PDF Mathematical modelling for design the control system of a liquid

(1)

Mathematical Modelling for Design the Control System of a Liquid

ยุทธนา กันทะพะเยา¹และ เฉลิมพล เรืองพัฒนาวิวัฒน^1*

1สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟา ศูนยวิจัยและถายทอดเทคโนโลยีพลังงานแสงอาทิตย

คณะวิศวกรรมศาสตรและสถาปตยกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลสุวรรณภูมิ จังหวัดนนทบุรี 11000

บทคัดยอ

บทความนี้นําเสนอการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรสําหรับการออกแบบระบบควบคุมของเหลว ระบบ ประกอบดวยการควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง และ 2 ถัง เพื่อยืนยันการไดมาของแบบจําลองทางคณิตศาสตร จึงนํามา ออกแบบตัวควบคุมสําหรับชดเชยคาความผิดพลาดของระบบบนโดเมนความถี่ ประกอบดวยตัวควบคุมแบบพี พีไอ พีดี

และตัวควบคุมแบบพีไอดี ผลการทดสอบการทํางานของระบบมีรายละเอียดดังตอไปนี้ การควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง ระบบควบคุมสามารถควบคุมระดับของเหลวใหเขาสูเปาหมายโดยใชเวลาเทากับ 100 วินาที สวนกรณีมีสัญญาณ รบกวนเขามาในระบบ กระทําโดยการเปด-ปด วาลวระบายของเหลวทิ้ง เชนเดียวกันตัวควบคุมสามารถควบคุม ของเหลวใหกลับเขาสูสภาวะคงตัวได สวนการควบคุมของเหลวที่ทําปฏิสัมพันธกันระหวางของเหลว 2 ถัง ผลการ ทดสอบการทํางานของระบบ ตัวควบคุมสามารถควบคุมของเหลวใหเขาสูเปาหมายได ทั้งกรณีที่ระบบมีสัญญาณ รบกวนและไมมีสัญญาณรบกวนตามลําดับ

Abstract

This paper presents a mathematical modelling for design the control system of a liquid.

The system are consists of one and two tanks of a liquid. To confirm, the achieved mathematical modelling is used to design P, PI PD, and PID controller in the frequency domain.The experimental results are indicated as the following. An one tank of a liquid controlling, The controller can be control the liquid level to set point, with in 100s. In the case of a disturbance occurs in the system, it is perform by drain a liquid. As same as the controller, it can be control the liquid level into the steady state. In the part of the liquid control, this is the interaction between two tanks. The experimental results of the system operation, the controller can be control the liquid into the set point both occur disturbance and without disturbance, respectively

คําสําคัญ :แบบจําลองทางคณิตศาสตร การควบคุมของเหลว Keywords :Mathematic modelling, Liquid control

*ผูนิพนธประสานงานไปรษณียอิเล็กทรอนิกส [email protected] โทร. 0 2969 1369 ตอ 2923

(2)

1. บทนํา

การควบคุมของเหลวเปนองคประกอบที่สําคัญของกระบวนการผลิตในอุตสาหกรรมหลายประเภท ยกตัวอยางเชน อุตสาหกรรมอาหารและยา อุตสาหกรรมสารเคมี อุตสาหกรรมการกลั่นน้ํามันและปโตเคมี ดังกลาวไว

ใน เปนตน หากกลาวถึง สวนประกอบของระบบควบคุมของเหลว โดยพื้นฐานแลวจะประกอบดวย ถังเก็บของเหลว ปมน้ํา ตัวตรวจจับสัญญาณปอนกลับเพื่อควบคุมการทํางานของระบบดังแสดงรายละเอียดใน สําหรับการออกแบบ ระบบควบคุมของเหลวประเด็นหลัก คือ การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรและการออกแบบตัวชดเชยคาความ ผิดพลาดที่เกิดขึ้นในระบบ ในอดีตมีงานวิจัยที่เกี่ยวของกับระบบควบคุมของเหลวดังไดอธิบายไวใน ใน ไดนําเสนอการ ควบคุมระดับและอัตราการไหลของน้ําสําหรับการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบไมไดนํามาออกแบบตัว ชดเชยคาความผิดพลาดของระบบแตใชวิธีการซิกเลอร-นิโคล (Ziegaler-Nichols) สําหรับการสรางแบบจําลองทาง คณิตศาสตรของการปฏิสัมพันธแบบ 2 ถัง ที่นําเสนอไวใน นั้นการไดมาของแบบจําลองทางคณิตศาสตรคอนของ ยุงยากและซับซอน

จากขอจํากัดของงานวิจัยดังกลาวในบทความนี้จึงนําเสนอขั้นตอนวิธีการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร

