เทคนิคขั้นตอนวิธีการหาค่าเหมาะที่สุดด้วยวิธีหมากรุก
วิทยานิพนธ์
ของ คณาวุฒิ โพธิยา
เสนอต่อมหาวิทยาลัยมหาสารคาม เพื่อเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตร ปริญญาวิศวกรรมศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์
สิงหาคม 2562
สงวนลิขสิทธิ์เป็นของมหาวิทยาลัยมหาสารคาม
เทคนิคขั้นตอนวิธีการหาค่าเหมาะที่สุดด้วยวิธีหมากรุก
วิทยานิพนธ์
ของ คณาวุฒิ โพธิยา
เสนอต่อมหาวิทยาลัยมหาสารคาม เพื่อเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตร ปริญญาวิศวกรรมศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์
สิงหาคม 2562
สงวนลิขสิทธิ์เป็นของมหาวิทยาลัยมหาสารคาม
Chess Algorithm Optimization Technique
Kanawut Pothiya
A Thesis Submitted in Partial Fulfillment of Requirements for Master of Engineering (Electrical and Computer Engineering)
August 2019
Copyright of Mahasarakham University
4
คณะกรรมการสอบวิทยานิพนธ์ ได้พิจารณาวิทยานิพนธ์ของนายคณาวุฒิ โพธิยา แล้ว เห็นสมควรรับเป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตรปริญญา วิศวกรรมศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ ของมหาวิทยาลัยมหาสารคาม
คณะกรรมการสอบวิทยานิพนธ์
(ผศ. ดร. อนันต์ เครือทรัพย์ถาวร )
ประธานกรรมการ
(รศ. ดร. วรวัฒน์ เสงี่ยมวิบูล )
อาจารย์ที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์หลัก
(ผศ. ดร. ชลธี โพธิ์ทอง )
กรรมการ
(ผศ. ดร. นิวัตร์ อังควิศิษฐพันธ์ )
กรรมการ
มหาวิทยาลัยอนุมัติให้รับวิทยานิพนธ์ฉบับนี้ เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาตามหลักสูตร ปริญญา วิศวกรรมศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ ของมหาวิทยาลัย มหาสารคาม
(รศ. ดร. อนงค์ฤทธิ์ แข็งแรง )
คณบดีคณะวิศวกรรมศาสตร์
(ผศ. ดร. กริสน์ ชัยมูล ) คณบดีบัณฑิตวิทยาลัย
ง
บทคัดย่อ ภาษาไทย
ชื่อเรื่อง เทคนิคขั้นตอนวิธีการหาค่าเหมาะที่สุดด้วยวิธีหมากรุก ผู้วิจัย คณาวุฒิ โพธิยา
อาจารย์ที่ปรึกษา รองศาสตราจารย์ ดร. วรวัฒน์ เสงี่ยมวิบูล
ปริญญา วิศวกรรมศาสตรมหาบัณฑิต สาขาวิชา วิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์
มหาวิทยาลัย มหาวิทยาลัยมหาสารคาม ปีที่พิมพ์ 2562
บทคัดย่อ
วิทยานิพนธ์นี้ น าเสนอขั้นตอนวิธีการหาค่าเหมาะที่สุดแบบใหม่ ได้แนวคิดมาจาก เกมส์
หมากรุกสากล เรียกว่า วิธีหมากรุก (Chess Algorithm ; CA) วิธีการที่น าเสนอนี้ มีคุณลักษณะที่ดี
หลายประการ คือ ง่ายต่อการด าเนินการ คุณลักษณะการลู่เข้าสู่ค าตอบที่คงตัว มีประสิทธิภาพการ ประมวลผลที่ดี และได้ค าตอบที่มีคุณภาพสูง เพื่อที่จะประเมินคุณภาพของวิธีการนี้ ได้ท าการทดสอบ กับปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ต่างๆ และปัญหาการปรับค่าพารามิเตอร์
ของตัวควบคุมพีไอดีส าหรับระบบรักษาระดับแรงดันไฟฟ้าอัตโนมัติ พร้อมทั้งเปรียบเทียบผลการ ทดสอบกับวิธีการหาค่าเหมาะที่สุดวิธีการอื่น อย่างเช่น วิธีเชิงพันธุกรรม วิธีกลุ่มอนุภาค และวิธีฝูงผึ้ง โดยใช้เกณฑ์ด้านสมรรถนะ (Performance Criteria) หลายแบบ ผลการทดสอบ แสดงให้เห็นว่า วิธีการที่น าเสนอนี้ มีประสิทธิภาพ และเสถียรภาพในการค้นหาค าตอบดีกว่าวิธีการอื่นๆ ที่น ามา ทดสอบ
ค าส าคัญ : ระบบรักษาระดับแรงดันไฟฟ้าอัตโนมัติ, วิธีหมากรุก, ฟังก์ชั่นคณิตศาสตร์, ปัญหาการหา ค่าเหมาะที่สุด, ตัวควบคุมพีไอดี
จ
บทคัดย่อ ภาษาอังกฤษ
TITLE Chess Algorithm Optimization Technique AUTHOR Kanawut Pothiya
ADVISORS Associate Professor Worawat Sa-ngiamvibool , Ph.D.
