數學考科

Z X C V

數學 ^考科

TOP

00847-02 總編輯∕李心筠

企　編∕高湘婷

責　編∕吳崇欽˙黃美甄˙陳盈如 美　編∕郭慧娟˙歐詩妤˙林素儀

出　版∕民國一 一 二年二月

發行所∕70248 臺南市新樂路 76 號 翰林官網 http://www.hle.com.tw

 本書內容同步刊載於翰林官網

臺中一中•李宜展 老師

大園高中•葉子榕 老師

2

臺中一中／李宜展 老師

⼀、前 言

112 學年度的學測在 1 月 13 日至 1 月 15 日舉辦。在分析今年的學測數學 A 試題之前，我

們先來回顧一下 111 學年度學測數學 A 試題的五標及原得總分如下。

頂標 前標 均標 後標 底標

10 級分 8 級分 6 級分 4 級分 3 級分

50.05～55.61 分 38.93～44.49 分 27.81～33.37 分 16.68～22.25 分 11.12～16.68 分 從上面表格可以看出全國應考 111 學測數學 A 考科的學生中，約有五成低於 30 分，而快九成 的學生是不及格的。而別於以往學測，大部分低數學需求的考生，已經選考數學 B 考科或者 不考，所以去年全國在數學 A 考科的考生表現是令人擔憂的。相信在有待調整的情況下，今 年大考中心應該有所改變，讓考生及老師們看出數學 A 試題的出題標準。

以下筆者先利用表格呈現今年學測數學 A 的試題分布，如此便能讓讀者很清楚地看出此 次考試內容，最後分析這次試題的特色，以作為老師們參考。

二、試題分布

冊別 單元 題型 難易度 分數合計 單冊合併計分

第一章 數與式

單選 1 易 5 分

第二章 指數、對數

單選 3 中偏易 5 分

第三章 多項式函數 選填 14 易 5 分

多選 10 中 5 分

第一冊

第四章 直線與圓

混合 20 中 6 分

26 分

多選 7 中偏易 5 分

第一章 數列與級數

多選 9 中偏難 5 分

第二章 數據分析 (單選 3) 中偏易

單選 4 中 5 分

第三章 排列組合與機率

單選 6 中偏難 5 分

單選 2 易 5 分

第二冊

第四章 三角比

混合 18 易 3 分

28 分

數學 A 考科

3

冊別 單元 題型 難易度 分數合計 單冊合併計分

多選 12 難 5 分

第一章 三角函數

混合 19 中偏難 6 分

第二章 指數與對數函數 (多選 9) 中偏難

選填 15 中 5 分

第三冊 A

第三章 平面向量

(混合 19) 中偏難

16 分

單選 5 中偏難 5 分

(單選 6) 中偏難

第一章 空間向量

(選填 16) 中偏難

選填 16 中偏難 5 分

第二章 空間中的平面與直線

選填 17 難 5 分

第三章 機率 多選 8 中 5 分

多選 11 中偏易 5 分

第四冊 A

第四章 矩陣

選填 13 易 5 分

30 分

(若題目有跨兩個章節，但僅用到次要概念，則用括號表示，不計入分數合計)

由上表可看出此次學測與去年的學測試題數相同，均為 20 題，題型維持單選題、多選題、

選填題、混合題組的型態，分別是 6 題 (30 ％)、6 題 (30 ％)、5 題 (25 ％)及 3 小題 (15 ％)。

此次學測第四冊的分量占最多 (30 ％)，第三冊偏少 (16 ％)。而難易度為易或中偏易的題目約 占了整份試卷的三分之一，明顯比去年的學測簡單許多。

三、試題特色 1. 基本題型變多：

別於去年基本題少且陷阱又多，從今年的考題可以看出大考中心的拿捏，如單選 1、2、3，

多選 7、11，選填 13、14 及混合題 18 都是有該單元的概念即能答對的題目，這些都拿下

分數後，就足以超過去年的均標了。這樣的出法如同給對數學科信心不足的考生打了一劑 強心針，認真準備的人還是會有收穫的。

2. 素養情境題變少：

今年的情境敘述比去年減少許多，題目描述平易近人。不過仍有些情境閱讀題，如單選 3 應用對數及迴歸直線在物理量上，選填 13 在飲料售價的聯立方程式，還有多選 7 在薪資上 的等差數列，都可看出數學在其他領域的應用。而在考數學概念應用的題目，條件敘述簡 單明瞭，能讓考生聚焦在問題解決上。

4

3. 多選題考概念應用居多：

以往在多選題會看到需要推理應用的題目，這樣的題目大概是把一個很困難的問題，利用 多選題的選項拆解成 5 個小問題。今年反而以考概念應用為主，如多選 8 考獨立事件概念，

