康熹文化103 學年度學科能力測驗模擬試卷數學考科解答卷

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(1)康熹文化 103 學年度學科能力測驗模擬試卷數學考科解答卷答. 案. 第壹部分：選擇題一、單選題： 1. (2). 2. (2). 3. (5). 4. (5). 5. (1). 6. (3). 7. (2). 二、多選題： 8. (3)(5). 9. (1)(2)(4). 10. (2)(4)(5). 11. (1)(4)(5). 12. (2)(3)(5). 13. (2)(4)(5). 第貳部分：選填題 A. (4, 7,10). 解. B. (3, 33). C. ( 2, 2,  2). D. (44, 65). E. 3. F.. 24 25. G. 25. 析. 第壹部分：選擇題一、單選題： 1. △ ACD ～△ DCB.  CD  AC  BC  2(11  21)  22  2 21  1  21  1  4.6  5.6 ﹐故選(2)﹒ 2. (1) 90    135 時﹐ sin  cos  0﹐但 135    180時﹐ sin  cos  0﹒ (2) 90    180 時﹐ sin  0﹐ tan   0  sin   tan   0 ﹒ (3) cos(180   )   cos ﹒. . . (4) sin(540   )  sin(180   )   sin  ﹒. . 2sin cos sin sin  2 2  2  tan  ﹐ 45    90  tan   1 ﹒ (5)    1  cos  2 2 2 2cos 2 cos 2 2. 故只有(2)恆成立﹒ 3. ①因為 f (2  i )  0  令 x  2  i  x  2  i  x2  4 x  5  0 ﹒ ②因為 f (1 i )  0  令 x  1  i  x  1  i  x2  2x  2  0 ﹒ ③表示 f ( x)  ( x2  4 x  5)( x2  2 x  2)  [( x2  x  1)  (3x  4)][( x 2  x  1)  ( x  1)]  ( x2  x 1 )Q ( x ) ( x 3  ( x4x2) x  (1)Q( x)1 3) x 2  7 x  4  ( x2  x  1)Q( x)  3( x 2  x  1)  (4 x  1)  ( x2  x 1 )Q ( x ) ﹐ ( x 4 4 3 2 2 2 所以 ( x  x  x  x 1) f ( x)  [ x ( x  x  1)  ( x  1)] f ( x)  x2 ( x2  x  1) f ( x)  ( x  1) f ( x) 有著作權‧侵害必究. 1 ). 第 1 頁共 8 頁. 16902-R1. E.

(2)  x2 ( x2  x1 ) f ( x) ( x 2 1 )x [ ( x  Q 1 )x ( )x  ( 4 2 2  ( x  x 1  )Q  (x ) (x  1 ( x)x ( x 41)Q( x1) )4( x 2  x  1)  ( x  3)   ( x ) ﹒  ( x2  x 1 )Q (x  3 ). 1 ) ]. 4. 平面 E : 3x  2 y  z  5﹐ n  (3,  2, 1)  E ﹒ (1)平面 3x  2 y  z  1法向量 n1  (3,  2, 1)// n  平行 E ﹒ (2)平面 x  2 y  3z  0 法向量 n2  (1,  2, 3)﹐ n  n2  (3,  2, 1)  (1,  2, 3)  3  4  3  0 ﹐表示兩平面沒有互相垂直﹒. 2 x  y  z  1 (3)直線  的方向向量為 v1  ( ,  ,  ) x  2 y  z  2 1 1 1 2 2 1  :  :  ：：  1:  3: 5 ﹐ 2 1 1 1 1 2 取 v1  (1,  3, 5) ﹐但 v1 // n ﹐所以直線與平面沒有互相垂直﹒ ﹐方向向量 v2  (1, 2, 1) // n ﹐所以不合﹒. (4)直線 x  t  2 ﹐ y  2t  3 ﹐ z  t  1 ﹐ t  (5)直線. x y 1 z  2 ﹐方向向量 v3  (3,  2, 1)// n ﹒   3 2 1. 故只有(5)合乎條件﹒ 5. 橢圓 x 2  y 2  ( x  6)2  ( y  8)2  16﹐ 二焦點 F1 (0, 0)﹐ F2 (6, 8) ﹐ 2a  16  a  8    F1F2  2c  10  c  5.  b2  a2  c2  64  25  39 ﹐ 2. 2. 2. 因為 F1F2  PF1  PF2  2PF1  PF2 cos60 ﹐ ( c2 2 ). P1 (F. 2. P2 F ). 1. 2 P F2. 1  P F21  2. P2 F . 2. P  ( F2. ) 1. 3a 2. P F.  3PF1  PF2  (2a)2  (2c)2  4(a 2  c 2 )  4  39  PF1  PF2  4 13 ﹐ △ F1PF2 面積 . 1 1 3 PF1  PF2 sin 60   4 13   13 3 ﹒ 2 2 2. 有著作權‧侵害必究. 第 2 頁共 8 頁. P F.

