ก FF

(1)

ก

: กก

ก

ก $$

%&ก '#ก ()'#*+ x₁, x₂, x₃.

,-./$ 0,/ก/1 ก

*2ก .)ก/1 กก '#. ก' %'3ก /2*&'#' กกก 4 53. ' $. '3'#

/2 #6'.,-./$' '#'4ก 7.

!6.กก/$ *ก ,-.' '#7$'/1 '#01 ,-.2

,-./$0'30)' '# $7 /2,-./$0 0)' '# $7

*+7*7.'1 7$)$,-./$0'32ก/6ก/$2 7$)$ก '#

4ก 42*&'# -$$6?

ก)02'"ก96. *. ก/

1. $ )$('$.01 (0, 0, 0) *+('$%

2.'3ก 6-*(0, 0, x) 1 x > 0, *+('$ < %2)$,-./$=7*

=/1 ก' '# ก4ก 7.

3.('$%=7**+7*7.01 ก ก ()'#$ก(0, 1, 1)

'1 (0, 2, 2) %27$)$,-./$=7*2' %'3'# กกก

=' '# ก6'.()'#64 ก $ก'1 7.

4.4('$> ก ก ()'#7$$ก(0, x, y) 1 x ≠ y

> 0 *+('$ < %2)$,-./$=7*=' '# กกก กก)$

6'.'/1 ก ก ()'#$ก กก4ก ก $ . ก ()'#$กก<*+('$ <.) $ (1, 1, 2)

)ก('$> ก

● ก))02'"ก/$) =(7*>'('$%/2('$ <

7. ก/$)01 ('$ (1, 4, 5) /2(2, 4, 6) *+('$%

● $7ก< ก'-*)7*.))4*+7*7./( ก

● ('$ (5, 7, 9) 0)*+('$%'1 7$? ('$(15, 23, 30) *+

('$%'1 ('$ <?

● 6*? ก0&@"% )$ )6ก')$('$> ก *+

('$%'1 ('$ <96.,/ )ก (nim-sum) (6'.,-./$=

'ก/6ก/$27.9$ ก/$)01 ,-./$0()&0$,/ )ก> () '#6ก *?

(2)

,/ )ก

(' ()< )ก x 2ก>.)/>A 7.%'3

x = x_m2^m + x_m-12^m-1+ ... + x₁2 + x₀

1 x_i *+ 0 '1 1 >.) (x_mx_m-1...x₁x₀)₂

) $$ 30 = 1×16 + 1×8 + 1×4 + 1×2 = (11110)₂.

: ก (nim-sum) > (x_mx_m-1...x₁x₀)₂ก (y_my_m-1...y₁y₀)₂01 (s_ms_m-1...s₁s₀)₂/2>.) (x_mx_m-1...x₁x₀)₂ (y_my_m-1...y₁y₀)₂= (s_ms_m-1...s₁s₀)₂1 (' ก k, s_k = x_k + y_k (mod 2) ก/$) ก'3)$ s_k = 1

=.0$> x_k'1 y_k%'3)0$*+'3$7$6$40-$

) $> ,/ )ก

) $$ (10110)₂ (1101)₂= (11011)₂ 22 = 10110₂

13 = 1101₂

,/ )ก = 11011₂ = 25

,/ )ก ก*/'-$ (associative), x  (y  z) = (x  y)  z,

/2 ก/ (commutative), x  y = y  x.

0 *+ ก/ก&"ก )ก

ก()*+),ก,ก )ก> ()4, x  x = 0.

> L. Bouton (1902)

('$ (x₁, x₂, x₃) 6ก*+('$% ก<$ 1 ,/ )ก> ก() 0$*+@-", x₁ x₂ x₃ = 0.

) $$ ('$ (5, 7, 9) 0()&0$,/ )ก7.

5 = 101₂ 7 = 111₂ 9 = 1001₂

nim-sum = 1011₂ = 11

%2)$0$,/ )ก7$6$@-" ('$4*+('$ <

> L. Bouton (1902)

=.' '# ก 7 '#กก '# 9 '# 7.('$6'$*+

(5, 7, 2) 53,/ )ก*+@-"

5 = 101₂ 7 = 111₂ 2 = 10₂

nim-sum = 000₂ = 0

('$401 ('$%

กก4ก/$)=(6.ก ก กก)$ก 7.

(3)

%-"> L. Bouton

ก('6'. 5> ('$,/ )ก*+@-"/26'.

5< %-"9) 4

ก('$. -$65 %2('$. 0  0  ...  0 = 0

(' ('$6 D 65 =/1 ก7*('$65

/1 กกก%&'/ก.5. (most significant) ()'3

& ('$*+()0 */0$)/>6'.'/ก 1()'3*+/>0-$

($47.%2' '# ก ('$ก$ ' ()'#กก)$

('$'/' '#

(' ('$6 D 65 ก/1 ก> ('$ก/$)(7*-$('$

65

ก%-"96.ก>.