多選 11 考旋轉矩陣與鏡射矩陣的性質。不過多選 9 要注意項數的奇偶性，多選 10 以直線

方程式的交點為內容，條件繁雜，須小心應對，而多選 12 則考正餘弦函數圖形的對稱性，

這些都是屬於比較有鑑別度的題目。

4. 鑑別高手題：

除了剛剛提到的多選 9、10 及 12 外，在單選 6 的期望值，選填 16 及選填 17 的空間應用問 題，都是判斷是否為高手的關鍵，這些題目大多連結數個單元不同的概念，考數學的綜合 能力，需要平時養成思考數學題目的習慣，而單選 5 考的是平行六面體體積公式的推導過 程，上課時理解老師推導公式的來龍去脈，也是有所助益的。

5. 去年學測未出現的內容：

去年學測試題的漏網之魚在今年出現了，如多選 11 的線性變換及選填 17 的歪斜線距離，

這告訴我們，近年未出現的內容可能會是未來大考的方向。

6. 混合題型：

今年的混合題出現了 3 小題，而 2 小題需要學生手寫。看似 3 小題，其實裡面包含有 5 個 問題，除了上述提到簡單的混合題 18，混合題 19 的難度較高，考的是三角比或半、倍角公 式的應用，雖然混合題 20 不難，但需要用到混合題 19 的結果，考生可能不容易拿到分數。

四、結 語

整體而言，這份試題比去年簡單，均標的分數預估將會提高。考題的特色是出現了幾道很 基本的觀念題，但又為了鑑別出高手，仍有幾道活用思考題，算是可以符合不同需求的考生。

而今年的難題集中在空間幾何上，要拿到滿級分依舊不容易，需要有良好的數學底子才能拿到 高分。而今年沒有出現正餘弦定理、圓方程式及三次函數的性質，這些未出現的內容，也許是 明年該注意的考點。

5

臺中一中／李宜展 老師 第壹部分、選擇（填）題（占 85 分）

⼀、單選題（占 30 分）

說明：第 1. 題至第 6. 題，每題 5 分。

1. 若在計算器中鍵入某正整數 N，接著連按「 」鍵 (取正平方根) 3 次，視窗顯示得到答 案為 2，則 N 等於下列哪一個選項？

( )1 2³ ( )2 2⁴ ( )3 2⁶ ( )4 2⁸ ( )5 2¹²

答 案： ( )4

命題出處：第一冊第二章 指數、對數

測驗目標：指數的運算

難 易 度：易

詳 解： N ＝ ²

1 2 1 2 1

) )

((N ＝ ⁸

1

N ＝2

∴N＝2⁸，故選 ( )4

2. 坐標平面上，以原點 O 為圓心、1 為半徑作圓，分別交坐標軸正向 於 A、B 兩點。在第一象限的圓弧上取一點 C 作圓的切線分別交兩 軸於點 D、E，如右圖所示。令∠OEC＝θ，試選出為 tan θ 的選項。

( )1 OE ( )2 OC ( )3 OD

( )4 CE ( )5 CD

答 案： ( )5

命題出處：第二冊第四章 三角比

測驗目標：三角比的定義

難 易 度：易

詳 解：∵OC⊥DE ∴∠OCE＝∠OCD＝90^° 又∠DOE＝90^° ∴∠DOC＝∠OEC＝θ 且OA＝OB＝OC＝1

( )1 ╳：

OE

OC＝sin θ，OE＝ θ sin

OC ＝ θ sin

1 ( )2 ╳：OC＝1

( )3 ╳：

OD

OC＝cos θ，OD＝ θ cos

OC ＝ θ cos

1

( )4 ╳：

CE

OC＝tan θ，CE＝ θ tan

OC ＝ θ tan

1

6

( )5 ○：

OC

CD＝tan θ，CD＝OCtan θ＝tan θ 故選 ( )5

3. 某生推導出兩物理量 s，t 應滿足一等式。為了驗證其理論，他做 了實驗得到 15 筆兩物理量的數據 (sk , tk)，k＝1，……，15。老師 建議他將其中的 tk 先取對數，在坐標平面上標出對應的點 (sk , log tk)，

k＝1，……，15，如右圖所示；其中第一個數據為橫軸坐標，第 二個數據為縱軸坐標。利用迴歸直線分析，某生印證了其理論。

試問該生所得 s，t 的關係式最可能為下列哪一選項？

( )1 s＝2t ( )2 s＝3t ( )3 t＝10^s ( )4 t²＝10^s ( )5 t³＝10^s

答 案： ( )4

命題出處：第一冊第二章 指數、對數、第二冊第二章 數據分析

測驗目標：結合對數概念與迴歸直線分析的應用

難 易 度：中偏易

詳 解：點 (sk , log tk) 約略落在直線 y＝

2 1x 上

即 log t＝

2 1s

由對數的定義，t＝ ^2s

1

10 ，即 t²＝10^s 故選 ( )4

4. 將數字 1、2、3、……、9 等 9 個數字排成九位數 (數字不得重複)，使得前 5 位從左至右

遞增、且後 5 位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？

( )1

! 4

! 4

!

