430201 สถิตยศาสตร์วิศวกรรม (Engineering Statics)

(Engineering Statics)

อ.ดร.ปรียาพร โกษา

สาขาวิชาวิศวกรรมโยธา สํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร

มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีสุรนารี

ปการศึกษา 2553

430201 สถิตยศาสตรวิศวกรรม (Engineering Statics) ผูสอน

อาจารย ดร.ปรียาพร โกษา (kosa@sut.ac.th) สํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร มหาวิทยาเทคโนโลยีสุรนารี

หองทํางาน

หอง D07 ชั้น 4 อาคารวิชาการ (C) วันเวลาการเรียน

วันพุธและศุกร เวลา 10.00 – 12.00 น.

(นักศึกษาจะตองเขาเรียนไมนอยกวา 80% จึงจะมีสิทธิ์สอบกลางภาคและปลายภาค และขาดไดไมเกิน 4 ครั้ง) หนังสือประกอบการเรียนการสอน

1. Vector Mechanics for Engineers: Statics, 8^th Edition. (Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr. and Elliot R. Eisenberg)

2. Engineering Mechanics Statics, 11^th Edition in SI Units (R.C. Hibberler) วัตถุประสงคของการเรียนการสอน

1. เพื่อใหเขาใจในองคประกอบและกระบวนการเกิดของระบบแรงและโมเมนตที่มากระทํา

2. เพื่อใหสามารถปรับลดความซับซอนของปญหาในระบบแรงและโมเมนตที่มีความยุงยากใหมีความงาย ขึ้น

3. เพื่อใหสามารถเขียนภาพรางของปญหาใหอยูในรูปอยางงายตอการพิจารณา

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ²  แผนการสอน

ครั้งที่ เนื้อหา

1 แนะนํารายวิชา ความรูเกี่ยวกับหนวยวัด หลักการและความรูพื้นฐานในรายวิชา 2 ความรูเกี่ยวกับเวกเตอร เวกเตอรองคประกอบในระบบแกนพิกัดฉาก 2 และ 3 มิติ

3 เวกเตอรของแรง การหาเวกเตอรแรงลัพธของระบบแรงในระบบแกนพิกัดฉาก 2 และ 3 มิติ

4 เวกเตอรบอกตําแหนง เวกเตอรของความพยายามหมุนใน 2 และ 3 มิติ

5 แผนภาพวัตถุอิสระและเงื่อนไขสภาพสมดุลของอนุภาคภายใตแรงกระทําใน 2 มิติ

6 แผนภาพวัตถุอิสระและเงื่อนไขสภาพสมดุลของอนุภาคภายใตแรงกระทําใน 3 มิติ

7 ทบทวนเรื่องสมดุลของอนุภาคภายใตแรงกระทําใน 2 และ 3 มิติ

8 การเขียนแผนภาพวัตถุอิสระและเงื่อนไขสภาพสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งภายใตแรงกระทําใน 2 มิติ

9 การเขียนแผนภาพวัตถุอิสระและเงื่อนไขสภาพสมดุลของวัตถุแข็งเกร็งภายใตแรงกระทําใน 3 มิติ

10 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งภายใตแรงกระทําจํานวน 2 และ 3 จุด

11 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งใน 3 มิติ (โดยพิจารณาสมดุลแรงและสมดุลความพยายามหมุนรอบจุด) 12 สมดุลของวัตถุแข็งเกร็งใน 3 มิติ (โดยพิจารณาสมดุลแรงและสมดุลความพยายามหมุนรอบแกน) 13 การวิเคราะหแรงในโครงสรางของโครงขอหมุนชิ้นสวนในโครงสรางที่ไมไดรับแรง

14 การวิเคราะหแรงในโครงสรางของโครงขอแข็งและเครื่องจักรกล 15 จุดศูนยกลางของเสน พื้นที่ และปริมาตรโดยวิธีการอินทริเกรต 16 จุดศูนยกลางของพื้นที่ของรูปเรขาคณิต น้ําหนักบรรทุกแบบแรงกระจาย 17 การวิเคราะหแรงภายในชิ้นสวน (แรงตั้งฉาก แรงเฉือน ความพยายามตัด) 18 การวิเคราะหแรงภายในชิ้นสวนของคาน การเขียนแผนภาพแรงภายในชิ้นสวนคาน 19 แรงเสียดทานบนพื้นผิวแหง

