Statistics For Science Students [Statistik Untuk Pelajar SainsJ

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA

*

^{Kotej Lesenda}

First

Semester Exarnination

2OOS / 2006 Academic Session November 2005

External Degree Programme Bachelor of Computer Science (Hons.)

MAA161E - Statistics For Science Students [Statistik Untuk Pelajar SainsJ

Duration

:

3 hours [Masa:3 jam]

INSTRUCTIONS

TO CANDIDATE:

'

Please ensure that this examination paper contains

FOUR

questions

in THIRTEEN

printed pages before you begin the examination.

[Sila ^{pastikan bahawa kerTas} peperiksaan ini mengandungi EMPAT soalan di dalam TIGA BELAS muka surat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini.l

.

_Answer

ALL

_questions.

[Jawab SEMUA ^soatan.]

.

_{On each} page, write only your Index Namber.

[Dalam setiap muka surat, tulis Angka Gtiran anda sahaja.]

2T

...2/-

IMAAl6lEl -2-

l' (a)

The distribution

of

lifespan

for

100

light

bulbs are shown

in

the table below:

Lifespan (hours) Number of

Lighr

Bulbs 600

-

699

700 - 799 800

-

899 900

-

999 1000

-

1099 1100

-

1199

6

l3 r8

24 30 9

Z*,f, = 93550 ; I

^x!

f, =

^89396425

(i)

Calculate the mean, median and standard deviation of the bulbs' lifespan.

(ii)

Describe rhe type of skewness for the above distribution.

(iii)

Determine the interquartile range of the lifespan.

(iv) Find

the value

of

^/< so that at least 65Vo

of

the lifespan are

within

ft srandard deviation of the mean.

(b) Out of 5 mathematicians and 7 physicists, a committee consisting of

²

mathematicians and 3 physicists is to be formed.

How

many ways can this be done

if

(i)

any mathematician and any physicist can be included?

(ii)

one particular physicist must be in the committee?

(iii)

rwo particular mathematicians cannot be in the committee?

(c) If A, B

and

C

are three independent events, show that events

A

and

(B u C;

^are

also independent.

(d) During an epidemic of a certain

disease

a doctor is

consulted

by 110

people,

suffering from

symptoms

commonly

associated

with the disease. Of the l l0

people,

45

are female

of whom

20 actually have the disease. Fifteen males have the disease and the rest do not.

(i) A

person

is

selected

at random. The event that this

person

is female

is denoted

by F

and the event that

this

person

is suffering from

the disease is denoted by

D.

Evaluate

P(F v D).

1,

22

2.

^(a)

. [MAAl6lE]

- 1-

(ii) Of

^people

with

the disease, 967o react

positively to

a test

for

diagnosing the disease as do 8Vo of people

without

the disease. What

is

the probability

of

a

person selected

at

random having the disease

given that he or

she reacted positively?

(100/100)

707o

of

the passengers who travel to Kuala

Lumpur

buy Berita Harian newspaper at the bookstall before boarding the

train.

The

train

is

full

and each carriage holds

i0

passengers.

(i) What is the probability that at most three

passengers

in a

carriage have bought Berita Harian?

(ii) If

there are

40

cariage on the train,

in

how many

of

them

would

you expect there to be exactly three copies of Berita Harian?

(iii) If

8 people are standing

in

the corridor, what

is

the

probability

that the third passenger

in the corridor of a

carriage

is the first who

has bought Berita Harian?

In

a certain nation, men have heights distributed

normally with

mean 1.70 meter

and standard deviation l0 cm. Meanwhile women have heights

distributed normally

with

mean 1.60 meter and standard deviation 7.5 cm.

(i) Find the probability that a

man chosen

randomly

has

height not

less than tr.83 meter.

(ii) What is

the

probability

that the average height

of

3 men chosen randomly is greater than 1.78 meter?

(iii) Find

the

probability

that a husband and

wife

have less than 5 cm difference

in

heights.

(b)

(c) A

news agent sells telephone cards at

RMl, RM2, RM4, RMl0 or RM20.

The value

of

a telephone card sold may be regarded as a random variable,

X, with

the fol Iowing

probability

distnbution.

P(X = x)

23

[MAAl6lEl

-4-

(i)

Given

that3P(X

> 2)

-

^zP(X

32), find

the value of

p

^{and q.}

(ii)

Find the mean and variance of X.

(iii)

Determine the value of median.

(iv) What is

the

probability

that the value

of

the telephone card sold

is

less than RM5?