(3) 6.. f ( x)  5 . ( x  23)( x  27) ( x  21)( x  27) ( x  21)( x  23) ﹐  12   30  (21  23)(21  27) (23  21)(23  27) (27  21)(27  23). 表示 f (21)  5﹐ f (23)  12 ﹐ f (27)  30 ﹐ 因為 y  f ( x) 與 y  g ( x) 二圖形交二點﹐分別在 x  21 與 x  23.  g (21)  f (21)  5 且 g (23)  f (23)  12 ﹐又 g (19)  3  g ( x)  3 . ( x  21)( x  23) ( x  19)( x  23) ( x  19)( x  21)  5  12  (19  21)(19  23) (21  19)(21  23) (23  19)(23  21).  g (27)  3 . (27  21)(27  23) (27  19)(27  23) (27  19)(27  21)  5  12  (2)(4) 2  (2) 4 2. 6 4 8 3  5  8  4. 4.  8 6 1 2  9  4 0  7 ﹐故選(3)﹒  2 4 1 8. 7. ①因為 PB 為割線﹐交圓於 A ﹐ B ﹐ PC 為切線﹐切圓於 C ﹐ 2. 所以 PA PB  PC 100  PC  10﹒ ②直線 L 垂直平面 E ﹐交平面 E 於 S ﹐ 又 SC  PC ﹐根據三垂線定理﹐. RC  PC ﹐且 SC  圓半徑 4﹐ RS  3 ﹐ 2. 2. 所以 RC  32  42  5 ﹐又 PC  10 ﹐所以 PR  PC  RC  125  5 5 ﹒ 故選(2)﹒. 二、多選題： 8. 設動點 P( x, y) ﹐ A(1, 2) ﹐ B(1,  2) ﹐ C (1,  2) ﹒ (1) ( x  1)2  ( y  2)2  2 ( x  1) 2  ( y  2) 2  PA  2 PB ﹐ 因為若 PA  k PB﹐ k  1 時﹐ P 的軌跡為一圓﹒ (2) ( x  1)2  ( y  2)2  | x  y  2 |  2 . | x y 2| ﹐ 2. 若 L 為 x  y  2  0  PC  2d ( P, L) 非拋物線也非直線﹒ (3) ( x  1)2  ( y  2) 2 . | x  y 3| ﹐若 L 為 x  y  3  0 2.  PC  d ( P, L) ﹐但 C 落在 L 上﹐. 所以圖形為過 C 點並與 L 垂直的直線﹒ 有著作權‧侵害必究. 第 3 頁共 8 頁.

(4) (4) | ( x  1)2  ( y  2)2  ( x  1)2  ( y  2)2 |  2 5  | PA  PB |  2 5 ﹐但 AB  2 5 ﹐所以圖形為二射線﹒. (5) | ( x  1)2  ( y  2)2  ( x  1)2  ( y  2)2 |  0  | PA  PB |  0.  PA  PB  P 的軌跡為 AB 垂直平分線﹒ 故選(3)(5)﹒ 9. (1) y  f ( x)  log3 ( x  2) 為遞增函數﹐ 所以 y  2014 與 y  f ( x) 二圖形必有交點﹒ (2) y  f ( x) 與 y  g ( x) 圖形互相對稱直線 y  x ﹐ 因為 x  2  0 為 y  f ( x) 的漸近線﹐ 所以 y  2  0 為 y  g ( x) 的漸近線  y  g ( x) 與 y  2  0 不相交﹒. (3)因為 f (1)  log3 (1  2)  log3 1  0 ﹐ 所以 f (1)  f (1) f (3).  f (103) 0﹒. (4)①. ② ( g (4), 4)  ( x, f ( x)) ﹐ 當 f ( x)  4  log3 ( x  2)  34  x   2 x  g ( 4 ) ﹒ 7 9. 7 9. (5) y  f ( x) 圖形凹向下﹐ 1 由圖知： ( f (log 4) f (log16)) f (log 8) 2.  f (log 4)  f (log16)  2 f (log8) ﹒ 故選(1)(2)(4)﹒ y 1  第一次取中黑球的機率為 6  x  y  3   x  2﹐ y  4 ﹒ 10. (1)(2)  x 1 白球最後被取完的機率為   6 x y 6 剩 5 紅、 2 白、 3 黑任意排列. 10! 黑 ●○○●○○○○○○○○ 5!2!3! 2 (3) P (第一次取紅球且第四次取中黑球)    ﹒ 12! 11 ○○○○○○○○○○○○ 6 紅、 2 白、 4 黑球任意排列 6!2!4! 紅. 有著作權‧侵害必究. 第 4 頁共 8 頁.