20 แรงเสียดทานในลิ่ม

21 โมเมนตเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ลากผานจุดศูนยกลางของพื้นที่และรอบแกนใด ๆ 22 ทบทวนกอนสอบปลายภาค

การใหคะแนน

คะแนนเก็บ 20% สอบกลางภาค 35% สอบปลายภาค 45%

คะแนนเก็บ ประกอบดวย

1. การจดบันทึกระหวางการเรียนการสอน โดยเรียงตามลําดับเวลาและเนื้อหา 2. สอบยอยและงานในชั้นเรียน

3. การบานที่กําหนดให

4. การทําโจทยเสริมประสบการณเพิ่มเติมจากที่กําหนดให

5. อื่น ๆ ตามที่ไดรับมอบหมาย ระดับผลการเรียน

A 85-100 C 65-69 B+ 80-85

D+ 60-64 B 75-79 D 55-59

C+ 70-74 F 0-54

ขอตกลงในการเรียนการสอน

1. นักศึกษาจะตองเขาชั้นเรียนกอนอาจารย

2. นักศึกษาจะตองไมลุกเดินเขาออกจากชั้นเรียนในขณะที่มีการเรียนการสอน ยกเวนไดรับอนุญาตจากผูสอน 3. หามสงเสียงดังระหวางการเรียนการสอน

4. ไมมีการสอบยอยซอม ในทุก ๆ กรณี

5. การแตงกายตองเรียบรอย เพื่อใหเกียรติแก สถานที่ อาจารย เพื่อนรวมชั้น และตัวนักศึกษาเอง

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁴  บันทึกการเรียน

วัน/เดือน/ป ครั้งที่ เนื้อหาที่เรียน ระดับความเขากัน (มาก/ปานกลาง/นอย)

ขอคิดเห็น/

ขอเสนอแนะ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

บทที่ 1 Introduction

1.1 บทนํา

Mechanics หรือกลศาสตร คือวิชาทางฟสิกส ซึ่งศึกษาสภาพหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ดวยความเร็ว คงที่เมื่ออยูภายใตการกระทําของแรง ซึ่งสามารถแบงออกได ดังนี้

1. Rigid body

- Statics

- Dynamics

- Kinematics

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁶ 

1.2 ปริมาณสเกลารและปริมาณเวกเตอร

ปริมาณสเกลาร คือ ปริมาณที่บงบอกใหทราบแตขนาดของปริมาณนั้นเพียงอยางเดียว เชน มวล อุณหภูมิ ปริมาตร พลังงาน เปนตน

ปริมาณเวกเตอร คือ ปริมาณที่บงบอกใหทราบทั้งขนาดและทิศทาง เชน ความเร็ว ความเรง โมเมนต แรง เปนตน โดยจะตองมีคุสมบัติ ประกอบดวย

- ขนาดของเวกเตอร

- ทิศทางของเวกเตอร

- แนวกระทําของเวกเตอร

- ตําแหนงหรือจุดกระทําของเวกเตอร

1.3 กฎของนิวตัน (Newton’s Laws)

กฎขอที่ 1 “ถาแรงลัพธที่กระทําตออนุภาคเปนศูนย อนุภาคนั้นจะหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ดวย ความเร็วคงที่ไปในแนวเสนตรงตลอดไป”

กฎขอที่ 2 “ถามีแรงลัพธเปนศูนยมากระทําตออนุภาค อนุภาคจะเคลื่อนที่ไปดวยความเรงใน ทิศทางเดียวกับแรงลัพธ”

กฎขอที่ 3 “เมื่อมีแรงกิริยายอมตองเกิดแรงปฏิกิริยา โดยแรงปฏิกิริยานี้จะมีขนาดเทากับแรง กิริยา กระทําบนแนวเดียวกัน แตมีทิศทางตรงกันขาม”

1.4 กฎความโนมถวงของนิวตัน (Newton’s Law of Gravitation)

“ในสนามความโนมถวงระหวางอนุภาค 2 อนุภาค จะเกิดแรงดึงดูดกันระหวางอนุภาคทั้งสอง นั้น ซึ่งมีขนาดเทากันและทิศทางตรงกันขาม”

