Penyelesaian persamaan parabolik menggunakan kaedah lelaran ubahan

(1)

PENYELESAIAN PERSAMAAN PARABOLIK MENGGUNAKAN KAEDAH LELARAN UBAHAN

AMRI BIN SAREY A

DISERTASI INI DIKEMUKAKAN UNTUK MEMENUHI SEBAHAGIAN DARIPADA SYARA T MEMPEROLEHI IJAZAH

SARJANA MUDA SAINS DENGAN KEPUJIAN

PERPUSTAKAAN

UNNERSm MALAYSIA

SAP~"

PROGRAM MATEMA IlK DENGAN KOMPUTER GRAFIK SEKOLAH SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSIII MALAYSIA SABAH

Oktober 2008

(2)

PUMS99:1

UNIVERSITI MALAYSIA SABAH

BORANG PENGESAHAN STATUS TESIS@

JUDUL:

pUl

'ltLt.S~/8N Pt~(\~~~N P"lU\~OLllL VfI~tJ~()"IvI4\'-'4N J:.cAEOM·\ t~lCt\!:VtN "~ltrTK

SAY A ~m(ll

MtJ

~

P€-'{V'\

(HURUF BESAR)

SESI PENGAJIAN:. _ _ _

Mengaku membenarkan tesis (LPSMlSarjana/Doktor Falsafah) ini disimpan di Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dengan syarat-syarat kegunaan seperti berikut:-

l. Tesis adalah hakmilik Universiti Malaysia Sabah.

2. Perpustakaan Universiti Malaysia Sabah dibenarkan membuat salinan untuk tujuan pengajian sahaja.

3. Perpustakaan dibenarkan membuat salinan tesis ini sebagai bahan pertukaran antara institusi pengajian tinggi.

4. Sila tandakan ( / )

DSULIT

DTERHAD

I/"I

TIDAK TERHAD

(T ANDA T ANGAN PENULIS) Alamat tetap:

-ru1 , 1\. tv

r,..~1/\ tv I &11 ""

Tarikh: )1.J -~/-

'hro&

(Mengandungi maklumat yang berdarjah keselamatan atau kepentingan Malaysia seperti yang termaktub di dalam AKTA RAHSIA RASMI 1972)

(Mengandungi maklumat TERHAD yang telah ditentukan oleh organisasiibadan di mana penyelidikan dijalankan)

Disahkan Oleh

Nama Penyelia Tarikh:

- - - -

CAT A TAN:- ·Potong yang tidak berkenaan .

•• Jika tesis ini SULIT atau TERHAD, sila 1ampirkan surat daripada pihak berkuasa /organisasi berkenaan dengan menyatakan sekali sebab dan tempoh tesis ini perlu dikelaskan sebagai SULIT dan TERHAD.

@Tesis dimaksudkan sebagai tesis bagi Ijazah Doktor Falsafah dan Sarjana secara Penyelidikan atau disertasi bagi pengajian secara kerja kursus dan laporan Projek Sa 'ana Muda (LPSM).

(3)

11

PENGAKUAN

Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali nukilan dan ringkasan yang setiap satunya telah dijelaskan sumbemya.

16 Oktober 2008

PERPUSTAKAAN

UNIVERsm MALAYSIA SAaA~

AMRI BIN SAREY A HS2005-6084

•

(4)

III

DIPERAKUKAN OLE"

T andatangan

1. PENYELIA

( Puan Suzelawati Zenian)

2. PEMERIKSA 1

(ProfMadya Dr Jumat Sulaiman)

3.

DEKAN

( Prof Dr Mohd. Harun Abdullah )

__ .----J

(5)

iv

PENGHARGAAN

Syukur Alhamdulillah kerana disertasi ini berjaya disiapkan pada masa yang ditetapkan tanpa banyak kesukaran. Setinggi penghargaan dan jutaan terima kasih saya ucapkan kepada Puan Suzelawati Zenian selaku penyelia saya yang sentiasa memberi bimbingan, bantuan, teguran dan peluang kepada saya untuk menyiapkan disertasi ini.