DEGREE Master of Engineering MAJOR Electrical and Computer Engineering
UNIVERSITY Mahasarakham University
YEAR 2019
ABSTRACT
This thesis proposes a new optimization technique based on Chess game, called “Chess Algorithm; CA). The proposed approach had many good features such as easy implementation, stable convergence characteristic, good computational efficiency and high-quality solution. In order to assist the performance of the proposed technique, the optimization solving problems of mathematical functions and optimal tuning the parameters of PID controller for Automatic Voltage Regulator system (AVR) have been performed. Furthermore, the tested results are compared with other optimization techniques i.e. Genetic Algorithm (GA), Particle Swarm Optimization (PSO) and Bee Algorithm (BA) under many time-domain performance criterion functions. The simulation results shown the proposed technique is indeed more efficiency and stability than other techniques.
Keyword : Automatic Voltage Regulator system, Chess Algorithm, Mathematical functions, Optimization technique, PID Controller
ฉ
กิตติกรรมประกาศ
กิตติกรรมประกาศ
วิทยานิพนธ์ ฉบับนี้ส าเร็จลุล่วงได้ด้วยดีด้วยความกรุณาของ รองศาสตราจารย์ ดร.วรวัฒน์
เสงี่ยมวิบูล อาจารย์ที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์หลัก ที่ให้คอยให้ความช่วยเหลือ และให้ค าแนะน าการในการ แก้ปัญหาต่าง ๆ ตลอดจนถ่ายทอดความรู้ ประสบการณ์ที่ดีแก่ข้าพเจ้าตลอดระยะเวลาที่ศึกษาอยู่ ขอ กราบขอบพระคุณเป็นอย่างสูง
ขอกราบขอบคุณ คณาจารย์ประจ าภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ คณะ วิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยมหาสารคาม ทุกๆ ท่านที่ได้ถ่ายทอดความรู้ และให้ความอนุเคราะห์ใน ด้านสถานที่ เอกสารทางด้านวิชาการต่างๆ
ขอขอบคุณ เจ้าหน้าที่ทุกๆท่าน และขอขอบคุณพี่ๆ เพื่อนๆ ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า และ คอมพิวเตอร์ ระดับปริญญาโท และ ปริญญาเอก มหาวิทยาลัยมหาสารคาม ทุกๆ ท่านที่คอยให้ความ ช่วยเหลือในด้านเอกสารต่างๆ และให้ก าลังใจด้วยดีเสมอมา
สุดท้ายนี้ข้าพเจ้าขอกราบขอบพระคุณบิดา มารดา และพี่น้องทุกๆ ท่าน ที่คอยให้การ สนับสนุน และช่วยเหลือแก่ข้าพเจ้าในทุกๆ ด้าน พร้อมทั้งเป็นก าลังใจสามารถท าวิทยานิพนธ์ส าเร็จ ลุล่วงได้ด้วยดี ส าหรับคุณค่า และประโยชน์อันใด ที่ได้มาจากวิทยานิพนธ์ฉบับนี้ ข้าพเจ้าขอมอบแด่บิดา มารดา ครู อาจารย์ และผู้มีอุปการะคุณทุกท่าน
คณาวุฒิ โพธิยา
ช
สารบัญ
หน้า บทคัดย่อภาษาไทย ... ง บทคัดย่อภาษาอังกฤษ ... จ กิตติกรรมประกาศ... ฉ สารบัญ ... ช สารบัญตาราง ... ฌ สารบัญภาพประกอบ... ญ
บทที่ 1 บทน า ... 1
1.1 ความส าคัญและที่มาของปัญหา ... 1
1.2 วัตถุประสงค์ของการวิจัย ... 2
1.3 ขอบเขตของการวิจัย... 2
1.4 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ... 3
บทที่ 2 เอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวข้อง ... 4
2.1 กล่าวน า ... 4
2.2 การหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ ... 4
2.3 วิธีการหาค่าที่เหมาะสมเชิงวิวัฒนาการ ... 13
2.4 วิธีการหาค่าที่เหมาะสมเชาวน์ปัญญาเชิงกลุ่ม ... 20
2.5 วิธีหมากรุก ... 30
2.6 ระบบรักษาระดับแรงดันไฟฟ้าอัตโนมัติ ... 37
2.7 งานวิจัยที่เกี่ยวข้อง... 44
บทที่ 3 การประยุกต์ใช้วิธีหมากรุกในแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสม ... 46
3.1 บทน า ... 46
ซ
3.2 การหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นคณิตศาสตร์ ... 46
3.3 การจ าลองระบบรักษาระดับแรงดันไฟฟ้าอัตโนมัติ ... 49
3.4 การด าเนินการใช้วิธีการหาค่าที่เหมาะสมในการออกแบบระบบ ... 52
