ฟัซซีเซต

ตรรกศาสตร์ก ากวม

8.3 ฟัซซีเซต

ฟัซซีเซต เป็นเซตที่มีขอบเขตที่ราบเรียบ ทฤษฎีฟัซซีเซตจะครอบคลุมทฤษฎีเซตแบบฉบับ โดย ฟัซซีเซตยอมให้มีค่าความเป็นสมาชิกของเซตระหว่าง 0 และ 1 ในโลกแห่งความเป็นจริงเซตไม่ใช่มีเฉพาะ เซตแบบฉบับเท่านั้น จะมีเซตแบบฟัซซีด้วย ฟัซซีเซตจะมีขอบเขตแบบฟัซซีไม่ใช่เปลี่ยนแปลงทันทีทันใด จากขาวเป็นด า ตัวอย่างเช่น เซตของคู่แต่งงานที่มีความสุข จะเห็นได้ว่าสมาชิกในเซตนี้จะไม่มีเฉพาะคู่

แต่งงานที่มีความสุขระดับเดียวกันหมด บางคู่จะมีความสุขมาก บางคู่มีความสุขน้อย แตกต่างกันไป การใช้

เซตแบบดั้งเดิมจึงไม่เหมาะสม

ยกตัวอย่างเกี่ยวกับความอ้วน นิยามค าว่าคนอ้วนในเซตทวินัยอาจก าหนดเป็นคนที่มีน้ าหนักตั้งแต่

70 ถึง 120 กิโลกรัม โดยนิยามแบบฟัซซีเซตอาจก าหนดเป็นคนที่มีความอ้วนประมาณ 80 กิโลกรัม ซึ่งเป็น การให้นิยามที่ไม่แสดงถึงขอบเขตที่แน่นอน ดังแสดงในภาพที่ 8-5

ความรู้เบื้องต้นทางปัญญาประดิษฐ์ 172 ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ชูพันธุ์ รัตนโภคา ภาพที่ 8-5 การก าหนดค่าความเป็นสมาชิกของเซตทวินัยและเซตแบบฟัซซี

8.3.1 นิยามของฟัซซีเซต

ก าหนดให้ X เป็นเซตที่ไม่ว่าง ฟัซซีเซต A สามารถแสดงลักษณะเฉพาะได้จากฟังก์ชัน ความเป็นสมาชิก

𝜇_𝐴(𝑥): 𝑋 → [0,1]

เมื่อ ^μA สามารถตีความเป็นค่าของความเป็นสมาชิกภาพของตัวประกอบ x ในฟัซซีเซต A ส าหรับแต่ละฟัซซีเซต (อ่านว่า “x เป็นสมาชิกของ X”) สามารถเขียนเป็นเซตของคู่ล าดับ (Tuples)

𝐴 = {(𝑥, 𝜇_𝐴(𝑥))|𝑥 ∈ 𝑋}

เมื่อ A หมายถึงสมาชิกของฟัซซีเซต (Set Membership), μ_A หมายถึง ฟังก์ชันความเป็น สมาชิก (Membership Function) บางครั้งแทนด้วย A(x) และ X หมายถึงเอกภพสัมพัทธ์ (Universe) หรือประชากร

ถ้า X = {x1, x2, x3, ... ,xn} เป็นเซตจ ากัด และ A เป็นฟัซซีเซตใน X ซึ่งเป็นชนิดวิยุต (Discrete) และจ ากัด สัญกรณ์ (Notation) ของฟัซซีเซต เขียนได้เป็น

𝐴 = {𝜇_𝐴(𝑥₁)

𝑥₁ +𝜇_𝐴(𝑥₂)

𝑥₂ + ⋯ +𝜇_𝐴(𝑥_𝑛)

𝑥_𝑛 } = {∑𝜇_𝐴(𝑥_𝑖) 𝑥_𝑖

𝑛

𝑖=0

}

และสามารถแสดงฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของเซตฟัซซีแบบวิยุต A ได้ดังภาพที่ 8-6

ความรู้เบื้องต้นทางปัญญาประดิษฐ์ 173 ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ชูพันธุ์ รัตนโภคา ภาพที่ 8-6 ฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของเซตฟัซซีแบบวิยุต A

ถ้าเอกภพสัมพัทธ์ X เป็นค่าต่อเนื่อง (Continuous) สัญกรณ์ (Notation) ของฟัซซีเซต A เขียนได้เป็น

𝐴 = {∫𝜇_𝐴(𝑥)