Ucapan terima kasih juga saya ucapkan kepada pensyarah - pensyarah program Matematik dengan Komputer Grafik atas teguran dan tunjuk ajar yang telah diberikan kepada say a selama ini samada secara langsung ataupun tidak.

Setulus kasih sayang, penghargaan dan ucapan terima kasih yang tidak terhingga kepada ibu dan bapa say a serta ahli keluarga yang sentiasa mendoakan kejayaan saya, dan sentiasa memahami dan memberi kepercayaan kepada saya selama ini.

Ucapan terima kasih juga kepada kawan - kawan saya yang telah banyak membantu saya sepanjang saya menyiapkan disertasi ini, khusunya Nor Adilah Hussin, Azrani Azmi, M. Shamrie Suriansa, dan semua mereka yang bertanggungjawab dan terlibat dalam memastikan disertasi ini berjaya disiapkan.

Kerjasama dan sumbangan anda semua amatlah saya hargai dan saya ucapkan ribuan terima kasih.

(6)

v

ABSTRAK

Kajian ini dilakukan adalah untuk menyelesaikan persamaan parabolik berbentuk linear dan tak· linear dengan menggunakan Kaedah lelaran ubahan (KLU). Idea fungsian pembetulan, pekali lagrange dan ubahan tersekat digunakan dalam pendekatan KLU. Kertas kerja ini menunjukkan contoh penyelesaian secara lelaran menggunakan KLU bagi persamaan resapan satu, dua, dan tiga dimensi. Ralat mutlak bagi penyelesaian keempat - empat contoh terse but yang diperoleh daripada peri sian Maple akan ditunjukkan untuk memperlihatkan kejituan KLU. Kaedah ini bukan sahaja dapat memberikan penyelesaian yang lebih tepat dan cepat, tetapi juga lebih mudah berbanding kaedah-kaedah lain. Ini disebabkan kaedah ini tidak memerlukan pelinearan, anggapan-anggapan ketaklinearan atau penggunaan polinomial Adomian.

(7)

vi

SOLUTION OF PARABOLIC EQUATIONS BY THE VARIATIONAL ITERATION METHOD

ABSTRACT

This research was done to solve linear and non linear parabolic equation by using variational iteration method (VIM). The idea of correctional function, Lagrange multiplier and restricted variation were used in VIM formula. This paper shows examples of solution for diffusion equation in one, two, and three dimension at which are solved iteratively by using VIM. The absolute error for the solutions were evaluate by using maple software to show the accuracy of VIM. This method does not only give the accurate and faster solution, but VIM is more simple compared to the other method. This is due to VIM does not need linearization, nonlinearity assumptions or Adomian polynomial.

(8)

KANDUNGAN

HALAMAN JUDUL PENGAKUAN PENGESAHAN PENGHARGAAN ABSTRAK

ABSTRACT

SENARAI KANDUNGAN SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH SENARAI SIMBOL SENARAI SINGKA TAN SENARAI ISTILAH

BABI

PENDAHULUAN

1.1 Pengenalan

1.2 Persamaan Terbitan Separa

1.2.1 Sistem Simbol dan Istilah

1.2.2 Persamaan Terbitan Linear dan Tak Linear 1.2.3 Syarat Tambahan: Permasalahan Posed-Rapi 1.2.4 Istilah Dalam Masalah Persamaan Terbitan 1.2.5 Klasifikasi Persamaan Terbitan Separa 1.3 F enomena Pemindahan Haba

1.3.1 Konduksi 1.3.2 Perolakan 1.3.3 Radiasi

1.3.4 Persamaan Resapan Haba 1.4 Kaedah Lelaran

1.4.1 Kaedah Lelaran Bagi Sistem Persamaan Linear

Vll

Mukasurat

I 11 III

IV V VI Vll X

xi

XII Xlll

xiv

1 3 3 4 5 6 7 11 12 13

14 14 16 18

(9)