(5) 2 白、 4 黑任意排列. 7! ●●●●●●○○○○○○ 6 紅一組與其他 2 白 4 黑任意排列 1 (4) ﹒   2!4!  12! ○○ ○ 6 紅、 2 白、 4 黑任意排列 132 6!2!4! (5) P (黑球比白球先被取完)  P (2 白 4 黑最後取中白球) . 2 1  ﹒ 6 3. 故選(2)(4)(5)﹒ 11. L : 3x  y  2  0 ﹒ a (1) ax  by  c  0 ﹐若 b  0 ﹐則直線斜率為   m  3 ﹒ b. (2) m  tan  且 cos 2 . cos (3)   sin .  sin   cos n  cos   sin n n. cos 但  sin  (4) sin 2 . 1  tan 2  1  m2 1  3 2 1     ﹒ 2 2 1  tan  1  m 1  3 4 2.  sin n   cos 或 cos n    sin . sin   cos n   cos   sin n n. sin    cos n  cos    sin n n. sin n  ﹐ cos n . sin n  ﹐所以(3)不成立﹒  cos n . 2 tan  2 3 3   2 1  tan  4 2.  1  2 P  3   2.  1 3   2 ﹐ 2  2 P   3 1    2   2. 3   1  2  2 1  3  2  2. 3  2  1 0   I 1  0 1   2 .  P3  P2 P  IP  P  P4  I ﹐ P5  P ﹒. (5) P  P2  P3 .  P10  P  I  P  I .  1   1 2  5( P  I )  5   3 0   2. PI.   1 3  0  2   5 2   3 1 1   2   2. 3  5   2   2  3  5 3   2   2. 5 3  2  ﹒故選(1)(4)(5)﹒ 15   2 . 3 12. (1) AB  AC  | AB | | AC | cos(   )  5 13cos(   )  39  cos(   )   ﹐ 5 但 cos  . 7 24 3 4  sin   且 cos(   )   ﹐ sin(   )  ﹐ 25 25 5 5. 所以 cos   cos[(   )  ] cos(   ) cos  sin(    ) sin  . 3 7 4 24 75 3      ﹒ 5 25 5 25 125 5 有著作權‧侵害必究. 第 5 頁共 8 頁.

(6) 3   AD  AC  | AD | | AC | cos   15 13  5  117 (2)   AD  AC  AD  AB ﹒  AD  AB  | AD | | AB | cos   15  5  7  21  25  2  AD  AB  x | AB |  y AB  AC (3)(4) AD  x AB  y AC   2   AD  AC  x AB  AC  y | AC |. 21  25 x  39 y 25 x  39 y  21 ﹐(3)合(4)不合﹒   117  39 x  169 y 39 x  169 y  117 24 1  5  AP  sin  5  BP △ABP 6 (5)   2  25  ﹐ CP △ACP 1  13  AP  sin  13  4 13 2 5. 根據分點公式  AP . 13 6 13 6 AB AC  AB AC﹒ 6  13 6 13 19 19. 故選(2)(3)(5)﹒ 13. (1) y 對 x 的迴歸直線為 y  r . 所以. (2) y .  3 r y r 4 x. y 3 x  k  x  20 ﹐ x 4. 1 n  ( yi   y )2 n i 1 1 n ( xi   x ) 2  n i1. r. 144 12 3 1 r r r ﹒ 8 2 2 64. 3 3 x  20 直線必通過 (  x ,  y )   y   x  20 4 4. 3   y   64  20  48  20  68 ﹒ 4. (3)標準化後 y 對 x 的迴歸直線為 y  rx ﹐因為  x   y  1  y . (4)  x . 1 1 x  m  ﹒ 2 2. 8 12 y   國文成績分布趨勢較集中﹒ n n. 75  64 8 x n  3  1 表英文成績較國文成績出色﹒  (5) yi   y 90  68 4 12 y n 故選(2)(4)(5)﹒ xi   x. 有著作權‧侵害必究. 第 6 頁共 8 頁.

