บทที่10 อนุกรมฟูเรียร Fourier Series

(1)

อนุกรมฟูเรียร

ภาคตน ปการศึกษา 2549

บทที่ 10 อนุกรมฟูเรียร

Fourier Series

การแทนฟงกชันดวยอนุกรม อนุกรมเทยเลอร ∑

∞

=

= − 0 n

n )

n (

! n

) a x )(

a ( ) f

x ( f

อนุกรมฟูเรียร ∑

∞

= +

+

=

1

n n n

0 (a cosnx b sinnx) 2

) a x ( f

ตัวอยางอนุกรมเทยเลอร

+L + + +

=

∑

^∞

= x3!

! 2 x x

! 1 n

e x ² ³

0 n x n

+L

− +

−

− =

=

∑

^∞

= x6!

! 4 x

! 2 1 x )!

n 2 (

x ) 1 x (

cos ² ⁴ ⁶

0 n

n 2 n

+L

− +

− + =

=

∑

^∞ −

=

+

! 7 x

! 5 x

! 3 x x )!

1 n 2 (

x ) 1 x (

sin ³ ⁵ ⁷

0 n

1 n 2 n

10.1 ฟงกชันเปนคาบ (Periodic Functions)

บทนิยามที่ 10.1.1

f(x)

เปนฟงกชันเปนคาบ ก็ตอเมื่อ มีจํานวนจริงบวก T ที่ทําให

f(x+T)=f(x)

สําหรับทุก x และเรียก T วา คาบ (period) ของ

f(x)

กราฟของฟงกชันเปนคาบที่มีคาบเทากับ T จะมีลักษณะซ้ํากันใน ชวงความยาว T

ฟงกชัน sin nx และ cos nx มีคาบเทากับ

2π

x sin ) 2 x sin( + π =

x 2 sin ) 4 x 2 sin(

) 2 x ( 2

sin + π = + π =

x 3 sin ) 6 x 3 sin(

) 2 x ( 3

sin + π = + π =

กรณีทั่วไป

sinn(x+2π)=sin(nx+2nπ)=sinnx

และ

cosn(x+2π)=cos(nx+2nπ)=cosnx

K K ,cosnx ,sinnx , ,

x 3 sin , x 3 cos , x 2 sin , x 2 cos , x sin , x cos , 1

เปนฟงกชันซึ่งมีคาบเทากับ

2π

บทที่ 10 อนุกรมฟูเรียร

10-3

บทนิยาม

1.

f(x)

เปน ฟงกชันคู (even function) ก็ตอเมื่อ

f(−x)=f(x)

ทุกคา x ตัวอยาง

f(x)=x²

) nx cos(

) x (

f =

2.

f(x)

เปน ฟงกชันคี่ (odd function) ก็ตอเมื่อ

f(−x)=−f(x)

ทุกคา x ตัวอยาง

f(x)=x

) nx sin(

) x (

f =

ฟงกชันคู ฟงกชันคี่

10-4

สมบัติบางประการของฟงกชันคูและฟงกชันคี่

1. (ฟงกชันคู)(ฟงกชันคู) = ฟงกชันคู

2. (ฟงกชันคู)(ฟงกชันคี่) = ฟงกชันคี่

3. (ฟงกชันคี่)(ฟงกชันคี่) = ฟงกชันคู

4. (ฟงกชันคู)

±

(ฟงกชันคู) = ฟงกชันคู

5. (ฟงกชันคี่)

±

(ฟงกชันคี่) = ฟงกชันคี่

6. ถา

f(x)

เปนฟงกชันคูแลว ∫

=

∫

−

c 0 c

c

dx ) x ( f 2 dx ) x ( f

7. ถา

g(x)

เปนฟงกชันคี่แลว ∫

− c =

c

0 dx ) x ( g

8. ถา

f(x)

เปนฟงกชันคี่

แลว

L x sinn ) x (

f π

เปนฟงกชันคู

Lx cosn ) x (

f π

∫

^π ⁼ ^π

=

−

L 0 L

n L dx

Lx sinn ) x ( L2 f Lxdx sinn ) x ( L f b 1

0 Lxdx cosn ) x ( L1 f

a ^L

n=

∫

L π =

−

9. ถา

f(x)

