UNIVERSITI SAINS MALAYSIA z * 0 z "* a - EPrints USM

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama

Sidang 1991/92 Ok tober/November 1991

Masa [3 jam}

Jawab SEMUA soalan.

1. (a) Cirikan lokus titik-titik z pacta satah kompleks yang memenuhi

(b) Andaikan S

=

{z: 0 ~ Ny(iz) < 3n}. Lakarkan set Spada satah kompleks. Dapatkan set titik pedalaman, set titik had dan set titik sempadan untuk S. Tentukan sarna ada S adalah terbuka atau tertutup.

(e) Nilaikan dalam bentuk Cartesan ( i ) (-1 + y'j i)1/2

(d) Andaikan

( i i ) (-1 + v'3 i)3/2

fez)

dan

z) /2 IzI,

a

z

*

⁰

z ⁼

a

g(z) '{' (Ny z) / IzI,

a ,

z "*

a

z == 0 Tunjukkan bahawa f adalah

tetapi g tak selanjar pada

selanJar z = O.

padaz = 0, akan

(100/100)

2. (a) Tunjukkan u(x, Y) ⁼⁼ 2y(3 - 2x) merupakan fungst harrnonik pada satah kompleks. Dapatkan fungsi konjugat harmonik u.

. .. 2/-

137

(b) Jika

- 2 - [MAT 30ll

z ~ x + iy, dapatkan titik-titik z pada satah kompleks supaya f

terbezakan. Nilaikan f' dan tentukan keanalisian f pada titik-titik tersebut.

(c) Nilaikan

J

^{z Ny(z)dz}

G

dengan G sebagai tembereng garis dari z = 2(1 + I).

2

Z1 - 1 - i ke

(d) Dengan menggunakan cabang prinsipal (1 - z) ,¹ bahawa

tunjukkan

IzI < 1.

(100/100)

3. (a) Selesaikan settap persamaan berikut:

(i ) z

e -- 1 - v'3 i (ii) sin z = -2

(b) Dengan menggunakan antiterbitan, nilaikan

J

-2^{2 Z--1/2 dz}

dengan z-1/? sebagai cabang prinslpal dan lintasan kamiran lalah sebarang kontur yang terletak di sebelah atas paksi x dari z

=

-2 ke z

=

2.

1 2

(e) Andaikan f analisis pacta cakera tertutup Iz - z I s

o

domai.n D r, r > O.

yang mengandungi Tunjukkan bahawa

... 3/-

[( z ) o

- 3 -

Zn

1;

J

^{[(zO + reIB)dB.}

o

[MAT 301]

Gunakan keputusan ini untuk menilaikan 2n

J

^{LOg[Zi +}

_~

^e19)d9

o

(d) Andaikan [ fungsi seluruh dan padabulatan

H(r) = {z: Iz - z I - r}, .r > 0, modulus maksimum f, a

iaitu

M{r )

=

rnaks {If (z )I: z e B (r ) }, memenuhi

Tunjukkan bahawa

M(r) :s a in r,

[(n)(z)

. a

posi tif n.

o

a > 0,

untuk

r > O.

setiap integer

(lOa/lOa) 4. (a) Nilaikan setiap kamiran berikut:

(i)

2z •

e SIn z (Z+4)(Z--;i)

dz, dengan B sebagal

(ii)

(ii i)

bulatan berarah positif Izi

=

^2.

J

^{z s1n(2z)}---_.._._--- ^{dz, dengan B sebagai bulatan}

(z + ⁴⁾³ B

berarah positif Iz + 41

=

^1.

L

e2z

dz, dengan B sebagai bulat~n

z(z - 2)

berarah positif I zl ^3.

. .. 4/-

13~)

- 4 - [MAT 301]

(b) Andaikan R sebagai rant au yang tertutup, terbatas dan terkai t. Andaikan f

=

^{u + i v} fungsi anal isis pada pedalarnan R serta selanjar·pada R. Tunjukkan v rnencapai nllal maksirnum hanya pada _.sesuatu titik_. .z₀ = x₀ + iya yang terletak pada sempadan R, iaitu Z E BR.

a

(e) A~daikan f fungsi seluruh dan If(z)1 s Izi .untuk setlap z. Tunjukkan bahawa f berbentuk fez)

=

o:z, .10:1 =.1.

(100/100)

- 00000000 -

140