104.3 Kaedah Gauss-Seidel

1.4.4

Kaedah Pengenduran Berlebihan Berturut-turut

1.5

Tujuan Kajian

1.6

Objektif Kajian

1.7

Skop Kajian

BAB2 ULASAN LITERA TUR

2.1

Pendahuluan

2.2

Sorotan Kajian Kaedah-kaedah Lelaran

2.2.1

Jacobi

2.2.2

Gauss-Seidel

2.2.3

Pengenduran Berlebihan Berturut-turut

2.3

Kaedah Lelaran Ubahan

BAB3 METODOLOGI

3.1

Pengenalan

3.2

Analisis Kaedah

BAB4 KEPUTUSAN KAJIAN

4.1

Pengenalan

4.2

Contoh Penyelesaian

4.2.1

Contoh 1: Penyelesaian Pennasalahan Persamaan Parabolik Satu Dimensi: Linear

4.2.2

Contoh

2:

Penyelesaian Pennasalahan Persamaan Parabolik Dua Dimensi: Linear

4.2.3

Contoh 3: Penyelesaian Pennasalahan Persamaan Parabolik Tiga Dimensi: Linear

4.2.4

Contoh

4:

Penyelesaian Pennasalahan Persamaan Parabolik Satu Dimensi: Tak Linear

BABS PERBINCANGAN

5.1

Perbincangan

viii

20 21 22 22 23

24 25 25 25 26 27

34 34

40 41

41

46

50

54

58

(10)

IX

5.3 Kesimpulan

62

RUJUKAN 63

(11)

ix

5.3 Kesimpulan

62

RUJUKAN 63

(12)

x

SENARAI JADUAL

No. Jadual Muka Surat

1.1 Persamaan Terbitan Separa 10

4.1 Perbandingan penyelesaian antara KLU dengan penyelesaian

sebenar dengan t

=

0.2, 0.4, 0.6 dan x

=

0.1,0.5,0.9. 45

sebenar dengan t

=

1, x

=

0.1, 0.5, 0.9; dan y

=

0.1,0.5,0.9. 49

sebenar dengan t

=

1, dan x, y, z

=

0.1, 0.5, 0.9. 53 4.4 Perbandingan penyelesaian antara KLU dengan penyelesaian

sebenar dengan t

=

0.2, 0.4, 0.6 dan x

=

0.1, 0.5, 0.9. 57

(13)

Xl

SENARAI RAJAH

No. Rajah Muka Surat

1.1 Arah Pen gal iran Haba 16

(14)

Xll

SENARAI SIMBOL

~ pengoperasi Laplace

n

ruang domain bagi permasalahan

A. pekali Lagrange

OJ parameter lelaran 8 suhu mutlak p ketumpatan

(15)

Xlll

SENARAI SINGKA T AN

AGSOR Accelerated Generalized Successive Overrelaxation

GS Gauss-Seidel

IMGS Improving Modified Gauss-Seidel

KLV Kaedah Lelaran Ubahan

KPA Kaedah Penguraian Adomian

PBB Pengenduran Berlebihan Berturut-turut

S-block-SOR Symmetric block Successive Overrelaxation

SOR Successive Overrelaxation

SPBB Simetri Pengenduran Berlebihan Berturut-turut

(16)

xiv SENARAIISTILAH

Fungsian Pembetulan

Kaedah Beza Terhingga Teritlak

Kaedah Blok Simetri Pengenduran

Berlebihan Berturut-turut

Kaedah Gauss-Seidel Terubahsuai Dimajukan

Keadah Lelaran Ubahan

Kaedah Pengenduran Berlebihan Berturut -turut

Kaedah Pengenduran Berlebihan Berturut-turut Teritlak Dipecutkan

Kaedah Titik Gauss-Seidel

Kuasilinear

Masalah Posed-rapi

Perolakan haba

Punca terkecil kurang -tingkat

Correction Functional

Generalized Finite Difference Method

Symmetric Block Successive Overre laxation

Method

Improving Modified Gauss-Seidel Method

Variational Iteration Method

Successive Overrelaxation Method

Accelerated Generalized Successive Overrelaxation Method

Gauss-Seidel Point Method

Quasilinear

Well-Posed problem

Advection

rank-deficient least squares

(17)

xv

Ubahan tersekat Restricted Variation

(18)

BABI

PENDAHULUAN

1.1 Pengenalan

Sejarah persamaan terbitan bermula sekitar kurun ke-17 apabila dua orang saintis yang tennasyhur iaitu Isaac Newton dan Gottfried Leibniz telah memperkenalkan kalkulus.

