MAT 363 - Pentaabiran Statistik - EPrints USM

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama Sidang

Akademik

200512006

November 2005

MAT 363 - Pentaabiran Statistik

Masa : 3 jam

Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi LIMA muka

surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.

Jawab

semua empat

soalan.

IMAT 363]

l.

^(a) Jika pembolehubah rawak

Z

bertaburan normal piawai, pembolehubah rawak 14

bertaburan

khi

kuasa dua dengan s darjah kebebasan dan

Z

dan W adalah saling tak bersandar, apakah taburan

untuk X

₌

+, -@ (

_.r

<

oo. Seterusnya, cari

,lw lt

^'

E(X) danYar(X).

[30 markah]

(b)

Biarkan X,X2,...,X, mewakili

suatu sampel rawak daripada taburan dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian sepunya

f(r)=) ae.-*' x>0

10, di tempat lain

Tunjukkan bahawa x o) dan x

r,)

- x (,) adalah tak bersandar

^dengan

menggunakan teorem pemfaktoran yang mana

x6 dan x1";

masing-masing mewakili statistik tertib ke-r dan ke-s dengan

I 1r

1 s < n.

[30 markah]

(c)

Fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak

x

^ialah

f

^(x)

={'" ') - e-'\

^{x > o}

|.

0,

di tempat lain

(i)

Cari fungsi ^penjana momen untuk pembolehubah rawakX.

(ii)

Cari E(X) berdasarkan jawapan dalam (i).

(d)

Biarkan {X,}

^mewakili

ketumpatan diskrit

p(x, =t=*

^dan

p(x,-o)= F*.

Tunjukkan bahawa

X,

menumpu secara kebarangkalian kepada 0.

[20 markah]

2.

^(a) Biarkan

X

mewakili suatu pembolehubah rawak daripada taburan dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian

-f(r)=le-"1', -* 1 x

\t Zrt

ketumpatan kebarangkalian

untuk

_{Y =}

X2

dengan menggunakan

teknik

fungsi penjana momen.

[30 markah]

(b)

Suatu sampel

rawak Xt,Xz,...,X, diambil

daripada taburan seragam selanjar dengan fungsi ketumpatan

f (x)=1, O.x

^{< p.}

(i)

Can

E(Y,)

dengan

{

^mewakili

9'

statistik terrib ke-n.

[20 markah]

suatu

jujukan

pembolehubah

rawak

dengan fungsi

r)0

...3/-

lMAr

³⁶³¹

(ii)

Berdasarkan

jawapan dalam bahagian (i), cari suatu

penganggar saksama untuk ^p.

(iii)

Tunjukkan bahawa

2X

adalah

juga

suatu penganggar saksama untuk

(iv) Antara

B. penganggar saksama

yang

diperoleh

dalam

bahagian

(ii)

^dan

(iii),

yang manakah lebih cekap?

[50 markah]

(c) Andaikan

X,

dan

X,

^merupakan pembolehubah rawak daripada taburan Poisson, P(o). Adakah

X, +2X,

statistik cukup untuk c? Berikan alasan anda.

[20 markah]

3.

^(a)

Biarkan Xt,X2,...,X,

menandai

sampel rawak daripada taburan N(p,l).

Tunjukkan bahawa varians minimum sebarang penganggar saksama

pz

daipada ketaksamaan Cramer-R

uo

iuluh

4F'

n

[20 markah]

(b) Katakan

X.,X2,...,Xn

sampel rawak daripada taburan sepunya dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian

f@;il= {t(t

-0)-'r('e-')r(t-o), ⁰

( r

< 1, ₊ < e < 1

|. 0 ,

di tempat lain Cari penganggar kebolehjadian maksimum bagi 0.

(c) Andaikan

X,,,Xr,...,Xn

suatu sampel rawak daripada menggunakan min sampel

7 =L7,X,,

^terbitkan

nf,i

[20 markah]

taburan G(5,e). Dengan

N(l,o'l

- x o

^suatu [20 markah]

(i)

selang keyakinan hampiran I00y% (0 < y <1) bagi 0 apabila z besar.

