Z X C V
數學 考科
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00847-02 總編輯∕李心筠
企 編∕高湘婷
責 編∕吳崇欽˙黃美甄˙陳盈如 美 編∕郭慧娟˙歐詩妤˙林素儀
出 版∕民國一 一 二年二月
發行所∕70248 臺南市新樂路 76 號 翰林官網 http://www.hle.com.tw
本書內容同步刊載於翰林官網
臺中一中•李宜展 老師
大園高中•葉子榕 老師
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臺中一中／李宜展 老師
⼀、前 言
112 學年度的學測在 1 月 13 日至 1 月 15 日舉辦。在分析今年的學測數學 A 試題之前，我
們先來回顧一下 111 學年度學測數學 A 試題的五標及原得總分如下。
頂標 前標 均標 後標 底標
10 級分 8 級分 6 級分 4 級分 3 級分
50.05～55.61 分 38.93～44.49 分 27.81～33.37 分 16.68～22.25 分 11.12～16.68 分 從上面表格可以看出全國應考 111 學測數學 A 考科的學生中，約有五成低於 30 分，而快九成 的學生是不及格的。而別於以往學測，大部分低數學需求的考生，已經選考數學 B 考科或者 不考，所以去年全國在數學 A 考科的考生表現是令人擔憂的。相信在有待調整的情況下，今 年大考中心應該有所改變，讓考生及老師們看出數學 A 試題的出題標準。
以下筆者先利用表格呈現今年學測數學 A 的試題分布，如此便能讓讀者很清楚地看出此 次考試內容，最後分析這次試題的特色，以作為老師們參考。
二、試題分布
冊別 單元 題型 難易度 分數合計 單冊合併計分
第一章 數與式
單選 1 易 5 分
第二章 指數、對數
單選 3 中偏易 5 分
第三章 多項式函數 選填 14 易 5 分
多選 10 中 5 分
第一冊
第四章 直線與圓
混合 20 中 6 分
26 分
多選 7 中偏易 5 分
第一章 數列與級數
多選 9 中偏難 5 分
第二章 數據分析 (單選 3) 中偏易
單選 4 中 5 分
第三章 排列組合與機率
單選 6 中偏難 5 分
單選 2 易 5 分
第二冊
第四章 三角比
混合 18 易 3 分
28 分
數學 A 考科
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冊別 單元 題型 難易度 分數合計 單冊合併計分
多選 12 難 5 分
第一章 三角函數
混合 19 中偏難 6 分
第二章 指數與對數函數 (多選 9) 中偏難
選填 15 中 5 分
第三冊 A
第三章 平面向量
(混合 19) 中偏難
16 分
單選 5 中偏難 5 分
(單選 6) 中偏難
第一章 空間向量
(選填 16) 中偏難
選填 16 中偏難 5 分
第二章 空間中的平面與直線
選填 17 難 5 分
第三章 機率 多選 8 中 5 分
多選 11 中偏易 5 分
第四冊 A
第四章 矩陣
選填 13 易 5 分
30 分
(若題目有跨兩個章節，但僅用到次要概念，則用括號表示，不計入分數合計)
由上表可看出此次學測與去年的學測試題數相同，均為 20 題，題型維持單選題、多選題、
選填題、混合題組的型態，分別是 6 題 (30 ％)、6 題 (30 ％)、5 題 (25 ％)及 3 小題 (15 ％)。
此次學測第四冊的分量占最多 (30 ％)，第三冊偏少 (16 ％)。而難易度為易或中偏易的題目約 占了整份試卷的三分之一，明顯比去年的學測簡單許多。
三、試題特色 1. 基本題型變多：
別於去年基本題少且陷阱又多，從今年的考題可以看出大考中心的拿捏，如單選 1、2、3，
多選 7、11，選填 13、14 及混合題 18 都是有該單元的概念即能答對的題目，這些都拿下
分數後，就足以超過去年的均標了。這樣的出法如同給對數學科信心不足的考生打了一劑 強心針，認真準備的人還是會有收穫的。
2. 素養情境題變少：
今年的情境敘述比去年減少許多，題目描述平易近人。不過仍有些情境閱讀題，如單選 3 應用對數及迴歸直線在物理量上，選填 13 在飲料售價的聯立方程式，還有多選 7 在薪資上 的等差數列，都可看出數學在其他領域的應用。而在考數學概念應用的題目，條件敘述簡 單明瞭，能讓考生聚焦在問題解決上。
4
3. 多選題考概念應用居多：
以往在多選題會看到需要推理應用的題目，這樣的題目大概是把一個很困難的問題，利用 多選題的選項拆解成 5 個小問題。今年反而以考概念應用為主，如多選 8 考獨立事件概念，
多選 11 考旋轉矩陣與鏡射矩陣的性質。不過多選 9 要注意項數的奇偶性，多選 10 以直線
