EEE 451 - ANALISIS & REKABENTUK SISTEM KAWALAN OKT-NOV 1995

UNIVERSITI S ~IJNS MALAYSIA

Pepeliksaan Serm.':ster Pertama Sidang Akacien:tik 1995/96

Oktober-N :)VII:~mber 1995

Masa: [3 jam]

---_._

^..

_---_

^.. _---._ .•

_-._---_

^.... --..

_

^...

_-_

^..

_-_.

ARAHAN KEPADA CAl-ON:

Sila pastikan bahawa kertas, peperiksaan ini .menglUldlungi 11 muka surat bercetak dan ENAM

W

soalan sebelum a.nda m.(~mu]akan peperik!.aan. ini.

Jawab l.JMJ.~..£~ soalan.

Agihan ^mLlu;kah bagi soalan diberikan di sut ^sE:betllh kanan soalan berkenaan.

Jawab semua soalan di dalam Bahasa Malays:a.

. .. 2/-

489

- 2 '" [EEE 451]

u.

L..-_ _ _ , _ _ _ _ _ _ , _ _ _ - '

1 . Suattl

Dir

sedang bergerak nailt, llIi dalam sesuatu bangunan. Sesuatu jisim m digant'tlogka,n dari bumb'lultg lif menggunakan suatu spring tak lelurlls dan peDlllmpa.ll gegaran seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas. Spring yallg tidak lelufU!;i 'tersebut mengenakan daya -ky² apabila y ialah kedudlllk,an sebenar jisim. Pemampan gegaran pula ialah lelurus

dan mengenakalll daya -

fJY .

An elevator is moving upward in a l:J"i'liiding and a ma~s m is connected to the roof of the elevator through a nonlinear spring and shock absorber as shown in the figure above. The nonlinear spring produces a force given by _ky2, where y is the displacE'ment of the mass from its posiiion in the elevator in free fall. The shock absorber is linear tlndwill produce a/orce given by -

flY .

(a:~ Dapatkalllperwakilan rUilmg ~!!.eadaan bagi sistem ini dalam bentuk Obtain a state-space represemation of this system of the form

X_{2 -}

fi

^{x l' x 2' u, V )}

apabila ^{JC 1}

=

y, x2

=

Jl; ,u == daya ~:awalan, v == g + a, g

=

I).~cu.tan gravi,ti! dlJlIJII II == pec:utan ke atas lif berbanding clengan bangun.,am.

. .. 3/-

- 3 .. [EEE 451]

Xl = y. x2 = jl , ^{1. ==} control force, v = g + a, g = acceleration of gravity, and a = l~{Jwa:rd acceleration of the elevator with respect to the bUilding.

(20%)

(b) lLelul~u:sk.slll sistem ini di Illt~rsekitaran keadaan m.antap apabiJa

Xl

=

0, X.l

=

k.edudukan li,qUli.librium jisim apabila a= u = 0 untuk

l!1umdapaU~2Iln sistem daD:lI:D bl~ntuk

Linearize this system about a steady-state given by X2 = 0, Xl = equilibrium position of the mass when a=" u ,~ 0 to obtain a system oj the jprm

:i ... A:t + Du + Rv

(20%)

(c) Aoggapl4~an bahawa kf~dllJldukan sistem y digunakan sebagai keluaran" Tentukan mat]t iklkeluaran c yang membentuk persamaan Assume that thle, position oj" the system y will be measured as the output.

Determine' the output matrix c th~!'/ will give the output equation of the form

J' = I~X

(20%)

(d) TllmtukaJIl sambutan sistun ~Ielurus taopa tekanan x(t) bagi sistem dengan J!JUai awal.

D~}le,.mine 'he free response (lthl~ linear system x(t) with initial conditions.

x(O)'"" [/ ifF

AD.ggapk~an a

=

10 m/s:'r." n1I .=: ~

=

k

=

1

A.s~'Ume ^Q! = 10 ml.s2, m =

fJ

^=: k~' 1

491

(20%)

.. .4/-

-4- _{[EEE 451]}

(e) Tentukall sambutan Sis.:4!m lelurus Jangkah sistem apabila nilai awal dibui sebagai x(O) ::: [0 O]T.

Determine the step response c/the linear system when the initial conditions are x(O) ==, (O

ofT.

(20%)

2. Diberikan sua.tu model sistclm yung diperihalkan oleh persamaan kebeza:lln tertib kedua di baws.h.

Given a system model desrcibed by the second order di.lferential equation below,

y +5y

+6y -lOu

<a> 'fentu,kan model ruang k'I.:altl!fulD dalam b4mtuk boleh cerap.

Determine the state-space model of the canoniall observable form.