3.5 ระเบียบวิธีการของวิธีการหาค่าที่เหมาะสมของตัวควบคุมพีไอดี ... 54
บทที่ 4 ผลการทดสอบและวิเคราะห์ข้อมูล ... 59
4.1 การประเมินสมรรถนะของวิธีการหาค่าที่เหมาะสม ... 59
4.2 ผลการจ าลองแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นคณิตศาสตร์ ... 61
4.3 ผลการจ าลองแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมของตัวควบคุมพีไอดีส าหรับระบบรักษา แรงดันไฟฟ้าอัตโนมัติ ... 66
บทที่ 5 สรุปผล และข้อเสนอแนะ ... 70
5.1 สรุปผล ... 70
5.2 ข้อเสนอแนะ ... 70
บรรณานุกรม ... 71
ภาคผนวก ... 78
ประวัติผู้เขียน ... 89
ฌ สารบัญตาราง
หน้า
ตาราง 2.1 สรุปหลักการในการด าเนินงานของวิธีการหาค่าที่เหมาะที่สุดแต่ละวิธี………..35
ตาราง 2.2 ผลกระทบต่อผลตอบสนองทางเวลาของระบบ เมื่อเพิ่มค่าพารามิเตอร์อย่างอิสระ……42
ตาราง 3.1 ฟังก์ชั่นคณิตศาสตร์มาตราฐานที่นิยมส าหรับการหาค่าเหมาะที่สุด………49
ตาราง 4.1 ผลทดสอบแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Rosenbrock ด้วยวิธีฝูงผึ้ง……….61
ตาราง 4.2 ผลทดสอบแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Schaffer ด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA………..62
ตาราง 4.3 ผลทดสอบแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Sphere ด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA……….62
ตาราง 4.4 ผลทดสอบแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Rosenbrock ด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA……….62
ตาราง 4.5 ผลทดสอบแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Griewank ด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA………63
ตาราง 4.6 ผลทดสอบแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Rastrigin ด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA………..63
ตาราง 4.7 ค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะที่สุดของตัวควบคุมพีไอดี เมื่อใช้เกณฑ์ดัชนีสมรรถนะ แบบต่างๆ………..66
ตาราง 4.8 ค่าคุณลักษณะต่างๆ ของผลตอบสนองทางเวลา เมื่อใช้เกณฑ์ดัชนีสมรรถนะ แบบต่างๆ………..67
ตาราง 4.9 ผลทดสอบหาค่าพารามิเตอร์เหมาะที่สุดของตัวควบคุมพีไอดี ด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA………..68
ตาราง 4.10 ค่าพารามิเตอร์เฉลี่ยของตัวควบคุมพีไอดี ที่ค้นหาด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA และค่าคุณลักษณะต่างๆ ของผลตอบสนองทางเวลา……….68
ตาราง ก.1 แสดงผลการค้นหาค าตอบที่เหมาะที่สุดของฟังก์ชั่น Schaffer……….80
ตาราง ก.2 แสดงผลการค้นหาค าตอบที่เหมาะที่สุดของฟังก์ชั่น Sphere………81
ตาราง ก.3 แสดงผลการค้นหาค าตอบที่เหมาะที่สุดของฟังก์ชั่น Rosenbrock……….82
ตาราง ก.4 แสดงผลการค้นหาค าตอบที่เหมาะที่สุดของฟังก์ชั่น Griewank………..83
ตาราง ก.5 แสดงผลการค้นหาค าตอบที่เหมาะที่สุดของฟังก์ชั่น Rastrigin……….84
ตาราง ข.1 ผลทดสอบการหาค่าพารามิเตอร์เหมาะที่สุดของตัวควบคุมพีไอดี เมื่อใช้เกณฑ์ดัชนีสมรรถนะแบบต่างๆ………85
ตาราง ค.1 ผลทดสอบหาค่าพารามิเตอร์เหมาะที่สุดของตัวควบคุมพีไอดี ด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA………..88
ญ สารบัญภาพประกอบ
หน้า
ภาพประกอบ 2.1 แสดงค่าสูงสุดและต่ าสุดสัมพัทธ์………5
ภาพประกอบ 2.2 แสดงค่าสูงสุดและต่ าสุดสัมพัทธ์ และความชัน………..5
ภาพประกอบ 2.3 จุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชั่น………..6
ภาพประกอบ 2.4 การใช้อนุพันธ์อันดับที่สองเพื่อทดสอบ critical point จากเงื่อนไขอันดับที่หนึ่ง……….…7
ภาพประกอบ 2.5 ฟังก์ชั่นที่มีขอบเขตจ ากัด………10
ภาพประกอบ 2.6 ขั้นตอนการด าเนินงานของวิธีเชิงพันธุกรรม……….17
ภาพประกอบ 2.7 แสดงการสุ่มหาประชากรเริ่มต้น จ านวน 4 โครโมโซม………..18
ภาพประกอบ 2.8 แสดงสัดส่วนของค่าฟังก์ชั่นความเหมาะที่สุดในวงล้อรูเลต………..19
ภาพประกอบ 2.9 การข้ามสายพันธุ์……….20
ภาพประกอบ 2.10 การกลายพันธุ์………..20