8 ( )2

! 3

! 5

!

8 ( )3

! 4

! 5

!

9 ( )4

! 5

!

8 ( )5

! 5

! 9

答 案： ( )1

命題出處：第二冊第三章 排列組合與機率

測驗目標：理解排列或組合的原理

難 易 度：中

詳 解：∵前 5 位從左至右遞增，後 5 位從左至右遞減

∴第 5 位必為 9

其他 8 個數字先排入剩下 8 位

但前 4 位只有一種排列 (由小到大)，

後 4 位也只有一種排列 (由大到小)

∴共有4!4!

!

8 個滿足條件的九位數 故選 ( )1

數學 A 考科

7

5. 已知坐標空間中 P、Q、R 為平面 2x－3y＋5z＝ 7上不共線三點。

令_PQ



_{＝(a1 , b1 , c1)，PR}



_{＝(a2 , b2 , c2})。試選出下列行列式中絕對值為最大的選項。

( )1

2 2 2

1 1 1

1 1 1

c b a

c b a

－

( )2

2 2 2

1 1 1

1 1 1

c b a

c b a

－

( )3

2 2 2

1 1 1

1 1 1

c b a

c b a

－

( )4

2 2 2

1 1 1

1 1 1

c b a

c b a

－

－

( )5

2 2 2

1 1 1

1 1 1

c b a

c b a

－

－

－

答 案： ( )2

命題出處：第四冊 A 第一章 空間向量

測驗目標：理解三階行列式代表的幾何意義

難 易 度：中偏難

詳 解：



_n ＝(2 ,－3 , 5) 為平面 2x－3y＋5z＝ 7之法向量

2 2 2

1 1 1

c b a

c b a

z y x

的絕對值代表由_PQ



_，PR



_，



_u ＝(x , y , z) 所張成之平行六面體 體積＝|_PQ



_×PR



_{| ×h}

其中 h＝



_{u 在}



_{n 上之正射影長}

＝|



_{u | × | cos θ |}

＝|



_{u | ×}

| n

|

| u

|

| n u

|

 

_．

 

＝

| n

|

| n u

|



_．

 

∵|



_{n | 為定值}

∴當 |



_{u ．}



_{n | 愈大時，則 h} 愈大，可得平行六面體的體積愈大 ( )1 |



_{u ．}



_{n |＝|} (－1 , 1 , 1)．(2 ,－3 , 5) |＝0

( )2 |



_{u ．}



_{n |＝|} (1 ,－1 , 1)．(2 ,－3 , 5) |＝10 ( )3 |



_{u ．}



_{n |＝|} (1 , 1 ,－1)．(2 ,－3 , 5) |＝6 ( )4 |



_{u ．}



_{n |＝|} (－1 ,－1 , 1)．(2 ,－3 , 5) |＝6 ( )5 |



_{u ．}



_{n |＝|} (－1 ,－1 ,－1)．(2 ,－3 , 5) |＝4 故選 ( )2

6. 坐標空間中，考慮邊長為 1 的正立方體，固定一頂點 O。從 O 以外的七個頂點隨機選取相 異兩點，設此兩點為 P、Q，試問所得的內積_O



_P．OQ



之期望值為下列哪一個選項？

( )1 7

4 ( )2

7

5 ( )3

7

6 ( )4 1 ( )5

7 8

8

答 案： ( )3

命題出處：第二冊第三章 排列組合與機率、第四冊 A 第一章 空間向量

測驗目標：結合空間向量的內積與期望值的應用

難 易 度：中偏難

詳 解：向量有 3 種長度，

長度為 1 有 3 個：_OA



_，OC



_，OG



長度為 2有 3 個：_OB



_，OD



_，OF



長度為 3有 1 個：_OE



所求內積總共有C₂⁷＝21 種，有以下情形：

( )1 _O



_P．OQ



_＝0

①長度為 1 的向量任選 2 個，如_OA



_．OC



_＝0

②長度為 ₂的向量任選 1 個，再找長度為 1 的向量，如_OB



_．OG



_＝0

共有C₂³＋C₁³×C¹₁＝6 種 ( )2 _O



_P．OQ



_＝1

①長度為 ₂的向量任選 1 個，再找長度為 1 的向量 如_OB



_．OA



_＝OB



_．OC



_＝1×1＝1

②長度為 2的向量任選 2 個，如_OB



_．OD



_{＝ 2× 2×cos 60°＝1}

③長度為 1 的向量任選 1 個，再找長度為 3的向量 如_OA



_．OE



_＝1×1＝1

共有C₁³×C₁²＋C₂³＋C₁³×C¹₁＝12 種

數學 A 考科

9

( )3 _O



_P．OQ



_＝2

長度為 2的向量任選 1 個，再找長度為 3的向量 如_OB



_．OE



_{＝ 2× 2＝2}

共有C₁³×C¹₁＝3 種 所求期望值為 0×

21 6 ＋1×

21 12＋2×

21

3 ＝

21 18＝

7 6 故選 ( )3

〈另解〉

設 O(0 , 0 , 0)，A(1 , 0 , 0)，C(0 , 1 , 0)，G(0 , 0 , 1) 向量分為 3 類：Ⅰ：(1 , 0 , 0)，(0 , 1 , 0)，(0 , 0 , 1)