Untuk melihat konsep asas persamaan terbitan, pertimbangkan satu persamaan iaitu persamaan hukum Gerakan Newton Kedua yang menyatakan bahawa setiap objek berjisim m yang bergerak dengan pecutan a, akan memberikan daya, F

F=ma (1.1)

Untuk menunjukkan bahawa persamaan (1.1) merupakan persamaan terbitan, pecutan, a dapat ditulis semula dalam dua cara seperti berikut

a = -dv

dl atau (1.2)

dengan v adalah halaju objek dan s adalah sesaran sesuatu objek pad a masa t.

(19)

2

Diketahui bahawa daya, F boleh berbentuk fungsi mas a, halaju, danlatau sesaran. Oleh itu Hukum Newton Kedua dapat ditulis dalam bentuk persamaan terbitan seperti berikut.

F(t, v) = m dv dt

( dS)

^d²^s

F ^I,s,- =m-₂ dt dt

(1.3)

(1.4)

Oleh itu persamaan terbitan boleh didefinisikan scbagai suatu persarnaan yang mengandungi terbitan sarna ada tcrbitan biasa atau separa. Secara umumnya persamaan terbitan terbahagi kepada dua iaitu persamaan terbitan biasa dan persamaan terbitan separa dengan kebanyakan sistem atau model matematik terdiri daripada kedua-dua persarnaan terbitan ini.

Persamaan matematik sering dapat menjelaskan suatu keadaan fizik dengan membentuk atau merumuskan suatu konsep seperti persamaan Maxwell dalarn menjelaskan fenomena elektrodinarnik, persamaan Newton yang menjelaskan sistem mekanikal dan persamaan Schrodinger yang menjelaskan aspek mekanik kuantum.

Oleh itu ahli matematik dan saintis telah memperbanyakkan lagi kajian mengenai perhubungan matematik dengan semua bidang sains dan teknologi dan akhirnya wujud satu bidang yang dipanggil pemodelan matematik. Model matematik adalah persamaan atau beberapa set persamaan yang mana penyelesaiannya akan menjelaskan keadaan fizikal yang berkaitan dengan sistem fizik (Logan, 1998).

(20)

3

1.2 Persamaan Terbitan Separa

Kebanyakan fenomena fizik dapat dimodelkan menggunakan persamaan terbitan separa dan seterusnya penyelesaian bagi persamaan yang melibatkan fungsi beberapa pemboleh ubah boleh diperolehi contohnya penyebaran bunyi atau haba. elektrostatik.

elektrodinamik, pengaliran cecair dan elektrik. Untuk melihat dengan Iebih Ianjut mengenai persamaan terbitan separa yang membentuk model matematik, beberapa tatatanda dan terminologi dalam terbitan separa perlu diketahui.

1.2.1 Sistem Simbol dan Istilah

Andaikan u sebagai suatu fungsi untuk beberapa pemboleh ubah bersandar, sebagai contoh u

=

^{u (x,}y, ^z,^I).Terbitan separa bagi u terhadap x adalah seperti berikut

OU =hadu(x+h,y,z,t)-u(x,y,z,t)

Ox ^h-+O h ^(1.5)

dan diberi had adalah wujud. Berikut adalah beberapa contoh tatatanda bagi terbitan separa u

au oU

- = U

Ox ^x' ^{- = U}Oy ^y'

Persamaan terbitan separa adalah persamaan yang melibatkan satu atau Iebih terbitan separa suatu fungsi dengan beberapa pemboleh ubah. Peringkat bagi persamaan

(21)

4

terbitan separa adalah bergantung kepada peringkat terbitan tertinggi yang terdapat dalarn persarnaan tersebut (Duchateau & Zachmann, 1986).