ขนาดของแรงดึงดูด สามารถหาไดจากสมการ ดังนี้

เมื่อ M และ m = มวลของแตละอนุภาค

r = ระยะหางระหวางอนุภาคทั้งสอง

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁸ 

m = มวลของอนุภาค

r = ประมาณเทากับรัศมีของโลก (R) ดังนั้น จะได

∴ ในทางวิศวกรรมใช g = 9.81 m²/s

1.5 หนวยระบบ SI

หนวยระบบ SI ประกอบดวย

- หนวยมูลฐาน (Basin units) มีอยู 7 หนวย คือ

ความยาว เมตร m

มวล กิโลกรัม kg

เวลา วินาที s

กระแสไฟฟา แอมแปร A

อุณหภูมิ เคลวิน K

ความเขมของการสองสวาง แคนเดลา cd

ปริมาณของสาร โมล mol

- หนวยเสริม (Supplementary units) มีอยู 2 หนวย คือ

มุมระนาบ เรเดียน rad

มุมตัน สตีเรเดียน sr

- หนวยอนุพัทธ (Derived units)

อยูในเทอมของหนวยมูลฐานเดิม เชน มีชื่อหนวยและสัญลักษณขึ้นพิเศษ เชน

- คําอุปสรรค (Prefixes)

ทศดัชนี คํานําหนา อักษรยอ ทศดัชนี คํานําหนา อักษรยอ 10¹⁸

10¹⁵ 10¹² 10⁹ 10⁶ 10³ 10² 10

exa peta

tera giga mega

kilo hector

deca

E P T G M k h da

10^-1 10^-2 10^-3 10^-6 10^-9 10^-12 10^-15 10^-18

deci centi milli micro

nano pico femto

atto

d c m

μ

n p f a

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁰ 

1.6 การแปลงหนวย - หนวยความยาว

1 ft = m

1 mi = = = m

1 mi = km

1 in = m - หนวยแรง

1 lb = N - หนวยมวล

1 slug = lb s²/ft = kg

1 pound mass = kg

บทที่ 2 Force Vectors 2.1 การคูณและการหารเวกเตอรดวยสเกลาร

2.2 การบวกเวกเตอร

กฏสี่เหลี่ยมดานขนาน

กฎสามเหลี่ยม

A  2A  ‐A  0.5A 

A  B 

R 

A 

B  R 

A 

B  R 

A 

B  R 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹² 

ตัวอยางที่ 2.1 จากรูป จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ

ตัวอยางที่ 2.2 จากรูป จงหาขนาดและทิศทางของแรงประกอบตามแนวแกน u และ v

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁴ 

ตัวอยางที่ 2.3 จากรูป จงหาขนาดของแรง F และแรงลัพธที่เกิดจากแรง F กับแรง 200N

2.3 การแตกแรงและการรวมแรงบนระนาบ 2 มิติ

การหาแรงลัพธจากแรงยอยหลายแรงกระทําที่จุดเดียว

แรง F1, F2 และ F3 กระทําที่จุด O และทํามุม θ1,θ2,θ3 กับแกน x ตามลําดับ ใหแตกแรงแต

ละแรงลงบนแกน x และ y กอน จากนั้นจึงรวมแรงยอยในแตละแกน

Fx  Fy  F 

x  y 

θ  

F1  F2  

F3 

θ1  θ2  θ3 

x  y 

x  y 

θ 

∑

= _x

x F

R  

∑

= _y

y F

R   R 

≡ 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁶ 

ตัวอยางที่ 2.4 จากรูป จงหาแรงประกอบในรูปของเวกเตอรตามแนวแกน x และ y ของแรง F1 และ F2

ตัวอยางที่ 2.5 จากรูป จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁸ 

ตัวอยางที่ 2.6 จากรูป จงหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ

2.4 แรงในระบบแกนพิกัดฉาก 3 มิติ

องคประกอบของแรง

x  y 

z 

Fx  Fy 

Fz 

F  

θx  θy  θz 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ²⁰ 

เวกเตอรหนึ่งหนวยของแรง ^F

( )