Ⅱ：(1 , 1 , 0)，(0 , 1 , 1)，(1 , 0 , 1)

Ⅲ：(1 , 1 , 1) 內積有以下情形：

( )1 Ⅰ＋Ⅰ：_O



_P．OQ



_＝0，如 (1 , 0 , 0)．(0 , 1 , 0)＝0，有C₂³種

( )2 Ⅰ＋Ⅱ：_O



_P．OQ



_{＝1 或 0，如} (1 , 0 , 0)．(1 , 1 , 0)＝(1 , 0 , 0)．(1 , 0 , 1)＝1 或 (1 , 0 , 0)．(0 , 1 , 1)＝0

有C₁³×C₁²＋C₁³×C¹₁種

1 0

( )3 Ⅰ＋Ⅲ：_O



_P．OQ



_＝1，如 (1 , 0 , 0)．(1 , 1 , 1)＝1，有C₁³×C¹₁種 ( )4 Ⅱ＋Ⅱ：_O



_P．OQ



_＝1，如 (1 , 1 , 0)．(0 , 1 , 1)＝1，有C₂³種 ( )5 Ⅱ＋Ⅲ：_O



_P．OQ



_＝2，如 (1 , 1 , 0)．(1 , 1 , 1)＝2，有C₁³×C¹₁種 所求期望值為 0× 











21 21

1 1 3 3 1

2 C C

C ＋ ＋1× 











21 21 21

3 2 1 1 3 1 2 1 3

1C C C C

C ＋ ＋ ＋2×

21

1 1 3 1C

C ＝

7 6

故選 ( )3

10

二、多選題（占 30 分）

說明：第 7. 題至第 12.題，每題 5 分。

7. 某公司有甲、乙兩新進員工，兩人同時間入職且起薪相同。公司承諾給甲、乙兩員工調薪 的方式如下：

甲：工作滿 3 個月，下個月開始月薪增加 200 元；以後再每滿 3 個月皆依此方式調薪。

乙：工作滿 12 個月，下個月開始月薪增加 1000 元；以後再每滿 12 個月皆依此方式調薪。

根據以上敘述，試選出正確的選項。

( )1 甲工作滿 8 個月後，第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 600 元 ( )2 工作滿一年後，第 13 個月甲的月薪比乙的月薪高

( )3 工作滿 18 個月後，第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高

( )4 工作滿 18 個月時，甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水少

( )5 工作滿兩年後，在第 3 年的 12 個月中，恰有 3 個月甲的月薪比乙的月薪高

答 案： ( )3 ( )5

命題出處：第二冊第一章 數列與級數

測驗目標：等差數列在生活情境中的應用

難 易 度：中偏易

詳 解：設兩人起薪皆為 k 元

( )1 ╳：第 9 個月的月薪比第 1 個月的月薪增加 200×2＝400 元 ( )2 ╳：甲：k＋200×4＝k＋800 元，

乙：k＋1000×1＝k＋1000 元

∴第 13 個月甲的月薪比乙的月薪低 ( )3 ○：甲：k＋200×6＝k＋1200 元，

乙：k＋1000×1＝k＋1000 元

∴第 19 個月甲的月薪比乙的月薪高

( )4 ╳：考慮除了起薪，工作這 18 個月所增加的薪水

甲：200×3×5＋200×3×4＋200×3×3＋200×3×2＋200×3＝9000 元，

乙：1000×6＝6000 元

∴甲總共領到的薪水比乙總共領到的薪水多

( )5 ○：第 3 年(第 25 個月)乙的月薪比第 1 個月的月薪多 2000 元

2000＝200×10，即第 31、32、33 個月，甲和乙的月薪相同

則第 3 年恰有 3 個月(第 34、35、36 個月)甲的月薪比乙的月薪高 故選 ( )3 ( )5

數學 A 考科

11

8. 某抽獎遊戲單次中獎機率為 0.1，每次中獎與否皆為獨立事件。對每一正整數 n，令 pn為 玩此遊戲 n 次至少中獎 1 次的機率。試選出正確的選項。

( )1 pn^＋1＞pn

( )2 p3＝0.3

( )3 〈pn〉為等差數列

( )4 玩此遊戲兩次以上，第一次未中獎且第二次中獎的機率等於 p2－p1

( )5 玩此遊戲 n 次且 n≥2 時，至少中獎 2 次的機率等於 2pn

答 案： ( )1 ( )4

命題出處：第四冊 A 第三章 機率

測驗目標：事件的獨立及其應用

難 易 度：中

詳 解：pn＝1－P(n 次全不中獎)

