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以光折射率識別糖水之甜度
羅鴻生1
* Eva Natalia Chiristina
1 洪上禾2 林湘霖21南投縣均頭國際實驗教育機構 高中部教師 2南投縣均頭國際實驗教育機構 G10學生
*hslo1949@gmail.com
（投稿日期：111年6月17日，接受日期：111年6月27日）
摘要：基於劍橋IGCSE的物理與數學，應用工程設計、系統模擬、信息測試至影 像分析，探索以光學折射方法識別糖水之甜度。雖然數位影像處理的數學超乎高 中程度，所幸Python 程式語言方便理解與應用，且實驗與模擬結果差異在6%及 以下。
關鍵詞：折射率、系統模擬、數位影像處理。
壹、 前言
南投縣均頭國際實驗教育機構（以下簡稱本校）是經過英國劍橋大學（Cambridge University）認證通過的劍橋國際學校。本校除了教材採用劍橋大學編輯的教科書外，依劍橋 大學學制規定：每一學期皆有一或二個由教師們共同討論決定的作業（Assignment）題目供 全體師生探索、研究及討論，再由各專業教師擬定相關的專題與選修的學生一起作答。2022 年春季學期共同作業的主題是『永續生活（Sustainable Living）』。從物理學科的角度，本文為 探索『如何通過光學折射技術來測量糖水的甜度』的專題。
生活中許多人喜歡甜食，儘管可能不是那麼健康，但是對食者來說：甜味是一個快樂的 指數。在食品工業儀器中，一些折光儀用以檢測甜度[1,2,3]。甜度與糖水的密度相關，並且糖水 是一種透明材料，應該可以用光線反射測量的折射率及推估甜度。
在本次作業中，基於劍橋IGCSE物理及數學所學知識，查找和研究了一些相關的資料，
探討測量糖水甜度的光學物理裝置，以雷射、水槽、照相機等硬體，搭配系統模擬、數位影 像處理及最佳擬合等軟體，透過光學折射率測定，重複驗證本文物理測量裝置的可靠性。
10.6212/CPE.202207_23(1).0004
貳、 系統設計及模擬
當光線從一種材料通過時發生折射。例如：光從空氣傳遞到玻璃，它會改變方向。方向 的改變取決於玻璃折射率大小。若光線從折射率較小的材料（空氣）進入折射率較大的材料
（玻璃）時，則光線會偏向法線。若光線從折射率較大的材料（玻璃）進入折射率較小的材 料（空氣）時，則光線會偏離法線。若光線通過垂直於邊界的法線時，則不會改變方向。
斯涅爾定律（Snell’s Law） n_1 sinθ_1=n_2 sinθ_2，其中n為折射率，下標1或2代 表不同材料。假定下標1代表糖水，下標2是空氣。當光線從空氣以臨界角入射時，這意味 θ_2= 90°，空氣n_2= 1。方程式改變為n_1=1/sinθ_c，從測量得臨界角θ_c，評估糖水的折 射率n_1。
圖1是折射率的測試裝置[4]，圖2是用Cambridge IGCSE Course Book[5] 不同的材料折 射率的數據做圖。表1是材料密度與其相對應折射率的表列，其中糖水數據（註*）是本文的 實測結果。由圖2、表1可知：材料密度越高，其折射率越高。
圖1：折射率測試裝置
表1：材料的密度及其折射率
材料 密度（g/cc） 折射率 空氣（Air） 0.0011 1.003 水（Water） 0.997 1.33 糖水（Syrup）* 1.111 1.35
有機玻璃
（Perspex）
1.180 1.5 一般玻璃（Glass） 2.500 1.5~1.7
鑽石（Diamond） 3.500 2.4
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圖 2：不同材料的密度與其折射率[5]
本文實作是依上述原理設計，同時有四個假設：（一）材料都是透明的，（二）材料是 均質（Homogeneous）及等向的（Isotropic），（三）設計的實驗裝置其結構是軸對稱的（請 參閱實驗方法的說明），（四）觀察和測量是在室溫（或恆定）溫度下進行的。
一、方法與程序
本實驗設計時，應用三維空間的量測方法（以下簡稱 3-D 方法），同時為了驗證 3-D 方 法，也進行了二維空間的量測方法的方法（以下簡稱2-D方法）。而2-D及3-D方法的分別 是光軌跡在空間中的維度。表2將兩種方法使用的工具、試件和容器等列出比較。