แลว

dx 0

Lx sinn ) x ( L1 f b

L

n=

∫

L π =

−

∫

^π ⁼ ^π

= ^L ^L

n dx

Lx cosn ) x ( L2 f Lxdx cosn ) x ( L1 f a

(2)

10.3 อนุกรมฟูเรียรของฟงกชันที่มีคาบ

2π

(Fourier Series of Functions with Period of

2π

)

ฟงกชันเปนคาบ

f(x)

มีคาบเทากับ

2π

∑

^∞

=

+ +

1

n n n

0 ( a cosnx b sinnx) 2

a

เรียกวา อนุกรมฟูเรียร ของ ฟงกชัน f(x) เทียบกับเซต {

1,cosnx,sinnx|n=1 ,2 ,3 ,_K

}

a0

=

_π¹

∫

π π

−

f(x) dx

an

=

π1 ^π

∫

π

−

f(x) cos nx dx n = 1, 2, ...

bn

=

π1 ^π

∫

π

−

f(x) sin nx dx n = 1, 2, ...

,K a , a ,

a₀ ₁ ₂

และ

b₁ ,b₂ ,b₃ ,_K

เรียกวา สัมประสิทธิ์ฟูเรียร (Fourier coefficients) ของ

f(x)

ตัวอยางที่ 10.3.1 จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชันซึ่งนิยามโดย

π π

−

=x, <x<

) x (

f

และ

f(x+2π)=f(x)

วิธีทํา

0 dx 1 x

a₀ =

=π ^π

∫

π

−

0 nx dx cos π x

a 1 ^π

n =

∫

π =

−

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧− +

= π

=π

∫

^π

∫

π

− π

π

− π

π

− cosnxdx

n nx 1 ncos x 1 dx nx sin 1 x b_n

(

_n^cos^nx _n^cos^nx

)

1 nx n sin nx 1 ncos x 1

2 −π −π

= π

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡− +

=π

π π

− n

) 1 ( 2 n

n cos

2 π = − ⁿ⁺¹

−

=

อนุกรมฟูเรียรของ

f(x)

คือ

∑

^∞

=

− + 1 n

1 n

nx n sin ) 1 2 (

=

}

44x sin 33x sin 22x x sin {sin

2 − + − +L

10-7

กราฟของผลบวกยอยของอนุกรมคือ ∑

=

− + N

1 n

nx n sin ) 1 2 (

ในชวง

−π<x<π

โดยใชจํานวนพจนเปน

N=1

,

N=5

และ

N=10

จะเห็นวากราฟของอนุกรมมีลักษณะใกลเคียงกับกราฟของ

π π

−

=x, <x<

) x (

f

มากยิ่งขึ้นตามจํานวนพจนของอนุกรมที่

เพิ่มขึ้น

10-8

ขอสังเกต

ที่จุด

x=0 ,±2π ,±4π ,_K

ซึ่งฟงกชัน

f(x)

หาคาไดและตอเนื่อง อนุกรมฟูเรียร ∑

∞

=

− + 1 n

1 n

nx n sin ) 1

2 (

ลูเขาสู 0

ซึ่งมีคาเทากับ

f(x)

ที่จุด x เหลานี้

ที่จุด

x=±π ,±3π ,_K

ฟงกชัน

f(x)

ไมตอเนื่องและไมนิยาม อนุกรมฟูเรียร ∑

∞

=

− + 1 n

1 n

nx n sin ) 1

2 (

ลูเขาสู 0

[f(x ) f(x )]

2

1 + + −

ณ จุด x เหลานี้

หมายเหตุ

f(x ) lim f(x) x0 0 x→ +

+ =

และ

f(x ) lim f(x)

x0 0 x→ −

− =

(3)

ตัวอยางที่ 10.3.2 จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชันซึ่งนิยามโดย