ภาพประกอบ 2.11 ขั้นตอนการด าเนินงานของวิธีกลุ่มอนุภาค……….26
ภาพประกอบ 2.12 ขั้นตอนการด าเนินงานของวิธีฝูงผึ้ง………29
ภาพประกอบ 2.13 การตั้งกระดานหมากรุกสากล………..31
ภาพประกอบ 2.14 การเดินหมากแต่ละตัว……….32
ภาพประกอบ 2.15 ผังงานของขั้นตอนการด าเนินงานของวิธีหมากรุก……….36
ภาพประกอบ 2.16 การปักหมุดและการลดล าดับขั้น………37
ภาพประกอบ 2.17 ฟังก์ชั่นถ่ายโอนที่สมบูรณ์ของระบบรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ………..40
ภาพประกอบ 2.18 บล็อกไดอะแกรมของตัวควบคุมพีไอดี……….41
ภาพประกอบ 3.1 ฟังก์ชั่น Schaffer (a) กราฟพื้นผิว (b) กราฟโครงร่าง……….46
ภาพประกอบ 3.2 ฟังก์ชั่น Sphere (a) กราฟพื้นผิว (b) กราฟโครงร่าง………47
ภาพประกอบ 3.3 ฟังก์ชั่น Rosenbrock (a) กราฟพื้นผิว (b) กราฟโครงร่าง……….47
ภาพประกอบ 3.4 ฟังก์ชั่น Griewank (a) กราฟพื้นผิว (b) กราฟโครงร่าง………48
ภาพประกอบ 3.5 ฟังก์ชั่น Rastrigin (a) กราฟพื้นผิว (b) กราฟโครงร่าง……….48
ภาพประกอบ 3.6 บล็อกไดอะแกรมของระบบรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ………49
ภาพประกอบ 3.7 ค าสั่งในโปรแกรม MatLab® และผลการจ าลอง………50
ภาพประกอบ 3.8 แบบจ าลองของระบบรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ โดยใช้ Simulink………..50
ภาพประกอบ 3.9 ผลตอบสนองขั้นบันได (Step response) ของสัญญาณขาออก………51
ภาพประกอบ 3.10 ระบบรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ ที่ควบคุมด้วยตัวควบคุมพีไอดี……….51
ภาพประกอบ 3.11 การออกแบบตัวควบคุมพีไอดีโดยการใช้วิธีการหาค่าเหมาะที่สุด……….52
ภาพประกอบ 4.1 หลักการหาเวลาการค านวณ……….60
ภาพประกอบ 4.2 ฮิสโตแกรมของผลการแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Schaffer ด้วยวิธีต่างๆ………..63
ภาพประกอบ 4.3 ฮิสโตแกรมของผลการแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Sphere ด้วยวิธีต่างๆ……….64
ฎ หน้า
ภาพประกอบ 4.4 ฮิสโตแกรมของผลการแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Rosenbrock ด้วยวิธีต่างๆ………..64
ภาพประกอบ 4.5 ฮิสโตแกรมของผลการแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Griewank ด้วยวิธีต่างๆ………65
ภาพประกอบ 4.6 ฮิสโตแกรมของผลการแก้ปัญหาฟังก์ชั่น Rastrigin ด้วยวิธีต่างๆ………..65
ภาพประกอบ 4.7 ผลตอบสนองทางเวลา เมื่อใช้เกณฑ์ดัชนีสมรรถนะแบบต่างๆ………67
ภาพประกอบ 4.8 ผลตอบสนองทางเวลาของแรงดันที่ขั้ว ที่ค้นหาด้วยวิธี GA, PSO, BA และ CA……….69
1
บทที่ 1 บทน า
1.1 ความส าคัญและที่มาของปัญหา
ในปัจจุบันการหาค่าที่เหมาะสม (Optimization) ได้ถูกน ามาใช้ในการแก้ปัญหาต่างๆ อย่าง แพร่หลายในวิชาชีพหลายวงการ อาทิเช่น ทางด้านอากาศยาน ทางการแพทย์ การขนส่ง ทางด้าน การเงิน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทางด้านวิศวกรรมในสาขาต่างๆ เป็นเพราะว่า ปัญหาเหล่านี้ค่อนข้างยาก ซับซ้อน และยากต่อการแก้ปัญหา แต่เมื่อน าการหาค่าที่เหมาะสมมาใช้ ท าให้การแก้ปัญหาเหล่านี้
เป็นงานง่าย รวดเร็ว และมีประสิทธิภาพ
วิธีการหาค่าที่เหมาะสม (Optimization Techniques) ที่เป็นที่นิยมในปัจจุบัน คือ การหา ค่าที่เหมาะสมแบบสุ่ม (Stochastic Optimization) อย่างเช่น วิธีการหาค่าที่เหมาะสมเชิง
วิวัฒนาการ (Evolutionary Optimization Algorithm) ได้แก่ วิธีเชิงพันธุกรรม (Genetic Algorithm) [1-2] วิธีกลุ่มอนุภาค (Particle Swarm Optimization; PSO) [3-4] วิธีฝูงผึ้ง ปัญญาประดิษฐ์ (Artificial Bee Colony; ABC) [5-6] และวิธีพฤติกรรมฝูงมด (Ant Colony Optimization; ACO) [7-8]
อย่างไรก็ตาม ถึงแม้ว่าวิธีการเหล่านี้จะมีประสิทธิภาพในการค้นหาค่าที่เหมาะสม แต่ก็มี
ข้อด้อยอยู่บ้าง อีกทั้งต้องการพัฒนาวิธีการให้มีประสิทธิภาพให้สูงขึ้น จึงเป็นที่สนใจของนักวิจัย หลายๆท่าน ที่จะพัฒนา ปรับปรุง และคิดค้นวิธีการใหม่ๆ เพื่อที่จะสามารถแก้ปัญหาได้อย่างมี
ประสิทธิภาพและรวดเร็วมากขึ้น