ของระบบควบคุมของเหลวทั้งแบบ 1 ถัง และ 2 ถัง ซึ่งวิธีการที่นําเสนอไมยุงยากและซับซอน สําหรับการไดมาของ ฟงกชันถายโอนของระบบ เพื่อการออกแบบตัวชดเชยคาความผิดพลาดในระบบควบคุม โดยจะแสดงรายละเอียด ในหัวขอตอจากนี้

2. วิธีการทดลอง

2.1 การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรของระบบควบคุมของเหลว

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรเปนหัวใจสําคัญสําหรับการออกแบบระบบควบคุมวงรอบปด เพื่อให

ระบบดังกลาวเขาสูเปาหมายที่กําหนด ในบทความนี้ไดนําเสนอขั้นตอนวิธีการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรของ ระบบควบคุมของเหลวแสดงดังแผนภาพบล็อกแสดงดังรูปที่ 1 และระบบที่สรางขึ้นแสดงดังรูปที่ 2 ระบบที่นําเสนอ ประกอบดวย ถังน้ําบรรจุของเหลว 2 ถัง พรอมถังพักน้ํา ปมน้ํา แหลงจายกําลังไฟฟา และตัวตรวจจับระดับของเหลว แบบ 1 ถังและ 2 ถัง เพื่อนําสัญญาณปอนกลับไปควบคุมการทํางานของระบบ

1( )

GF s

2( )

GF s

Woutf

VCON

รูปที่ 1ระบบควบคุมของแหลว รูปที่ 2ระบบตนแบบที่ใชทดลอง

สําหรับแผนภาพบล็อกวงรอบปดการออกแบบระบบควบคุมของเหลวแสดงดังรูปที่ 3 ซึ่งเปนที่ทราบกันดีวา ระบบการควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง หากเทียบกับอันดับของระบบควบคุมแลวคือ ระบบควบคุมอันดับหนึ่ง หากนํา

(3)

ถังน้ําสองถังมาตออันดับกันก็จะเปนระบบอันดับสองเปนตน ในการหาฟงกชันถายโอนของระบบควบคุมของเหลวแบบ 1 ถังและ 2 ถัง เพื่อออกแบบคาพารามิเตอรของตัวควบคุม ในบทความนี้จะใชขั้นตอนวิธีการงายๆ โดยจะแสดง รายละเอียดดังตอไปนี้

Wout

Wref

Woutf

VCON

e

P( )

G s

รูปที่ 3แผนภาพบล็อกระบบควบคุม

เริ่มจากทดสอบการทํางานของระบบโดยใหระบบทํางานซึ่งใสเฉพาะคาอัตราขยายเขาไปในระบบการควบคุม โดยกําหนดใหระบบเขาสูสภาวะคงตัว (Wout) เทากับ 4 V ซึ่งเปนความสูงของเหลวเทากับ 3.5 นิ้ว สําหรับพิจารณา ผลการตอบสนองของระบบแสดงดังรูปที่ 4 และ 5 ตามลําดับ จากนั้นใชสมการที่ 1 เพื่อหาฟงกชันถายโอนของระบบ ควบคุมของเหลว เมื่อกําหนดใหคาอัตราขยายคือคาสัญญาณแบบขั้น ดังนั้นจึงแทนอินพุตที่ปอนเขาไปในระบบดวย สัญญาณแบบขั้น (1/s) เขียนสมการของระบบไดดังสมการที่ 2

( ) ( )

P K

G s

s a

  (1)

/ /

( ) ( )

P K A B K a K a

G s

s s a s s a s s a

    

   (2)

การหาฟงกชันถายโอนของระบบควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง จากคุณลักษณะของระบบอันดับหนึ่งสัญญาณ เอาตพุตที่ 63% มีคาเทากับ 2.52 V จากรูปที่ 4 สามารถหาคาคงตัวทางเวลา (Time constant) ไดเทากับ 70s สําหรับความสัมพันธของคาพารามิเตอร a กับคาคงตัวทางเวลาของระบบอันดับหนึ่งแสดงดังสมการที่ 3 ซึ่งไดอธิบาย ไวใน

1 Time constant

a  (3)

ดังนั้น

1 0.014

a  70 

ตอไปหาคาพารามิเตอร K จากสมการที่ 2 ผลการตอบสนองของระบบ จะเขาสูสภาวะอยูตัวโดยพิจารณา จากรูปที่ 4 เทากับ 4 V ดังนั้น

K 4 a 

จะไดคาาพารามิเตอรKเทากับ 0.056 ดังนั้นฟงกชันถายโอนของการควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง เขียนไดดังสมการที่ 4