𝑥 }

และสามารถแสดงฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของเซตฟัซซีแบบต่อเนื่อง A ได้ดังภาพที่ 8-7

ภาพที่ 8-7 ฟังก์ชันความเป็นสมาชิกของเซตฟัซซีแบบต่อเนื่อง A

ความรู้เบื้องต้นทางปัญญาประดิษฐ์ 174 ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ชูพันธุ์ รัตนโภคา ทฤษฎีฟัซซีเซตสามารถแก้ปัญญาข้อจ ากัดของเซตแบบดั้งเดิมได้ โดยฟัซซีเซตยอมให้มีค่า หรือดีกรีของความเป็นสมาชิก (Degree of Membership) ซึ่งแสดงด้วยค่าตัวเลขระหว่าง 0 และ 1 หรือ เขียนเป็นสัญลักษณ์ [0, 1] โดย

 0 หมายถึง ไม่เป็นสมาชิกในเซต และ 1 หมายถึง เป็นสมาชิกในเซต

 ค่าระหว่าง 0 กับ 1 เป็นสมาชิกบางส่วนในเซต

การท าเช่นนี้ ท าให้เกิดความราบเรียบในการเปลี่ยนจากพื้นที่นอกเซตไปอยู่ในเซตของ สมาชิกต่างๆ โดยมีฟังก์ชันสมาชิก (Membership Function) เป็นฟังก์ชันจัดเทียบ (Mapping Function) วัตถุในโดเมนใด ๆ ให้เป็นค่าความเป็นสมาชิกในฟัซซีเซต

ความเป็นสมาชิกส าหรับ ฟัซซีเซต มีจ านวนระดับความเป็นสมาชิกเป็นอนันต์ คือค่า ต่อเนื่องในช่วงตั้งแต่ 0 ถึง 1 ซึ่งครอบคลุมการก าหนดสมาชิกแบบฉบับ และเซตแบบฉบับหรือเซตทวินัย (crisp set) จะก าหนดตามดังสมการต่อไปนี้

𝜇_𝐴(𝑥) = {1, 𝑥 ∈ 𝐴 0, 𝑥 ∈ 𝐴

เมื่อ A เป็นเซตแบบฉบับ หรือ เซตแบบทวินัย, x เป็นสมาชิกในเซต, μ_A เป็นค่าความ เป็นสมาชิกในเซต และ ^μA(𝑥) เป็นฟังก์ชันความเป็นสมาชิกในเซต A

8.3.2 การด าเนินการทางฟัซซีเซต

การด าเนินการของฟัซซีเซตมีคุณสมบัติเหมือนกับเซตโดยทั่วไป มีการด าเนินการ (operation) อยู่ 3 อย่าง คือ Union, Intersection และ Complement

8.3.2.1 ยูเนียน (Union) จะเป็น OR operation ในสมการ แสดงตัวอย่างดังภาพที่ 8-8

ภาพที่ 8-8 ยูเนียนของฟัซซีเซต A และ B

ความรู้เบื้องต้นทางปัญญาประดิษฐ์ 175 ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ชูพันธุ์ รัตนโภคา 8.3.2.2 อินเตอร์เซกชัน (Intersection) จะเป็น AND operation ในสมการ แสดง ตัวอย่างดังภาพที่ 8-9

ภาพที่ 8-9 Intersection ของฟัซซีเซต A และ B

8.3.2.3 คอมพลีเมนต์ (Complement) แสดงตัวอย่างดังภาพที่ 8-10

ภาพที่ 8-10 Complement ของฟัซซีเซต A

ความรู้เบื้องต้นทางปัญญาประดิษฐ์ 176 ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร. ชูพันธุ์ รัตนโภคา 8.3.3 คุณสมบัติของเซตฟัซซี

เซตฟัซซีมีคุณสมบัติตามเซตแบบฉบับ ได้แก่

 Commutativity 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴

 Associativity 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶

 Distributivity 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

 Idemptency 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝐴 และ 𝐴 ∩ 𝐴 = 𝐴

 Identity 𝐴 ∪ 0 = 𝐴 และ 𝐴 ∩ 𝑋 = 𝐴 𝐴 ∩ 0 = 0 และ 𝐴 ∪ 𝑋 = 𝑋

 Transitivity ถ้า 𝐴 ⊆ 𝐵 และ 𝐵 ⊆ 𝐶 แล้ว 𝐴 ⊆ 𝐶

 Involution 𝐴̿ = 𝐴