:i ...

,~.x+ Du

:r - ex

^{+ Du}

(20%)

(b) Tentuk.an n.ilai-n.ilai eigen dsm vektor ei~:en bagi matrik A.

Determim.! the eigen values {It'll l~;le! eigen vectors of the matrix A.

(20%)

(c) Tentukan model pepen.iurlil (jordan) yang setara menggunakan operasi .ie:lmaan.

Find the ,equivalent diagom,rl (Jordan) form of the state space model using transformation operation.

(d) TentukallJ matrik pemimltlllha.l1t sistem <P(t).

Determine the transition maJ)'ix of the system 4'(t).

492

(20%)

(20%) ... 51-

<e)

- 5-

Y{s) Tentukan Jr'angkap pindah B{:s) ... u(s) •

Determine the' transferjunctioil H. ( s ) y (s) ,..

----

_{u(s) •}

[EEE 451]

(20%)

3 • Bagi sistem yal1~: diperihalkan 'ddh For the system descrihe(i b:)i'

<a> Uapatkall perwakilan setaJr'~iI I'gang keadaan dalam bentuk ternan bolehka"'lIllL

Obtain an equvalent state-spa,c'e n!presentation in controllable companionform.

(20%)

(b) Adakah :sistem in.i boleb dHLllwal? BerUtan sebab.

Js the lystj~m controllable? ,Jifstily your answer.

(20%)

(c) MenggUllllskan suapbaUk \:)enfllbolehubah ~(eadaan dalam bentuk Using state variabJ:e feedback of the form

telmtukan 1Jr.l dan k2 sup~lyil Sis1c,i~m yang; terkawal akan mempunyai nilai eigt:npad.1 ", ... - .2 :i: .f .

determim~ k I and k2 so thai the controlled 5Jlstem will have eigenvalues at ')... .... - 2 :1.: i .

(20%)

... 6/-

- 6'-

(d) Adakah sis;tem ini boleh ftlie.erap? Berikan sebab.

1s the syste'17l' observable? Justifyyour answer.

[EEE 451]

(20%)

(e) Tentukan nUai-nUai bagi vc~n'tor G yang boleh digunakan dengan ItenCerap identiti supaya Illilai eigen pencerap terletak pada' x = -3:±: i.

Determine values for the G vector used with the identity observer so that observer eigen valu.es are piac,fd at x - - 3 ± i.

(20%)

4. Pernmaan kel)f~zaan yang mf~ml}erihalkan pergerakan lelurus rotor terawallg menggunaka.n magnet dibe:ri sebagai

The differential equation describing ^1'/7e iinearized motion of a magnetically suspended rotor is given by

apabila ~1 == kim dan

fh

= 11m.

when /31 == kim and

f3

2 = 11m.

Anggapkan k == m ⁼ 1.

Assume k = m = 1.

(a) ]{)apatkall I)erwakilan sellara r'uang keadaan dalam bentuk teman bolehkalval.

Obtain an equivalent state-sp'lce "epresentation of the controllable companion form.

(20%)

",7/-

494

~,

- I -

(b) Dapatkan JrangkSl.1> pindall gehmg terbuka sistem.

Obtain the open-loop transjer/unction ojthe system.

( c) Itekabentuk pengawal baln,m sistem ini daham bentuk Design a controller for ^this syytem oj the form

u'"' r ... k}xJ -k2X2

Sistem ya.ng tf.:lI'k,awal perl:u mempunyai nilai eigen pad a The controlled system is to hen ^Ie ei,genva/ues at

( d) Adakah ,'angkap p.indab ~;ehmg tertutup :sistem apabila What is the closed-loop tran.'fP~rfunction ofthe~ystem when

[EEE 451]

(20%)

(20%)

(20%)

(e) Reka,bentulk pencerap idlf:ntiili< bagi sistem dengan nilai-nilai eigen dileta.k p:lI.da

Design em obsent:l' for this .S) stern of the form.

x ... ·· .. ·6:I::5;

dan ter'8ngkllllD apl" ;yawIlg dimakswldkan dengan "prinsip pemisab.llD" .

and explain w hat is the meaning ~~,f "separation principle".

(20%)

.. . 8/-

495

-8-

5 . Model bagi sis1:em apungan kef'eti! diberikan o)eh A model of an automobile suspensimr system is given ~y

'my,,·

ky - u

[EEE451]

apabila m ialah ji!im, k pCJ:ulhur spring, u daya tujah pada rangka kerelta dan ^y ~~eduduk.an tegak.

where m is the mass, k the spring CO.lst,cmt, u the upwardforce on the frame andy the vertical position.