＝1－(1－0.1)ⁿ

＝1－0.9ⁿ

( )1 ○：pn^＋1－pn＝1－0.9^n＋1－(1－0.9ⁿ)

＝0.9ⁿ－0.9^n＋1

∵0.9ⁿ＞0.9^n＋1

∴pn^＋1＞pn

( )2 ╳：p3＝1－(0.9)³＝1－0.729＝0.271≠0.3 ( )3 ╳：〈pn〉非等差數列

( )4 ○：設 A 代表第一次中獎的事件，B 代表第二次中獎的事件 p1表示第一次中獎的機率＝P(A)

p2表示玩兩次至少中獎一次的機率＝P(A∪B) 如右圖，第一次未中獎且第二次中獎的機率

＝P(B－A)

＝P(A∪B)－P(A)

＝p2－p1

( )5 ╳：至少中獎 2 次的機率

＝1－P(n 次全不中)－P(n 次恰中 1 次)

＝1－(1－0.1)ⁿ－C₁ⁿ(1－0.1)^n－1×0.1

＝1－0.9ⁿ－n×0.1×0.9^n－1≠2pn

故選 ( )1 ( )4

9. 設 a1，a2，a3，……，an是首項為 3 且公比為3 3的等比數列。試選出滿足不等式 log3a1－log3a2＋log3a3－log3a4＋……＋(－1)^n＋1log3an＞18

的項數 n 之可能選項。

( )1 23 ( )2 24 ( )3 25 ( )4 26 ( )5 27

12

答 案： ( )3 ( )5

命題出處：第二冊第一章 數列與級數、第三冊 A 第二章 指數與對數函數

測驗目標：等比數列結合對數律的應用

難 易 度：中偏難

詳 解：an＝3．(3 3)^n－1＝3． ²

) 1 ( 3

3

n－

＝ ²

1 3

3

n－

 log3an＝ 2

1 3n－

得 Sn＝log3a1－log3a2＋log3a3－log3a4＋……＋(－1)^n＋1log3an

＝2

1［2－5＋8－11＋14－17＋……＋(3n－1)(－1)^n＋1］

∵Sn＞18

∴n 為奇數

 Sn＝ 2

1×(2＋3＋3＋……＋3)

2 1 n－

個

＝2

1× 



 



 ×

2 3 1

2 －

＋ n

＞18

 2＋

2 3n－

2

3＞36  2 3n＞

2

71 n＞

3 71＝

3 23 2 又 n 為奇數

故選 ( )3 ( )5

10.考慮坐標平面上的直線 L：5y＋(2k－4)x－10k＝0 (其中 k 為一實數)，以及長方形 OABC，

其頂點坐標為 O(0 , 0)、A(10 , 0)、B(10 , 6)、C(0 , 6)。設 L 分別交直線 OC、直線 AB 於點 D、E。試選出正確的選項。

( )1 當 k＝4 時，直線 L 通過點 A ( )2 若直線 L 通過點 C，則 L 的斜率為

2

－5 ( )3 若點 D 在線段OC上，則 0≤k≤3 ( )4 若 k＝

2

1，則線段DE在長方形 OABC 內部 (含邊界)

( )5 若線段DE在長方形 OABC 內部 (含邊界)，則 L 的斜率可能為 10

3

答 案： ( )1 ( )3 ( )5

命題出處：第一冊第四章 直線與圓

測驗目標：直線方程式的應用

難 易 度：中

詳 解： ( )1 ○：k＝4 時，L：5y＋4x－40＝0

∵5．0＋4．10－40＝0

∴直線 L 通過點 A

數學 A 考科

13

( )2 ╳：C(0 , 6) 代入 5y＋(2k－4)x－10k＝0，得 k＝3

 L：2x＋5y－30＝0

∴mL＝－

5 2

( )3 ○：x＝0 代入 5y＋(2k－4)x－10k＝0，得 y＝2k

∴L 和 y 軸交於 D(0 , 2k) 若點 D 在OC上

 0≤2k≤6

 0≤k≤3

( )4 ╳：x＝10 代入 5y＋(2k－4)x－10k＝0，得 y＝8－2k

∴L 和AB^←→交於 E(10 , 8－2k) 若 k＝

2

1 ，得 E(10 , 7)

DE不在長方形 OABC 內部 (含邊界)

( )5 ○：承 ( )3 、 ( )4 ，若DE在長方形 OABC 內部 (含邊界)

⇔

≤

≤

≤

≤ 3 0

6 2 8 0

k k

－ 得 1≤k≤3

mL＝ 5

4 2

－ k－

＝10 3 ，

得 k＝

4

5，符合 1≤k≤3

∴L 的斜率可能為 10

3 故選 ( )1 ( )3 ( )5

11.坐標平面上，設 A、B 分別表示以原點為中心，順時針、逆時針旋轉 90^°的旋轉矩陣。設 C、D 分別表示以直線 x＝y、x＝－y 為鏡射軸的鏡射矩陣。試選出正確的選項。