(100/100)

3. (a) A study is

made

to

determine

if a cold climate

results

in more

students being absent

from

school

during

a semester than

for

a warmer

climate. Two

groups

of

students are selected at random, one group

from

state

A

and the other group from state

B. Of

the 300 students

from

state

A, 64

were absent at least one day during

the

semester and

of

the

400

students

from

state

B, 5l

^were absent one

or

more days.

What can we assert

with

907o confidence about the possible size

of

our error

if we

estimate the

fraction of the

students

who

are absent

in

state

A to

be 0.

l5?

(ii)

Construct a 957o confidence interval

for

the difference between the fractions

of

the students who are absent in the

two

states. Interpret your results.

A

manufacturer has developed

a new fishing line, which he claims

has

a

mean

breaking

strength

of 15 kg. with a

standard

deviation of 0.5 kg. To test

the hypothesis that

p =

15 kg. against the alternative that

p <

15 kg., a random sample

of

50 lines

will

be tested. The critical resion is defined to

be

_"r

<

I4.g.

(i)

Find the significance level of this test.

(ii)

Find P(Type

II error) if p-

14.8 kg.

(iii)

Determine the power of the

test.

Explain your result.

A

researcher wishes

to

compare

two different

groups

of

students

with

respect to

their

mean

time to

complete a particular task using

different technique.

The time required is determined for each independent

group.

Using the

following

summary,

(i)

(b)

(c)

1l

8

23.5 20.4

2.7 5.2

24

Technique

- tMAAl6lEl

-''t-

(i) test whether group I and group 2

^come

from population with the

same variance. _{Use a 5Vo} signihcance level.

(ii)

based on the results

in

part

(i),

test at the 2.5Vo significance level

if

the mean time to complete a particular _{task by} group

I

is greater than group 2.

(iii) if

the variable U is chi-square-distributed

with n =

⁸

, find 7i

^and,

7l

^such

that P(

Xi sU

^<

Zi )

= ^O.gO.

(100/100)

4. (a) Two different

makes

of

stopwatches were used

to time

12

different

runners over a

particular course. Using the times in second shown

in

the table.

Runner

67

Stopwatch Type I Type 2

59 49 64 60

⁵⁴

57 46 63 60

⁵⁰

47

⁴⁹

48

⁵⁴

58 66

⁷⁶

54 60

⁷²

70 72

66 66

(i) Find the point estimate for the mean time difference

where

d-typel-type2.

(ii)

Construct a 95 Vo confidence interval

for

the mean

time difference.

Interpret your result based on the problem above.

(b) A

sociologist recorded the number

of

^years

of

school,

x,

and the number

of

hours

of TV viewing

per week,

y, for

a group

of

adults

who

were

over

30 years

of

^age.

The results are siven below.

Years

of

school.

x t6 14 10 t6 L2 t9 t4 TV

viewing hours, y

t0 t7

I"= ll3; fl=90; Zry=ll72;2r'= 1653; Zy'=1230

25

...6/-

IMAAl6lEl

-6-

(i)

Estimate the equation

of

the least square regression line.

(ii)

Intelpret _{the slope} of the regression line.

(iii)

calculate the value

of

variation about the regression line.

(iv) Is

there evidence at

the lVolevel

that

viewing

hours and years

of

school are linearly related?

(c) (i)

Suppose

we

have

a multinomial

experiment

with the cells shown

below.

what

observed frequencies a, b, c,

d and e

would results

in r,

⁼

0 if

^we

were testing the

hypothesis

that I, II, III , IV and v occur in the

ratio

l0 :7

: 5 :

4:

2

with

random sample of size 840?

The following is the distribution of the number of

bears sightseeing tours

in

a National Park.

spotted

on

100

Number of bears Number

of

tours

Test at the 0.05 level

of

significance whether the data on random sample from a Poisson

distribution

with

p=

0.5.

bear sightings

is

a

(100/100) (ii )

26

Confidence Interval:

Tx .7o

i

"1"

7t *sd

i

^lro

Vt

b+

t_

_-a .t

,ln

f-

t! t'

2

(X -Y)!torz

^Sp

(

,, -rrr (, - r;,' I

3;'tT)

JS

ua ua

t+J r---Z

Jzn

^Jzn

(i', r,,.,,'*' ;,,,

.,,

| , -, )

(X -hxr",,.^lL*L

\ n, ft,

btzgrlry

-7

^-

FORMULA

MAA 161E -Statistics For ^{Science Students}

IMAAl6lEl

APPENDIX

Test Statistic:

'-x-P

L_--._

Ot\ln

, =x -

^P

^ s/Ji

Z_ .s-o

/ o/-

_^lzn

6-v )-0t,-ar)

",( t r)

p)l- +-

|

ln-

^n..