方程式的交點為內容，條件繁雜，須小心應對，而多選 12 則考正餘弦函數圖形的對稱性，
這些都是屬於比較有鑑別度的題目。
4. 鑑別高手題：
除了剛剛提到的多選 9、10 及 12 外，在單選 6 的期望值，選填 16 及選填 17 的空間應用問 題，都是判斷是否為高手的關鍵，這些題目大多連結數個單元不同的概念，考數學的綜合 能力，需要平時養成思考數學題目的習慣，而單選 5 考的是平行六面體體積公式的推導過 程，上課時理解老師推導公式的來龍去脈，也是有所助益的。
5. 去年學測未出現的內容：
去年學測試題的漏網之魚在今年出現了，如多選 11 的線性變換及選填 17 的歪斜線距離，
這告訴我們，近年未出現的內容可能會是未來大考的方向。
6. 混合題型：
今年的混合題出現了 3 小題，而 2 小題需要學生手寫。看似 3 小題，其實裡面包含有 5 個 問題，除了上述提到簡單的混合題 18，混合題 19 的難度較高，考的是三角比或半、倍角公 式的應用，雖然混合題 20 不難，但需要用到混合題 19 的結果，考生可能不容易拿到分數。
四、結 語
整體而言，這份試題比去年簡單，均標的分數預估將會提高。考題的特色是出現了幾道很 基本的觀念題，但又為了鑑別出高手，仍有幾道活用思考題，算是可以符合不同需求的考生。
而今年的難題集中在空間幾何上，要拿到滿級分依舊不容易，需要有良好的數學底子才能拿到 高分。而今年沒有出現正餘弦定理、圓方程式及三次函數的性質，這些未出現的內容，也許是 明年該注意的考點。
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臺中一中／李宜展 老師 第壹部分、選擇（填）題（占 85 分）
⼀、單選題（占 30 分）
說明：第 1. 題至第 6. 題，每題 5 分。
1. 若在計算器中鍵入某正整數 N，接著連按「 」鍵 (取正平方根) 3 次，視窗顯示得到答 案為 2，則 N 等於下列哪一個選項？
( )1 23 ( )2 24 ( )3 26 ( )4 28 ( )5 212
答 案： ( )4
命題出處：第一冊第二章 指數、對數
測驗目標：指數的運算
難 易 度：易
詳 解： N ＝ 2
1 2 1 2 1
) )
((N ＝ 8
1
N ＝2
∴N＝28，故選 ( )4
2. 坐標平面上，以原點 O 為圓心、1 為半徑作圓，分別交坐標軸正向 於 A、B 兩點。在第一象限的圓弧上取一點 C 作圓的切線分別交兩 軸於點 D、E，如右圖所示。令∠OEC＝θ，試選出為 tan θ 的選項。
( )1 OE ( )2 OC ( )3 OD
( )4 CE ( )5 CD
答 案： ( )5
命題出處：第二冊第四章 三角比
測驗目標：三角比的定義
難 易 度：易
詳 解：∵OC⊥DE ∴∠OCE＝∠OCD＝90° 又∠DOE＝90° ∴∠DOC＝∠OEC＝θ 且OA＝OB＝OC＝1
( )1 ╳：
OE
OC＝sin θ，OE＝ θ sin
OC ＝ θ sin
1 ( )2 ╳：OC＝1
( )3 ╳：
OD
OC＝cos θ，OD＝ θ cos
OC ＝ θ cos
1
( )4 ╳：
CE
OC＝tan θ，CE＝ θ tan
OC ＝ θ tan
1
6
( )5 ○：
OC
CD＝tan θ，CD＝OCtan θ＝tan θ 故選 ( )5
3. 某生推導出兩物理量 s，t 應滿足一等式。為了驗證其理論，他做 了實驗得到 15 筆兩物理量的數據 (sk , tk)，k＝1，……，15。老師 建議他將其中的 tk 先取對數，在坐標平面上標出對應的點 (sk , log tk)，
k＝1，……，15，如右圖所示；其中第一個數據為橫軸坐標，第 二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。
試問該生所得 s，t 的關係式最可能為下列哪一選項？
( )1 s＝2t ( )2 s＝3t ( )3 t＝10s ( )4 t2＝10s ( )5 t3＝10s
答 案： ( )4
命題出處：第一冊第二章 指數、對數、第二冊第二章 數據分析
測驗目標：結合對數概念與迴歸直線分析的應用
難 易 度：中偏易
詳 解：點 (sk , log tk) 約略落在直線 y＝
2 1x 上
即 log t＝
2 1s
由對數的定義，t＝ 2s
1
10 ，即 t2＝10s 故選 ( )4
4. 將數字 1、2、3、……、9 等 9 個數字排成九位數 (數字不得重複)，使得前 5 位從左至右
遞增、且後 5 位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？
( )1
! 4
! 4
!
8 ( )2
! 3
! 5
!
8 ( )3
! 4
! 5
!
9 ( )4
! 5
!