表 2：2-D 及 3-D 方法的比較
方法 主要的 I/O 信息量測工具 實驗樣本及容器
3-D 方法 雷射針（Laser Pin）、數位相機 水、水槽 2-D 方法 光源盒（Ray Box）、插針（Optical Pin）、
厚紙板
水、糖水、半圓形透明 塑膠盒
3-D 方法的實驗裝置如圖 3。玻璃為底的水槽作為光線載體，雷射針孔光線以垂直水面 方式照射玻璃，光影會在平面鏡上投射出亮點和暗點，然後反射到塑料透明屏幕上。其中鏡 子安裝在傾斜於玻璃的45°夾具上。從針孔發出的光穿過水深層，再從底部玻璃反射，一部分 反射光會在射入空氣時折射或反射回入水層。如果入射光線對準液體臨界角，則折射光線與 表面平行，即折射角等於90°。當入射角超過臨界角時，會出現光線全反射現象。
圖3中、位於水槽旁邊的電路板及電池部分是雷射的電源與控制電路。實驗時用KY-008 雷射發射器模塊作為雷射針孔光源，它會發出點狀的紅色雷射光束。用卡尺測量，這個雷射 針孔的直徑是3mm。其附帶的電子板尺寸~18.5mm x 15mm。該模塊由一個650nm紅色雷射 二極管頭、一個電阻器和3個公頭針組成。實驗時應小心處理，不要將雷射束直接對準眼睛。
圖3：三維折射率測試裝置（左圖是側視圖、右圖是俯視圖）
另外應用數位相機拍攝及儲存在透明屏幕上的投射出來雷射影像如圖4所示。
圖4：實驗數據的採集及記錄裝置
實驗的操作程序如下：
（一） 建立一個帶有開關控制的雷射針孔模塊。
（二） 清潔水箱的玻璃底部，並將數碼相機放在水箱屏幕前。
（三） 將水倒入水箱中，並測量水深。
（四） 將模塊掛在水面上方附近。
（五） 打開雷射並用相機在屏幕上拍照。
（六） 或更改水深並按照上述步驟重複拍攝幾次。
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二、模擬分析
為方便理解3-D 方法出現的影像，本文用計算機軟件MATLAB進行系統模擬分析，同 時協助了解實驗裝置如水箱的水深的影響，並且方便比較測試結果與理論數值的差異。
圖5：3-D方法之數值模擬分析
圖5是模擬分析的結果，圖中a-b-d連線是液體的表面，o點位在水槽玻璃表面。雷射由 n點垂直射出到 o點，n-o線就是法線。分析時o點的雷射以隔一些角度，反射到液面a、b 到d之間，這些反射光如液體的入射光。其中 o-b入射光的入射角度是臨界角，b點的折射 光朝向與液面平行的d點射去。在入射角度小於臨界角的光線折射入空氣（如由接近b之點 到c點連線）。而入射角度大於臨界角的折射光，全部反射回液體內至玻璃面，此後反射至液 面後再反射至玻璃面...如此循環下去，此即全反射現象，光線在液體內運動、不再射出液面
。此處線段a-b的長度定義為臨界長度，等於液體的深度乘以臨界角正切值[6]。
雷射針孔（Laser Pinhole）比水槽的尺寸相比明顯小的許多，所以模擬分析的物理模型似 乎可以想像成以針孔為中心的圓柱體。結構以玻璃為底板、上層是厚度為液體深度的圓盤試 件，再上一層就是空氣圓盤。圓柱體是軸對稱結構，模擬分析只須要四分之一剖面，如圖 5 所示。若將其數據以法線為軸，作360°旋轉即可得到整體結構的答案。
在模擬分析折射光線過程中，曾經評估試件的入射角與折射角的關係；以觀察折射角接
近90°時、相對入射角的變化。結果如圖6，在角度比較小的時候、兩者幾乎線性，角度愈接
近臨界、些微的入射會產生比較大的折射反應。此現象的了解有助於圖5的繪製。
圖6：入射角與折射角之關係圖
參、 信息測量與分析
理想上參考模擬分析的結果，若從圓柱體垂直上方觀察雷射成像，便可獲得接近圖7的 相片，實務上該相片是從透明屏幕拍攝，此處假設平面斜鏡可以真實投影水槽中的影像。
圖7：3-D方法的雷射光成像
為了方便讀取影像尺寸，實驗時曾經應用透明的塑料方眼膠片，重貼在透明屏幕上。圖 7像片的DPI（Dots Per Inch）數值為180。
從圖像光線強度的梯度（Gradient of Light Intensity），圓形圖像似乎有四個區域。最高光 強的區域如針孔大小的圓形區域，它來自於雷射光、可以稱為[針孔區]。環（Ring）是由兩個 不同半徑的同心圓的圓周所包圍的平面圖形。內圓的半徑接近臨界角長度，外圓似乎是內圓
