2304101 1 (file

x0

x

เอกสารประกอบการบรรยาย: วิชา 2304101 ฟิสิกส์ทั่วไป 1 (ชีวภาพ) ครั้งที่ 13 ภาคการศึกษาต้น พ.ศ. 2551

ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย วันที่ 4 กรกฎาคม พ.ศ. 2551

สารบัญ

1 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก 1

1.1 พลังงานเมื่อเกิดการเคลื่อนที่แบบ SHM . . . 5 1.2 ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบ SHM . . . 6

2 การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation) 9

3 การสั่นแบบเพิ่มแรงขับและความถี่เรโซแนนซ์ (Driven Oscillation and Resonant Frequen-

cy) 9

1 การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาโมนิก (Simple harmonic motion, SHM) คือ การเคลื่อนที่ซ้ำรอย เดิม ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบคาบ จากกฎของฮุกค์ จะได้ว่า

F_s=−kx=ma a=−k

mx

ความเร่งขึ้นกับระยะทาง x ทิศของแรงคืนตัวตรงข้ามทิศการเคลื่อนที่ ระยะกระจัดสูงสุด = แอ มปลิจูดหรืออำพล (Amplitude, A)

O X Y

θ A

คาบการเคลื่อนที่

จากวงกลมอ้างอิง คาบ T คือเวลาที่เคลื่อนที่ครบ 1 รอบ สัมพันธ์กับความถี่ f เป็น T = 1

f ω= 2π

T = 2πf

การกระจัด อัตราเร็วของ SHM

พิจารณาเงาของวงกลมอ้างอิงรัศมี A ทำมุม θ

x=Acosθ=Acosωt เมื่อ ω=θ/t

จาก vc=rω =Aω อัตราเร็วของเงาเป็น

v=−v_csinθ=−Aωsinωt

อัตราเร่งของ SHM

ความเร่งของเงาหาได้เป็น

a=−a_ccosθ ac=−v_c²

r =−(Aω)²

A =−Aω² a=−Aω²cosωt

การหาความสัมพันธ์ของ x, v, a

O X Y

θ A

Acosθ θ vc

vccosθ

−vcsinθ

O X Y

θ

−accosθ

−acsinθ ac

จากการกระจัด x ที่หาได้ตอนต้น เราใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์หา v และ a ได้ดังนี้

x=Acosωt v= dx

dt = d

dt(Acosωt)

=A d

d(ωt)(cosωt)·d dt(ωt)

=−Aωsinωt a= dv

dt = d

dt(−Aωsinωt)

=−Aω²cosωt=−ω²x

SHM ของสปริง

การเคลื่อนที่ของสปริง ระยะกระจัดเป็นฟังก์ชันรูปไซน์ขึ้นกับเวลา หรือ x=Acosωt

จากสมการการเคลื่อนที่ของสปริง

a=−k

mx=−k

m(Acosωt)

−Aω²cosωt=−k

m(Acosωt) ω² = k

m 2π

T 2

= k m T = 2π

rm k

การสั่นของแก้วหู

การสั่นของแก้วหูมีความเร็วเท่ากับความเร็วของโมเลกุลอากาศ หาได้จาก v= P

ρc

เมื่อ P = ความดัน, c = ความเร็วเสียงในอากาศ; ρc≈415 mks

ถ้าอัตราเร็วในการสั่นของแก้วหูเมื่อฟังเสียงเบาที่สุดที่หูรับได้ มีความดันเป็น 2×10⁻⁸ N/m² ความเร็วของแก้วหูหาได้เป็น

v= 2×10⁻⁵

415 = 4.8×10⁻⁸m/s

แอมปลิจูดของแก้วหูหาจาก v=Aω ถ้าเสียงความถี่ 4000 Hz A= 1.9×10⁻¹² m ซึ่งมีค่าเล็กกว่า รัศมีอะตอม แสดงว่าหูมนุษย์มีความรู้สึกไวมาก