0.056

( ) 0.014

GP s

 s

 (4)

(4)

ในทํานองเดียวกันการหาฟงกชันถายโอนการปฏิสัมพันธของเหลวแบบ 2 ถัง ก็ใชหลักการเดียวกับการควบคุมของเหลว แบบ 1 ถัง จากขอมูลผลการตอบสนองแสดงดังรูปที่ 5 สามารถหาฟงกชันถายโอนไดดังสมการที่ 5

0.048

( ) 0.012

GP s

 s

 (5)

(V)outW

รูปที่ 4ผลการตอบสนองของเหลวแบบ 1 ถัง

(V)outW

รูปที่ 5ผลการตอบสนองของเหลวปฏิสัมพันธแบบ 2 ถัง

จากฟงกชันถายโอนของระบบที่ไดรับจะถูกนําไปออกแบบการชดเชยคาความผิดพลาดของระบบควบคุม (e) ดังรูปที่ 3 ดังนั้นเพื่อยืนยันการไดมาของฟงกชันถายโอนดวยวิธีการที่นําเสนอในบทความนี้ จึงนําฟงกชันถายโอนไป ออกแบบตัวชดเชยคาความผิดพลาดของระบบดวยตัวควบคุมแบบพี พีไอ พีดี และพีไอดี โดยนําฟงกชันถายโอนวงรอบ เปดแสดงดังสมการที่ 6 และ 7 ไปออกแบบบนโดเมนความถี่ แสดงแผนภาพโบเดของตัวควบคุมแตละแบบสําหรับ ควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง และ 2 ถัง ดังรูปที่ 6 และ 7 คาพารามิเตอรของตัวควบคุมแตละแบบหาไดจากสมการที่ 9 ถึง 10 แสดงดังตารางที่ 1 และ 2

(5)

0.056 1

( ) ( ) ( )

0.014

T C F

G s G s G s

 s

 (6)

0.048 2

( ) ( ) ( )

0.012

T C F

G s G s G s

 s

 (7)

( ) = ^I

C P D

G s K K K s

 s  (8)

1 1

= cos

( ) ( )

P

P F

K G j G j



  (9)

1

1 1 1

sin

( ) ( )

D I

P F

K K

G j G j

 

  

  (10)

เมื่อ

1 1

180 _m G_P(j )G_F(j )

   ^    

C( )

G s คือ ตัวควบคุมแตละแบบ

1( )

GF s คา อัตราขยายของตัวตรวจจับการควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง (เทากับ 1)

2( )

GF s คา อัตราขยายของตัวตรวจจับการควบคุมของเหลวแบบ 2 ถัง (เทากับ 1)

1 คือ ความถี่ตัดผาน

m คือ สวนเผื่อมุมเฟส

ตารางที่ 1คาพารามิเตอรของตัวควบคุมกรณีควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง

ตัวควบคุม สวนเผื่อมุมเฟส (องศา) ความถี่ตัดผาน (Hz) KP K_I(1/s) KD(s)

พี 70 3 316 - -

พีไอ 70 3 316 2174 -

พีดี 100 3 332 - 3

พีไอดี 100 3 332 100 3

(6)

Magnitude(dB)Phase(deg)

C( ) G s

T( ) ( ) G s

G sP

P( )

G s

C( ) G s



Magnitude(dB)Phase(deg)

C( ) G s

T( ) G s

P( ) G s

 G_C( )s

T( )

G s

(ก) (ข)

-20 0 20 40 60

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1 -90

-45 0 45 90

Gm = Inf , Pm = Inf

Frequency (Hz)

C( ) G s

T( ) G s

P( ) G s

P( ) G s



C( ) G s



T( )

G s

C( ) G s

T( ) ( ) G s

G sP

P( )

G s GC( )s

T( )

G s

(ค) (ง)

รูปที่ 6แผนภาพโบเดของตัวควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง (ก) ตัวควบคุมแบบพี (ข) ตัวควบคุมแบบพีไอ (ค) ตัวควบคุม แบบพีดี (ง) ตัวควบคุมแบบพีไอดี

ตารางที่ 2คาพารามิเตอรของตัวควบคุมกรณีควบคุมของเหลวแบบ 2 ถัง

ตัวควบคุม สวนเผื่อมุมเฟส (องศา) ความถี่ตัดผาน (Hz) KP K_I(1/s) KD(s)

พี 70 3 402 - -

พีไอ 70 3 403 2766 -

พีดี 100 3 421 - 4

พีไอดี 100 3 422 100 4

(7)

-50 0 50 100

Magnitude(dB)