⎩⎨⎧

π

<

< <

<

π

= 12,, − 0 xx 0 )

x (

f

และ

f(x+2π)=f(x)

a 1 1dx 2dx 3 0

0

0 =

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

=π

∫

^π

∫

π

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

=π

∫

^π

∫

π

− 0

0

n 1 cosnxdx 2cosnxdx a

0 nx nsin nx 2

nsin 1 1

0

0 ⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=π ^π

π

−

,

n=1,2 ,3,_K

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

=π

∫

^π

∫

π

− 0

0

n 1 sinnxdx 2sinnxdx b

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛− −

=π ^π

π

− cosnx n nx 2 ncos 1 1

0 0

π

−

= − π π

= −

n ) 1 ( 1 n n cos

1 ⁿ

,

n=1 ,2 ,3,_K

f(x)

คือ ∑

∞

=

−

− +π

1 n

n nx n sin

) 1 ( 1 1

2 3

=

}

5 x 5 sin 3

x 3 sin 1

x {sin 2 2

3 + + +L

+π

N = 10

ขอสังเกต

ที่

x=0 ,±π ,±2π ,_K

ซึ่งฟงกชัน

f(x)

ไมตอเนื่องและไมนิยาม อนุกรมฟูเรียร ∑

∞

=

−

− +π

1 n

n nx n sin

) 1 ( 1 1

2

3

ลูเขาสู

₂³

[f(x ) f(x )]

2

1 + + −

ณ จุด x เหลานี้

ที่จุด

x=2π

ซึ่งเปนจุดที่ฟงกชัน

f(x)

ตอเนื่อง สมมติวาอนุกรมฟูเรียร

∑

^∞

=

−

− +π

1 n

n nx n sin

) 1 ( 1 1

2

3

ลูเขาสูคา

)

(2 f π

จะได

2 } sin7 7 1 2 sin5 5 1 2 sin3 3 1 {sin2 2 2 3 2) (

f π+ π+ π+ π+L

+π π =

)

7 1 5 1 3 1 1 2( 2 3

2 − + − +L

+π

=

_L

7 1 5 1 3 1 1

4 = − + − + π

10-11

f(x)

ตอเนื่องเปนชวง (piecewise continuous) บน ชวง I ใดๆ ก็ตอเมื่อ

เราสามารถแบงชวง I นี้ออกเปนชวงยอยๆ ไดเปนจํานวนอันตะ และ

f(x)

ตอเนื่องภายในแตละชวงยอยนี้

สําหรับ

x₀

ซึ่งเปนจุดปลายของชวงยอยที่ฟงกชัน

f(x)

ไมตอ เนื่องนั้น จะตองหาลิมิตซาย

f(x ) lim f(x)

x0 0 x→ −

− =

และลิมิตขวา

f(x ) lim f(x) x0 0 x→ +

+ =

ได

f(x)

เปนฟงกชัน ปรับเรียบเปนชวง (piecewise smooth) บนชวง I ใดๆ ก็ตอเมื่อ

) x (

f

และ

f′(x)

ตอเนื่องเปนชวงบนชวง I นั้น

ทฤษฎีบทที่ 10.3.1 ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรมฟูเรียร

ถา

f(x)

เปนฟงกชันเปนคาบที่มีคาบเทากับ

2π

และ

f(x)

ปรับเรียบเปนชวงบน

[−π,π]

แลว

f(x)

ลูเขาสู

f(x)

ที่ทุกจุดซึ่ง

f(x)

ตอเนื่อง และลูเขาสูคาเฉลี่ยของลิมิตซายและลิมิตขวา

ของ

f(x)

ที่ทุกจุดซึ่ง

f(x)

ไมตอเนื่อง

10-12

ตัวอยางที่ 10.3.3 จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชัน

⎩⎨

⎧ −π<< <<π

= sincosxx,, 0 xx 0 )

x (

f

และ

f(x+2π)=f(x)

dx ) x ( 1 f

a₀

∫

π π π−

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

= π

∫ ∫

π π

− 0

0

dx x sin dx x 1 cos

} ] x [cos ]

x {[sin 1

0

0 π

π

− −

=π

= π2

∫

π π

− +π

=π

0

0 2

1 1 cos xdx 1 sinxcosxdx a

∫

π π

− + + π

=π

0 0

dx x 2 21 sin 2 2xdx

cos 1 1

[

⁺

]

₋_π⁺ _π_⎢⎣^⎡ _⎥⎦^⎤^π

=π

0 0

22x cos 21 42x sin 2 x 1

2 1

=

(4)