1.1 พลังงานเมื่อเกิดการเคลื่อนที่แบบ SHM

ขณะที่เคลื่อนที่โดยมีอัตราเร็วเป็น v พลังงานเกิดจากการรวมกันของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์

E=K+U = 1

2mv²+1 2kx²

= 1

2mA²ω²sin²(ωt) +1

2kA²cos²(ωt) เนื่องจากที่จุดที่สปริงยืดสูงสุด วัตถุหยุดนิ่ง ดังนั้นจึงมีแต่พลังงานศักย์

U = 1

2kx² = 1

2kA²cos²(ωt) U_max= 1

2kA²

ที่จุดที่สปริงผ่านจุดสมดุล (x= 0) วัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วสูงสุด ดังนั้นจึงมีแต่พลังงานจลน์

K= 1

2mv² = 1

2mA²ω²sin²(ωt) Kmax= 1

2mA²ω² = 1

2mA²(k/m)

= 1

2kA²=U_max

กราฟพลังงานศักย์กับการกระจัดของ SHM กราฟระหว่างการกระจัดกับพลังงานจลน์ ?

สมการการเคลื่อนที่ SHM

ถ้าพิสูจน์ได้ว่าการเคลื่อนที่มีสมการดังต่อไปนี้

a=−kx α=−kθ จะได้ว่า

k=ω² T = 2π

√ k

รูปที่ 1 กราฟความสัมพันธ์ระหว่าพลังงานศักย์กับการกระจัดของ SHM

`

mg

mgsinθ θ

x

1.2 ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบ SHM ลูกตุ้มอย่างง่าย

จากสมดุลแรง

F =ma=−mgsinθ a=−gsinθ=−g

`x T = 2π

s

` g

ลูกตุ้มฟิสิคัล

c.m.

b O

θ

mg

รูปที่ 2 ประกอบตัวอย่างการหาคาบของการเดิน 1

ทอร์กรอบจุดหมุนหาได้จาก

Iα=−mgbsinθ α=−mgb

I θ; sinθ≈θ T = 2π

s I mgb

ตัวอย่าง

จงหา T ของขา ถ้าขายาว 1 m และมีรูปทรงเป็นแท่งไม้ยาว

รูปที่ 3 ประกอบตัวอย่างการหาคาบของการเดิน 2

จาก

I = 1 3mL² b= L

2 T = 2π

s I mgb

= 2π s

2L 3g

ถ้าใช้ L = 1 m จะได้ว่า T = 1.6 s และเมื่อกำหนดให้ขาเคลื่อนที่ทำมุมเพียง 1 rad จะได้ว่าขา เคลื่อนที่ด้วยระยะทาง s=rθ= 1.0 m และเนื่องจากใช้เวลาเพียงครึ่งรอบ t=T /2 = 0.8 s ดังนั้น อัตราเร็วของการเคลื่อนที่ของคนประมาณได้เป็น

v= s t

≈ 1.0 0.8

≈1.3 m/s

เครื่องชั่งโมเลกุล DNA

แท่งสี่เหลี่ยมบางถูกดึงออกจากซิลิกอน แบบจำลองของการคำนวณให้แท่งบางนั้นเป็นมวลที่

มีขนาดเพียง 1/3 เท่าของมวลจริงติดกับสปริง (เพราะ I = 1/3M L²) เมื่อแท่งสี่เหลี่ยมมีมวลของ DNA ติดที่ปลาย พบว่าค่าคงที่ของสปริงไม่เปลี่ยน แต่ความถี่ของการสั่นเปลี่ยนไป

ตัวอย่างการคำนวณมวลของ DNA ถ้าซิลิกอนมีความหนาแน่น 2300 kg/m³ หรือมีมวลเป็น M =ρg = 3.7×10⁻¹⁶kg ถ้าแท่งดังกล่าวสั่นโดยไม่มีมวล DNA ด้วยความถี่เป็น 12 MHz แต่เมื่อมี