ⁿ

จาก

เวกเตอรหนึ่งหนวย คือ

หรือ เมื่อ ⁿ อยูในแนวกระทําของแรง ^F

ตัวอยางที่ 2.7 จากรูป จงเขียนแรง F ในรูปของเวกเตอร

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ²² 

ตัวอยางที่ 2.8 จากรูป จงหาขนาดและมุมของแรงลัพธที่เกิดขึ้น

ตัวอยางที่ 2.9 จากรูป จงเขียนแรง F ในรูปของเวกเตอร

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ²⁴ 

ตัวอยางที่ 2.10 จากรูป จงหาขนาดของแรง F2 และมุมที่แรง F2 กระทําตอแกน x, y และ z เมื่อแรงลัพธ

(F_R) ที่เกิดจากแรง F₁ และ F₂ นี้มีคาเทากับ 800 N และมีทิศทางตามแนวแกน +y

การพิจารณาจากขนาดของแรงและจุดองจุดบนแนวกระทําของแรง

เวกเตอรบนแนวกระทําของแรงคือ ^r มีองคประกอบ คือ

ขนาดของแรง

เวกเตอรหนึ่งหนวยของแรง ^r คือ

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ²⁶ 

สภาวะสมดุลของแรงในระบบพิกัดฉาก;

ตัวอยางที่ 2.11 จากรูป เชือกถูกยึดไวที่จุด A และ B จงหาขนาดความยาวของเชือกเสนนี้ และทิศทาง เมื่อวัดจากจุด A

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ²⁸ 

ตัวอยางที่ 2.12 จากรูป ชายคนหนึ่งดึงเชือกดวยแรง 350 N จงแสดงแรงดึงนี้ที่กระทําตอจุด A ในรูป ของเวกเตอรและทิศทางของแรงดึงนี้

ตัวอยางที่ 2.13 จากรูป จงแสดงแรงดึง FB ในรูปของเวกเตอร

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ³⁰ 

ตัวอยางที่ 2.14 จากรูป หลังคาถูกยึดไวดวยเคเบิล FAB = 100 N และ FAC = 120 N ที่จุด A จงหาแรง ลัพธในรูปของเวกเตอร

2.5 คุณสมบัติของผลคูณสเกลาร (Dot product)

1. การสลับที่ได

ถา ^P =^Pxⁱ +^Py^j +^Pz^k และ ^Q =^Qxⁱ +^Qy^j +^Qz^k

ดังนั้น

θ  P  

Q  

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ³² 

2. การกระจายเทอม

3. เวกเตอรหนึ่งหนวย

4. ถา ^{P ⋅Q =0} แสดงวา ^{P =0} และ ^{Q =0} หรือ ^P และ ^Q เปนเวกเตอรที่ตั้ง ฉากซึ่งกันและกัน

ตัวอยางที่ 2.14 จากรูป แรง F กระทําตอโครงสรางในแนวระดับ จงหาขนาดของแรงประกอบของแรง F ที่ขนานและตั้งฉากกับชิ้นสวน AB

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ³⁴ 

ตัวอยางที่ 2.15 จากรูป จงหามุม θ และแรง F ตามแนวชิ้นสวน BA

บทที่ 3 Equilibrium of a Particle 3.1 2 มิติ

3.2 3 มิติ

3.3 Springs

x  y 

F₁  F2 

F₃  F₄ 

z 

y  F₂ 

x  F₁ 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ³⁶ 

ตัวอยางที่ 3.1 จากรูป จงหาแรงดึงในเสนเชือก BA และ BC เมื่อน้ําหนักของวัตถุ D เทากับ 60 kg

ตัวอยางที่ 3.2 จากรูป เมื่อเสนเชือก AB และ AC สามารถรับแรงไดมากที่สุด 10 kN และกลองที่ถูกยึด ไวมีน้ําหนัก 200 kg จงหามุม θ ที่นอยที่สุดกอนที่เชือกจะขาด

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ³⁸ 

ตัวอยางที่ 3.3 จากรูป จงหาความยาวของเชือก AC ที่สามารถยึดโคมไฟที่หนัก 8 kg กับสปริงที่มี

ความยาวกอนยืดเทากับ 0.4 m และคาคงที่ของสปริงเทากับ 300 N/m

ตัวอยางที่ 3.4 จากรูป จงหาแรงในเสนเชือก AD, AC และระยะยืดของสปริง เมื่ออยูในสภาวะสมดุล