//

^l

- (P, - rtr) Z_

7-po E:

_{I---=- + ----:--}

":

l"

^nv

-n-ut,- ttr)

k"3

| ---!- )- --:-

\n,' n,

/ - r\2

1""' , s,

I

li-%)

T_ (x ._b-9,

.s6 so'

dk- T=r

T,:

s-2

F_

(n,

- -

_{l)t ,2}

/ t\2

[""-

^I

tl \n, )

,+

-t

/ t\2

ls;l l')

+. -, ', -l

nr+nr-2

(n

-

^l)s2

si

o' sj r s: @-nY

z-=L::_=J_, E=np

6 -Y)

---

n-2 l- r'

(r r)

l-+-

^|

ln- n' //

^l

l)s,2 ⁺ (n,

se

,lSxx

-oooOooo-

27

...8/-

KERTAS SOALAN DALAM VERSI BAHASA MAIA,YSIA

IMAAt6lEl

-8-

l. (a)

Taburan masahayat bagi 100 menrol adalah seperti yang berikut:

Masahayat

(am)

Bilangan Mentol 600

-

699

700 - ₇₉₉ 800 - 899 900 - 999 1000

-

1099 1100

-

1199

6

l3 l8

24 30 9

2*,f, = 93550 , Zr? f, =

^89396425

(i)

Hitung

min,

median dan sisihan piawai bagi masahayat mentol.

(ii)

Huraikan bentuk pencongan bagi taburan data

di

atas.

(iii)

Tentukan

julat

antara

kuartil

masahayat mentol.

(iv)

Cari

nilai k

supaya sekurang-kurangnya 65Vo d,aipada masahayat mentol adalah dalam lingkungan

k

sisihan piawai _daripada min.

(b)

Satu jawatankuasa akan dibentuk daripada 5 orang ahli matematik dan 7 orang ahli

fizik.

Jawatankuasa tersebut akan

terdiri

daripada

2 ahli

matematik dan

3

ahli

fizik.

Berapa carakah

ini

boleh dilakukan

jika

(i)

sesiapa

jua ahli

maremarik dan ahli

fizik boleh

menyertainya?

(ii)

seorang

ahli fizik

yang tertentu mesti menjadi ahli jawatankuasa?

(iii) dua orang ahli matematik yang tertentu tidak boleh menjadi

ahli jawatankuasa?

(c) Jika A, B dan C

^adalah

tiga peristiwa yang tak

bersandar,

tunjukkan

bahawa peristiwa

A

dan (B

v

C) adalah

juga

tak bersandar.

2B

IMAAl6lEl -9

-

(d)

Semasa

suatu wabak sejenis penyakit tertentu,

seorang

doktor telah

diminta memeriksa 110 orang yang menderita daripada gejala yang lazimnya berhubung dengan penyakit

tersebut.

Daripada 110 orang,

45

orang adalah

wanita.

Seramai

20 orang dalam kalangan wanita itu mengidap penyakit manakala

seramai limabelas orang dalam kalangan lelaki mengidap penyakit tersebut.

(i)

Seorang telah

dipilih

secara

rawak.

Peristiwa bahawa orang tersebut ialah

wanita diwakili oleh F dan peristiwa bahawa orang tersebut

sedang menanggung penderitaan daripada penyakit

diwakili

oleh

D.

Can

P(F u

^D).

(ii) Bagi ujian

menentukan penyakit, didapati daripada mereka yang mengidap

penyakit

tersebut, _96Vo

bertindak balas positif. Manakala

8Vo danpada mereka tanpa penyakit bertindak balas

positif.

Apakah kebarangkalian bagi seorang yang

dipilih

secara rawak mempunyai penyakit diketahui bahawa dia bertindak balas positif?

(100/100)

2. (a)

70Va

daipada

penumpang

keretapi yang dalam

perjalanan

ke Kuala

Lumpur

membeli

suratkhabar

Berita Harian di

sebuah

kedai

sebelum

menaiki

keretapi.

Setiap gerabak dapat memuatkan

l0

penumpang sahaja.

(i)

Apakah kebarangkalian bahawa sebanyak-banyak

tiga

daripada penumpang telah membeli Berita Harian?