)$('$ (x₁, x₂, ...) 65 531 /1 กกก '#'3ก /.)0*+('$6 (WLOG) 97$ก x₁*/7**+ x₁'

0$. ก)$ x₁1 ก('$4 -$65 7.)$ x₁ x₂ ... = 0 = x₁'  x₂ ... $=.6.'/กก ก 2'/1 x₁ = x₁'

53>.ก กกก/$ก. ' ก $. '3'#

ก 47.)$ 5 01 5> ('$%4' /25 01 5> ('$ <

ก)$())ก/1 กก('$ <2$ก ()'3*ก -$

'/ก5.0) 4ก('$ <2ก/6ก/$2 $. 0

กกก/$/ ก

2ก 27>34=./$กกก/$ / ?

Bouton 2)ก/$กกก/$ / )$ $ก

$. ก ()'#กก)$'3'# /1 ก/$'1 ก

*ก $1 7'$ก<0-$$ -./1 กก' 6'.'/1 '3ก () '#ก ก)$'3'#6'.' '#6'.'/1 @-"'1 '3 $ก '/1 ()

*+/>0$/2ก '3'#

)กก/$)6.7.%2ก/$ก7$ก 0 7$6'.,-./$' '#'/1 '3'#6$/2ก /20-$$ -.7$=' '#กก '# ก 6'.

'7*6ก'37.

EFก' 1.2

1. ',/ )ก> 23 /218? '0$> x (6'.,/ )ก> 38 /2x

01 25?

2. 'ก/6ก/$24'> ก$ 7*4

2.1 กก >11, 18 /225 '#

2.2 กก >15, 18, 20 /221 '#

2.3 ก'.ก >4, 12, 18, 19 /220 '#

3. '0( > ก62.1, 2.2 /22.3 !6.กก/$ / ?

(4)

EFก' 1.2

4. ก 4/ (Nimble): ก2ก*2ก .)$ '/$ กก$

0, 1, 2, 3, ... )'#(ก()/6$ $/2$ #6'.)7.กก)$

'3'# 01 ก/1 ก'#'3'#/.)> 7*5. $. '3

$ '1 กก)$'3$ ก<7. $. 7$6'.'#กก2 ,-./$ 0,/ก /$ ก /1 '#ก'# -$6$ 5.01 $ 0 !6.กก/$

*ก ,-..*+,-.2

'ก/6ก/$ก 4/ก2>./$4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

EFก' 1.2

5. ก%/ก$(Turning Turtles): กH. W. Lenstra '#n

'#)/( ก 9'.'#*+')'1 *+ก. 6'.'< $$

*2ก .)ก%/ก'.'# -$>)ก')*+ก. %. ก4 ,-./$ 22%/ก'# -$5. ก'3'# 53 %/กกก. *+') '1 ')*+ก. ก<7. ('$> ก.01 ก'#4'=-ก%/ก*+ก.

4' ) $> ('$.> ก$

T H T T T H T T H T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

'ก/6ก/$2> ,-./$กก>..

EFก' 1.2

6. ก. 0 (Northcott's game): ('$6ก. 0 *+ก2ก 'กก $/2=)'ก('3)/2'ก>)'3) ,-./$6.'ก>) ก,-./$>)=/1 ก'ก>)6=)6ก<7. $'..'ก>)7*=) 1 /2'.'ก>)>.'ก( -$6=))ก 6( )ก,-./$

6.'ก( ก,-./$(=/1 ก'ก(6=)6ก<7.6/ก&2) ก ,-./$40-$,/ก/$ ,-./$.*+,-.2

ก)$ก47$ 0/. ก 1 7>ก %2,-./$ 'ก7*- 9 ก/ ('$ กก4กก/$)*+ก/$ 7$ %2,-./$

>)/2,-./$(/1 ก6ก'กก$ก & ('$$ก

EFก' 1.2 ) $ก. 0

(5)

EFก' 1.2

7. ก 7(Staircase Nim): 9Sprague 7n >4 '#) -$

>4 6'.(x₁, x₂, ..., x_n) ()'#x_j'# >4j, j = 1, 2, ..., n ก 7*2ก .)ก/1 ก'#ก>4 j )/>4j-1

'# -$ %14(>40) 2=-ก กกก ก /1 '#ก'# -$

%14 ,-./$%/ก/$ ,-./$0.*+,-.2!6.กก/$ *ก ')$('$ (4, 3, 2, 1, 4, 5) *+('$%'1 ('$ <> ก 7?

')$('$ (1, 4, 3, 3, 2) *+('$%'1 ('$ <> ก 7?

)$ (x₁, x₂,..., x_n) *+('$%ก<$ 1 ()'# >4 7001 ก '#6)ก*+('$%

EFก' 1.2

8. ก> "(Moore's Nim): ก>6-*)7*) ( 9E. H. Moore (1910) กNim_kก('ก '#n ก ก/$6.'/กก)ก $,-./$=/1 กก ' '# ก7. $ . k ก 1 k 0$0) $. ,-./$. ' '# ก'3'#ก ก '#7$)$

')$('$ (4, 3, 2, 4, 5, 6, 4, 5) *+('$%'1 ('$ <> Nim₃? ')$('$ (4, 3, 2, 4, 5, 6, 4, 5) *+('$%'1 ('$ <> Nim₄?

> " ก/$))$ ('$ (x₁, x₂, ..., x_n) *+('$%6ก Nim_kก<$ 1

x₁=3x_n>6/>A2 /21 )กก6Ak + 1 97$0) ,//%"01 @-"