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁴⁰ 

ตัวอยางที่ 3.5 จากรูป โคมไฟหนัก 10 kg ถูกยึดไวดวยเชือกสามเสนที่มีความยาวเทากัน จงหาระยะ ในแนวดิ่ง s ที่นอยที่สุด เมื่อเชือกทั้งสามเสนนี้รับแรงไดไมเกิน 50 N

ตัวอยางที่ 3.6 จากรูป จงหาแรงดึงในแตละเสนเชือก เพื่อรองรับน้ําหนัก 40 kN

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁴² 

ตัวอยางที่ 3.7 จากรูป จงหาแรงดึงในแตละเสนเชือก AB, AC และ AD เพื่อรองรับน้ําหนัก 100 kg

บทที่ 4 Force System Resultants

4.1 Moment

ขนาดของโมเมนต:

ทิศทางของโมเมนตเปนไปตามกฎมือขวา เปน + เมื่อทวนเข็มนาฬิกา

เปน – เมื่อตามเข็มนาฬิกา

เมื่อมีแรงมากกวา 1 แรงที่ทําใหเกิดโมเมนต

สามารถหาคาโมเมนตรวมไดดังนี้

 

 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁴⁴ 

ตัวอยางที่ 4.1 จากรูป จงหาโมเมนตของแรงรอบจุด O

ตัวอยางที่ 4.2 จากรูป จงหาโมเมนตลัพธของแรงทั้งสี่ รอบจุด O

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁴⁶ 

4.2 คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร (Cross product)

คือ ผลคูณระหวางขนาดของเวกเตอร 2 ตัว กับคาไซนของมุมระหวางเวกเตอรทั้งสอง แนว กระทําของผลคูณเวกเตอรที่ไดมีทิศตั้งฉากกับระนาบของเวกเตอรทั้งสอง ซึ่งเปนไปตามกฎสกรูมือขวา (Right hand rule)

คุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร

1. กําหนดให ^P =^Pxⁱ +^Py^j +^Pz^k และ ^Q =^Qxⁱ +^Qy^j +^Qz^k

2. ไมเปนไปตามคุณสมบัติสลับที่

P  

Q  

C  

θ 

ระนาบของ P และ Q

3. คุณสมบัติการกระจายเทอม

4. เมื่อตัวคูณเปนปริมาณสเกลารขนาด m เทา พบวา

5. สําหรับเวกเตอรหนึ่งหนวย

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁴⁸ 

ตัวอยางที่ 4.3 จงหา ^{A ×B} และ ^{−B ×A} เมื่อ ^{A =−3i +5 j −7k} และ

k 5 j 8 i

10 − −

= B

4.3 Moment of a Force – Vector Formulation

โมเมนตของแรง F รอบจุด O หรือรอบแกนที่ผานจุด O และตั้งฉากกับระนาบของจุด O สามารถ หาไดจากสมการดังนี้

ขนาด

ทิศทางเปนไปตามกฏของมือขวา

2 มิติ: โมเมนตของแรงในระบบพิกัดฉากรอบจุดกําเนิด จากรูป z = 0, Fz = 0 ดังนั้น Mx = My = 0

 

 

y F_y j 

i F   A(x,y,0) 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁵⁰ 

2 มิติ: โมเมนตของแรงในระบบพิกัดฉากที่จุดใด ๆ ที่ไมใชจุดกําเนิด

จากรูป (zA – zB) = 0, Fz = 0 ดังนั้น Mx = My = 0

3 มิติ: โมเมนตของแรงในระบบพิกัดฉากรอบจุดกําเนิด จากรูป

y 

x  z 

(x_A−x_B) i 

(y_A−y_B) j  r^{A/B  Fx i}  

j

y F  

F  

B k

B M

M =  

y 

x 

z 

i

x

F  

j

y F  

k

z F  

i x  

j y  

k z  

r  

0 

A(x,y,z) 

กําหนดให Mx, My, Mz คือ องคประกอบของโมเมนตของแรง รอบแกน x, y, z ตามลําดับ F

ดังนั้น

3 มิติ: โมเมนตของแรงในระบบพิกัดฉากที่จุดใด ๆ ที่ไมใชจุดกําเนิด จากรูป ^{y  (yA− yB) j} 

x i F  

y j F  

A(x,y,z) 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁵² 

4.4 Resultant Moment of a System of force

ตัวอยางที่ 4.4 จากรูป จงหาโมเมนตที่เกิดจากแรง ^F รอบจุด O กําหนดใหแสดงคาในรูปเวกเตอร