8 ( )5
! 5
! 9
答 案： ( )1
命題出處：第二冊第三章 排列組合與機率
測驗目標：理解排列或組合的原理
難 易 度：中
詳 解：∵前 5 位從左至右遞增，後 5 位從左至右遞減
∴第 5 位必為 9
其他 8 個數字先排入剩下 8 位
但前 4 位只有一種排列 (由小到大)，
後 4 位也只有一種排列 (由大到小)
∴共有4!4!
!
8 個滿足條件的九位數 故選 ( )1
數學 A 考科
7
5. 已知坐標空間中 P、Q、R 為平面 2x－3y＋5z＝ 7上不共線三點。
令PQ
＝(a1 , b1 , c1)，PR
＝(a2 , b2 , c2)。試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。( )1
2 2 2
1 1 1
1 1 1
c b a
c b a
－
( )2
2 2 2
1 1 1
1 1 1
c b a
c b a
－
( )3
2 2 2
1 1 1
1 1 1
c b a
c b a
－
( )4
2 2 2
1 1 1
1 1 1
c b a
c b a
－
－
( )5
2 2 2
1 1 1
1 1 1
c b a
c b a
－
－
－
答 案： ( )2
命題出處：第四冊 A 第一章 空間向量
測驗目標：理解三階行列式代表的幾何意義
難 易 度：中偏難
詳 解：
n ＝(2 ,－3 , 5) 為平面 2x－3y＋5z＝ 7之法向量2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
z y x
的絕對值代表由PQ
，PR
，
u ＝(x , y , z) 所張成之平行六面體 體積＝|PQ
×PR
| ×h其中 h＝
u 在
n 上之正射影長＝|
u | × | cos θ |＝|
u | ×| n
|
| u
|
| n u
|
．
＝
| n
|
| n u
|
．
∵|
n | 為定值∴當 |
u ．
n | 愈大時，則 h 愈大，可得平行六面體的體積愈大 ( )1 |
u ．
n |＝| (－1 , 1 , 1)．(2 ,－3 , 5) |＝0( )2 |
u ．
n |＝| (1 ,－1 , 1)．(2 ,－3 , 5) |＝10 ( )3 |
u ．
n |＝| (1 , 1 ,－1)．(2 ,－3 , 5) |＝6 ( )4 |
u ．
n |＝| (－1 ,－1 , 1)．(2 ,－3 , 5) |＝6 ( )5 |
u ．
n |＝| (－1 ,－1 ,－1)．(2 ,－3 , 5) |＝4 故選 ( )26. 坐標空間中，考慮邊長為 1 的正立方體，固定一頂點 O。從 O 以外的七個頂點隨機選取相 異兩點，設此兩點為 P、Q，試問所得的內積O
P．OQ
之期望值為下列哪一個選項？( )1 7
4 ( )2
7
5 ( )3
7
6 ( )4 1 ( )5
7 8
8
答 案： ( )3
命題出處：第二冊第三章 排列組合與機率、第四冊 A 第一章 空間向量
測驗目標：結合空間向量的內積與期望值的應用
難 易 度：中偏難
詳 解：向量有 3 種長度，
長度為 1 有 3 個：OA
，OC
，OG
長度為 2有 3 個：OB
，OD
，OF
長度為 3有 1 個：OE
所求內積總共有C27＝21 種，有以下情形：
( )1 O
P．OQ
＝0①長度為 1 的向量任選 2 個，如OA
．OC
＝0②長度為 2的向量任選 1 個，再找長度為 1 的向量，如OB
．OG
＝0共有C23＋C13×C11＝6 種 ( )2 O
P．OQ
＝1①長度為 2的向量任選 1 個，再找長度為 1 的向量 如OB
．OA
＝OB
．OC
＝1×1＝1②長度為 2的向量任選 2 個，如OB
．OD
＝ 2× 2×cos 60°＝1③長度為 1 的向量任選 1 個，再找長度為 3的向量 如OA
．OE
＝1×1＝1共有C13×C12＋C23＋C13×C11＝12 種
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( )3 O
P．OQ
＝2長度為 2的向量任選 1 個，再找長度為 3的向量 如OB
．OE
＝ 2× 2＝2共有C13×C11＝3 種 所求期望值為 0×
21 6 ＋1×
21 12＋2×
21
3 ＝
21 18＝
7 6 故選 ( )3
〈另解〉
設 O(0 , 0 , 0)，A(1 , 0 , 0)，C(0 , 1 , 0)，G(0 , 0 , 1) 向量分為 3 類：Ⅰ：(1 , 0 , 0)，(0 , 1 , 0)，(0 , 0 , 1)
Ⅱ：(1 , 1 , 0)，(0 , 1 , 1)，(1 , 0 , 1)
Ⅲ：(1 , 1 , 1) 內積有以下情形：
( )1 Ⅰ＋Ⅰ：O
P．OQ
＝0，如 (1 , 0 , 0)．(0 , 1 , 0)＝0，有C23種( )2 Ⅰ＋Ⅱ：O
P．OQ
