MAT 516

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA

Second Semester Examination 2012/2013 Academic Session

June 2013

MAT 516 – Curve and Surface Methods for CAGD [Kaedah Lengkung dan Permukaan untuk RGBK]

Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]

Please check that this examination paper consists of SEVEN pages of printed material before you begin the examination.

[Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi TUJUH muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.]

Instructions: Answer all four [4] questions.

[Arahan: Jawab semua empat [4] soalan.]

In the event of any discrepancies, the English version shall be used.

[Sekiranya terdapat sebarang percanggahan pada soalan peperiksaan, versi Bahasa Inggeris hendaklah diguna pakai].

1. (a) Let !

!( )!

n n

r r n r . Show that

(i) 1

1

n n

n

r r

r (ii)

0

( )

n n j j

jB t nt where ⁿ_j( ) n (1 )^{n j j}

B t t t

j , 0 t 1.

(b) Given . ⁿ_j( ) n (1 )^{n j j}

B t t t

j , 0 t 1

(i) Show that (1 t B) ⁿ_j ¹( )t tBⁿ_{j 1}¹( )t B tⁿ_j( ).

(ii) If

1 1 0

( ) ( ) ,

n n

j j

j

t B t

p p show that p'(1) (n 1)(p_{n 1} p_n).

(iii) Indicate with a diagram the process of evaluating the point p(0.5)of a cubic Bezier curve with control points p₀,p p₁, ₂,p₃using de Casteljau algorithm.

[25 marks]

1. (a) Biarkan !

!( )!

n n

r r n r . Tunjukkan bahawa

(i) 1

1

n n

n

r r

r (ii)

0

( )

n n j j

jB t ntdengan ⁿ_j( ) n (1 )^{n j j}

B t t t

j ,0 t 1.

(b) Diberi ⁿ_j( ) n (1 )^{n j j},

B t t t

j 0 t 1

(i) Tunjukkan bahawa (1 t B) ⁿ_j ¹( )t tBⁿ_{j 1}¹( )t B t ⁿ_j( ).

(ii) Jika

1 1 0

( ) ( ) ,

n n

j j

j

t B t

p p tunjukkan bahawa p'(1) (n 1)(p_{n 1} p_n).

(iii) Nyatakan dengan suatu rajah, proses menilai titik p(0.5) suatu lengkung Bezier kubik dengan titik kawalan p₀,p p₁, ₂,p₃ dengan menggunakan algoritma de Casteljau.

[25 markah]

2. (a) Given a line with an equation y 2x and a parabola

2 2

( )t (1 t) (0, 4) 2 (1t t)(0, 0) t (2, 0),

r 0 t 1.

(i) Find the value of twhere the line intersects the parabola and hence determine the point of intersection.

(ii) Determine the point on the parabola such that the tangent vector at this point is normal to the vector defining the straight line.

(b) A cubic rational Timmer curve with four control points with two internal weights w₁ and w₂ is given by

2 2 2 2

0 1 1 2 2 3

2 2 2 2

1 2

(1 ) (1 2 ) 4(1 ) 4(1 ) (2 1)

( ) ,

(1 ) (1 2 ) 4(1 ) 4(1 ) (2 1)

t t t tw t t w t t

t t t t tw t t w t t

p p p p

r

0 t 1.

(i) Give an example of the values of the weights w₁and w₂ such that the pointr(0.5) divides the segmentp p_{1 2} in the ratio of 2 : 3.

(ii) Show that when the weights are equal and p p_{1 2}and p p_{0 3} are parallel then the cubic rational Timmer curve given above will reduce to a conic segment.

Hence, show that the weights w₁ and w₂of the conic segment is

0 3 1 2

1 2

1 2 1 2

( ).( )

1 .

2 ( ).( )

w w p p p p

p p p p

(c) A cubic polynomial f u( ) 2u³ u² 3u 1, 1 u 1 can be expressed as f t( ) (1 t)³y₀ 3(1 t ty)² ₁ 3(1 t t y) ² ₂ t y³ ₃, with ¹

2 t u and 0 t 1.

Find y₀,y y₁, ₂ and y₃..

[25 marks]

2. (a) Diberi suatu garis lurus dengan persamaany 2x dan suatu parabola

2 2

( )t (1 t) (0, 4) 2 (1t t)(0, 0) t (2, 0),

r 0 t 1.

(i) Cari nilai t apabila garis bersilang parabola dan tentukan titik persilangannya.

(ii) Tentukan titik pada parabola supaya vector tangent pada titik ini adalah berserenjang dengan vector yang menghurakan garis lurus.

(b) Suatu lengkung kubik nisbah Timmer dengan empat titik kawalan dan dua pemberat dalaman w₁danw₂ diberikan sebagai

2 2 2 2

0 1 1 2 2 3

2 2 2 2

1 2

(1 ) (1 2 ) 4(1 ) 4(1 ) (2 1)

( ) ,

(1 ) (1 2 ) 4(1 ) 4(1 ) (2 1)

t t t tw t t w t t

t t t t tw t t w t t

p p p p

r

0 t 1.

(i) Berikan contoh nilai pemberat w₁ dan w₂ supaya titik r(0.5) membahagikan segmen p p_{1 2} pada nisbah2 : 3.

(ii) Tunjukkan apabila pemberat dalaman adalah sama danp p_{1 2}dan p p_{0 3} adalah selari maka lengkung kubik nisbah Timmer yang diberikan diatas akan terturun kepada suatu segmen kon.

Justeru, tunjukkan bahawa pemberat w₁ dan w₂ suatu segmen kon diberi oleh

0 3 1 2

1 2

1 2 1 2

( ).( )

1 .

