ZMC110-4 - KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR OKT NOV 1993

(1)

UNIVERSITI SAINS }'IALAYSIA

Peperiksaan Semester ^Pertama Sidang Akademik ^1993/94

Oktober/November ^l-993

ZMC 110/4 - Kal-kulus dan Aljabar Linear Masa : [3 ^jam]

t SiIa pastikan

bahawa

kertas

peperiksaan

ini

mengandungi ^ENAM rnuka

surat

^yang

bercetak

sebelum anda ^memulakanpeperiksaan

ini.

Jawab KESEMUA ENAITI sOAIaN.

KesemuEEfr-E5jE-Eijawab dj- dalam Bahasa Malaysia.

t_. (a) Selesaikan ketaksamaan-ketaksamaan

bagi semua nilai x:

l*l - I

(i)

< ⁰

l*l -

²

(ii1 l"-il

^<^2lx+21

yang berikut

(30/r00)

dan julat fungsi-fungsi

^Yang

( 1sl100 )

1.

I

2

f(x) boleh dibezakan f'(x) di situ.

(25 / ^LOO^I I

(b ) ^Tentukan berikut:

(c ) ^Anggap f(x)

Tentukan Jika ^yd,

domain

lz lx+

={3

₂

Ia"

sama ada

cari nilai

1

T?,XIO

,x

ol-x=z

I

213

) t-

(2)

1. (d)

-2

Dengan menggunakan Petua

berlkut:

lzMc ^LL}/4J

LrHopital dapatkan had-had

(i) (ii1

(a)

(b ) Jika

1im_ ⁽x-

n)

tan

X+,TT

(f,n x)-?

IIM x

X ^-|co

zx

1

2. Dapatkan semua

asimtot

bagi

x-r 2-

Y---

x

yang

sesuai. ⁾

graf f(x).

(30/100)

Kemudian lakarkan

( 5sl 100 )

30 satu^cm tel-ah kotakApa-

dan l-akarkan graf ^nYa.

f(x)

⁼

?J^

x-z

x

(15/100)

sama ada f(x) ganjil atau ^genap- domain dan julat bagi f(x).

semua ekstrema temPatan, titik lengkok-ba1as, kecengkungan ^dan asimtot. ^(Gunakanapa-apa

ujian

)4

_t6-2,

J

(30 / ^r_00⁾

a

tentukan

⁽

i

⁾

(ii1 (iii)

a ( c ) Satu kotak tak bertutup telah dibuat ^darj-

keping kad manila berukuran ¹⁶cm lebar dan

panjang. Segiempat sama di setiap bucu ^kad dipotong dan dilipat sisinya. (Lihat rajah- ⁾ kah saiz segiempat sama tersebut supaya satu yang mempunyai isipadu terbesar diperolehi?

I

c!1,

t

f

i!

L--

j:!{"1':,*l

l.*_---3g cto_---J

L-,,-, I

a 16

(al

214

(b)

(3)

a

lzMc ^rL9/41 -3

3. ⁽a ) Dengan menggunakan teknik kamiran bahagian ^demi bahagian tunjukkan:

rL

| *f"(x)dx = f'(1) + ft(-1) + f(-1) - f(f)

J-1

(30/100)

( b

) Tentukan kamiran tak tentu, kamirart tentu

^dan kamiran

tak wajar

^yangdiberikan:

l.- ^a.

(i) lJtanx sec'xdx

)

(ii)

I

| , *

_a*

) x" - 4x +

^B

r2

rx

(iii) .Jffidx

^,JX

.fod*

(avj |

-

r_@ (2x_l)3

| ,n- -,712

(v) jx{ (" * ) d*

Gunakan apa-apa teknik kamiran yang sesuai.

( 70l100 )

t

. 4. ^(a) Tunj ukkan

Iim

n-+o

Kemudian

dan keput

o

TL

ft=1

bahawa

/ r\n l1 +:l \ nl

₌^e

dengan menggunakan

ujian

perbandingan ^had usan

di atas

tentukan ^sama^ada

siri

/ r\n | (

1\".|

(r.;) Ll+\-r)J

2n

menumpu atau ^mencapah.

(40/100)

215

(4)

4. (b)

I zMc 110/4 ]

-4

Gunakan uj ian nisbah atau ^ujian punca untuk ^menen- tukan sama ada siri-siri di bawah menumpu atau mencapah. Gunakan ujian lain jika perlu.

?

^(nt⁾²

(i)

n=I

@

IA) rL

D=1

(c)

(r-)

@_L

k=1

(ii)

@

I

k=1

5. ⁽a

)

^Tunjukkan

f (nl J

L

,

^T5'TI

1on12n+l1n

lsin xl

=

,.k+1 ^k+3

- ^L

t

_il-ic+Tt

-r )k*t tl

k'

nn

(30/r00) Bagi siri-siri berselang yang diberikan, ^tentukan sama ada tiap-tiapnya ^menumpusecara mutlak, ber-

syarat atau

mencapah. Bagi

siri (i)

^gunakan

ujian siri berselang.

^Apa-apa

ujian

boleh digunakan bagi

a

(b) Cari

( i) (ii) (iii)

pembez aan

f(x) =

[x

f(x) =

^f,n y=

bagi ^yang + csc ^(x,3 (.on xx)

berikut:

+ 3)l

-?^"

(30 / r00 )

( 20l 100 )

( 50/ 100 )

...5/- ,x<0

,x=0

rX>0 -cos

I

cos

a;

d

(iv) f(x) =Ji

216

(5)

5.

I?MC LI1/41

-5

(c)

Suhu

T di (x,y,z)

^merupakan

suatu fungsi f(x,Y,z)' Jika koordinat x dan y

meningkat mengikut ^masa dengan

kadar 4 m/s dan koordinat z pula

^menurun

mengilcut masa dengan

kadar 3 m/s,

^maka

cari

^dT/dt

di

tahap

di

^mana

#= 4,

-=l^ATdy dan

3!=

_dz ^s

rl

6. (a) ia

of

rI<

4

I

0

;et:

tr ece

1

0 0

Bagi s

matri-k baris ⁽

matrik

^yang

ebut

^bentuk

r terturun.

i71

,2

|

3J

rp rs(

on

2 4 1

0 0

I 1

(30/roo) diberi tentukan ^sama^ada baris ecelon ^sahaja ^atau

(ii )

L20 010 000

t

10 01 00

I

(i)

(iii)

02 05 r-2

(iv)

10 0l 00

1

-2

3

(v)

10 02 2000 0 r2

⁰

Bagi setiap matrik dengan menggunakan

bentuk baris ecelon

( b ) Diberi

r= t:

yang berbentuk baris

^ecelon,

operasi baris

asas

turunkan

^ke

terturun.

(20/LO0)

:l

^dan ^B

= [ :t

^]

o

( i ) Cari nilai a ^jika B adalah matrik ^songsangan bagi A.

(ii) cari (BAB)-1, ^A-2dan ^(10A)-2.

(iii) Dapatkan matrik (a+e)t dan ^(5ABA)t.

( iv ) Hitungkan nilai det ⁽^2A+ 38 ₎t.

(50/100)

217

(6)

IzMc Ir0/41 a

-6

6.

⁽^c

) Selesaikan sistem

^persamaan

yang berikut

^dengan

menggunakan Petua ^Cnamer.

4x +5y

²

llx+y+22=J x+5y+22=l

(3O/ 100

) ,

- ^oooOooo

a