＝1 或 0，如 (1 , 0 , 0)．(1 , 1 , 0)＝(1 , 0 , 0)．(1 , 0 , 1)＝1 或 (1 , 0 , 0)．(0 , 1 , 1)＝0有C13×C12＋C13×C11種
1 0
( )3 Ⅰ＋Ⅲ：O
P．OQ
＝1，如 (1 , 0 , 0)．(1 , 1 , 1)＝1，有C13×C11種 ( )4 Ⅱ＋Ⅱ：O
P．OQ
＝1，如 (1 , 1 , 0)．(0 , 1 , 1)＝1，有C23種 ( )5 Ⅱ＋Ⅲ：O
P．OQ
＝2，如 (1 , 1 , 0)．(1 , 1 , 1)＝2，有C13×C11種 所求期望值為 0×
21 21
1 1 3 3 1
2 C C
C ＋ ＋1×
21 21 21
3 2 1 1 3 1 2 1 3
1C C C C
C ＋ ＋ ＋2×
21
1 1 3 1C
C ＝
7 6
故選 ( )3
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二、多選題（占 30 分）
說明：第 7. 題至第 12.題，每題 5 分。
7. 某公司有甲、乙兩新進員工，兩人同時間入職且起薪相同。公司承諾給甲、乙兩員工調薪 的方式如下：
甲：工作滿 3 個月，下個月開始月薪增加 200 元；以後再每滿 3 個月皆依此方式調薪。
乙：工作滿 12 個月，下個月開始月薪增加 1000 元；以後再每滿 12 個月皆依此方式調薪。
根據以上敘述，試選出正確的選項。
( )1 甲工作滿 8 個月後，第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 600 元 ( )2 工作滿一年後，第 13 個月甲的月薪比乙的月薪高
( )3 工作滿 18 個月後，第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高
( )4 工作滿 18 個月時，甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水少
( )5 工作滿兩年後，在第 3 年的 12 個月中，恰有 3 個月甲的月薪比乙的月薪高
答 案： ( )3 ( )5
命題出處：第二冊第一章 數列與級數
測驗目標：等差數列在生活情境中的應用
難 易 度：中偏易
詳 解：設兩人起薪皆為 k 元
( )1 ╳：第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 200×2＝400 元 ( )2 ╳：甲：k＋200×4＝k＋800 元，
乙：k＋1000×1＝k＋1000 元
∴第 13 個月甲的月薪比乙的月薪低 ( )3 ○：甲：k＋200×6＝k＋1200 元，
乙：k＋1000×1＝k＋1000 元
∴第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高
( )4 ╳：考慮除了起薪，工作這 18 個月所增加的薪水
甲：200×3×5＋200×3×4＋200×3×3＋200×3×2＋200×3＝9000 元，
乙：1000×6＝6000 元
∴甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水多
( )5 ○：第 3 年(第 25 個月)乙的月薪比第 1 個月的月薪多 2000 元
2000＝200×10，即第 31、32、33 個月，甲和乙的月薪相同
則第 3 年恰有 3 個月(第 34、35、36 個月)甲的月薪比乙的月薪高 故選 ( )3 ( )5
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8. 某抽獎遊戲單次中獎機率為 0.1，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 n，令 pn為 玩此遊戲 n 次至少中獎 1 次的機率。試選出正確的選項。
( )1 pn＋1＞pn
( )2 p3＝0.3
( )3 〈pn〉為等差數列
( )4 玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 p2－p1
( )5 玩此遊戲 n 次且 n≥2 時，至少中獎 2 次的機率等於 2pn
答 案： ( )1 ( )4
命題出處：第四冊 A 第三章 機率
測驗目標：事件的獨立及其應用
難 易 度：中
詳 解：pn＝1－P(n 次全不中獎)
＝1－(1－0.1)n
＝1－0.9n
( )1 ○：pn＋1－pn＝1－0.9n＋1－(1－0.9n)
＝0.9n－0.9n＋1
∵0.9n＞0.9n＋1
∴pn＋1＞pn
( )2 ╳：p3＝1－(0.9)3＝1－0.729＝0.271≠0.3 ( )3 ╳：〈pn〉非等差數列
( )4 ○：設 A 代表第一次中獎的事件，B 代表第二次中獎的事件 p1表示第一次中獎的機率＝P(A)
p2表示玩兩次至少中獎一次的機率＝P(A∪B) 如右圖，第一次未中獎且第二次中獎的機率
＝P(B－A)
＝P(A∪B)－P(A)