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁵⁴ 

ตัวอยางที่ 4.5 จากรูป จงหาโมเมนตลัพธรอบจุด O กําหนดใหแสดงคาในรูปเวกเตอร

4.5 Principle of Moment

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁵⁶ 

ตัวอยางที่ 4.6 จากรูป จงหาโมเมนตของแรงรอบจุด O

ตัวอยางที่ 4.7 จากรูป จงหาโมเมนตของแรงรอบจุด O

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁵⁸ 

ตัวอยางที่ 4.8 จากรูป จงหาโมเมนตลัพธจากทั้งสามแรงรอบแกน x, y และ z

ตัวอยางที่ 4.9 จากรูป จงหาโมเมนต MAB ที่เกิดจากแรง ^F รอบแกน AB

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁶⁰ 

ตัวอยางที่ 4.10 จากรูป จงหาขนาดของโมเมนตที่เกิดจากแรง ^F รอบชิ้นสวน OA

4.6 โมเมนตของแรงคูควบ (Moment of couple)

แรงคูควบ (Force of couple) คือ แรง 2 แรงที่กระทําตอวัตถุหนึ่ง ๆ ซึ่งแรงคูนี้มีขนาดเทากัน ทิศทางตรงกันขาม และแนวกระทําของแรงทั้งคูไมอยูบนเสนตรงเดียวกัน แนวกระทําของแรงคูควบนี้

จะขนานกันหรือไมขนานกันก็ได จึงทําใหวัตถุไมมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อนตําแหนง วัตถุจะหมุนอยาง เดียวเทานั้น

โมเมนตของแรงคูควบ (Mc) คือ ผลคูณระหวางแรงแรงหนึ่งของแรงคูควบกับระยะทางวัดตั้งฉาก รวมระหวางแนวกระทําของแรงคูควบทั้งสองนั้น

โมเมนตของแรงคูควบเปนเวกเตอรอิสระ ซึ่งมีขนาดและทิศทางคงที่ มีเพียงแตแนวกระทําของ โมเมนตนั้นที่สามารถเคลื่อนยายได

โมเมนตของแรงคูควบกระทําตั้งฉากกับระนาบของแรงคูควบ และมีทิศทางการหมุนเปนไปตาม

 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁶² 

ตัวอยางที่ 4.11 จากรูป จงหาโมเมนตลัพธของแรงคูควบ

ตัวอยางที่ 4.12 จากรูป จงหาขนาดและทิศทางของโมเมนตแรงคูควบที่กระทําตอเกียร

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁶⁴ 

ตัวอยางที่ 4.13 จากรูป จงหาโมเมนตแรงคูควบที่กระทําตอทอ AB

ตัวอยางที่ 4.14 จากรูป จงหาโมเมนตลัพธของแรงคูควบที่กระทําตอทอ

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁶⁶ 

4.7 Simplification of a Force and Couple System

ตัวอยางที่ 4.15 จากรูป จงหาแรงลัพธและโมเมนตของแรงคูควบที่กระทํา ณ จุด O

ตัวอยางที่ 4.16 จากรูป จงหาแรงลัพธและโมเมนตของแรงคูควบที่กระทํา ณ จุด O

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁶⁸ 

ตัวอยางที่ 4.17 โมเมนตแรงคูควบ M และแรง F1 และ F2 กระทําตอโครงสราง ดังรูป จงหาแรงลัพธและ โมเมนตของแรงคูควบที่กระทํา ณ จุด O

ตัวอยางที่ 4.18 จากรูป จงหาขนาดและตําแหนงของแรงลัพธ

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁷⁰ 

ตัวอยางที่ 4.19 จากรูป จงหาขนาดและตําแหนงของแรงลัพธ

บทที่ 5 Equilibrium of a Rigid Body

5.1 Introduction

วัตถุใด ๆ จะอยูในสมดุลก็ตอเมื่อผลลัพธของแรงทั้งหมดมีคาเทากับศูนย

ผลลัพธของแรงทั้งหมด หมายถึง แรงลัพธและแรงคูควบลัพธ

5.2 Equilibrium in 2D

Free Body Diagram ดังแสดงในรูป

ในระบบ 2 มิติ นิยมตั้งแกน x-y ในผังวัตถุอิสระ

สมการสมดุลในรูปเวกเตอร;