(ii) Jika keretapi tersebut mempunyai 40 gerabak, berapakah

bilangan penumpang yang dijangkakan mempunyai tepat tiga naskah Berita Harian?

(iii) Jika

8 orang

berdiri di koridor,

apakah kebarangkalaian bahawa penumpang

yang ketiga di koridor dalam

sebarang

gerabak adalah yang

pertama membeli Berita Harian?

(b)

Dalam suatu masyarakat tertentu,

tinggi

lelaki bertaburan normal dengan

min

1.70

meter dan sisihan piawai 10 cm.

^Manakala

tinggi wanita

bertaburan normal dengan

min

1.60 meter dan sisihan piawai 7.5 cm.

(i) Cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki yang dipilih

secara rawak mempunyai

tinggi

tidak kurang daripada 1.83 meter.

(ii) Cari

kebarangkalian _bahawa purata

tinggi bagi 3

orang

lelaki

yang

dipilih

secara rawak adalah lebih daripada 1.78 meter.

(iii) Cari kebarangkalian bahawa seorang suami dan isterinya

mempunyai perbezaan

tinggi

kurang daripada 5 cm.

29

...10/-

3.

^(a)

[MAAl6lEl -10-

(c)

Sebuah agen berita menjual kad telefon pada harga

RMl, RM2, RM4, RMl0

atau

RM20. Harga bagi satu kad telefon yang dijual boleh dianggap

sebagai pembolehubah rawak, X, dengan taburan kebarangkalian seperti yang berikut.

(i)

Diketahui bahawa 3P(X > 2) = ^ZP(X <

2),

can nllai

p

dan q.

(ii)

Cari min dan varians bagi X.

(iii)

Tentukan

nilai

median.

(iv) Cari

kebarangkalian bahawa nilai daripada RM5?

bagi

kad

telefon

yang

dijual

ialah kurang

(100/100)

Suatu kajian telah dijalankan untuk

menentukan sama ada

pada musim

sejuk berkesudahan dengan ramai pelajar tidak hadir ke sekolah sepanjang satu semester berbanding dengan

musim panas. Dua kumpulan pelajar telah dipilih

secara rawak; satu kunpulan dari negeri

A

dan kumpulan kedua dari negeri

B.

Daripada seramai 300 orang pelajar

dari

negeri

A, 64

orang pelajar

tidak hadir

sekurang- kurangnya sehari sepanjang semester. Manakala daripada

400

orang pelajar _dari negeri

B, 5l

orang pelajar tidak hadir sekurang-kurangnya sehari.

(i) Apakah yang boleh didakwa

dengan 90Vo

keyakinan

mengenai

saiz

ralat yang mungkin,

jika kita

menganggar bahawa kadaran pelajar-pel

ajar

yang tidak hadir dari negeri

A

ialah 0.15?

(ii)

Binakan selang keyakinan 95Vo bagi perbezaan antara kadaran pelajar yang tidak hadir dari kedua-dua

negeri.

Ulaskan jawapan _anda.

Pengusaha

kilang

tertentu telah mencipta

tali

memancing yang baru,

iaitu

mereka mendakwa bahawa

min

ketahanan untuk putus

ialah

15 kg. dengan sisihan piawai

0.5 kg. Untuk menguji hipotesis

bahawa

p - 15 kg.

berlawanan alternatif

P < 15 kg.,

suatu sampel

rawak

dengan

50 tali akan diuji.

Kawasan

kritikal ditakrifkan

sebagai

,< A9.

(b)

30

P(X =

x)

...tV-

[MAAl6lEl -

11 -

(i)

Cari aras keertian bagi ujian tersebut.

(ii)

Can P(Ralat Jenis

II)jtka p= t4.8kg.

(iii)

Tentukan

nilai

kuasa

ujian.

Jelaskan jawapan _anda.

(c)

Seorang

penyelidik ingin

membandingkan

dua kumpulan pelajar yang

berbeza terhadap purata _masa untuk menyelesaikan tugas

tertentu.

Masa yang diperlukan

telah diperoleh untuk

setiap

kumpulan.

Dengan menggunakan ringkasan yang berikut.

Teknik

2.7 5.2

adalah

dari populasi

dengan

il

8

23.5 20.4

(i) uji

sama

ada kumpulan I dan kumpulan

2

varians yang sama. Gunakan ^aras keertian 5Vo.

(ii)

berdasarkan daripada keputusan

di

bahagian

(i), uji

pada aras

keetian

^2.5Vo

jika min

masa

untuk

menyelesaikan tugas tertentu

oleh kumpulan I

lebih

besar daripada kumpulan 2.

