelesaian tepat bagi masalah bahagian ^(a).

(c)

Bandingkan penyelesaian dibahagian ^(a)dan (b).

(twtM) 2.(a)

Pertimbangkan masalah yang bersandarkan masa berikut:

49'=6+,0<x<3, r>o

dx' dt'

0('r' 0)=$6' 0Sr<3

Q(0,

r)-10, t>0

Q(3,

r)-20, r>0

Dengan menggunakan tiga ^unsurlinear dengan perumusan konsisten dan 0=

j aupu**

0(1,

^1),

0(2,

^{1) dengan}^saor^langkah^masa

&

₌^1.

...u-

(2)

-2-

lMsG

⁴²³¹

(100/100) (b) Selesaikan masalah berikut:

gg* gg* 2=o

didalam segitiga ACD dengan svarat,

dx" Ey'

D (0,2)

E (0.1)

A

(0,0)

^B

(1,0)

c ^(2,0)

0(r,

Y) =

0

_Padasisi CD a0

#=O PadasisiACdanAD

Gunakan tiga unsur seperti ditunjukkan dalam rajah.

3.(a)

Pertimbangkan penyelesaianbagi ^persamaan

ato . ?'o

^ao

a*'* ar'=E

melalui unsur segitiga linear dengan perumusan konsisten. Untuk

^segrtiga

A(0, 0),

B(1, 0),

C(0, 1), cari syarat atas N

supaya ayunan berangka ^dapat dielakkan.

(b)

Pertimbangkanpenyelesaianpersamaanhaba

Di'd

^{^}^ao

a?=n6

melalui ^kaedahunsur terhingga dengan skema beza ke depan dan perumusan bergumpah' Dapatkan syarat atas

&

supaya skema pengiraan berangka ini adalah stabil.

(100/Ioo)

iB0

...3t-

(3)

lMsG423l

(c)

Pertimbangkanmasalah:

oQ+q=o, o<x<l

dx'

)(0)=A, )(/)

= B di mana D, _Q,

/,

A dan B ialah pemalar.

Terangkan bagaimana masalah ini dapat diselesaikan dengan menggunakan kaedah unsur terhingga dengan unsur kuadratik dan kamiran yang terlibat dinilaikan dengan kuadratur Gauss.

(1M/100)

-ooo0ooo- -3-

(4)

Lampiran

^I

(I,lSc

⁴²³⁾

Unsur Seqienoat Kuadratih

^8-Nod

il

I

'V3

'll

s

JY7

= -|tt-€) (1-n) (1+€+r),

= tr t.q)

⁽

r-n) (€-n-r ),

= |tt"q1(1+r)(€+r-t),

= -|t1-El t1+1) ({-4+1 ).

I n-*t(1-rr)

) tr-rtt(1*€)

l

^t

t-f t't t"'l I tr-ntt(1-€) lf'=

z

,v=

4

lV=

5

il=

a

Kuadratur Gauss-Lesendre

n=l

n=2 n=3

€, = o'o

€, = :0'

⁵⁷⁷³⁵⁰

€. = 0.0

(, = t0.774397

€, = :0.s61136

€, = :0.339981

2.O

1.0

8/9 5/9

0.347855 0.552145

vl=

_I

I

'ul I

v

t

v

_I

lrl

I

n=4

Untuk Donatn Seqitiqa

Tlrik

r/3 t/3 L/2

t/6 t/6 t/6

o

L/z t/2 r/z t/z

0 a

b

iB3

(5)

(MSG 423)

Lamoiran

²

Hasalah Bersandarkan

Masa

- (l-e)AttrlJr.ol. + at[(1-6){F}r * e{F}J

[t"r * eattKrJ {oro .

Itct

lz 1 1l

]' ["'''] =#lt z 1l

f t L 2J 2 trl rl

:

^{,^J}I

l,Lt rzD(t-e)

rL f z

¹

-Lr z

t,{ 12 f-z

⁴

* It

^z

I

L2i

Perr:nusan Konslsten

['''']

⁼

["'"']

⁼

At ,

^trLz, At 6De

*[i : l]

r'L ft

zb

0 0

1

o

["' "]

⁼

il

ol,

1J

0 I 0 o

Perumusan Terqumoal

[.''']

⁼

[:'"'] '

at< lLt

4t( 1-€

)

^rI -[:

(6)

(l,tsc 423) Lamoiran

³

Unsur Llncar

1-D

[r,.,J = gl 1 -1 I

L" J L L-r 1J'

Unsur Seqlttqa Llnear

l{, = [ar+ br* * crl)/(ZA).

ll* = [a"+ b*r * ctyl/tZA)

dengan

IY, - [ar+ br* * crYl'/(ZA)

{''.,}+{l}

It x

^Y

?A= Irr ll 'x

^Y

IJJ

I

t1 x

^Y

dan

lkk

"rttl

"rt*

^I

.:.|

ool l.'

-t kl l.ul ^ |

^t

b b | * Y I ....

-J-kl

' anlrJ

b- |

)ll_kJ

|

_L

c.c

_I _l(

?!Dll faz

Lnj''l =;

I o,o,

L r,o.

i i] {''"} =r {i}

t ol

.2 0 l. dII.

o ol [-:''] = *

[i

t2

fr.'''l= 51,

Lr{ J 5 [o

cc iJ

c

2

I

cc Jk a=XY I

a=XY Jk J kt

a=.YY k tJ

-

_'xnYrt

- xY

_tk

- trt,'

b,= Y, -

^Y*,

br= Y* -

Y.,

b=Y'Y, kt)

bb rJ b'

_I

t

bb jk

a! b!

cl

( a+b+c+2) ^!

c=X -X t, k c=X -X Jtk

J

c=X -X kJt

2A

iBs Ir'ro LcdA=

JA

It23

(7)

Lampiran

⁴ ^{(MSG 423)}

Unsur Seqlemoat Teoat Bllinear

n,=*(1 t? -€)(1 -r),

^n.,

il*=i(t+€)(1+a), f,

/ e\/ r\

",=lt-fr)[t-z=t,

^N,

il*=#'

=fti+{)(1

=i(1 -€).(1

= ri[' *)

= *[' #]

ll ."f : :-: il

:) 6a L:: '-i : t

Dr^ l:

-t

L-l

-a)

*l)

l-;"]

t{a

-2 -1 21 72 -1 -2

[. r"r''l

^cA

L*. J =*

[-':'']

fa zrzl

lz 4 z tl

I lr

[::'^)

,rrrf: : : :l

=;|:::J

f,r.r\ -

^QA

\' l-T

I

a.t

1

.r1l

Unsur Kuadratlk

1-D

N, = r1- i€(€-1), N2-- -(€*r)t€-1), fl. = iq(€*r)

Unsur Sesltlra Kuadratlk

6-Nod

il, = L, (2Lr-1 ), N, =

^AL.L",

N" = Lr(2L2-7), iln = ALr(t-tr-!r)

il, = 1 - 3(Lr+Lr1 * 2(Lr*L"12,

^It._

= 4Lr0-L;L2l