2 ( ).( )

w w p p p p

p p p p

(c) Suatu polynomial kubik f u( ) 2u³ u² 3u 1, 1 u 1 boleh dibentuk oleh

f t( ) (1 t)³y₀ 3(1 t ty)² ₁ 3(1 t t y) ² ₂ t y³ ₃,dengan ¹ 2 t u dan 0 t 1.

Cari y₀,y y₁, ₂ dan y₃. .

[25 markah]

3. (a) A rational quadratic curve is defined as

2 2

0 1

2 2

(1 ) 2(1 )

( ) (1 ) 2(1 )

t t tw t

t t t tw t

p h + p

r +

where 0 t 1. and w is a positive weight.

Let p₀ ( 2, 0),h (0, 2 tan ),p₁ (2, 0) and the angle hp p_{0 1} . (i) Determine the value of the curvature r( )t in terms of .

(ii) If the curve represents a circular arc, then show thatw cos . (iii) If tends to

2 , show that tends to zero and the location of the point tends to infinity.

(b) Let two curves be given as

1( )t (1 t) 0 t 1, 0 t 1,

r p p and

3 2 2 3

2( )t (1 t) 0 3(1 t t) 1 3(1 t t) 2 t 3, 0 t 1,

r p p p p

.

Find the curvature ofr₂( )t at t 0 if the points p p₁, ₂and p₃are collinear.

Hence determine the locations of p , p p_{0 1}, ₂and p₃ so that the curves r₁( )t and r₂( )t are joined with curvature continuity at p₁.

(c) A cubic function f t( )on the interval 1 x 3 can be written as

2 2 2 2

0 1 2 3

2 2 2 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (2 )

( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (2 )

t t y t ty t t y t t y

f t t t t t t t t t

where ²

2

t x

If the gradient of the function at x 1 is d₀ write y₁ in terms ofy d₀, ₀

[25 marks]

3. (a) Suatu lengkung nisbah kuadratik diberi sebagai

2 2

0 1

2 2

(1 ) 2(1 )

( ) (1 ) 2(1 )

t t tw t

t t t tw t

p h + p

r +

dengan 0 t 1. dan w adalah pemberat positif. Andaikan

0 ( 2, 0), (0, 2 tan ), 1 (2, 0)

p h p dan sudut hp p_{0 1} .

(i) Tentukan nilai kelengkungan r( )t dalam sebutan

(ii) Jika lengkung mewakili suatu lengkuk bulatan, maka tunjukkan bahawa cos

w .

(iii) Jika menuju nilai

2 , tunjukkan bahawa kepada nilai sifar dan kedudukan titik menuju kepada infiniti.

(b) Biarkan dua lengkung diberi sebagai

1( )t (1 t) 0 t 1, 0 t 1,

r p p dan

r₂( )t (1 t)³p₀ 3(1 t t)² p₁ 3(1 t t) ²p₂ t³p₃, 0 t 1.

Cari nilai kelengkungan r₂( )t pada t 0 jikap p₁, ₂ dan p₃adalah segaris.

(c) Suatu fungsi nisbah kubik pada selang 1 x 3dapat ditulis dalam bentuk

2 2 2 2

0 1 2 3

2 2 2 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (2 )

( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (2 )

t t y t ty t t y t t y

f t t t t t t t t t

dengan ²

2 t x

Jika kecerunan lengkung padax 1 ialahd₀ tuliskan y₁ dalam sebutan

0, 0

y d dan

[25 makah]

4. (a) Let a surface be defined parametrically as

S u v( , ) (2u v u v u², ² , ² v 1), where 0 u v, 2.

(i) Evaluate the point S(1,1).

(ii) Determine an equation of the tangent plane at u 1,v 1.

(iii) Express S u( ,1)as a quadratic Bezier curve with suitable control points.

(b) A B-spline quadratic curve with knot vector {0, 0, 0,1, 2, 2, 2}and control points {p₀,p p₁, ₂,p₃} is given by

3 ,2 0

( ) _i ( ) _i

i

t N t

p p

Where N_{i d,} t

_,0 1 if [ ^{, 1}) ( ) 0 elsewhere

i i i

t t t

N t

_{, , 1} ¹ _{1, 1}

1 1

( ) ^{i i d}

i d i d i d

i d i i d i

t t t t

N t N t N t

t t t t with 0 i 3 and 1 d 2.

(i) Evaluate N_3,2 2 and N_4,2 2

(ii) Expressp(2) in terms of the control points p p₁, ₂, p₃.

[25 marks]

4. (a) Andaikan suatu tampalan permukaan ditakrif secra berparameter S u v( , ) (2u v u v u², ² , ² v 1), dengan 0 u v, 2.

(i) Nilaikan titik S(1,1)..

(ii) Tentukan persamaan satah tangen pada u 1,v 1.

(iii) Ungkapkan S u( ,1)sebagai suatu lengkung kuadratik dengan menyatakan titk kawalan yang bersesuaian.

(b) Suatu splin B kuadratik dengan vector knot {0, 0, 0,1, 2, 2, 2} dan titik kawalan

0, 1, 2, 3}

{p p p p adalah diberi sebagai

3 ,2 0

( ) _i ( ) _i

i

t N t

p p

dengan

_,0 1 if [ ^{, 1}) ( ) 0 lain tempat

i i i

t t t

N t

_{, , 1} ¹ _{1, 1}

1 1

( ) ^{i i d}

i d i d i d

i d i i d i

t t t t

N t N t N t

t t t t dengan 0 i 3 dan

1 d 2.

(i) NilaikanN_3,2 2 dan N_4,2 2

(ii) Ungkapkan dp(2) alam sebutan titik kawalan p p₁, ₂, p₃. [25 markah]

- ooo O ooo -