微積分競試試題共10頁第1頁

學號 _: 姓名 _:

甲、 多重選擇題 ₍多選 ₆ 題_, 每題 ₅ 分_, 共 ₃₀ 分_, 不需要寫計算過程_, 答錯一個選項扣兩分_, 分數不倒扣₎

1. 以下極限何者答案為 _1?

(A) lim_x→0^{+ |x|}_x (B) lim_x→0 ^sec_x^x−1 (C) lim_x→0 ^tan_x2^2x (D) lim_x→0e^−x2 (E) lim_x→0⁺lnx

答_:

2. 以下何者為 _{y =} √^x+2

x²−9 函數圖形的漸近線_?

(A) x = 3 (B) x = −3 (C) x = −2 (D) y = 1 (E) y = 0 答_:

3. 以下何者為處處都可微分的函數_? (A) f(x) = |x| (B) f(x) =√³

1 +e^cosx (C) f(x) =Rcosx

0 tarcsint dt (D) f(x) =

( x³, if x ≤ 1

3x−2, if x > 1 (E) f(x) =

( xsin(_x¹), if x6= 0

0, if x= 0

答_:

4. 令 _a = arccos(−0.7). 以下何者為正數_?

(A) a (B) tana (C) seca (D) cos(2a) (E) ln|csca|

答_:

5. 以下級數何者收斂_? (A) P∞

n=2n^−π (B) P∞

n=2nπ⁻ⁿ (C) P∞ n=2

1

nlnn (D) P∞

n=2(−1)ⁿnsin(_n¹) (E) P∞

n=2 eⁿ n!

答_:

6. 設 _{0 ≤} a < b, f⁰ : [a, b] → R 為連續函數且在 _{[a, b]} 區間上 _{f(x) > 0 ,} 函數圖形 y = f(x) 下方與 _{x = a, x = b, y = 0} 所圍成的區域稱為 _Ω, 則下列敘述何者恆正確_?

(A) f 的函數圖形之弧長為 Z b

a

px² + [f(x)]²dx.

(B) f 的函數圖形繞著_x軸旋轉所得到的旋轉曲面的面積為 Z b

a

2πf(x)p

1 + [f⁰(x)]²dx.

(C) f 的函數圖形繞著_y軸旋轉所得到的旋轉曲面的面積為 Z b

a

2πxp

1 + [f⁰(x)]²dx.

(D) 將_Ω繞著_x軸旋轉所得到的旋轉體體積為 Z b

a

2πf(x)dx.

(E) 將_Ω繞著_x軸旋轉所得到的旋轉體體積為 Z b

a

π[f(x)]²dx.

答_:

乙、 計算證明題 ₍需寫完整的解答過程₎

1. (10 分₎ 求點 _(1,1) 到拋物線 _{y = 2x}² 的最短距離。

2. (8 分₎ 已知 ₋^π

2 < a < b < ^π₂, 證明_{: tanb−tana ≥b−a.}

3. 設

f(x) = Z _x¹

0 t²

t⁴+1dt+ Z x

0 1

t⁴+1dt, x 6= 0 a. (4 分₎ 計算 _f⁰_(x).

b. (4 分₎ 計算 _{f(1) +f(−1). (}提示_:^{R 1}

t⁴+1dt 算不出來_, 請用別種方法₎ c. (6 分₎ 利用前兩小題_, 計算 _{f(3) +f(−2).}

4. (10 分₎ 設

f(x) = ln_x^x, x > 0.

a. 求 _f(x) 的極大值_.

b. 利用上題_, 證明_{: π}^e _{< e}^π_.

5. (10 分₎ 求積分_:

Z

sin(√³ x)dx

6. (8 分₎ 求極限

x→0lim⁺x(lnx)⁵³ .

7. (10 分₎ 設 _f(x) = cos(x²). 求 _f⁽²⁰¹⁴⁾_{(0). (}提示_: 利用 _cosx 的 Maclaurin series)