f"'ol - EPrints USM

TJMVERSM SAINS MALAYSIA

Peperiksaan Semester Pertama Sidang Akademik 1297 198

September 1997

MAA lLl -Aljabarlinear

Masa: _[3 jam]

ARAHAN

KEPADA CALON:

Sila

pastikan bahawa kertas peperiksaan

ini

menganilungi

EMPAT

soalan

di

dalam TIGA halaman yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.

Jawab SEMUA soalan.

l.(a)

b

dan

c

adalah nombor-nombor bukan sifar.

Dapatkan A-r.

(1s/|M)

(b)

Katakan F, G dan

H

adalahmatriks baris permulaan

3x3

di mana

f

=

El,

^G ₌ Er(2)

dan H

= ele}

(i)

Dapatkan

Ft,

Gn dan H5.

(ii)

Cari songsangbagi

Ft,

Gn dan

Il5.

(iii)

Jika F5Ge H = M,dapatkan

M

dan

M-t.

(30/t00)

(c)

Tentukan nilai-nilai a dan p supaya sistem persamaan berikut:

(i)

mempunyai penyelesaian unik

(ii)

mempunyaibanyakpenyelesaian

(iii)

tak konsisten

f"'ol

Bagimatrik' o=L;

:l ,a,

[ror il o

²

lo I

^o

1023

o'l

3i :)

xl x2 x3 x4

x5

lll

(s0/100) ...2t-

L!7

-2-

(d)

JikaA, B adalah matriks

nxn

dan

C=oA+FB D=VA +68 di

mana cr, p,

Y, 6

adalah nombor-nombor ^nyata bahawa CD = DC jika dan hanya

jika

_{AB = BA.}

2.(a)

Cari nilai-nilai x supaya

IMAA il11

yang memenuhi

a6* BV

buktikan (2s/r00)

matriks A

lz 2 -t

^o

(b) Iktakanr=l-i i :;

I

L0 0 r

^I

Dapatkan

(i)

pangkat,A

' '

(ii)

^suatu asas bagi ruang nol dari A

(iii)

^{suatu asas} bagi ruang lajur dari A

(c)

Katakan

{r,, ,r, rr}tat

^{bersandar linear.} Tunjukkan bahawa

{r,, ,,

tak bersandar linear juga.

3.(a)

^{Dapatkan nilai eigen dan} vektor eigen bagi matriks

lzr tl

o=lt 3 ll Lr z2)

=lr f.'

Lr

,, ,*l

ltak

singular.

'l

1l

il

(s0/r00)

(30/t00)

+lz, Ir +!r]

(20/100)

(d)

Katakan V adalah suatu ruang vektor berdimensi

n.

^{Jika S} =

{y,, !2,

^{' ':}

, z,} cv

^adalah

tak bersandar linear dan t 1ft, buktikan bahawa wujud

^suatu

7=fu,*, t

_!r+2,

..-, ,^|c.V

^yang menyebabkan

SuT

menjadi suatu asas bagi V.

(2O/1OO)

i:B

...31-

IMAA llll

Dapatkan nilai eigen bagi

[

@dj

ilA)3.

Jika suatu matriks B mempunyai nilai eigen yang sama seperti A di atas, adakah vektor eigen bagi B sama dengan vektor eigen ^bagi

A?

Berikan alasan.

(40/r00)

A

dan

B

adalah matriks

nxn

dan

l,*0

adalah suatu

nilai

eigen bagi AB.

Buktikan bahawa l, juga _{adalah suatu} nilai eigen bagi BA.

JikaA adalah matriks n

xn,

tunjukkan bahawa

(e+ ee' * A')

terpenjurukan.

Matriks A ^dan B adalah serupa. Jika A terpepenjurukan runjukkan juga _bahawa

B

terpepenjurukan juga.

(40/ro0) -3-

(ii)

(iii)

(b)

(i)

(ii)

(iii)

(c)

Jika A adalah matriks

nxn

dan A2 =O, tunjukkan ^bahawa

(I

+

A)

adalah tak singular.

(24/r00)

4.(a)

Tunjukkan bahawa

adalah suatu asas bagi R3.

(20/r00) Buktikanbahawa

s =

{

,qle' =-A,

^Amatriks

,xn}

adalah suatusubruangbagi

M n*r'

(2s/t00)

(t)

Jika

u

dan

w

adalah subruang bagi ruang vektor

v,

buktikan bahawa

u nw

dan U + lV adalah subruang bagi V.

rr -rr I lr, bl

^I

(ii) Diberi r=1l"llr,y€Rl aanw=11 llo,b,ceRf

I L-y xJl j I Lc -aJl

)

dapatkan suatu asas

bagi

(U

nlV)

dan (U

+W).

(40/r00) Jika U dan l{z adalah subruang bagi R3 dan

dim

_{(U) =} dim _{(W) =} 2, tunjukkan bahawa

rJ

aw,.{0}.

(

rs/r00)

-ooo0ooo-

119

,

{[:] [;] []]

(b)

(c)

(d)