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加上針孔半徑長度擴展而成。環區內圓的強度來自折射光，可以稱為[折射區]，環帶的寬度 似乎因為針孔半徑所致，稱為[臨界角區]。在外圓之外有來自全反射光線的光強區域。稱為[
全反射區]。除此之外，有從圓心以徑向幅射出去的臨界折射光跡（Ray Trace）。
圖8：影像成像四個圓形區域及幅射等光跡
三、數位影像處理
Python中有兩個模塊被廣泛用於數位圖像處理，它們是 OpevCV 和Numpy[7,8]。例如：
針孔和臨界角圓的數據分析。本文在數位影像處理的分析程序如下：
（一） 讀取圖片。
（二） 將彩色圖像更改為灰階及二值圖像。
（三） 使用具有不同閥值的[Canny]函數來獲取檢測到的邊緣圖像。
（四） 通過這些圖像，應用[findContours]函數功能查找輪廓。
（五） 使用[minEnclosureCircle]函數將輪廓回歸至圓形的最佳擬合。
（六） 將回歸半徑與游標卡尺測量數據或觀測值進行比較，以獲得該算法的準確性。
（七） 如果輪廓無法通過[minEnclosureCircle]函數回歸，則採取以下措施：
1. 使用針孔中心對檢測到的邊緣圖像進行校準和平移。
2. 使用圓形遮罩（Mask）去除噪音像素，提取原始數據再用最小平方法進行圓形擬合。
3. 將回歸半徑與觀測或模擬數值進行比較。
以上數位圖像處理的各個函數及最小平方曲線擬合詳細請參閱參考資料[6,7]及[8]。
肆、 結果與討論
圖8的影像數據經上述處理步驟（一）及（二）後得到的數據、再經過閾值在保持100~200
的Canny函數計算得到邊緣圖像如圖9。此圖像經過findContours函數功能查找3個輪廓。
圖9：Canny 函數檢測到的針孔邊緣圖像
圖8中其他的光跡不見、因為Canny函數以大小閥值、確定影像邊緣時，被當成影像噪 音過濾掉了。圖9中的白色線條，上、下兩條白線輪廓及中間一團白色圓圈的輪廓。白線輪 廓是影像檔案圖像的邊際，白色圓圈的輪廓雷射針孔的輪廓。取針孔圓形輪廓的數據，用
minEnclosureCircle函數將該輪廓回歸，得到的最佳圓形擬合如圖10。
圖 10：針孔圓形輪廓與其回歸圓圈
此圖片的尺寸為340x340像素（48x48毫米）。使用minEnclosureCircle函數，針孔圓半 徑的最佳擬合為 10個像素。它的長度接近 1.41毫米（10/340*48），圓心位於像素點（160
168）。針孔的物理半徑為1.5毫米。兩者有6%的差異。
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圖 11 是變更其他大小閥值的邊緣圖像，該圖之上左、上右、下左至下右的設定閥值分 別是30~80、30~100、40~100、50~100。此等圖像再經過findContours函數功能查找輪廓時，
輪廓個數皆上百個以上，每一個輪廓的圖形非常瑣碎。
圖11：不同閥值 Canny 函數檢測到的邊緣圖像
除針孔邊緣圖像外其他閥值的邊緣圖像、因找不到合適的輪廓作擬合，本文採用圖11中 下右圖閥值設定為50~100的邊緣圖像做標的，以圓形遮罩[circle（）]消除標的圖像的雜訊。
圖 12：圓形遮罩過的邊緣圖像
本次一共作了三次遮罩濾波，第一次濾掉針孔輪廓，如圖 12 之左圖，第二次濾掉臨界 長度以內的輪廓，第三次濾掉臨界長度以外的輪廓，如圖12之右圖。依據右圖中非0值像素 的位置，就可以用最小平方的方法[9]找到最佳的以臨界長度為半徑的圓。
圖 12：使用圓形遮罩後的邊緣圖像
該圓的半經是49.8943像素，此處120像素等於21.2毫米，因此估計的半徑約為8.81毫 米，液體為水的半徑值是9.12毫米，兩者相差約為3.4%。
伍、 結論
劍橋共同作業學制是一種以專題為導向的教學（Projective Based Learning，簡稱PBL），
本文基於劍橋IGCSE 的物理與數學以PBL方式：教導學生同時學習相關的科學探索及工程 設計。雖然數位影像處理的背景數學超乎高中程度，所幸Python敘說式程式語言方便理解與 應用。實驗與模擬結果差異在6%以下，圓形遮罩的運用尚待進一步研究。
致謝
本文得以完成、感謝均頭國際學校及家長會家長們的支持及鼓勵，並且感謝期刊編審的 指導及修正。