10-4 10-3

10-2 10-1

100 101 -90

-45 0

Phase(deg)

Frequency (Hz) C( )

G s

T( ) G s

P( ) G s

P( )

G s

C( ) G s



-100 -50 0 50 100

Magnitude(dB)

10-4 10-3

10-2 10-1

100 101

102 -180

-135 -90 -45 0

Phase(deg)

Frequency (Hz)

C( ) G s

T( ) G s

P( ) G s

P( )

G s G_C( )s

T( )

G s

(ก) (ข)

Phase(deg)Magnitude(dB)

C( ) G s

T( ) G s

P( ) G s

P( ) G s



C( ) G s



T( )

G s

C( ) G s

T( ) ( ) G s

G sP

P( )

G s G_C( )s

T( )

G s

(ค) (ง)

รูปที่ 7แผนภาพโบเดของตัวควบคุมของเหลวแบบ 2 ถัง (ก) ตัวควบคุมแบบพี (ข) ตัวควบคุมแบบพีไอ (ค) ตัวควบคุม แบบพีดี (ง) ตัวควบคุมแบบพีไอดี

3. ผลการทดลองการทํางานของระบบ

เงื่อนไขการทดสอบการทํางานของระบบควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง โดยตั้งแรงดันอางอิง (^W^ref) เทากับ 4 V ซึ่งแทนระดับของเหลวในถังเทากับ 3.5 นิ้ว เมื่อระบบเขาสูสภาวะคงตัวแลวทําการเปดน้ําทิ้งเพื่อจําลองวาระบบ มีสัญญาณรบกวนเขามาในระบบ จากนั้นปดวาลวแลวบันทึกผลการตอบสนองของระบบ สําหรับการบันทึกผลการ ทดสอบจะบันทึกชวงเวลาเขาที่ของระบบจากเวลาเริ่มตนจนถึงเวลาที่ระบบเขาสูสภาวะคงตัวและชวงเวลาเขาที่กรณี

มีสัญญาณรบกวนเขามาในระบบ ตัวชดเชยคาความผิดพลาดของการควบคุมระดับของเหลวจะใชคาพารามิเตอรที่

ออกแบบไวในตารางที่ 1 และ 2 ผลการทดสอบการทํางานของระบบแสดงดังรูปที่ 8 (ก) (ข) (ค) และ (ง) และคาเวลา เขาสูสภาวะคงตัวสรุปไวในดังตารางที่ 3

(8)

(V)outW (V)outW

(ก) (ข)

100s 1.1V

48s

Time(s)

(V)outW

100s 1.1V

48s

Time(s)

(V)outW

(ค) (ง)

รูปที่ 8ผลการทดสอบการควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง โดยใชตัวควบคุม (ก) ตัวควบคุมแบบพี (ข) ตัวควบคุมแบบพีไอ (ค) ตัวควบคุมแบบพีดี และ (ง) ตัวควบคุมแบบพีไอดี

สวนเงื่อนไขการทดสอบการทํางานของการควบคุมของเหลวที่มีการปฏิสัมพันธแบบ 2 ถัง ก็ปฏิบัติการ ทดสอบเชนเดียวกับการควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง โดยกําหนดใหแรงดันอางอิงเทากับ 4 V ซึ่งแทนความสูงของระดับ ของเหลวในถังที่ 1 เทากับ 2.3 นิ้ว สวนถังที่ 2 สูงเทากับ 0.6 นิ้ว รูปผลการทดสอบแสดงดังรูปที่ 9 (ก) (ข) (ค) และ (ง) ตามลําดับ เชนเดียวกัน คาเวลาเขาสูสภาวะคงตัวของตัวควบคุมแตละแบบไดสรุปไวในตารางที่ 3 ตามลําดับ

(9)

(V)outW (V)outW

(ก) (ข)

80s

2.6V

105s

Time(s)

(V)outW (V)outW

(ค) (ง)

รูปที่ 9ผลการทดสอบการควบคุมของเหลวแบบ 2 ถัง โดยใชตัวควบคุม (ก) ตัวควบคุมแบบพี (ข) ตัวควบคุมแบบพีไอ (ค) ตัวควบคุมแบบพีดี และ (ง) ตัวควบคุมแบบพีไอดี