1 n≠

dx nx cos ) x ( 1 f

a_n

∫

π π π−

=

∫

π π

− +π

= π

0 0

dx nx cos x 1 sin dx nx cos x 1 cos

∫

π

−

+ +

π −

= 0

dx } x ) n 1 2cos(

x 1 ) n 1 2cos(

{1 1

∫

π

− + π +

+ 0

dx } x ) n 1 2sin(

x 1 ) n 1 2sin(

{1 1

0 ) n 1 ( 2

x ) n 1 sin(

) n 1 ( 2

x ) n 1 1 sin(

π

⎥−

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+ + +

−

=π

π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

− − + + +π

) 0 n 1 ( 2

x ) n 1 cos(

) n 1 ( 2

x ) n 1 1 cos(

) } 1 n ( 2

) 1 n cos(

1 ) 1 n ( 2

) 1 n cos(

{1

1 −

π

−

− − +

π +

−

=π

π

−

− − π +

−

= − ⁺ ⁻

) 1 n ( 2

) 1 ( 1 ) 1 n ( 2

) 1 ( 1

1 n 1

n

⎪⎩

⎪⎨

⎧

π =

− −

=

= K

K , 6 , 4 , 2 n , ) 1 n (

2, n 3 ,5 ,7 , 0

2

∫

π π

− +π

=π

0 0 2

1 1 cosxsinxdx 1 sin xdx b

∫

π π

−

π − π +

=

0 0

2 2xdx cos 1 dx 1 x 2 21 sin

π π

− ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= π

0 0

42x sin 2 x 1 22x cos 21

2 1

=

10-15

1 n≠

∫

π π π−

=1 f (x)sinnxdx b_n

= ∫ ∫

π π

− +π

π ₀

0

dx nx sin x 1 sin dx nx sin x 1 cos

∫

π

− + − −

=π ⁰ sin(1 n)x}dx 21

x ) n 1 2sin(

{1 1

∫

π

+ +

π − +

0

dx } x ) n 1 2cos(

x 1 ) n 1 2cos(

{1 1

0 ) n 1 ( 2

x ) n 1 cos(

) n 1 ( 2

x ) n 1 1 cos(

π

⎥⎦−

⎢⎣ ⎤

⎡ ++ + −−

=π

+

π

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+ +

−−

π 2(1 n) ₀

x ) n 1 sin(

) n 1 ( 2

x ) n 1

1 sin(

,

n≠1

) } 1 n ( 2

1 ) 1 n cos(

) 1 n ( 2

1 ) 1 n {cos(

1 −

− π + −

+

− π +

=π

π

−

− + −

π +

−

= − ⁺ ⁻

) 1 n ( 2

1 ) 1 ( ) 1 n ( 2

1 ) 1

( ⁿ ¹ ⁿ ¹

⎪⎩

⎪⎨

⎧

π =

− −

=

= K

K , 6 , 4 , 2 n ) , 1 n (

n

2, n 3 ,5 ,7 , 0

2

10-16

f(x)

คือ

356x ) cos 154x cos 32x (cos 2 2x cos

1 + + +L

+π π+

356x ) sin 6 154x sin 4 32x sin (2 2 2x

sin + + +L

−π +

ที่

x=0

ซึ่งเปนจุดที่

f(x)

ไมตอเนื่อง จะได

351 ) 151 3 (1 2 2 1 1 )}

0 ( f ) 0 ( f 2{

1 + + +L

−π π+

=

+ ⁻

+

351 ) 151 3 (1 2 2 1 1 2

1 + + +L

−π π+

=

351 L 151 3 1 2

1 = + + +

เพราะฉะนั้น

ผลบวกของอนุกรม

_L

351 151 3

1+ + +

=

12

ที่

x=2π

ซึ่งเปนจุดที่

f(x)

ตอเนื่อง จะได

2 0 2 ) 1 351 151 3 ( 1 0 2 1 2) (

f π = π+ −π − + − +L + −π⋅

) 21

351 151 3 ( 1 2 1

1 − + − + +

−π

= π L

+L 631 351 151 3 1

42 = − + −

− π

∑

^∞

=

+ +

−

= −

− π

1 n

) 1 n 2 )(

1 n 2 (

) 1 ( 4

2

(5)

กราฟของ

f(x)