รูปที่ 4 เครื่องชั่งโมเลกุล DNA

มวล DNA ติดจะสั่นลดลงไป 50 Hz ดังนั้นถ้ากำหนดให้ใช้แบบจำลองเป็นมวลติดสปริง มวลดังกล่าว ที่ไม่มี DNA ติดจะสมมติว่ามีค่ามวล m = 1/3M = 1.2×10⁻¹⁶kg ส่วนมวลที่มี DNA ติดจะมีค่า เป็น m+mDN A ซึ่งทำให้ความถี่ f0 = 12,000,000 Hz ลดลงเป็น f1 = 11,999,950 Hz ดังนั้น จากสมการการเคลื่อนที่แบบ SHM ของสปริงจะได้

k=m(2πf0)²= (m+mDN A)(2πf1)² m+mDN A

m = 1 +mDN A

m =

f0

f₁ 2

=

12,000,000 11,999,950

2

= 1.0000083 mDN A= 1.0×10⁻¹⁸ g

2 การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation)

การสั่นแบบหน่วง (Damped Oscillation) คือ ระบบการเคลื่อนที่ที่คล้ายกับการเคลื่อนที่แบบ SHM แต่มีแรงเสียดทาน เช่น แรงต้านอากาศที่กระทำกับระบบในทิศตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ และขนาด ของแรงดังกล่าวแปรผันกับความเร็ว

*

f =−b^*v จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะได้ว่า

F =ma=−bv−kx ma+bv+kx= 0

รูปที่ 5 การกระจัดของระบบที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped Oscillation)

รูปที่ 6 การกระจัดของระบบที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped Oscillation)

การหน่วงเล็กน้อย

กรณีที่มีการหน่วงเพียงเล็กน้อย (Underdamped) การเคลื่อนที่ของมวลติดสปริงก็ยังคงมีการ เคลื่อนที่เป็นคาบอยู่ แต่แอมปริจูดจะค่อยๆ ลดลง

การหน่วงมาก

กรณีที่มีการหน่วงมาก (Overdamped) กว่าการหน่วงวิกฤติ (Critically damped) การเคลื่อนที่

ของมวลติดสปริงจะไม่มีการเคลื่อนที่เป็นคาบ และการเคลื่อนที่จะค่อยๆ หยุด

รูปที่ 7 กราฟเรโซแนนซ์ (Resonance curve)

3 การสั่นแบบเพิ่มแรงขับและความถี่เรโซแนนซ์ (Driven Oscillation and Resonance)

การสั่นแบบเพิ่มแรงขับ (Driven Oscillation) คือ การเพิ่มแรงให้กับระบบการสั่้นแบบหน่วง เพื่อทำ ให้ระบบมีการเคลื่อนที่ต่อไปได้ มักนิยมพิจารณากรณีที่มีการเพิ่มแรงแบบซ้ำรอบ

*

Fext= +F0cosω0tˆi จากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันจะได้ว่า

F =ma=−bv−kx+F₀cosω₀t ma+bv+kx−F₀cosω₀t= 0

กราฟเรโซแนนซ์

พิจารณากราฟระหว่างแอมปลิจูดการเคลื่อนที่กับความถี่ของแรงที่เพิ่มเข้าไป พบว่าที่ความถี่

ของแรงที่เพิ่ม f0 เท่ากับ ความถี่ของการสั่นเมื่อมีการหน่วง fSHM จะทำให้แอมปลิจูดการเคลื่อนที่

มีค่าสูงที่สุด เราเรียก f₀ ค่านี้ว่า ความถี่เรโซแนนซ์ หรือ ความถี่ธรรมชาติ (resonance or natural frequency)

ตัวอย่างของเรโซแนนซ์

การพังของสะพาน Tacoma (วีดีโอคลิป)

รูปที่ 8 ส่วนประกอบของหู

รูปที่ 9 cochlea ที่ตำแหน่งต่างๆ กันไวต่อเสียงที่ความถี่ต่างกัน เพราะความถี่ธรรมชาติไม่เท่ากันเนื่องจากมัน มีความหนาไม่เท่ากัน