＝p2－p1
( )5 ╳：至少中獎 2 次的機率
＝1－P(n 次全不中)－P(n 次恰中 1 次)
＝1－(1－0.1)n－C1n(1－0.1)n－1×0.1
＝1－0.9n－n×0.1×0.9n－1≠2pn
故選 ( )1 ( )4
9. 設 a1，a2，a3，……，an是首項為 3 且公比為3 3的等比數列。試選出滿足不等式 log3a1－log3a2＋log3a3－log3a4＋……＋(－1)n＋1log3an＞18
的項數 n 之可能選項。
( )1 23 ( )2 24 ( )3 25 ( )4 26 ( )5 27
12
答 案： ( )3 ( )5
命題出處：第二冊第一章 數列與級數、第三冊 A 第二章 指數與對數函數
測驗目標：等比數列結合對數律的應用
難 易 度：中偏難
詳 解：an＝3．(3 3)n－1＝3． 2
) 1 ( 3
3
n－
＝ 2
1 3
3
n－
log3an＝ 2
1 3n－
得 Sn＝log3a1－log3a2＋log3a3－log3a4＋……＋(－1)n＋1log3an
＝2
1［2－5＋8－11＋14－17＋……＋(3n－1)(－1)n＋1］
∵Sn＞18
∴n 為奇數
Sn＝ 2
1×(2＋3＋3＋……＋3)
2 1 n－
個
＝2
1×
×
2 3 1
2 －
＋ n
＞18
2＋
2 3n－
2
3＞36 2 3n＞
2
71 n＞
3 71＝
3 23 2 又 n 為奇數
故選 ( )3 ( )5
10.考慮坐標平面上的直線 L：5y＋(2k－4)x－10k＝0 (其中 k 為一實數)，以及長方形 OABC，
其頂點坐標為 O(0 , 0)、A(10 , 0)、B(10 , 6)、C(0 , 6)。設 L 分別交直線 OC、直線 AB 於點 D、E。試選出正確的選項。
( )1 當 k＝4 時，直線 L 通過點 A ( )2 若直線 L 通過點 C，則 L 的斜率為
2
－5 ( )3 若點 D 在線段OC上，則 0≤k≤3 ( )4 若 k＝
2
1，則線段DE在長方形 OABC 內部 (含邊界)
( )5 若線段DE在長方形 OABC 內部 (含邊界)，則 L 的斜率可能為 10
3
答 案： ( )1 ( )3 ( )5
命題出處：第一冊第四章 直線與圓
測驗目標：直線方程式的應用
難 易 度：中
詳 解： ( )1 ○：k＝4 時，L：5y＋4x－40＝0
∵5．0＋4．10－40＝0
∴直線 L 通過點 A
數學 A 考科
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( )2 ╳：C(0 , 6) 代入 5y＋(2k－4)x－10k＝0，得 k＝3
L：2x＋5y－30＝0
∴mL＝－
5 2
( )3 ○：x＝0 代入 5y＋(2k－4)x－10k＝0，得 y＝2k
∴L 和 y 軸交於 D(0 , 2k) 若點 D 在OC上
0≤2k≤6
0≤k≤3
( )4 ╳：x＝10 代入 5y＋(2k－4)x－10k＝0，得 y＝8－2k
∴L 和AB←→交於 E(10 , 8－2k) 若 k＝
2
1 ，得 E(10 , 7)
DE不在長方形 OABC 內部 (含邊界)
( )5 ○：承 ( )3 、 ( )4 ，若DE在長方形 OABC 內部 (含邊界)
⇔
≤
≤
≤
≤ 3 0
6 2 8 0
k k
－ 得 1≤k≤3
mL＝ 5
4 2
－ k－
＝10 3 ，
得 k＝
4
5，符合 1≤k≤3
∴L 的斜率可能為 10
3 故選 ( )1 ( )3 ( )5
11.坐標平面上，設 A、B 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 90°的旋轉矩陣。設 C、D 分別表示以直線 x＝y、x＝－y 為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。
( )1 A、C 將點 (1 , 0) 映射到同一點 ( )2 A＝－B
( )3 C＝D－1 ( )4 AB＝CD ( )5 AC＝BD
答 案： ( )2 ( )5
命題出處：第四冊 A 第四章 矩陣
測驗目標：旋轉矩陣與鏡射矩陣的性質
難 易 度：中偏易
詳 解：根據題意
A＝
) 90 ( cos )
90 ( sin
) 90 ( sin )
90 ( cos
－
－
－
－
－ ＝
0 1
1 0
－ ，B＝
90 cos 90
sin
90 sin 90
cos －
＝
0 1
1
0 －
C＝
0 1
1
0 ，D＝
0 1
1 0
－
－
14
( )1 ╳：A
0
1 ＝
0 1 0 1
1 0
－ ＝
1 0
－ C
0
1 ＝
0 1 0 1
1
0 ＝
1 0
( )2 ○：A＝
0 1
1 0
－ ＝－
0 1
1
0 －
＝－B ( )3 ╳：CD＝
0 1
1 0 0 1
1 0
－
－ ＝
1 0
0 1
－
－ ＝－I
∴C＝－D－1
( )4 ╳：AB＝
0 1
1 0 0 1