วัตถุประสงค์หลักของวิทยานิพนธ์นี้ ได้น าเสนอวิธีการหาค่าที่เหมาะสมแบบใหม่ ที่เรียกว่า วิธีหมากรุก (Chess Algorithm; CA) วิธีการที่น าเสนอนี้ ได้แรงบันดานใจมาจาก เกมหมากรุกสากล รวมถึง วิธีการเดินของตัวหมากรุกแต่ละตัว และยุทธศาสตร์การเล่น เมื่อน ามาประยุกต์ใช้กับวิธีการ หาค่าที่เหมาะสม ท าให้ได้ อัลกอริทึม (Algorithm) ที่มีลักษณะเฉพาะที่ดีหลายประการ คือ ง่ายต่อ การด าเนินการ คุณลักษณะการลู่เข้าสู่ค าตอบที่คงตัว มีประสิทธิภาพการประมวลผลที่ดี และได้
ค าตอบที่มีคุณภาพสูง เพื่อที่จะประเมินประสิทธิภาพของวิธีการที่น าเสนอนี้ ได้ท าการทดสอบกับ ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ต่างๆ และปัญหาการปรับค่าพารามิเตอร์ของ ตัวควบคุมพีไอดีส าหรับระบบรักษาระดับแรงดันไฟฟ้าอัตโนมัติ พร้อมทั้งเปรียบเทียบผลการทดสอบ กับวิธีการที่เหมาะสมวิธีการอื่น อย่างเช่น วิธีเชิงพันธุกรรม วิธีกลุ่มอนุภาค และวิธีฝูงผึ้ง โดยใช้เกณฑ์
ด้านสมรรถนะ (Performance Criteria) หลายแบบ ผลการทดสอบ แสดงให้เห็นว่า วิธีการที่น าเสนอ นี้ มีประสิทธิภาพและเสถียรภาพในการค้นหาค าตอบดีกว่าวิธีการอื่นที่น ามาทดสอบ
ในระบบผลิตก าลังไฟฟ้า ตัวรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ (Automatic Voltage Regulator;
AVR) ถูกน ามาใช้เพื่อรักษาระดับแรงดันที่ขั้ว (Terminal voltage) ของเครื่องก าเนิดไฟฟ้าซิงโครนัส ให้อยู่ในระดับที่ก าหนดไว้ ซึ่งควบคุมโดยการปรับแรงดันของตัวกระตุ้น (Exciter) ของเครื่องก าเนิด ไฟฟ้า เนื่องจากขดลวดสนาม (Filed windings) ของเครื่องก าเนิดไฟฟ้ามีค่าเหนี่ยวน า (Inductance) สูง และมีภาระ (Load) ที่เปลี่ยนแปลงบ่อย ท าให้การควบคุมเพื่อที่จะให้ได้ระบบที่มีเสถียรภาพ
2 (Stable) และมีผลตอบสนองทางเวลา (Time response) ท าได้ค่อนข้างยาก ดังนั้นจึงเป็นสิ่งส าคัญ ในปรับปรุงสมรรถนะของผลตอบสนองทางเวลาของแรงดันที่ขั้ว เพื่อให้แน่ใจว่า มีผลตอบสนองที่ดี
และมีเสถียรภาพ ต่อการเปลี่ยนแปลงชั่วครู่ (Transient changes)
ตัวควบคุมที่นิยมน ามาใช้ในตัวรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ คือ ตัวควบคุมพีไอดี
(Proportional-Integral-Derivative; PID) เพราะมีโครงสร้างที่ง่าย สมรรถนะในการใช้งานค่อนข้าง คงทนในช่วงการท างานที่กว้าง และใช้กับระบบต่างๆ ได้อย่างกว้างขวาง ส าหรับการออกแบบระบบ ควบคุม ท าได้โดยการปรับค่าพารามิเตอร์ทั้งสามค่าของตัวควบคุมพีไอดีให้เหมาะสม นั่นคือ อัตราขยายสัดส่วน (Proportional Gain) อัตราขยายปริพันธ์ (Integral Gain) และอัตราขยาย อนุพันธ์ (Derivative Gain)
ในทางปฏิบัติบ่อยครั้งการปรับค่าพารามิเตอร์ต้องอาศัยผู้เชี่ยวชาญ ที่มีความช านาญ มักจะ ใช้วิธีทดลองปรับค่า (Trial and error) หรือใช้สูตรส าเร็จ ซึ่งบางครั้งอาจจะปรับค่ายาก ใช้เวลานาน อีกทั้งค่าที่ได้มักจะไม่ใช่ค่าที่เหมาะสมที่สุด จึงได้มีการคิดค้นและพัฒนาวิธีการปรับค่าพารามิเตอร์ให้
เหมาะสมหลายวิธี ส่วนที่เป็นที่ยอมรับได้แก่ วิธีของซีเกลอร์-นิโคลส (Ziegler-Nichols) [9] ซึ่งใช้ได้ดี
กับระบบที่มีเสถียรภาพเท่านั้น อีกทั้งการปรับค่ายังขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของขบวนการ ส่วนระบบที่ไม่
เป็นเชิงเส้น (Non-linear) หรือ มีอันดับสูง (High order) วิธีนี้จะยากมากในการปรับค่าที่เหมาะสม จึงได้นิยมน าวิธีการหาค่าที่เหมาะสมมาใช้ในการแก้ปัญหานี้
1.2 วัตถุประสงค์ของการวิจัย
1.2.1 เรียนรู้การใช้และเขียนโปรแกรม MatLab® ในการหาค่าที่เหมาะสมของปัญหาด้วย วิธีการหาค่าที่เหมาะสม เช่น วิธีเชิงพันธุกรรม วิธีกลุ่มอนุภาค วิธีฝูงผึ้ง และวิธีหมากรุก
1.2.2 ศึกษาประสิทธิภาพและสมรรถนะของวิธีการหาค่าที่เหมาะสม เช่น วิธีเชิงพันธุกรรม วิธีกลุ่มอนุภาค วิธีฝูงผึ้ง และวิธีหมากรุก ในการแก้ปัญหาฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ และปัญหาการปรับ ค่าพารามิเตอร์ของตัวควบคุมพีไอดี ส าหรับระบบรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ
1.2.3 ศึกษาผลลัพธ์ที่ได้จากการค้นหา เมื่อใช้เกณฑ์ดัชนีสมรรถนะ แบบต่าง ๆ มาทดสอบ 1.2.4 ศึกษาวิธีการและผลลัพธ์ในการวิเคราะห์ความคงทนของระบบรักษาระดับแรงดัน อัตโนมัติ ในกรณีค่าพารามิเตอร์ของระบบเปลี่ยนแปลง
1.3 ขอบเขตของการวิจัย
1.3.1 คิดค้นหลักการและล าดับขั้นตอนของวิธีการหาค่าที่เหมาะสมแบบใหม่ เรียกว่า วิธี
ยุทธวิธีหมากรุก และด าเนินการเขียนโปรแกรมภาษา MatLab® เพื่อแก้ปัญหาฟังก์ชั่นทาง คณิตศาสตร์ และปัญหาการออกแบบตัวควบคุมพีไอดี ส าหรับระบบรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ
1.3.2 เปรียบเทียบผลสมรรถนะของวิธีการหมากรุก กับวิธีการอื่นๆ ได้แก่ วิธีเชิงพันธุกรรม วิธีกลุ่มอนุภาค และวิธีฝูงผึ้ง เมื่อใช้เกณฑ์ดัชนีสมรรถนะหลายแบบ
3 1.3.3 ท าการวิเคราะห์ความคงทนของระบบรักษาระดับแรงดันอัตโนมัติ ในกรณี
ค่าพารามิเตอร์ของระบบเปลี่ยนแปลง 1.4 ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ
1.4.1 ได้วิธีการหาค่าที่เหมาะสมแบบใหม่ที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาการหาค่าที่
เหมาะสม
1.4.2 ได้พัฒนาวิธีการออกแบบตัวควบคุมพีไอดีแบบใหม่ ที่มีสมรรถนะที่ดี และมี
ประสิทธิภาพ
1.4.3 ได้ความรู้เกี่ยวกับการใช้และเขียนโปรแกรม MatLab®
1.4.4 เป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมกับปัญหาอื่นๆ
4
บทที่ 2
เอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวข้อง
2.1 กล่าวน า
วิทยานิพนธ์นี้ ได้ท าการคิดค้นและด าเนินการวิธีการหาที่เหมาะสมแบบใหม่ คือ วิธีหมาก รุก พร้อมทั้งทดสอบสมรรถนะของวิธีหมากรุก ในการแก้ปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นทาง คณิตศาสตร์ และปัญหาการปรับค่าพารามิเตอร์ที่เหมาะสมของตัวควบคุมพีไอดีส าหรับระบบรักษา ระดับแรงดันไฟฟ้าอัตโนมัติ ซึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับหลายหัวข้อ ได้แก่ การหาค่าที่เหมาะสมของ ฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ วิธีการหาค่าที่เหมาะสมเชิงวิวัฒนาการ (Evolutionary Optimization Algorithm) วิธีการหาค่าที่เหมาะสมเชาว์ปัญญาเชิงกลุ่ม (Swarm Intelligent Optimization) หลักการและล าดับขั้นตอนของวิธีหมากรุก (Chess Algorithm) ระบบรักษาระดับแรงดันไฟฟ้า อัตโนมัติ ตัวควบคุมและการปรับค่าพารามิเตอร์ของตัวควบคุมพีไอดี เกณฑ์ดัชนีสมรรถนะ เป็นต้น ในบทนี้จะแสดงรายละเอียดทั้งหมดดังที่กล่าวมานี้ พร้อมทั้งรายละเอียดของงานวิจัยที่เกี่ยวข้อง 2.2 การหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์
การหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุดของ ฟังก์ชั่นนั้นๆ ค่าสูงสุดหรือต่ าสุดของฟังก์ชัน ในที่นี้ หมายถึง ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่ าสุดสัมพัทธ์
(Relative maximum and minimum) โดยค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative maximum) ของฟังก์ชั่น หมายถึง ค่าสูงสุดของจุดที่ก าลังพิจารณาซึ่งสูงกว่าจุดอื่นๆ ที่อยู่ข้างเคียง จากภาพประกอบ 2.1 ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชั่น f(x) คือ จุด A และ C ส าหรับค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ (Relative minimum) ของฟังก์ชั่น หมายถึง ค่าต่ าสุดของจุดที่ก าลังพิจารณาซึ่งต่ ากว่าจุดอื่นๆ ที่อยู่ข้างเคียง จากจากภาพประกอบ 2.1 ค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชั่น f(x) คือ จุด B และ D ซึ่งค่าสูงสุดและ ต่ าสุดสัมพัทธ์ทั้งสองรวมเรียกว่า ค่าขีดสุดสัมพัทธ์ (Relative extremum) ทั้งนี้ค่าสูงสุดและต่ าสุด สัมพัทธ์ของฟังก์ชั่นอาจมีได้หลายค่า โดยค่าสูงสุดสัมพัทธ์ไม่จ าเป็นต้องเป็นจุดสูงที่สุดของฟังก์ชั่น เพียงแต่เป็นจุดซึ่งให้ค่าสูงสุด เมื่อเทียบกับจุดข้างเคียงเท่านั้น ในลักษณะเดียวกัน ค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ไม่