Untlilk mengendaUkan lljian kedmsltan, kita bole" mengenakan daya u(t) dan lIu~ngalihlllya dengan tiba .. till>a hiegga k.~rosakan berlaku. Untuk mengira daya lini, kita perlu .nr,eIl1lYI~le:saikan masalah berik.ut. Dapatkan

14 (t) yang boleh menggerakk:m kereta darn y(O)

=

0,

j

(0)

=

0 ke kedudukan 8lkhir y(T) = b dUll) y(T) = 0 bagi masa akhir T dan menjimatkan tt~naga kawalan

To com:luct durability test, we rep£!lUtiv(;'.~y apply a force u(t) and suddenly remove it until/ai/ure occurs. To compute the! jorc4'!, we solve the following problem. Find u(t) to move the automobile from y(O)"" 0,

Y

^{(0) =} 0 to a final position ofy(T) = hand

)' (T) .. 0 at a given jim:ll time Tand minimize the control energy

, T J' .. ^.;~:-

f

^U 2dt

') ,

., 0

(a) Tuliskan I,ersamaan keadaal~, a,.,abila keadaan yang digunakan ialah Write the shllte equation if the ~tate is

[ . ]1'

x - y y

(20%)

... 9/-

49C

-9- [EEE451]

(b) Tuliskan I)ersamaan-penamaan keadaalll dan keadaan bersama, keadaan ltetap dan keadaan sempadan. GuguJ"kan u dari persamaan·oJtersamaan ke'ldaslll dan keadaan bersama.

Write the stale and co-state ,ff{l4ations, stationary conditions, and secondary conditons. Eliminate u from tJ\.e ,st<:'lte and co-state equations.

(20%)

(c) Selesaika:1II bagi keadaan btl"u.ma meDgnunakan nUai yang belum diteDtukan .1.(0). SelesaU[an bagi keadaan menggunakan nilai yang belum di'tentukan ).(0) d~m raiog diketahui x(O).

Solve lor tht~ co-state in term;; £~Uhe as yet unknown )..{O). Solve for the state in terms of the unknown ).(l~) .~:md the known x(O).

(20%)

(d) Gunakan keadaan Sem!lIaci.lln untuk mencari .1.(0). Gunakan m

=

^k

=

I., T :.; 2, h

=

^··3

GS4~ the boundary conditions Ioj'ind )'(O). Let .1'l'1 =, k = 1, T= 2, h = -3.

(e) Cari kawalan opti.ma dan (uhlan k.eadaan optima.

1:;'ind the optimal control and q ')timai state trajectory.

(20%)

(20%)

6 • Suatlll sistem tcer'tlib pE~I'tama diwil.lldli oleh pel'samaan kebezaan domain masll.

Afirst-ol'der sYStE1,m is represented by the l'ime domain differential equation.

x ..

^{'x + 2u}

... 101-

497

- llO-

Suatu pcngawal !lUapbalik pf~rlUi diH'ckabentuk supaya Ajeedback controller is to be desi;rsne,fwh.e·re

u(iO = -lex

dan I(edudukan equilibrium yang JPlli:rlu direkabimtuk t - 00,

and the designed equilibrium conditio ~J ior; x{t) = 0 as t ^{-il> 00.}

Fungsi prestasi diberi sebag;aI The performance integral is

J , ..

r

^{IX x2dt}

• 0

[EEE 451]

da.n IIIlUai awal bllgi pellDbolellmblih ruang keads:an ialah x(O)

=

^1.

and the initial value of tile state variable ij: x(O) "'~ 1.

<a) Dapatkalll nilai k yang bo,:jeht rnemberi nilai minima bagi J. Adakah nihlli k ini munasabab ulBllulk. dilaksanakal!l?

Obtain the value of k in order to make a minimum J Is this value of k physically realizable?

(25%)

(b) ]~mb nUai k yaJi'lg lebih p:!"al<lJikal dan nilaikan indeks prestasi yang diperoleM menggunakalD: :nii~I:I.ii k ini.

Select a more practical value for i!:~Je gain k and evaluate the performance index using the selected value.

(25%)

(c) lJtangi babagian (a> meBlll,gull'lakaD indek:s prestasi yal1g baru Repeat part ~:~) using the nell! .'Jerjc)rmance ^index

OC'(' '.,

2 )

J - / _{o ~} x~(t) _1. + Au (t) dt

J

(25%)

.. ,11/-

- 11 - [EEE 451]

(d) Jika A. = 1, dapatkan nila? 14; yang memhllimakan indeks prestasi J.

Kira nilan minima yang diperolehi.

If A = 1, obtain the value ofk that minimizes the performance index. Calculate the resulting rninimum value £! f .l

(25%)

498