1
0 －
－ ＝
1 0
0
1 ＝I
承 ( )3 ，CD＝－I
∴AB≠CD
( )5 ○：AC＝
0 1
1 0 0 1
1 0
－ ＝
1 0
0 1
－
BD＝
0 1
1 0 0 1
1 0
－
－
－ ＝
1 0
0 1
－
∴AC＝BD 故選 ( )2 ( )5
12.令 f (x)＝sin x＋ 3 cos x，試選出正確的選項。
( )1 鉛直線 x＝
6
π 為 y＝f (x) 圖形的對稱軸
( )2 若鉛直線 x＝a 和 x＝b 均為 y＝f (x) 圖形的對稱軸，則 f (a)＝f (b) ( )3 在區間 [0 , 2π) 中僅有一個實數 x 滿足 f (x)＝ 3
( )4 在區間 [0 , 2π) 中滿足 f (x)＝
2
1的所有實數 x 之和不超過 2π ( )5 y＝f (x) 的圖形可由 y＝4 sin2
2
x的圖形經適當(左右、上下)平移得到
答 案： ( )1 ( )5
命題出處：第三冊 A 第一章 三角函數
測驗目標：三角函數的疊合與圖形的對稱性
難 易 度：難
詳 解：f (x)＝sin x＋ 3 cos x
＝
2 cos 3 2 sin 1
2 x． ＋ x．
＝
sin 3 3 cos
cos sin
2 x π＋ x π
＝
sin 3
2 x＋π
數學 A 考科
15
( )1 ○：
6
f π ＝
3 sin 6
2 π＋π ＝2 sin 2
π ＝2 為 f (x) 之最大值
∴x＝6
π 為 y＝f (x) 圖形的對稱軸 ( )2 ╳：當 a＝
6 π ，b＝
6
7π 時，
f (a)＝2 為 f (x) 之最大值 f (b)＝－2 為 f (x) 之最小值
此時 x＝a 和 x＝b 均為 y＝f (x) 圖形的對稱軸，但 f (a)≠f (b)
( )3 ╳：f (x)＝
sin 3
2 x＋π 的圖形為 y＝2 sin x 的圖形向左平移
3 π 單位 而得，如右圖
∴在 [0 , 2π) 有兩個實數 x 滿足 f (x)＝ 3
( )4 ╳：如下圖，在 [0 , 2π) 有兩個實數 x 滿足 f (x)＝
2 1，
且點 A、B 對稱於 x＝
6 7π
∴和為 6 7π ×2＝
3
7π ＞2π ( )5 ○：y＝4 sin2
2 x
＝4× 2 cos
1－ x
＝－2 cos x＋2
＝
sin 2
2 x－π ＋2
＝ 2
3 6 sin 5
2 － ＋ ＋
x π π
可由 y＝f (x) 的圖形向右平移 6
5π 單位，再向上平移 2 單位而得
故 y＝f (x) 的圖形可由 y＝4 sin2 2
x的圖形平移得到 故選 ( )1 ( )5
16
三、選填題（占 25 分）
說明：第 13. 題至第 17. 題，每題 5 分。
13.某間新開幕飲料專賣店推出果汁、奶茶、咖啡三種飲料，前 3 天各種飲料的銷售數量 (單 位：杯) 與收入總金額 (單位：元) 如下表，例如第一天果汁、奶茶、咖啡的銷售量分別為 60 杯、80 杯與 50 杯，收入總金額為 12900 元。已知同一種飲料每天的售價皆相同，則咖 啡每杯的售價為
○
13-1○
13-2 元。果汁 (杯) 奶茶 (杯) 咖啡 (杯) 收入總金額 (元)
第 1 天 60 80 50 12900
第 2 天 30 40 30 6850
第 3 天 50 70 40 10800
答 案：80
命題出處：第四冊 A 第四章 矩陣
測驗目標：利用聯立方程式解決生活中的問題
難 易 度：易
詳 解：設果汁每杯 x 元，奶茶每杯 y 元，咖啡每杯 z 元
10800 40
70 50
6850 30
40 30
12900 50
80 60
＝
＋
＋
＝
＋
＋
＝
＋
＋
z y x
z y x
z y x
6 8 5 1290
3 4 3 685
5 7 4 1080
x y z x y z x y z
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝
①
②
③ 由②×2－①得 z＝80
故咖啡每杯的售價為 80 元
14.設 a，b 為實數 (其中 a＞0)，若多項式 ax2＋(2a＋b)x－12 除以 x2＋(2－a)x－2a 所得餘式 為 6，則數對 (a , b)＝ (
○
14-1 ,○
14-2○
14-3) 。
答 案：(3 ,－9)
命題出處：第一冊第三章 多項式函數
測驗目標：除法原理的應用
難 易 度：易
詳 解：由除法原理可得
ax2＋(2a＋b)x－12＝a〔x2＋(2－a)x－2a〕＋6 比較係數得
2 2
2 2
12 2 6
a b a a a
＋ ＝ －
－ ＝－ ＋
①
② 由②得 2a2＝18，a＝± 3 (負不合) 代入①得 6＋b＝6－9，b＝－9 故數對 (a , b)＝(3 ,－9)
數學 A 考科
17
15.設 O、A、B 為坐標平面上不共線三點，其中向量OA
垂直OB
。若 C、D 兩點在直線 AB 上，滿足OC
＝ OA
5
3 ＋ OB
5
2 、3AD＝8BD，且OC