(ii)

selang keyakinan 100y% (0 < y <1) bagi 0 apabila n kecil.

[40 markah]

(d)

(i)

Takrifkan kuantiti pangsian.

(ii) Andaikan X.,X2,...,X,

suatu sampel rawak daripada taburan dengan

nilai o2

tidak diketahui. Adakah pembolehubah rawak kuantiti pangsian? Jelaskan.

lMAr

³⁶³¹

4.

(a) Biarkan Yr

3Y,

<

f,

< ^Yo

SY,

menandai statistik tertib bagi sampel rawak saiz 5

daripada taburan dengan fungsi ketumpatan kebarangkalian

f(t;e)=l l1 -' u(x<e

[0,

di tempat lain

Biarkan y, mewakili nilai Y,

^yang dicerap

untuk menguji rlo :0

₌

I

lawan

Hr:0 +r. ujian yang digunakan adalah berdasarkan rantau

genting

C=lls,!r=iatau ll y, >tj. Cari

tungsi kuasa

n(0), 0 > 0 bagi ujian

ini.

Seterusnya,

cai

saiz ujian ini.

[25 markah]

(b)

Biarkan X.,X2,...,Xn mewakili

suatu sampel

rawak

saiz

n

daripada taburan normal dengan varians, o2 =

I

^dan fungsi ketumpatan kebarangkalian

-f(*)= l"-;a-o, -*

^<

r

^{< co'}

"l2n

cari

rantau genting

paling

berkuasa saiz-o

bagi menguji Ho:p=lro

lawan H t ^{i P} = Pr YanB mana ^p.r

)

_Fro, dengan menggunakan lemma Neyman-Pearson.

[25 markah]

(c)

Berdasarkan sampel

rawak

saiz20 daripada taburan

N(0,ot), ca.i

ujian paling berkuasa secara seragam (UPBS) bersaiz cr

:

_{0.1 bagi menguji H}

o

:o2

₌

I

^lawan

Hr:o2

>1 .

[25 markah]

(d)

Andaikan

cerapan

tunggal, x

bertaburan

binomial, b(n, e)

dengan fungsi ketumpatan diskrit

f(r;e)= ['lr'0 -e)"*,

^{x = o,}

r,z,

^{..., n.}

\r/

Cari ujian nisbah kebolehjadian bagi menguji H _o :0 < 0o lawan .F/, : 0 > 0o .

[25 markah]

92

...5/-

'l'abrlrart Frrngsi Kclurnpalnrr

Min

Varinns liungsi lDcnjnna Molncu Scragnnr

l)iskrit !(x') =-]-

11r.r... _rvy

(r) Il]

2

-n- N2-l {, !

",' FtN

Dcrnorrlli

, fG)= p, qt-,

^/10.1y(r)

p

^pq

q't

_pe'

llinornial fG) =(l)o'

nn*r ^I _$,l;...uy

(x)

_{,rp ,tpq}

(t

ⁿ

n"')"

Gcornetri

IGI

=

nQ'

^1p1,...1G)

L

p

^_!__p2

fa' qe'1l

l)oissolr

fG)=e-\ v

xl

/10.r....y

(x) t

L

ax2(t(e' - l))

Scragnrn _.f

(x\=

^I

6_n lt",o{t\ sg

2

(D

-.t)2

t2 ^"rt,

_Un,

. ,*n (b- o)t

^'

Nonnal

.[(x)

=

#

^expl-(x

-

^{1t'12 l2a2)}

/1*.-1(x)

^{lr o2}

expllu

^{'t-(ot'12 t}

zl

Dksponen

f (r)

=

)re-b

/10.-y(.r)

1

I

F

I

$'"^

Ganra

| ,rtt)=# r-k ro-t

^{/1o,-1(x) oa}_1"

F

^cl

(*)",r<r

F

it

crl

z

(,rt -o

I