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參考文獻
1. Magwaza, L. S., & Opara, U. L. (2015) Analytical methods for determination of sugars and sweetness of horticultural products - A review. Scientia Horticulturae, 184, 179-192.
2. METTLER TOLEDO (2014) BRIX-Sugar Determination by Density and Refractometry.
Technical Bulletin.
3. EXPERIMENT ON REFRACTIVE INDEX OF LIQUID USING TOTAL INTERNAL REFLECTION - YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=MIgq4g6Bxes.
4. Nightingale, G. (2017) Cambridge IGCSE Physics Practical Work book. Cambridge University Press.
5. Sang, D. (2014) Cambridge IGCSE Physics Course book. Cambridge University Press.
6. Morrison, K., & Hamshaw, N. (2018) Cambridge IGCSE Mathematics Core and Extended Course book. Cambridge University Press.
7. 李立宗（2019）。OpenCV影像處理使用Python。台北市：智深數位。
8. 洪錦魁（2022）。OpenCV影像創意邁向AI視覺。台北市：智深數位。
9. T. C. Hsia (1977) System Identification. Lexington Books D. C. Heath and Company.
Identifying the Sweetness of Syrup with Light Refractive Index
Hon-Seng Lo*, Eva Natalia Chiristina, Shang-He Hong and Siang-Lin Lin
Senior High School, Juntou International School* Corresponding author:hslo1949@gmail.com
Abstract
Based on the Cambridge IGCSE physics and mathematics, the method of optical refraction is explored to identify the sweetness of sugar water. Which include application of engineering design, system simulation, data acquisition and image processing. Although the background mathematics of digital image processing may beyond the high school level, fortunately, the Python narrative programming language is easy to understand and apply, and the maximum difference between the experimental and simulation results is 6% or less. The circular mask used for the first time needs further research. .
Keywords: Refractive Index, System Simulation, Digital Image Processing, Circular Mask.