垂直OD
，則OA
OB ＝
○
15-1○
15-2
。(化為 最簡分數)
答 案：
4 3
命題出處：第三冊 A 第三章 平面向量
測驗目標：平面向量的垂直與內積的應用
難 易 度：中
詳 解：由OC
＝ OA
5
3 ＋ OB
5 2
可知 C 在AB上且AC：BC＝2：3 又 3AD＝8BD及OC
⊥OD
可知 B 在AD上且AD：BD＝8：3 得AB：BD＝5：3
∴OB
＝ OA
8
3 ＋ OD
8
5 OD
＝ OA
5
－3 ＋ OB
5 8
∵OC
⊥OD
0＝OC
．OD
＝
OA
OB
5 2 5
3 ＋ ．
OA
OB
5 8 5
3 ＋
－
＝ 25
－9 |OA
|2＋25
24 OA
．OB
－25
6 OA
．OB
＋25 16 |OB
|2＝ 25
－9 |OA
|2＋25
16 |OB
|2(∵OA
⊥OB
)25
9 |OA
|2＝25
16 |OB
|22 2
|
|
|
|
OA OB ＝
16 9
∴OA OB ＝
4 3
〈另解〉
設 O(0 , 0)，A(a , 0)，B(0 , b)，其中 a，b＞0
a b
C 5
, 2 5
3 ，
a b
D 5
, 8 5
－3
∵OC
⊥OD
OC
．OD
＝0
a b
5 , 2 5
3 ．
a b
5 , 8 5
－3 ＝0
25 9 a2＝
25
16 b2 22 a b ＝
16 9
∴OA OB ＝
a b＝
16 9 ＝
4 3
18
16.令 E：x＋z＝2 為坐標空間中過三點 A(2 ,－1 , 0)、B(0 , 1 , 2)、C(－2 , 1 , 4) 的平面。另有 一點 P 在平面 z＝1 上且其於 E 之投影點與 A、B、C 三點等距離。則點 P 與平面 E 的距離 為
○
16-1○
16-2 。(化為最簡根式)
答 案：2 2
命題出處：第四冊 A 第一章 空間向量、第四冊 A 第二章 空間中的平面與直線
測驗目標：結合空間概念及平面方程式的應用
難 易 度：中偏難
詳 解：
設 P(a , b , 1)，P 在 E 上的投影點為 O
由OA＝OB＝OC、OP為共用邊且∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°
可得△OPA≅△OPB≅△OPC(SAS)
PA＝PB＝PC
∴(a－2)2＋(b＋1)2＋12＝a2＋(b－1)2＋(1－2)2
＝(a＋2)2＋(b－1)2＋(1－4)2
14 2 4 2 2
2 2 6 2 4
＋
－
＝
＋
－
＋
＝－
＋
＋
－
b a b
b b
a
a＝－3，b＝－4
∴P(－3 ,－4 , 1) 故 d(P , E )＝
2
2 1
1
| 2 1 3
|
＋
－
＋
－ ＝
2
4 ＝2 2
17.坐標空間中有兩不相交直線 L1：
t z
t y
t x
＋
＝
－
＝
＋
＝ 2 1 1
，t 為實數、L2：
s z
s y
s x
－
＝
＋
＝
＋
＝ 6
5 2 2
，s 為實數，另一直
線 L3與 L1、L2皆相交且垂直。若 P、Q 兩點分別在 L1、L2上且與 L3之距離皆為 3，則 P、Q 兩點的距離為
○
17-1○
17-2 。(化為最簡根式)
答 案：5 2
命題出處：第四冊 A 第二章 空間中的平面與直線
測驗目標：空間中兩歪斜線的應用問題
難 易 度：難
數學 A 考科
19
詳 解：L1的方向向量
1 ＝(1 ,－1 , 1)，L2的方向向量
2 ＝(2 , 1 ,－1)
∵
1 ．
2 ＝0 ∴
1 ⊥
2
故考慮上圖的情形即可
(P，Q 在其他位置時，結果相同)
作 L4// L2且 L4和 L1、L3相交於一點 令 Q 在 L4上之投影點為 Q'
1 ×
2 ＝
1 2
1 , 1
2 1
1 , 1
1 1
1
1 －
－
－
－
＝(0 , 3 , 3) // (0 , 1 , 1)
則包含 L1及 L4的平面 E 之一個法向量為 (0 , 1 , 1) 令 E：y＋z＝k
取 L1上一點 A(1 , 1 , 2) 代入 E 得 k＝3
∴E 之方程式為 y＋z＝3 取 L2上一點 B(2 , 5 , 6)
QQ′＝d(B , E )＝
2
2 1
1 3 6 5
＋
－
＋ |
| ＝
2
8 ＝4 2
又PQ′＝ 32＋32 ＝3 2
∴PQ＝ PQ′2＋QQ′2 ＝ (3 2)2＋(4 2)2 ＝5 2
第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）
說明：本部分共有 1 題組，單選題每題 3 分，非選擇題配分標於題末。限在標示題號作答區 內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時以橡皮擦擦拭，
切勿使用修正帶 (液)。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理 由，否則將酌予扣分。
18－20 題為題組
