數學考科解析

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全國公私立高級中學 104 學年度學科能力測驗第四次聯合模擬考試

數學考科解析

^{考試日期：104}^年¹²^月^16~17 ^日

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 2 4 5 3 4 13 134 345 124 135 135 7 3 8 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

9 2 6 9 0 6 0 2 7 7 1 – 8 2 4

第壹部分：選擇題一、單選題

1. 9 9 0.36 16 925

 ，∵ 3 0.36 4

10 10

∴由CD段剪斷，才可能達成(或FG亦可)

2. T集合中之元素的算術平均數為( 3) 1 11 15 24

5 5

x x

     



○¹ 24 27

3 5.4

5 5

x  x 

○² 4 24 28 5.6

5 5

x x

   

○³ 24 29

5 5.8

5 5

x  x 

○⁴ 6 24 30 6

5 5

x x

   

○⁵ 24 31

7 6.2

5 5

x x

   

○⁶ 24 32

8 6.4

5 5

x x

   

∵S T ，∴x不可為7，即算術平均數不可能為(2) 6.20

3. 前n分鐘內所走的距離為

60[1 ( ) ]34 240[1 ( ) ]3

3 4

1 4

  



n

考慮240[1 ( ) ] 2003 ( )3 1

4 4 6

 ⁿ   ⁿ 當n6時 3 ⁶ 729 1

( )4 40966，當n7時 3⁷ 2187 1 ( )4 163846

∴小李在第7分鐘內到達學校

4.

2 2

3 3 5 5

B Ax B Ax B Ax

 

 

 



由○²○³得 ² ⁵

3

x B

B 代入○¹

2 3

2 2

2 5 5

3

982 1056 1220 850 B B

B B

A x B B

B

 

    

5. 第n列的數字和為(1 1) ^n¹

∴第十列的數字和為(1 1) ⁹2⁹512

6. 假設羅馬、翡冷翠、威尼斯、米蘭、羅馬依序住宿x、y、z、 u、w日

依題意x1、y2、z3、1 u 2、w1 且x y z u w    14

考慮下列兩種情形

○¹ u1時，x y z w   13 (x 1) (y 2) (z 3) (w 1) 6

         有 6⁴ 6⁹

9! 84 H C 6!3! (種)

○² u2時，x y z w   12

(x 1) (y 2) (z 3) (w 1) 5

         有 5⁴ 5⁸

8! 56 H C 5!3! (種) 由○¹○²可得共84 56 140  種可能

二、多選題

7. (1) ○：f i( )      i³ ai b 0 i ai b 0

1 0 1

( 1) 0 ( , )

0 0

a a

a i b a b R

b b

  

 

         (2) ×：應為b0

(3) ○：f x( )x³x

由f(  x) ( x)³   ( x) (x³x) f x( )，∴f x( )是奇函數 (4) ×：f x( )x³ x (x1)(x² x 2) 2

商式為x² x 2，餘式為2

(5) ×： ( ) ³ ³ ³

0 0 , 0 , 0 y f x x x

x x x x x

y x

   

       

 



∴y f x( )與yx恰有一個交點故選項(1)(3)正確

8. (1) ○：( 2)¹ 1 2

  ，log 1 0₂  ( 2)^¹log 1₂ (2) ×：( 2)²2，log 22 log ( 2) 2 ² 2 ( 2)²log 22 (3) ○：( 2)⁴4，log 24 log ( 2) 2 ⁴ 4 ( 2)⁴log 24 (4) ○：( 2)⁸16，log 8 log ( 2)2  2 ⁶ 6 ( 2)⁸log 82

(5) ×：( 2) ⁸( 2)³(1.42)³≒2.86

3 8

2 2 2

log 8 log ( 2)  3 ( 2) log 8 故選(1)(3)(4)

9. (1) ×： 1 ⁴⁸9 5

( 1) 5

9 P X C

 C 

(2) ×： 5 ⁴⁸9 5

( 9) 5

9 P X C

 C 

(3) ○： 5 1 ³⁷8

4

( 9 | 1) 1

2 P X X C

  C 

(4) ○： 3 ²⁴ ² ⁵

5

( 5)!

6 2!( 7)!

( 5)

! 5!( 5)!

  

 

  



n n

n

C C n

P X C n

n 360( 5)( 6)

( 1)( 2)( 3)( 4)

n n

n n n n n

 

    

(5) ○： ⁹ 9 10

10

360 4 3

9 8 7 6 5 6 1

360 5 4 5

10 9 8 7 6

P P P

P

 

   

      

    故選(3)(4)(5)

10. (1) ○：A(3 , 3)，B( 1 , 5) ，C(5 , 5)

  ( 4 , 2)， (2 , 2)

…○¹

…○²

…○³

(2)

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ABC面積 1| 4 2 | 6 2 2 2

  

(2) ○：皆在直線y5上

(3) ×：A(3 , 2)，B( 1 , 5) ，C(5 , 5)，作圖可知B、C必為銳角。考慮  ( 4 , 3)， (2 , 3)    1 0

∴BAC為銳角，ABC為銳角 (4) ○： (4 , 4)， (2 , 5a)