( )1 A、C 將點 (1 , 0) 映射到同一點 ( )2 A＝－B

( )3 C＝D^－1 ( )4 AB＝CD ( )5 AC＝BD

答 案： ( )2 ( )5

命題出處：第四冊 A 第四章 矩陣

測驗目標：旋轉矩陣與鏡射矩陣的性質

難 易 度：中偏易

詳 解：根據題意

A＝ _



 





) 90 ( cos )

90 ( sin

) 90 ( sin )

90 ( cos









－

－

－

－

－ ＝ 



 



 0 1

1 0

－ ，B＝ _



 













90 cos 90

sin

90 sin 90

cos －

＝ 



 



 0 1

1

0 －

C＝ 



 



 0 1

1

0 ，D＝ 



 





0 1

1 0

－

－

14

( )1 ╳：A 



 



 0

1 ＝ 



 







 





0 1 0 1

1 0

－ ＝ 



 



 1 0

－ C 



 



 0

1 ＝ 



 







 





0 1 0 1

1

0 ＝ 



 



 1 0

( )2 ○：A＝ 



 



 0 1

1 0

－ ＝－ 



 



 0 1

1

0 －

＝－B ( )3 ╳：CD＝ 



 







 





0 1

1 0 0 1

1 0

－

－ ＝ 



 





1 0

0 1

－

－ ＝－I

∴C＝－D^－1

( )4 ╳：AB＝ 



 







 





0 1

1 0 0 1

1

0 －

－ ＝ 



 



 1 0

0

1 ＝I

承 ( )3 ，CD＝－I

∴AB≠CD

( )5 ○：AC＝ 



 







 





0 1

1 0 0 1

1 0

－ ＝ 



 



 1 0

0 1

－

BD＝ 



 







 





0 1

1 0 0 1

1 0

－

－

－ ＝ 



 



 1 0

0 1

－

∴AC＝BD 故選 ( )2 ( )5

12.令 f (x)＝sin x＋ 3 cos x，試選出正確的選項。

( )1 鉛直線 x＝

6

π _{為 y＝f (x) 圖形的對稱軸}

( )2 若鉛直線 x＝a 和 x＝b 均為 y＝f (x) 圖形的對稱軸，則 f (a)＝f (b) ( )3 在區間 [0 , 2π) 中僅有一個實數 x 滿足 f (x)＝ 3

( )4 在區間 [0 , 2π) 中滿足 f (x)＝

2

1的所有實數 x 之和不超過 2π ( )5 y＝f (x) 的圖形可由 y＝4 sin²

2

x的圖形經適當(左右、上下)平移得到

答 案： ( )1 ( )5

命題出處：第三冊 A 第一章 三角函數

測驗目標：三角函數的疊合與圖形的對稱性

難 易 度：難

詳 解：f (x)＝sin x＋ 3 cos x

＝ 









2 cos 3 2 sin 1

2 x． ＋ x．

＝ 



 





sin 3 3 cos

cos sin

2 _x π_{＋ x} π

＝ 



 



 sin 3

2 _x＋π

數學 A 考科

15

( )1 ○： 



 



 6

f π ＝ 



 



 3 sin 6

2 π_＋π _{＝2 sin} 2

π _{＝2 為 f (x) 之最大值}

∴x＝6

π _{為 y＝f (x) 圖形的對稱軸} ( )2 ╳：當 a＝

6 π _，b＝

6

7π _時，

f (a)＝2 為 f (x) 之最大值 f (b)＝－2 為 f (x) 之最小值

此時 x＝a 和 x＝b 均為 y＝f (x) 圖形的對稱軸，但 f (a)≠f (b)

( )3 ╳：f (x)＝ 



 



 sin 3

2 _x＋π _的圖形為 y＝2 sin x 的圖形向左平移

3 π _單位 而得，如右圖

∴在 [0 , 2π) 有兩個實數 x 滿足 f (x)＝ 3

( )4 ╳：如下圖，在 [0 , 2π) 有兩個實數 x 滿足 f (x)＝

2 1，

且點 A、B 對稱於 x＝

6 7π

∴和為 6 7π _×2＝

3

7π _＞2π ( )5 ○：y＝4 sin²

2 x

＝4× 2 cos

1－ x

＝－2 cos x＋2

＝ 



 



 sin 2

2 _x－π _＋2

＝ 2

3 6 sin 5

2 － ＋ ＋

 



 



 