⎩⎨⎧

π

<

< <

<

π

= sincosxx,, −0 xx 0 )

x ( f

เปรียบเทียบกับผลบวกยอยของอนุกรมฟูเรียรของ

f(x)

ถึงพจน

n=6

356x) 154x cos

32x cos (cos 2x 2 cos

1+ +π + +

π

356x) sin 6 154x sin 4 32x sin (2 2 2x

sin −π + +

+

10.4 อนุกรมฟูเรียรของฟงกชันที่มีคาบ 2L ให

f(x)

เปนฟงกชันที่มีคาบเทากับ

2L

ให

x=Lt_π

ดังนั้นที่

x=−L,t =−π

และที่

x=L,t =π

ซึ่งจะไดวา

g(t) f(Lt)

= π

เปนฟงกชันเปนคาบที่มีคาบเทากับ

2π

g(t)

บนชวง

[−π,π]

คือ

โดยที่

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

π =

= π =

=

+ +

∫

∑

π π

− π

π

−

∞

=

, 3 , 2 , 1 n , dt nt sin ) t ( 1 g b

, 2 , 1 , 0 n , dt nt cos ) t ( 1 g a

) nt sin b nt cos a 2 (

a

n n

1

n n n

0

K K

สรุป อนุกรมฟูเรียรของ

f(x)

บนชวง

[−L,L]

คือ

โดยที่

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

π =

=

π =

=

+ π + π

∫

∑

−

∞

=

, 3 , 2 , 1 n , L dx

x sinn ) x ( L f b 1

, 2 , 1 , 0 n , L dx

x cosn ) x ( L f a 1

L ) x sinn L b

x cosn a 2 (

a

L n L

1

n n n

0

K K

10-19

2 x 2 , x 4 ) x (

f = − ² − ≤ ≤

และ

f(x+4)=f(x)

3 16 3

x x 2 4 dx 1 ) x 4 2 ( dx 1 ) x ( 2 f a 1

2 2 2 3

2 2 2

0 2 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

=

−

=

−

∫ ∫

2xdx cosn ) x ( 2 f

a 1 ²

n

∫

2

−

= π

−

∫

− π

= ² 2

2 dx

2 x cosn ) x 4 2 ( 1

2 2x 2 sinn n8 21

− π π

=

2 3 2

3 2 2

2 sinn2x

n 16 nx 2 2x cosn n

x 8 2 1

⎥−

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ π

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

− π + π π

− π

2 2

1 n 2

2 n

) 1 ( n 16 n cos

16

π

= − π π

−

= ⁺

,

n=1 ,2 ,3,K

เพราะวา

2 sinnππ

f(x)

เพราะฉะนั้น

dx 0

2 sinnππ f(x) 2

b 1 ²

n =

∫

2 =

−

,

n=1 ,2 ,3 ,_K

f(x)

คือ

2x ) cos4 4

1 2x cos3 3

1 2x cos2 2

1 2x 16(cos 3 8

2 2

2

2 π − π + π − π +L

+π

10-20

ที่

x=0

จะได

4 ) 1 3

1 2 1 1 16( 3 8 4 ) 0 (

f 2 − 2+ 2− 2+L

+π

=

4 L 1 3

1 2 1 1

12 2 2 2

2 = − + − +

π

หรือ

12

4 1 3

1 2

1 1 ²

2 2

2+ − + = π

− L

(ก.)

(ข.)

(ก) กราฟของ

f(x)

และ (ข) กราฟของผลบวกยอยของอนุกรมฟูเรียรของ

f(x)

ถึง

พจน

n=10

(6)

⎩⎨⎧

<

< <

<

= 3x,, −01 xx 10 )

x (

f

และ

f(x+2)=f(x)

2 7 2 ] x x 3 [ dx x dx 3 a

1 0 0 2

1 1

0 0

0 1 ⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣ +⎡

= +

= ₋

−

∫ ∫

∫

^π ⁺ ^π

=

−

1 0 0

n 13cosn xdx xcosn xdx a

1 2 0 2 0

1 n

x n cos nn x sin x x

n n3 sin

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

π + π ππ +

π π

= −

2 2

n 2

2 n

1 ) 1 ( n

1 n cos

π

−

= − π

−

= π

,

n=1 ,2 ,3 ,K

∫

^π ⁺ ^π

=

−

1 0 0

n 13sinn xdx xsinn xdx b

1 2 0 2 0

1 n

x n sin n

x n cos x x

n n cos

3 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

π + π ππ

− + π π

−

=

−

π

− +

= −

π π

+

= −

n ) 1 ( 2 3 n2cosn

3 ⁿ

,

n=1 ,2 ,3 ,_K

f(x)