坐標平面上 O 為原點，給定 A(1 , 0)、B(－2 , 0) 兩點。另有兩點 P、Q 在上半平面，且滿足AP＝OA、BQ＝OB、∠POQ 為直 角，如右圖所示。令∠AOP＝θ。根據上述，試回答下列問題。
18.線段OP長為下列哪一選項？(單選題，3 分)
( )1 sin θ ( )2 cos θ ( )3 2 sin θ ( )4 2 cos θ ( )5 cos 2θ
20
答 案： ( )4
命題出處：第二冊第四章 三角比
測驗目標：三角比的定義
難 易 度：易
詳 解：取OP中點 M
∵OA＝AP
∴AM ⊥OP
可得OP＝2OM＝2 cos θ 故選 ( )4
19.若 sin θ＝
5
3，試求點 Q 的坐標，並說明B
Q＝2AP
。(非選擇題，6 分)
答 案：
25 , 48 25
－36
Q ，說明略
命題出處：第三冊 A 第一章 三角函數、第三冊 A 第三章 平面向量
測驗目標：結合倍角公式與平面向量的應用
難 易 度：中偏難
詳 解：∵sin θ＝
5
3 ∴cos θ＝
2
5 1 3
－ ＝ 5 4
作PP′⊥AB←→於 P'，QQ′⊥AB←→於 Q'
∠PAP'＝2θ，∠B＝180°－(90°－θ )×2＝2θ
AP
＝–
AP′ϖ
＋–
P P′ϖ
＝(cos 2θ , 0)＋(0 , sin 2θ)
＝(cos 2θ , sin 2θ)
＝(2 cos2θ－1 , 2 sin θ cos θ)
＝
× ×
×
5 4 5 2 3 , 5 1
2 4
2
－ ＝
25 , 24 25
7
同理，BQ
＝–
BQ′ϖ
＋ Q Q–
′ϖ
＝(2 cos 2θ , 2 sin 2θ)
＝2AP
＝
25 , 48 25 14
∴點 Q 坐標為
25 , 48 25 2＋14
－ ＝
25 , 48 25
－36
數學 A 考科
21
20. (承 19. 題) 試求點 A 到直線 BQ 的距離，並求四邊形 PABQ 的面積。(非選擇題，6 分)
答 案：點 A 到直線 BQ 的距離為 25
72，四邊形 PABQ 的面積為 25
108平方單位
命題出處：第一冊第四章 直線與圓
測驗目標：點到直線的距離公式的應用
難 易 度：中
詳 解：承 19.，BQ
＝
25 , 48 25
14 //(7 , 24)
mBQ←→＝ 7 24
∴←BQ→：y＝
7
24(x＋2) 即 24x－7y＝－48
∴d(A ,BQ←→)＝
2
2 ( 7)
24
| 48 0 7 1 24
|
－
＋
＋
－ ×
× ＝
25 72
又BQ
＝2AP
得四邊形 PABQ 為梯形 (∵BQ//AP) 所求面積為
2 , ( )
( ←→)
×d A BQ BQ
AP＋
＝ 2 25 ) 72 2 1
( ＋ ×
＝ 25
108(平方單位)
22
參考公式及可能用到的數值
1. 首項為 a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S＝
2 1
2 ＋（ －） ）
（ a n d
n
首項為 a，公比為 r (r≠1)的等比數列前 n 項之和為 S＝
r r
a n
－
）
－
（ 1
1 2. 三角函數的和角公式：sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B
cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B tan(A＋B)＝
B A
B A
tan tan 1
tan tan
－
＋
3. △ABC 的正弦定理：
A a
sin ＝
B b
sin ＝
C c
sin ＝2R（R 為△ABC 外接圓半徑）
△ABC 的餘弦定理：c2＝a2＋b2－2ab cos C 4. 一維數據 X：x1，x2，……，xn，
算術平均數 μX＝ n
1(x1＋x2＋……＋xn)
標準差 σX＝ 1 2 2 2 2
1 (x X) (x X) (xn X) n〔 －μ ＋ －μ ＋＋ －μ 〕
＝ 1 x12 x22 xn2 n X2 n〔( ＋ ＋＋ )－ μ 〕 5. 二維數據 (X , Y )：(x1 , y1)，(x2 , y2)，……，(xn , yn)
相關係數 rX,Y＝( 1 X)( 1 Y) ( 2 X)( 2 Y) ( n X)( n Y)
X Y
x y x y x y
n
μ μ μ μ μ μ
σ σ
− − ＋ − − ＋＋ − −
迴歸直線 (最適合直線) 方程式 , ( X)
X Y Y X
Y r x
y μ
σσ
μ ＝ －
－
6. 參考數值： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732， 5 ≈2.236， 6 ≈2.449，π ≈3.142 7. 對數值：log 2 ≈0.3010，log 3 ≈0.4771，log 5 ≈0.6990，log 7 ≈0.8451
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