 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁷² 

ตัวอยางที่ 5.1 จากรูป จงวาด Free Body Diagram ของคานสม่ําเสมอที่มีมวล 100 kg

ตัวอยางที่ 5.2 จากรูป จงวาด Free Body Diagram เมื่อที่จุด B เกิดแรง 100 N

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁷⁴ 

ตัวอยางที่ 5.3 จากรูป จงวาด Free Body Diagram เมื่อแตละทอมีมวล 300 kg

ตัวอยางที่ 5.4 จากรูป จงวาด Free Body Diagram เมื่อ Platform มีมวล 200 kg

 

 

ตัวอยางที่ 5.5 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A และ B เมื่อไมคิดน้ําหนักของคาน

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁷⁶ 

ตัวอยางที่ 5.6 จากรูป จงหาแรงดึงของเชือกที่จุด C และแรงปฏิกิริยาที่จุด A

ตัวอยางที่ 5.7 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁷⁸ 

ตัวอยางที่ 5.8 จากรูป จงหาโมเมนตและแรงที่เกิดขึ้นรอบจุด A

ตัวอยางที่ 5.9 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A และ B

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁸⁰ 

ตัวอยางที่ 5.10 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A, B และ C

ตัวอยางที่ 5.11 จากรูป จงหาแรงดึงในเสนเชือกทั้งสองเสนที่ใชดึงสวนทายของรถบรรทุก

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁸² 

ตัวอยางที่ 5.12 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A และ B

5.2 Equilibrium in 3D

Free Body Diagram ดังแสดงในรูป

ในระบบ 3 มิติ จะพิจารณาทั้งแกน x, y, z ในผังวัตถุอิสระ

สมการสมดุลในรูปเวกเตอร;

สมการสมดุลในรูปสเกลาร;

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁸⁴ 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁸⁶ 

ตัวอยางที่ 5.13 จากรูป จงวาด Free Body Diagram

ตัวอยางที่ 5.14 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A, B และ C เมื่อแผนระนาบนี้มีมวล 100 kg

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁸⁸ 

ตัวอยางที่ 5.15 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A, B และ C

ตัวอยางที่ 5.16 จากรูป จงหาแรงดึงในเสนเชือก AB และ AC เมื่อรองรับกระถางที่มีน้ําหนัก 375 N

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁹⁰ 

ตัวอยางที่ 5.17 จากรูป จงหาแรงปฏิกิริยาที่จุด A และแรงดึงในเสนเชือก BD และ BE

ตัวอยางที่ 5.18 จากรูป จงใชสมการสมดุลเพียงหนึ่งสมการเพื่อหาแรงดึงในเสนเชือก BC

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁹² 

5.3 Two-Forces Member คุณสมบัติ

5.4 Three-Forces Member คุณสมบัติ

 

ตัวอยางที่ 5.19 จากรูป จงหาแรงที่เกิดขึ้น ณ จุด A

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁹⁴ 

บทที่ 6 Structural Analysis

ในบทนี้จะพิจารณาหาคาแรงในชิ้นสวนของโครง Truss ดวยการใชวิธี ณ ขอตอ (Method of Joints) และดวยวิธีการตัด section (Method of Section) ของโครง Truss นอกจากนี้ จะหาคาแรงใน ชิ้นสวนที่ถูกกระทําโดยเครื่องจักร (Frames and Machines) ภายใตขอสมมุติฐานที่วา ถาโครง Truss อยูในสภาวะสมดุล ชิ้นสวนแตละชิ้นก็จะอยูในสภาวะสมดุลดวย

6.1 Method of Joints

ตัวอยางที่ 6.1 จากรูป จงหาแรงภายในสําหรับแตละชิ้นสวน และระบุวาเปนแรงดึงหรือแรงอัด

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁹⁶ 

ตัวอยางที่ 6.2 จากรูป จงหาแรงภายในสําหรับแตละชิ้นสวน และระบุวาเปนแรงดึงหรือแรงอัด