คือ

∑

^∞

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ π

π

− + −

π π

− + −

1 n

n 2

2 n

x n n sin

3 ) 1 ( x 2 n n cos

1 ) 1 ( 4

7

=

cos5 x )

5 x 1 3 cos 3 x 1 2 (cos 4 7

2 2

2 π + π + π +L

+π

) x 5 5sin x 1 3 3sin x 1

5(sinπ + π + π +L

−π

) x 6 6sin x 1 4 4sin x 1 2 2sin (1

1 π + π + π +L

−π

ที่

x=1

จะได

5 ) 1 3 1 1 2 ( 4 7 2 )}

1 ( f ) 1 ( f 2{ 1

2 2

2 + + +L

+π

=

+ ⁻

+

∑

∞

= −

= + + + π =

1

n 2

2 2 2

) 1 n 2 ( 1 5

1 3 1 1

8 L

8

) 1 n 2 (

1 ²

1

n 2 = π

∑

^∞ −

=

ที่

x=21

จะได

)

7 1 5 1 3 1 1 5( 4 7 2 1 2) (1

f − + − +L

−π

=

∑

^∞

= +

−

= − +

− +

− π =

1 n

1 n 2

) 1 ( 7 1 5 1 3 1 1

4 L

หรือ

4 1 n 2

) 1 ( 1 n

1 n = π

−

∑

^∞ −

=

+

10-23

⎩⎨⎧

<

< <

<

= 3x,, −01 xx 10 )

x (

f

และ

f(x+2)=f(x)

กราฟของ

f(x)

เปรียบเทียบกับกราฟของผลบวกยอยของ อนุกรมฟูเรียรของ

f(x)

ถึงพจน

n=15

∑

= ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ π + − π − π

π

− +¹⁵ −

1 n

n 2

2 n

x n n sin

3 ) 1 ( x 2 n n cos

1 ) 1 ( 47

10-24

10.5 อนุกรมฟูเรียรไซน อนุกรมฟูเรียรโคไซน

และการกระจายครึ่งชวง ทฤษฎีบทที่ 10.5.1

) x (

f

เปนฟงกชันเปนคาบมีคาบเทากับ

2L

และมีสมบัติสอดคลองตามทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรมฟูเรียร

ถา

f(x)

อนุกรมฟูเรียรโคไซน (Fourier cosine series) ของ

f(x)

คือ ∑

∞

= + π

1

n n

0

L x cosn 2 a

a

โดยที่

= ^L

∫

0 0f (x )dx L2

a

และ

dx, n 1 ,2 ,3 ,_K

L x cosn ) x ( L2 f a

L

n = 0

∫

π =

ถา

f(x)

อนุกรมฟูเรียรไซน (Fourier sine series) ของ

f(x)

คือ ∑

∞

=

π 1

n n L

x sinn b

โดยที่

dx, n 1 ,2 ,3 ,_K

Lx sinn ) x ( L2 f

b ^L

n= 0

∫

π =

(7)

ตัวอยาง

2 x 2 , x 4 ) x (

f = − ² − ≤ ≤

อนุกรมฟูเรียรโคไซนของ

f(x)

คือ

∑

^∞

=

+ π

− +π

1

n 2

1 n

2 2

x cosn n

) 1 16 (

3 8

π π

−

=x, <x<

) x (

f

อนุกรมฟูเรียรไซนของ

f(x)

คือ

∑

^∞

=

− + 1 n

1 n

nx n sin ) 1 2 (

การกระจายครึ่งชวง แบบที่ 1.

f(x)

ที่ถูกนิยามบนชวง

0≤x≤L

และเราตองการจะเขียนแทน

f(x)

ดวยอนุกรมฟูเรียร

เราสามารถทําไดโดยนิยามฟงกชัน

f(x)