(7) 第貳部分：選填題  x1  2 x2  3x3 A.  2 x1  x3  3x1  x2  x3. y1  2 y2  3 y3 2 y1  y3. z1  2 z2  3z3  1  2 z1  z3  X   2  3 3 y1  y2  y3 3z1  z2  z3  y1 z1  3 1  2 3   x1    y2 z2  X   2    2 0  1  x2  1  3 1 1   x3 y3 z3 . 2 3  0 1 1 1 .  x1 x  2  x3. y1 y2 y3. z1  z2  X ﹐ z3 . y1 z1   x1  y2 z2  X 但已知  x2  x3 y3 z3  1 2 3   3   4   a    2 0 1  2    7    b   (a, b, c)  (4, 7,10) ﹒  3 1 1   1 10   c  B. 設伸卡球﹑指叉球﹑曲球﹑滑球分配數量各為 x ﹐ y ﹐ z ﹐ u 個  x  y  z  u  50 ﹐但 x  10 ﹐ y  10 ﹐ z  0 ﹐ u  0.  x  10  0 ﹐ y  10  0 ﹐令 x  x 10  0﹐ y  y  10  0  x  x  10 ﹐ y  y  10 ﹐. ∴ x  10  y  10  z  u  50  x  y  z  u  30 ﹐ 其中 x  0 ﹐ y  0 ﹐ z  0 ﹐ u  0 的非負整數解 33 為 H304  C304301  C30  C333  Cmn ﹐故 (m, n )  (3, 33)﹒. C. ( a  b )  c  (. 2 1 1 1 1 2 , , )  ( x, y, z )  (3, 3,  3)  ( x, y, z)  3( x  y  z) ﹐ 1 1 1 2 2 1. ∵ ( x2  y 2  z 2 )(12  12  (1)2 )  ( x  y  z)2 ﹐ 但 x2  y 2  z 2  6  6  3  ( x  y  z)2  3 2  x  y  z  3 2 ﹐ 當. x y z    t  x  t ﹐ y  t ﹐ z  t 時﹐ 1 1 1. ∵ x2  y 2  z 2  6  3t 2  6  t   2 ﹐表示 t  2 時﹐ ( x, y , z )  ( 2, 2,. ( a  b )  c  3(3 2)  9 2 最大﹐故 c  ( 2, 2,  D. a10  1  (1  2)  (1  2  3)   110  2  9  3 8 .  (1  2  10. . 2)﹒.  10).  10 1   k (11  k )  k 1. 2)﹐. 10 1112 6. 1 1 1 1 1 1 6 1   6  6 (  )  3(  )﹐ a10 10 1112 10 1112 2 10 11 1112 10 11 1112. a9  1  (1  2) .  (1  2 .  9) . 9 10 11 1 1 1   3(  )﹐ a9 9 10 10 11 6. 有著作權‧侵害必究. 第 7 頁共 8 頁.

(8) ∴原式 . 1 1   a1 a2. . 1 1 1 1 1  3(  )  3(  ) a10 1 2 2  3 2 3 3 4. 1 1 1 1  3(     1 2 2  3 2  3 3  4. .  3(. 1 1  ) 10 11 11 12. 1 1  ) 10 11 1112. 1 1 6 5 q6 5 3 (  )  3  ﹐故 ( p, q )  (44, 65)﹒ 2 1 3 2 1 3p 2 4 4 E. 依題意可得 C212  mC23  m  nC 24  n  57  66  3m  m  6n  n  57  2m  5n  9 ﹐ m, n . ﹐故取 m  2 ﹐ n  1  m  n  3 ﹒. F. 設圓半徑為 R ﹐ ACD   ﹒ (1)△ ABC 中：. (2)△ ADC 中：. AB 7  2R   2R  2R  25﹒ 7 sin 25. CD CD  2R   25 3 sin  5. 3  CD  25   15 ﹒ 5. (3)∵ AD  CD  15     3 4 24 ﹒  sin ADC  sin(180  2 )  sin 2  2sin  cos   2    5 5 25 2 1 G. log 2 a  2log 4 b  3log 1 c  4  log 2 a  log 2 b  3  ( )log 2 c  4 2 3 8.  log2 a  log2 b  log2 c  4  log 2 abc  4  abc  24  16 ﹐. 但 a  log7 9  2log7 3 ﹐ b  log3 x ﹐ c  log 5 49 . 2 log5 7  4log5 7 1 2.  (2log7 3)(log3 x)(4log5 7)  16  8(log5 7 )(log 7 3)(log 3 x)  16  8log5 x  16  log5 x  2  x  52  25 ﹒. 有著作權‧侵害必究. 第 8 頁共 8 頁.

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