H為ABC垂心 0

(4 , 4) (2 , 5 a) 0 8 4(5 a) 0 a 7

         

(5) ×：AC中點 5

(4 , ) 2 M a

 7

(2 , ) 2 a

 又 (2 , 5a)

若K為ABC之外心  0 (2 , 7) (2 , 5 ) 0 3

2

a a a

      或9

11. (1) ○：資料X的算術平均數 1(76 82 86 80 88 92) 84

6      

X

(2) ×：資料X的標準差X

2 2 2 2 2 2

1[(76 84) (82 84) (86 84) (80 84) (88 84) (92 84)

 6           

2 7 5

 

(3) ○：x282標準化為 2 ²

82 84 2 7 0

 

  ^X  

X

x x 

 (4) ×：相關係數r X Z( , )r X Y( , )r (5) ○：   ^Y

X

m r 

 ^，資料^Z^對於資料^X^{的迴歸直線} 斜率

1 2 1

  ^Z   ^Y 2

X X

r  r  m

 

故選(1)(3)(5)

12. (1) ○： (2 , 1 , 3) ，  (t 1 , 4t², 1)

∵ABAC 02(t  1) ( 1)(4t²) 3 0 

2 2 1 0 ( 1)2 0 1

t t t t

          (2) ×： (2 , 1 , 3) ， (0 , 3 , 1) 外積 1 3 3 2 2 1

( , , ) ( 10 , 2 , 6)

3 1 1 0 0 3

 

   

(3) ○：以( 10 , 2 , 6)  為法向量平面方程式 ( 10)( x  1) ( 2)(y 0) 6(z 1) 0

5x y 3z 2 0

    

(4) ×： (1 , 0 , 1)，  ( 10 , 2 , 6)

∴cos ⁴ ²

2 140 70

 

 

 (5) ○：四面體OABC體積

1

6 1 (1 , 0 , 1) ( 10 , 2 , 6)

6   

1 2

6 4 3

   故選(1)(3)(5)

第貳部分：選填題

A. ³ 4⁶ ³ 1 ³ ⁹ 4⁶ ² ³ 3

1536 9 2 3 3

3 9 3 27

       

1 7

2

3 43 13 3 3 3

8 3 3 3 9 3 3 3 3

3 3

      

B. 依規律，分數 1

16所在位置為(16 , 1)

分數 9

16所在位置為(8 , 9)

C. L₁參數式 1

2 2 3

  

  

  



x t

y t

z at

，t R ，L2參數式

3 3 1 1

  

   

   



x s

y s

z bs

，s R

L1與L2必相交於一點解

1 3 3 1

2 2 1 1

3 1 4

     

 

      

 

       

 

t s t

t s s

at bs a b

又L1及L2的方向向量分別為 (1 , 2 , )a ， (3 ,1 , )b

1 2

L L     0 (1 , 2 , ) (3 ,1 , ) 0a  b 

ab 5

解 4 5

5 1

  

 

     

 

a b a

ab b 或 1

5

  

  a

b ，所求a²b²26

D. 內積公式 1

2 4 4

   2

又  2²4²  2 4 12 考慮 cos

 cos

22 4 2 12 cos cos 0 90

          E.

轉移矩陣 0.6 0.6

0.4 0.4

 

  

 

A

假設長期穩定狀態 a

X b

   

 ，其中a0 ,b0 ,a b 1

考慮 0.6 0.6

0.4 0.4

a a

X AX

b b

     

      

     

0.6 0.6 2 3

0.4 0.4 2 3

a a b a b

b a b a b

  

 

    

解 1 0.6 60%

2 3 0.4 40%

a b a

a b b

   

 

    

 

∴長期穩定狀態下，甲店的市場占有率為60%

F. 作圖如下

可行解區域之頂點為A(6 , 0)、B(3 , 1)、C(1 , 3)、D(0 , 6) ( , )x y A(6 , 0) B(3 , 1) C(1 , 3) D(0 , 6)

5x12y 30 27 41 72

∴5x12y之最小值為27 原

新甲乙甲 0.6 0.6 乙 0.4 0.4

(3)

第3頁共3頁 G. AC 3²4²5，令CAD，則sin 3

5，cos 4

5 sin(60 ) 5 (sin 60 cos cos60 sin ) BCAC        

3 4 1 3 3

5( ) 2 3

2 5 2 5 2

     

cos(60 ) 5(cos60 cos sin 60 sin ) ABAC       

1 4 3 3 3

5( ) 2 3

2 5 2 5 2

     

∴ 3 3 7 1 7 3 1

(2 3 ) (2 3) 3

2 2 2 2 2

        

BC AB

H. 圓C之圓心為K(1 , 0) 半徑為2

拋物線 _{開口向左或向右} 如圖：

○¹若拋物線 _開口向左則以K(1 , 0)為焦點

(3 , 0)

A 為頂點

方程式(y0)² 4( 2)(x3)

2 8 24

y x

   

○²若拋物線 _開口向右

則以K(1 , 0)為焦點，B( 1 , 0) 為頂點

方程式(y0)²4(2)(x 1) y²8x8 依題意 _：y²ax b ，其中ab0

∴ _：y²  8x 24 所求數對( , ) ( 8 , 24)a b  

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