เพิ่มเติมบนชวง

−L≤x≤0

ขยายบทนิยามของฟงกชันใหเปนฟงกชันคู และมีคาบเทากับ 2L

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≤

<

−

= −

L x 0 ) x ( f

0 x L )

x ( f ) x ( F

อนุกรมฟูเรียรโคไซนของ f(x) ที่นิยามบนครึ่งชวง [0, L] คือ

∑

^∞

= + π

1

n n

0

Lx cosn 2 a

a

เมื่อ

= ^L

∫

0 0f (x )dx L2

a

และ

= ^L

∫

^π

n 0 dx

Lx cosn ) x ( L2 f

a

n = 1, 2, 3, ...

10-27

ตัวอยาง 10.5.2 (1) กําหนดให คาบ = 2

จงกระจาย

f(x)=x², 0≤x≤1

ในรูปกรมฟูเรียรโคไซน

3 2 dx x 2 a

1 0

0=

∫

2 =

∫

^π

= 1 0

n 2 x2cosn xdx a

∫

^π

− π π π

= ¹

0 1 0

2 2xsinn xdx

n x 2 n sin n x

2

∫

^π

− π π π

=

1 20 2 1 2 0

2 cosn xdx

n x 4 n cos x n

4

1 3 0

3 2

2 sinn x

n n 4 cos n x

4 π

− π π π

=

2 2

n 2

2 n

) 1 ( 4 n n cos

4

π

= − π π

=

,

n=1 ,2,3 ,_K

อนุกรมฟูเรียรโคไซนของ

f(x)

คือ ∑

∞

= − π

+π 1

n 2

n

2 cosn x

n ) 1 4 (

3 1

10-28

การกระจายครึ่งชวง แบบที่ 2.

f(x)

ที่ถูกนิยามบนชวง

0≤x≤L

และเราตองการจะเขียนแทน

f(x)

ดวยอนุกรมฟูเรียร

เราสามารถทําไดโดยนิยามฟงกชัน

f(x)

เพิ่มเติมบนชวง

−L≤x≤0

ขยายบทนิยามของฟงกชันใหเปนฟงกชันคี่ และมีคาบเทากับ 2L

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≤

<

−

= −

L x 0 )

x ( f

0 x L )

x ( f ) x ( F

อนุกรมฟูเรียรไซนของ f(x) ที่นิยามบนครึ่งชวง [0, L] คือ

∑

^∞

=

π 1

n bnsinnLx

เมื่อ

= ^L

∫

^π

n 0 dx

Lx sinn ) x ( L2 f

b

n = 1, 2, 3, ...

(8)

ตัวอยางที่ 10.5.2 (2) กําหนดให คาบ = 2

f(x)=x², 0≤x≤1

ในรูปอนุกรมฟูเรียรไซน

=

∫

π

1 0

n 2 x2sinn xdx b

1 3 0

3 2

2

2 cosn x

n x 4 n sin n x

x 4 n cos n2 x

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ π

+ π π π

+ π π

−

=

3 3 3

3 n

n 4 n cos n 4 n2 cos

− π π π

+ π π

−

=

,

n=1,2 ,3,_K

อนุกรมฟูเรียรไซนของ

f(x)

คือ

∑

^∞

=

⎥ π

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ π−

+ π π π

− 1

n 3 3(cosn 1) sinn x

n n 4 n2 cos

=

(π2sinπx−1πsin2πx+32πsin3πx ) x 5 52 sin x 4

21πsin π + π π −L

−

) x 5 5 sin x 8 3 3 sin x 8 8 sin

( 3 3 3 3 3 π +L

+ π π π

+ π π

−

ตัวอยาง 10.5.2 (3) กําหนดให คาบ = 1

f(x)=x², 0≤x≤1

ในรูปอนุกรมฟูเรียร

3 dx 2 x 2

a ¹

0

0=

∫

2 =

2 2 1

0 n 2

n dx 1 x n 2 cos x 2

a =

∫

π = π

− π

= π

=²

∫

^x ^sin²ⁿ ^x^dx _n¹

b 1 0 n 2

f(x)

คือ

∑

^∞

= ⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧ π π

π π +

1

n 2 sin2n x

n1 x n 2 n cos

1 1

3 1