1.2.2 Persamaan Terbitan Linear dan Tak Linear

Persarnaan terbitan linear, sebagai contoh persarnaan terbitan biasa yang linear adalah sebarang persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

an (/)uⁿ(I)

+

a,,_1 (/)uⁿ-I (I)

+ ... +

_al(/)U'(/)

+

_{a o}(/)U(t) = get) (1.6)

Persamaan terbitan linear tidak mengandungi sebarang hasil darab antara fungsi, u(t) dengan fungsi terbitannya,

u'{t).

Fungsi

u{t)

dan terbitannya juga mestilah mempunyai kuasa yang tidak lebih daripada satu. Pekali-pekali ao(t), ... ,a_n(t) dan g(/) boleh mengarnbil fungsi bernilai sifar atau tidak sifar, bernilai malar atau tidak malar dan berbentuk linear atau tak linear. Ini kerana dalam menentukan sarna ada persamaan terbitan itu linear atau tak linear, hanya fungsi

U{/)

dan terbitannya,

u'{t)

sahaja yang akan digunakan atau diarnbil kira. (Dawkins, 2005).

Oleh itu jika suatu persamaan terbitan tidak dapat ditulis dalarn bentuk (1.6) maka persarnaan terbitan terse but adalah persamaan terbitan tak linear. Sesuatu persarnaan tak linear adalah kuasilinear jika persarnaan tersebut menjadi persarnaan linear selepas diterbitkan dengan terbitan peringkat yang lebih tinggi (Duchateau &

Zachmann, 1986).

(22)

5

1.2.3 Syarat Tambahan: Permasalahan Posed-Rapi

Dalam mendapatkan satu fungsi penyelesaian bagi mewakili suatu permasalahan sistem fizik, syarat tambahan perlu diberi dan syarat ini terbahagi kepada dua ketegori.

a. Syarat Sempadan

Syarat ini mestilah dipenuhi oleh persamaan terbitan iaitu syarat di mana suatu pemboleh ubah terletak pada sempadan, S dalam satu ruang domain, Q (Logan, 1998).

Terdapat tigajenis syarat sempadan yang sering dipertimbangkan iaitu:

z c:

<

rn ~ ( 1 ) - ,

(1.7) 3g

u=g _!:~

>(1 Syarat Dirichlet

au

_(1.8)

§I

-=g an _{( I )}^>~

Syarat Neuman

>

m

Syarat Campuran au ^]>

au+/3-=g ^(1.9) ^.J:

an

dengan g, a, dan

p

adalah fungsi dalam sempadan S (Duchateau & Zachmann, 1986).

b. Syarat awal

Keadaan awal atau syarat awal bagi persamaan terbitan boleh terdiri daripada satu atau lebih syarat awal dan syarat ini mestilah memenuhi Q. Syarat awal yang biasa boleh terdiri daripada kombinasi fungsi, u dan terbitannya, u' seperti berikut.

(23)

6

U(X,y,z,to) = Uo danlatau (1.10)

Dengan kata lain syarat awal adalah nilai penyelesaian bagi suatu persamaan pada titik tertentu. Bilangan syarat awal yang diperlukan bagi sesuatu persamaan terbitan adalah bergantung kepada darjah terbitan persamaan terse but (Dawkins, 2005). Syarat ini dinamakan syarat awal kerana syarat ini memberikan keadaan pemboleh ubah pada masa to (Logan, 1998).