จ าเป็นต้องเป็นจุดต่ าที่สุดของฟังก์ชัน เพียงแต่เป็นจุดซึ่งให้ค่าต่ าสุดเมื่อเทียบกับจุดข้างเคียงเท่านั้น การหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่น ตามหลักการทางคณิตศาสตร์ สามารถแบ่งออกได้เป็นการ หาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นที่มีตัวแปรอิสระเพียงหนึ่งตัวแปร การหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นที่มีตัว แปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวแปร และการหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชั่นที่มีขอบเขตจ ากัด
5
A
x y
B
C D
) (x f y
x1 x2 x3 x4
ภาพประกอบ 2.1 แสดงค่าสูงสุดและต่ าสุดสัมพัทธ์
2.2.1 การหาค่าที่เหมาะสมของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระเพียงหนึ่งตัวแปร (Optimization with One Choice Variable)
ก าหนดให้ฟังก์ชั่น y f(x) เป็นฟังก์ชั่นที่มีความต่อเนื่อง (continuous) และ สามารถหาค่าอนุพันธ์ได้ (differentiable) ค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง (first-order derivative) ของ ฟังก์ชั่นที่ก าหนดให้ นั่นคือ ค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งนี้จะบอกถึงค่าความชันของจุดต่างๆ บนเส้นกราฟ ถ้าก าหนดให้ฟังก์ชั่น y f(x) ถูกแสดงในภาพประกอบ 2.2 จะเห็นได้ว่า จุด B เป็นจุดต่ าที่สุด และ จุด C เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น f(x) ค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งหรือค่าความชัน ของฟังก์ชั่น f(x) ณ จุด B และ C มีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือ f(x2)0 และ f(x3)0 นอกจากยังพบว่าค่าความชันของเส้นก่อนจุด B ซึ่งเป็นจุดต่ าสุดจะมีค่าความชันเป็นลบ แต่ค่าความ ชันของเส้นหลังผ่านจุด B จะมีค่าเป็นบวก ในขณะที่ค่าความชันของเส้นก่อนจุด C ซึ่งเป็นจุดสูงสุด จะมีค่าความชันเป็นบวก แต่ค่าความชันของเส้นหลังผ่านจุด C จะมีค่าเป็นลบ ความสัมพันธ์ดังกล่าว ถือได้ว่ามีความส าคัญในการก าหนดค่าสูงสุดหรือต่ าสุดของฟังก์ชั่นใดๆ ที่ก าลังพิจารณา
A
x y
B
C D
) (x f y
x1 x2 x3 x4 ()
() ()
()
ภาพประกอบ 2.2 แสดงค่าสูงสุดและต่ าสุดสัมพัทธ์
) (x dx f dy
6 อย่างไรก็ตามความสัมพันธ์ดังกล่าวยังไม่เพียงพอ ที่จะก าหนดเพื่อหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุด ของฟังก์ชั่นใดๆ พิจารณาภาพประกอบ 2.3 (ก) จากกราฟของฟังก์ชั่น f(x) ค่าความชันที่จุดJ มี
ค่าเท่ากับศูนย์ นอกจากนั้นค่าความชันของเส้นก่อนจุด J และค่าความชันของเส้นหลังผ่านจุด J
ไม่ได้เปลี่ยนแปลงเครื่องหมายแต่อย่างไร นั่นคือ มีค่าเป็นบวก เมื่อน าค่าความชันของฟังก์ชัน ไปแสดงเป็นกราฟจะได้ลักษณะตามภาพประกอบ 2.3 (ข) ดังนั้น ถึงแม้ว่าค่าความชันที่จุด J มีค่า เท่ากับศูนย์ แต่จุด J ไม่ได้เป็นจุดสูงสุดหรือต่ าสุดของฟังก์ชั่น เนื่องจากค่าความชันของเส้นก่อนจุด
J และหลังผ่านจุด J ไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย เราเรียกจุด J ว่าเป็นจุดเปลี่ยนเว้า (infection point)
ภาพประกอบ 2.3 (ค) และ (ง) ก็แสดงให้เห็นถึงจุดเปลี่ยนเว้าของฟังก์ชั่น g(x) พิจารณาค่าความชันที่จุด K มีค่ามากกว่าศูนย์ โดยที่ค่าความชันของเส้นก่อนจุด K และค่าความ ชันของเส้นหลังผ่านจุด K ไม่ได้เปลี่ยนแปลงเครื่องหมายแต่อย่างไร ดังนั้น ถ้าค่าความชันที่จุด K มี
ค่าไม่เท่ากับศูนย์ จุด K ไม่ได้เป็นจุดสูงสุดหรือต่ าสุดของฟังก์ชัน g(x)
x y
J
) (x f y
x
)
'(x f dx
dy
J'
x y
K
) (x g y
x
)
'(x f dx
dy
K'
( )
( )
( )
( )
ภาพประกอบ 2.3 จุดเปลี่ยนเว้า
ดังนั้นในการตรวจสอบหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุดของฟังก์ชั่นใดๆที่ก าลังพิจารณา ค่าความ ชันหรือค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะท าการสรุปหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุดของ ฟังก์ชั่นนั้นได้ จึงจ าเป็นต้องท าการวัดหาค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งหรือค่า