_x π π

可由 y＝f (x) 的圖形向右平移 6

5π _{單位，再向上平移 2 單位而得}

故 y＝f (x) 的圖形可由 y＝4 sin² 2

x的圖形平移得到 故選 ( )1 ( )5

16

三、選填題（占 25 分）

說明：第 13. 題至第 17. 題，每題 5 分。

13.某間新開幕飲料專賣店推出果汁、奶茶、咖啡三種飲料，前 3 天各種飲料的銷售數量 (單 位：杯) 與收入總金額 (單位：元) 如下表，例如第一天果汁、奶茶、咖啡的銷售量分別為 60 杯、80 杯與 50 杯，收入總金額為 12900 元。已知同一種飲料每天的售價皆相同，則咖 啡每杯的售價為

○

^13-1

○

^{13-2 元。}

果汁 (杯) 奶茶 (杯) 咖啡 (杯) 收入總金額 (元)

第 1 天 60 80 50 12900

第 2 天 30 40 30 6850

第 3 天 50 70 40 10800

答 案：80

命題出處：第四冊 A 第四章 矩陣

測驗目標：利用聯立方程式解決生活中的問題

難 易 度：易

詳 解：設果汁每杯 x 元，奶茶每杯 y 元，咖啡每杯 z 元









10800 40

70 50

6850 30

40 30

12900 50

80 60

＝

＋

＋

＝

＋

＋

＝

＋

＋

z y x

z y x

z y x



6 8 5 1290

3 4 3 685

5 7 4 1080

x y z x y z x y z











＋ ＋ ＝

＋ ＋ ＝

＋ ＋ ＝

①

②

③ 由②×2－①得 z＝80

故咖啡每杯的售價為 80 元

14.設 a，b 為實數 (其中 a＞0)，若多項式 ax²＋(2a＋b)x－12 除以 x²＋(2－a)x－2a 所得餘式 為 6，則數對 (a , b)＝ (

○

^{14-1 ,}

○

^14-2

○

^{14-3) 。}

答 案：(3 ,－9)

命題出處：第一冊第三章 多項式函數

測驗目標：除法原理的應用

難 易 度：易

詳 解：由除法原理可得

ax²＋(2a＋b)x－12＝a〔x²＋(2－a)x－2a〕＋6 比較係數得

2 2

2 2

12 2 6

a b a a a









＋ ＝ －

－ ＝－ ＋

①

② 由②得 2a²＝18，a＝± 3 (負不合) 代入①得 6＋b＝6－9，b＝－9 故數對 (a , b)＝(3 ,－9)

數學 A 考科

17

15.設 O、A、B 為坐標平面上不共線三點，其中向量_OA



_垂直OB



_{。若 C、D 兩點在直線 AB 上，}

滿足_OC



_{＝ OA}



5

3 ＋ _OB



5

2 、3AD＝8BD，且_OC



_垂直OD



_，則

OA

OB ＝

○

^15-1

○

^15-2

。(化為 最簡分數)

答 案：

4 3

命題出處：第三冊 A 第三章 平面向量

測驗目標：平面向量的垂直與內積的應用

難 易 度：中

詳 解：由_OC



_{＝ OA}



5

3 ＋ _OB



5 2

可知 C 在AB上且AC：BC＝2：3 又 3AD＝8BD及_OC



_⊥OD



可知 B 在AD上且AD：BD＝8：3 得AB：BD＝5：3

∴_OB



_{＝ OA}



8

3 ＋ _OD



8

5 _OD



_{＝ OA}



5

－3 ＋ _OB



5 8

∵_OC



_⊥OD



 0＝_OC



_．OD



_{＝ }



 



 _OA



_OB



5 2 5

3 ＋ ． _



 



 _OA



_OB



5 8 5

3 ＋

－

＝ 25

－9 |_OA



_|²_＋

25

24 _OA



_．OB



_－

25

6 _OA



_．OB



_＋

25 16 |_OB



_|²

＝ 25

－9 |_OA



_|²_＋

25

16 |_OB



_|²_(∵OA



_⊥OB



₎

25

9 |_OA



_|²_＝

25

16 |_OB



_|²_

2 2

|

|

|

|

 

OA OB ＝

16 9

∴OA OB ＝

4 3

〈另解〉

設 O(0 , 0)，A(a , 0)，B(0 , b)，其中 a，b＞0

 



 



 a b

C 5

, 2 5

3 ， 



 



 a b

D 5

, 8 5

－3

∵_OC



_⊥OD



_OC



_．OD



_＝0

 



 



 a b

5 , 2 5

3 ． 



 



 a b

5 , 8 5

－3 ＝0

25 9 a²＝

25

16 b² ₂² a b ＝

16 9

∴OA OB ＝

a b＝

16 9 ＝

4 3

18

16.令 E：x＋z＝2 為坐標空間中過三點 A(2 ,－1 , 0)、B(0 , 1 , 2)、C(－2 , 1 , 4) 的平面。另有 一點 P 在平面 z＝1 上且其於 E 之投影點與 A、B、C 三點等距離。則點 P 與平面 E 的距離 為