1.2.4 Istilah Dalam Masalah Persamaan Terbitan

a. Masalah nilai awal

Masalah nilai awal adalah persamaan terbitan bersama dengan beberapa syarat awal yang sesuai (Dawkins, 2005).

b. Penyelesaian am

Penyelesaian am bagi suatu persamaan terbitan adalah bent uk penyelesaian yang sangat umum yang mana penyelesaian ini boleh mengambil nilai syarat awal atau pun tidak (Dawkins, 2005).

c. Penyelesaian sebenar

(24)

7

d. Penyelesaian Tersirat

Penyelesaian yang berbentuk u = u(x,y,z,/). Dengan kata lain u hanya wujud sekali di sebelah kiri persamaan dengan kuasa satu. Maka selain daripada penyelesaian tersurat adalah penyelesaian tersirat (Dawkins, 2005).

1.2.8 Klasifikasi Persamaan Terbitan Separa

Persamaan terbitan separa bukan sahaja diklasifikasikan berdasarkan peringkat (terbitan tertinggi yang ada) dan sifat kelinearan sesuatu persamaan, tetapi juga mengambil kira struktur persamaan terbitan separa tersebut. Untuk menjelaskan apa yang dimaksudkan dengan struktur persamaan terbitan separa ini, persamaan terbitan peringkat kedua dipertimbangkan. Berikut adalah tiga contoh persamaan model matematik dengan terbitan peringkat kedua yang mempunyai struktur yang berbeza.

u -ku =0 _I _.u ( persamaan resapan ) (1.11 ) ( persamaan gelombang ) (1.12)

( persamaan Laplace) (1.13)

Persamaan (1.11) dan (1.12) adalah persamaan bersifat evolusi yang menerangkan bagaimana sesuatu proses tersebar atau berkembang dalam masa I.

Maklumat awal yang diberi adalah menunjukkan keadaan sistem pada masa t

=

O.

Persamaan (1.13) pula adalah persamaan keseimbangan dengan masa tidak lagi

(25)

RUJUKAN

Abdullah, A. R., 1990. Pengiraan Berangka, Dewan Bahasa dan Pustaka, Kuala Lumpur.

Abassy, T.A., EI-Tawil, M.A. & EI-Zoheiry, H., 2006. Modified variational iteration method for Boussinesq equation. Computers and mathematics with Applications 54, 955-965.

Abassy, T.A., EI-Tawil, M.A. & EI-Zoheiry, H., 2007. Exact solutions of some nonlinear partial differential equations using the variational iteration method linked with Laplace transfonns and the Pade technique. Computers and Mathematics with Applications 54, 940-954.

Batihah, B., Noorani, M.S.M. & Hashim, 1., 2007. Variational iteration method for solving multispecies Lotka-Volterra equations. Computers and Mathematics with Applications 54, 903-909.

Benitoa J. J., Urenaa F. & Gaveteb L., 2007. Solving parabolic and hyperbolic equations by the generalized finite difference method. Journal of Computational and Applied Mathematics 209, 208-233.

(26)

64

Biazar. J. & Ghazvini. H., 2007. He's variational iteration method for solving linear and non-linear systems of ordinary differential equations. Applied Mathematics and Computation 191,287-297.

Darvishi, M.T., & Hessari, P. 2006. Symmetric SOR method for augmented systems.

Applied Mathematics and Computation. 183, 40~15.

Darvishi, M.T., Khani, F., Hamedi-Nezhad, S., & Zheng, B. 2008. Symmetric block- SOR methods for rank-deficient least squares problems. Journal of Computational and Applied Mathematics. 215, 14 - 27.

Dawkins, P. 2005. Differential Equations. http://tutorial.math.lamar.edulterms.asp.

Duchateau, P & Zachmann, D. W., 1986. Theory and Problem of Partial Differential Equations, McGraw-Hill. Colorado.

EI-Sabbagh, M.F. & Ali, A.T., 2008. New generalized Jacobi elliptic function expansion method. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 13, 1758-1766.

EI-Wakil, S.A. & Abdou M.A., 2007. New applications of adomian decomposition method. Chaos, solitons and Fractals 33, 513-522.

Fausett, L.V. 2003. Numerical Method: Aigirithms and Applications. Pearson

(27)

65

freitag, M.A. & Spence, A., 2008. Rayleigh quotient iteration and simplified Jacobi- Davidson method with preconditioned iterative solves. Linear Algebra and its Applications. 428, 2049-2060.