(iii) jika

pemboleh ubah

u

bertaburan khi-kuasa-dua dengan

n = 8, cari 7l

^dan

f3

yangsedemikian

p(Z? <(J

<

f3)=

^O.gO.

(100/r00)

4. (a)

Dua jenis

jam randik

telah digunakan untuk menyukat masa 12 orang

pelari

yang berlainan terhadap

larian tertentu.

Dengan menggunakan masa dalam saat yang ditunjukkan _dalam jadual

di

bawah.

Jam Randik

Pelari

678

Jenis 1

Jenis 2

59

⁴⁹

57

⁴⁶

54

⁴⁷

50

⁴⁸

49

⁵⁸

54

⁵⁴

64 63

66 76 70

66

60 72 72

⁶⁶

60 60

(i)

Cari anggaran

titik

bagi min perbezaan masa iaitu

d - jenis I - jenis

2.

(ii) Binakan selang keyakinan 95vo untuk min

perbezaan

masa.

Ulaskan jawapan anda berdasarkan masalah

di

atas.

31 ...rzt-

[MAAl6lEl .12

_-

(b)

Seorang pakar

ilmu sosiologi

mencatatkan bilangan tahun persekolahan,

x,

dan bilangan

jam

menonton televisyen

dalam

seminggu,

y, bagi

sekumpulan orang dewasa yang berumur lebih daripada 30

tahun.

Keputusan adalah seperti berikut.

I"= 113; )l=90; Zr=1172;2*'= 1653; Iy'=t230

(i)

Cari anggaran persamaan garis regresi kuasa dua terkecil.

(ii)

Tafsirkan kecerunan garis regresi.

(iii) Kira nilai

variasi di sekitar garis regresi.

(iv)

Adakah terdapat bukti pada aras keertian I7o bahawa bilangan

jam

_menonron televisyen dan bilangan tahun persekolahan mempunyai hubungan linear?

(c) (i) Andaikan

terdapat

suatu ujikaji multinomial

dengan

sel-sel

seperri yang ditunjukkan

di bawah.

Apakah

nilai

kekerapan yang diamati a, b, c,

d

dan e yang akan menghasilkan .Zz =

0 jika

kita menguji hipotesis bahawa

I, II, III, IV

dan

V

berlaku dalam nisbah

l0 :7

: 5

:4 :2

dengan sampel rawak bersaiz 840?

(ii)

Yang berikut ialah taburan bilangan beruang yang dikesan pada _{100 lawatan} bersiar-siar di tempat yang indah

di

sebuah Taman Nasional.

Bilangan beruang Bilanean lawatan

Uji

^pada aras keertian

0.05

sama ada data terhadap beruang yang dikesan ialah suatu sampel rawak daripada taburan Poisson dengan

F=

^0.5.

(100/100)

...r3t-

Bilangan tahun persekolahan,

x

Jam menonton

TV, y

32

Confidence Interval:

V+z o

tln

,l+r

c

i

^.Jna

Vt

b+

t- s

i4n t!

^tu

2

(X -Y)xtorz

^Sp

f-1

l"- ,',

(i o, r r,,',,' *' ;,,",,n, )

(::\-'- @

V"-

^Py)+

z",r'l-

n, ft,

r,,

1X -71x 2",,.^lL *o'

\n*

^fr,

I ', -t i.s - _S

(X -Y)!to,r..^lL*L

\n.

^fr,

b!z"tlbT- b)

-13-

FORMULA

MAA l61E

-

^{Statistik Untuk Pelajar Sains}

lMAAl6lEl

L/IMPIRAN

Test Statistic:

Z_ s-o G,,- br)-(p,- p,)

/ o/-

_^l2n

Z_

)(1

-t, .f

^)l

t

ln_

(p,

.4) 1) , _(x -V) -

^Ut,

-

^tty)

lo,- fr2

^{, oY}

rl-

\n,

^nv

.F tX -yl - Ut, - ttr) -:

f- (x Vl- - ttr)

sP

,( r t)

l;-;l /,/ dk-

r-T I"+-

\n. n,

/ ^ r\2

1"i.",

^I

1",' ,, )

q 2_ (nr

-l)sr- +\ny -l)sy ,tf ,r-

f

",'')' f "; )'

\41_ *1", )

n,

-l ,, -l , h

_-7\s2

o- ^sj ,=t1

z, =2@-il-,

^E

=np

sx;--Sw -oooOooo-

33