ตารางที่ 3ผลการทดลองของระบบ

ตัวควบคุม เวลาคงตัว คาเวลาคงตัวขณะมีสัญญาณรบกวน

1 ถัง 2 ถัง 1 ถัง 2 ถัง

แบบพี 100s 100s 60s 110s

แบบพีไอ 100s 80s 51s 75s

แบบพีดี 100s 80s 48s 105s

แบบพีไอดี 100s 78s 48s 80s

จากผลการทดสอบในตารางที่ 3 พบวาการควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง ตัวควบคุมสามารถควบคุมใหระบบ ทํางานโดยใชเวลาเขาสูสภาวะคงตัว 100s หากมีสัญญาณรบกวนเขามาในระบบ ตัวควบคุมแตละแบบสามารถควบคุม การทํางานของระบบใหเขาสูสภาวะคงตัวโดยใชเวลา 60s กรณีใชตัวควบคุมแบบพีไอ และ 48s พบไดกรณีใชตัว ควบคุมแบบพีไอดี ตามลําดับ สวนการทํางานของการควบคุมของเหลวแบบ 2 ถัง ระบบใชเวลาเขาสูสภาวะคงตัว ประมาณ 100s พบในตัวควบคุมแบบพี สวนกรณีมีสัญญาณรบกวนเขามาในระบบ ระบบใชเวลาเขาสูสภาวะคงตัวชา เมื่อใชตัวควบคุมแบบพี คือ 110s จากผลการทดสอบจะเห็นไดวาการหาฟงกชันถายโอนของการควบคุมของเหลว ที่นําเสนอในบทความนี้สามารถนํามาออกแบบตัวควบคุมแตละแบบได ซึ่งขั้นตอนวิธีการดังกลาวไมยุงยากและซับซอน

(10)

4. สรุป

บทความนี้ไดนําเสนอการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรสําหรับการออกแบบระบบควบคุมของเหลว ผลการทดสอบการไดมาของฟงกชันถายโอนของระบบควบคุมของเหลวแบบ 1 ถัง และ 2 ถังโดยนําไปออกแบบตัว ชดเชยคาความผิดพลาดบนโดเมนความถี่ ประกอบดวยตัวควบคุมแบบพี พีไอ พีดีและพีไอดี ผลการทดสอบการทํางาน ในสภาวะคงตัวและกรณีมีสัญญาณรบกวนเขามาในระบบ ตัวควบคุมสามารถควบคุมใหระบบทํางานดวยผลการ ตอบสนองเร็วพบไดกรณีใชตัวควบคุมแบบพีไอและพีไอดี ยิ่งกวานั้นการสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรที่นําเสนอ ในบทความนี้ไมยุงยากและซับซอน

5. กิตติกรรมประกาศ

ขอขอบคุณ สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟา ศูนยวิจัยและถายทอดเทคโนโลยีพลังงานแสงอาทิตย และคณะ วิศวกรรมศาสตรและสถาปตยกรรมศาสตร มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลสุวรรณภูมิ ที่ใหทุนสนับสนุนการทําวิจัย

6. เอกสารอางอิง

YoungHoon Na Sin Kim Jinsu Kim and Jietae Lee. 2011. Development of Liquid Level Control System Using Web Cam. International Conference on Control Automation and Systems:

1527-1528.

Min Li Xing-wen Chen and Yan Liu. 2009.Realization of Liquid Level Real-time Control System Based on LabVIEW. International Conference on Information Engineering and Computer Science 2009: pp 1-4.

Sandip A. Mehta Jatin Katrodiya and Bhargav Mankad. 2011. Simulation, Design and Practical Implementation of IMC tuned Digital PID controller for liquid level control system.

International Conference on Electronics Communications and Control (ICECC) 2011: 1-5.

ชัชวาล พรพัฒนกุล และธวัชชัย จิตตสนธิ์. 2556. การควบคุมระดับอัตราการไหลของน้ําแบบคาสเคดดวย ระบบสื่อสารแบบฟลดบัส.การประชุมวิชาการเครือขายวิศวกรรมไฟฟามหาวิทยาลัยราชมงคล ครั้งที่ 5: 273- BI Shujiao and DONG Feng. 2012.276. Modeling for Liquid-Level Control System in Beer

Fermentation Process.Proceedings of the 31st Chinese Control Conference: 1739-1744.

Muhammad Usman Khalid and Muhammad Bilal Kadri. 2012. Liquid Level Control of Nonlinear Coupled Tanks. Emerging Technologies (ICET) 2012 International Conference on System using Linear Model Predictive Control: 1-5.

W. Grega and A. Maciejczyk. 1994. Digital Control of a Tank System. IEEE Transaction on Education. Vol.37. No.3: 271-276.

A. Numsomran V. Tipsuwanporn and K. Tirasesth. 2008. Modeling of the Modified Quadruple- Tank Process. SICE Annual Conference 2008: 818-823.

Norman S. NISE. 2011. Control Systems Engineering. 4. United States of America: John Wiley &

Sons, Inc..