) (x f
7 ความชันของฟังก์ชั่นเมื่อมีการเปลี่ยนแปลงค่าของ x ซึ่งค่าดังกล่าวนี้สามารถหาได้โดยการค านวณหา ค่าอนุพันธ์อันดับที่สองของฟังก์ชั่น
ภาพประกอบ 2.4 แสดงให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง f(x) ค่า อนุพันธ์อันดับที่สอง f (x) จุดต่ าสุด และจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น
ณ จุด A นั่นคือ xx1 f(x1)0 f (x1)0
ณ จุด B นั่นคือ xx2 f(x2)0 f (x2)0
ณ จุด C นั่นคือ xx3 f(x3)0 f (x3)0
ณ จุด D นั่นคือ xx4 g(x4)0 g(x4)0
ณ จุด E นั่นคือ xx5 g(x5)0 g(x5)0
ณ จุด F นั่นคือ xx6 g(x6)0 g(x6)0
x y
A
x
dx dy
) (x f B
C
x1 x2 x3
x1 x2 x3
)
'(x f
x y
D
x
dx dy
) (x g
E F
x4 x5 x6
)
'(x g
x4 x5 x6
ภาพประกอบ 2.4 การใช้อนุพันธ์อันดับที่สองเพื่อทดสอบ (critical point) จากเงื่อนไขอันดับที่หนึ่ง
8 สรุปขั้นตอนในการตรวจสอบเพื่อหาค่าสูงสุดหรือต่ าสุดของฟังก์ชั่นใดๆที่ก าลังพิจารณา เงื่อนไขที่ส าคัญที่ใช้ตรวจสอบประกอบไปด้วย
1. เงื่อนไขที่จ าเป็นหรือเงื่อนไขอันดับที่หนึ่ง (Necessary conditions or first- order condition, FOC) หมายถึง เงื่อนไขที่ใช้เพื่อตรวจสอบค่าอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งของฟังก์ชั่น หรือตรวจสอบค่าความชันของฟังก์ชัน โดยที่ค่า xx0 จะเป็นค่าสูงสุดหรือต่ าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชั่น ก็ต่อเมื่อ ค่าความชันของฟังก์ชั่น ณ จุด xx0 จะต้องมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือ
0 ) ( 0
0
x dx f
dy
x x
2. เงื่อนไขที่ยืนยันหรือเงื่อนไขอันดับที่สอง (Sufficient conditions or second- order condition, SOC) หมายถึง เงื่อนไขที่ใช้เพื่อตรวจสอบค่าอนุพันธ์อันดับที่สองของฟังก์ชั่น หรือ ตรวจสอบค่าการเปลี่ยนปลงของอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งหรือค่าการเปลี่ยนแปลงของความชันของ ฟังก์ชั่น เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงค่าของx พิจารณาระดับ xx0 ที่ท าให้ แล้ว
) (x0
f จะเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ถ้าค่าอนุพันธ์อันดับที่สอง f (x0)0
จะเป็นค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ ถ้าค่าอนุพันธ์อันดับที่สอง f (x0)0
จะเป็นค่าสูงสุดหรือต่ าสุดสัมพัทธ์หรืออาจจะเป็นจุดเปลี่ยนเว้า ถ้าค่า อนุพันธ์อันดับที่สอง f (x0)0
2.2.2 การหาค่าเหมาะสมของฟังก์ชันกรณีที่มีตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวแปร (Optimization with More Than One Choice Variables)
พิจารณากรณีที่ฟังก์ชั่นประกอบไปด้วยตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวแปร
) ,..., ,
(x1 x2 xn f
z
โดยที่ z คือ ตัวแปรตาม (dependent variable) และ x1,x2,...,xn คือ ตัวแปรอิสระ (independent variable)
การหาค่าเหมาะสมของฟังก์ชั่นที่มีตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวแปรสามารถท าได้โดย การตรวจสอบเงื่อนไขอันดับที่หนึ่งและเงื่อนไขอันดับที่สองในลักษณะเดียวกันกับการหาค่าเหมาะสม ของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอิสระเพียงหนึ่งตัวแปร
1. เงื่อนไขที่จ าเป็นหรือเงื่อนไขอันดับที่หนึ่ง (necessary conditions or first-order condition, FOC) เงื่อนไขดังกล่าวนี้ถูกใช้เพื่อค านวณหาค่าวิกฤต (critical value) ของฟังก์ชัน นั่น คือ dz0 ก็ต่อเมื่อ f1 f2 ... fn 0
2. เงื่อนไขที่ยืนยันหรือเงื่อนไขอันดับที่สอง (sufficient conditions or second-order condition, SOC) เงื่อนไขดังกล่าวนี้ถูกใช้เพื่อตรวจสอบว่าค่าวิกฤตที่ค านวณได้จากเงื่อนไขที่จ าเป็น หรือเงื่อนไขอันดับที่หนึ่งนั้นเป็นค่าที่ท าให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่ าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
0 ) ( 0
x f
) (x0 f
) (x0 f