ตัวอยางที่ 6.3 จากรูป จงหาแรงภายในสําหรับแตละชิ้นสวน และระบุวาเปนแรงดึงหรือแรงอัด

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ⁹⁸ 

ตัวอยางที่ 6.4 จากรูป จงหาระบุวาชิ้นสวนใดมีคาแรงภายในเปนศูนย (Zero-force members)

6.2 Method of Section

ตัวอยางที่ 6.5 จากรูป จงหาแรงภายในชิ้นสวน GE, GC และ BC และระบุวาเปนแรงดึงหรือแรงอัด

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁰⁰ 

ตัวอยางที่ 6.6 จากรูป จงหาแรงภายในชิ้นสวน CF และระบุวาเปนแรงดึงหรือแรงอัด

ตัวอยางที่ 6.7 จากรูป จงหาแรงภายในชิ้นสวน EB และระบุวาเปนแรงดึงหรือแรงอัด

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁰² 

6.3 Frames and Machines

ตัวอยางที่ 6.8 จากรูป จงหาวาด Free Body Diagram สําหรับแตละชิ้นสวน และสําหรับ pin B

ตัวอยางที่ 6.9 จากรูป จงหาวาด Free Body Diagram

 

 

ตัวอยางที่ 6.10 จากรูป จงหาวาด Free Body Diagram

ตัวอยางที่ 6.11 จากรูป จงหาวาด Free Body Diagram

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁰⁴ 

ตัวอยางที่ 6.12 จากรูป จงหาแรงประกอบในแนวระดับและแนวดิ่ง ณ จุด C

ตัวอยางที่ 6.13 จากรูป จงหาแรงประกอบของแรงปฏิกิริยา ณ จุดรองรับ A และ C

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁰⁶ 

ตัวอยางที่ 6.14 จากรูป ลิฟตยกรถมีมวล 500 kg ถูกยกขึ้นดวยมอเตอร A และใชระบบลอก ถาการ เคลื่อนที่ของลิฟตมีความเร็วคงที่ จงหาแรงดึงในเสนเชือกทั้งสองเสนนี้ เมื่อไมคิดน้ําหนักของเชือกและ รอก

 

ตัวอยางที่ 6.15 จากรูป คานสองตัวถูกยึดกันไวดวยเชือก BC และทอนเหล็ก DE จงหา (1) แรง ปฏิกิริยาที่จุด A และ F และ (2) แรงในเสนเชือก BC และทอนเหล็ก DE

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹⁰⁸ 

ตัวอยางที่ 6.16 จากรูป ผูชายหนัก 75 kg พยายามดึงคานที่หนัก 40 kg ขึ้น จงหาแรงดึงในเสนเชือกที่

จุด B และแรงปฏิกิริยาที่ผูชายกระทําตอคาน

ตัวอยางที่ 6.17 ทรงกระบอกหนัก 50 kg ถูกยึดไวดังรูป จงหาแรงประกอบในแนวระดับและในแนวดิ่ง ของแรงปฏิกิริยาที่จุด A และแรงที่จุด C

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹¹⁰ 

บทที่ 7 Internal Forces

7.1 Internal Forces Developed in Structural Member

ในการออกแบบโครงสรางหรือชิ้นสวนตาง ๆ มีความจําเปนที่จะตองทราบ Load ที่มากระทําตอ ภายในชิ้นสวนนั้น เพื่อมั่นใจวาวัสดุที่นํามาทําชิ้นสวนจะรับ Load ได

การหา Internal Forces จะใช Method of Section

FBD ณ จุด ใชกฎขอที่ 3 ของนิวตัน ดังนั้น แตละแรงจึงมีทิศทางที่ตรงกันขาม

ในการหาคา NB, VB, MB จะใชหลักของสมการสมดุล คือ

ในระบบ 3 มิติ

การพิจารณาเครื่องหมาย +, -

Normal force

Shear force

 

เรียบเรียงโดย อ.ดร.ปรียาพร โกษา     ¹¹² 

ตัวอยางที่ 7.1 จากรูป จงหา Normal force, Shear force และ Bending moment ที่จุด B และ C

ตัวอยางที่ 7.2 จากรูป จงหา Normal force, Shear force และ Bending moment ที่จุด C