Glavic, M, & Alvarado, F.L., 2007. An extension of Newton-Raphson power flow problem. Applied Mathematics and Computation 186, 1192-1204

Hagen, K.D., 1999. Heat Transfer with Applications. Prentice-Hall Inc. New Jersey

He, J.H., 1999. Variational iteration method - a kind of non-linear analytical technique: some example. International journal

0/

Non-Linear Mechanics 34, 699-708.

He, J.H., 2000. variational iteration method for autonomous ordinary differential systems. Applied Mathematics and computation 144, 115-123.

He, lH., 2007. Variational iteration method - Some recent results and new interpretations. Journal o/Camputational and Applied Mathematics 207, 3-17.

Hochstenbach, M.E., 2008. A Jacobi-Davidson type method for the product eigenvalue problem. Journal o/Computational and Applied Mathematics. 212, 46-62

(28)

66

Hosking, R.J., Joe, S., Joyce, D.C., dan Turner, J.C., 1996. First Step in Numerical Analysis. Arnold. London.

Huiqun, Z., 2007. Extended Jacobi elliptic function expansion method and its

applications. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 12,627-635.

Kim, J.S., & Kwon, O.J., 2007. An efficient and robust implicit operator for upwind point Gauss-Seidel method. Journal of Computational Physics. 224, 1124- 1144.

Liu, Q., 2007. A modified Jacobi elliptic function expansion method and its application to Wick-type stochastic KdV equation. Chaos, Solitons and Fractals. 32, 1215-1223.

Logan, J.D., 1998. Applied Partial Differential Equations. Springer, New York.

Luo, X.G., 2005. A two-step Adomian decomposition method. Applied Mathematics and Computation 170,570-583.

Maron, M.J. & Shapiro, H.N., 2004. Fundamental of Engineering Thermodynamics. Ed. ke-5. John Wiley & Sons, New York.

(29)

67

Moghimi, M. & Hejazi, F.S.A., 2007. Variational Iteration method for solving generalized Burger-Fisher and Burger equation. Chaos, Solitons and Fractals 33, 1756-1761.

Noor, M.A. dan Mohyud-Din, S.T., 2007. An efficient method for fourth-order boundary value problems. Computers and Mathematics with Applications 54, 1101-111.

Rashidinia, 1. & Jafarzadeh, E. 2007. Accelerated generalized succeSSlve overrelaxation method for least squares problems. Applied Mathematics and Computation. 186, 175-183.

Soufyane, A. & Boulmalf, M., 2005. Solution of linear and nonlinear parabolic equations by the decomposition method. Applied Mathematics and Computation 162, 687-693.

Tatari, M. & Deghan, M., 2007. He's variational iteration method for computing a control parameter in a semi-linear inverse parabolic equation. Choas, Solitons and Fractals 33,671-677.

Tavakoli, R. & Davami, P., 2007. A new parallel Gauss-Seidel method based on alternating group explicit method and domain decomposition method. Applied Mathematics and Computation. 188,713-719.

(30)

68

Ujevic, N., 2006. A new iterative method for solving linear systems. Applied Mathematics and Computation. 179, 725-730.

Wang. Z.D. & Huang. T.Z. 2006. The upper Jacobi and upper Gauss-Seidel type iterative methods for preconditioned linear systems. Applied Mathematics Letters. 19, 1029-1036.

Wazwaz, A.M., 2007. A comparison between the variational iteration method and Adomian decomposition method. Journal of Computational and Applied Mathematics 207, 129-136.

Weisstein, E.W., 2008. Partial Differential Equation. http://mathworId.wolfram.comJ PartialDifferentialEquation.html.

Youssef, I.K., & El-Arabawy, H.A., 2007. Picard iteration algorithm combined with Gauss-Seidel technique for initial value problems. Applied Mathematics and Computation. 190,345-355.

Yun, J.H., 2007. A note on the improving modified Gauss-Seidel (IMGS) method.

Applied Mathematics and Computation. 184,674-679.