○

^16-1

○

^{16-2 。(化為最簡根式)}

答 案：2 2

命題出處：第四冊 A 第一章 空間向量、第四冊 A 第二章 空間中的平面與直線

測驗目標：結合空間概念及平面方程式的應用

難 易 度：中偏難

詳 解：

設 P(a , b , 1)，P 在 E 上的投影點為 O

由OA＝OB＝OC、OP為共用邊且∠AOP＝∠BOP＝∠COP＝90°

可得△OPA≅△OPB≅△OPC(SAS)

PA＝PB＝PC

∴(a－2)²＋(b＋1)²＋1²＝a²＋(b－1)²＋(1－2)²

＝(a＋2)²＋(b－1)²＋(1－4)²



14 2 4 2 2

2 2 6 2 4

＋

－

＝

＋

－

＋

＝－

＋

＋

－

b a b

b b

a

 a＝－3，b＝－4

∴P(－3 ,－4 , 1) 故 d(P , E )＝

2

2 1

1

| 2 1 3

|

＋

－

＋

－ ＝

2

4 ＝2 2

17.坐標空間中有兩不相交直線 L1：







t z

t y

t x

＋

＝

－

＝

＋

＝ 2 1 1

，t 為實數、L2：







s z

s y

s x

－

＝

＋

＝

＋

＝ 6

5 2 2

，s 為實數，另一直

線 L3與 L1、L2皆相交且垂直。若 P、Q 兩點分別在 L1、L2上且與 L3之距離皆為 3，則 P、Q 兩點的距離為

○

^17-1

○

^{17-2 。(化為最簡根式)}

答 案：5 2

命題出處：第四冊 A 第二章 空間中的平面與直線

測驗目標：空間中兩歪斜線的應用問題

難 易 度：難

數學 A 考科

19

詳 解：L1的方向向量



_

1 ＝(1 ,－1 , 1)，L2的方向向量



_

2 ＝(2 , 1 ,－1)

∵



_

1 ．



_

2 ＝0 ∴



_

1 ⊥



_

2

故考慮上圖的情形即可

(P，Q 在其他位置時，結果相同)

作 L4// L2且 L4和 L1、L3相交於一點 令 Q 在 L4上之投影點為 Q'



_

1 ×



_

2 ＝ _



 





1 2

1 , 1

2 1

1 , 1

1 1

1

1 －

－

－

－

＝(0 , 3 , 3) // (0 , 1 , 1)

則包含 L1及 L4的平面 E 之一個法向量為 (0 , 1 , 1) 令 E：y＋z＝k

取 L1上一點 A(1 , 1 , 2) 代入 E 得 k＝3

∴E 之方程式為 y＋z＝3 取 L2上一點 B(2 , 5 , 6)

QQ′＝d(B , E )＝

2

2 1

1 3 6 5

＋

－

＋ |

| ＝

2

8 ＝4 2

又PQ′＝ 3²＋3² ＝3 2

∴PQ＝ PQ′²＋QQ′² ＝ (3 2)²＋(4 2)² ＝5 2

第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）

說明：本部分共有 1 題組，單選題每題 3 分，非選擇題配分標於題末。限在標示題號作答區 內作答。選擇題與「非選擇題作圖部分」使用 2B 鉛筆作答，更正時以橡皮擦擦拭，

切勿使用修正帶 (液)。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理 由，否則將酌予扣分。

18－20 題為題組

坐標平面上 O 為原點，給定 A(1 , 0)、B(－2 , 0) 兩點。另有兩點 P、Q 在上半平面，且滿足AP＝OA、BQ＝OB、∠POQ 為直 角，如右圖所示。令∠AOP＝θ。根據上述，試回答下列問題。

18.線段OP長為下列哪一選項？(單選題，3 分)

( )1 sin θ ( )2 cos θ ( )3 2 sin θ ( )4 2 cos θ ( )5 cos 2θ

20

答 案： ( )4

命題出處：第二冊第四章 三角比

測驗目標：三角比的定義

難 易 度：易

詳 解：取OP中點 M

∵OA＝AP

∴AM ⊥OP

可得OP＝2OM＝2 cos θ 故選 ( )4

19.若 sin θ＝

5

3，試求點 Q 的坐標，並說明_B



_Q＝2AP



_{。(非選擇題，6 分)}

答 案： 



 





25 , 48 25

－36

Q ，說明略

命題出處：第三冊 A 第一章 三角函數、第三冊 A 第三章 平面向量

測驗目標：結合倍角公式與平面向量的應用

難 易 度：中偏難

詳 解：∵sin θ＝

5

3 ∴cos θ＝

2

5 1 3



 



－ ＝ 5 4

作PP′⊥AB^←→於 P'，QQ′⊥AB^←→於 Q'

∠PAP'＝2θ，∠B＝180^°－(90^°－θ )×2＝2θ

_AP



_＝

_–

_AP′

^ϖ

_＋

_–

_{P P′}

^ϖ

＝(cos 2θ , 0)＋(0 , sin 2θ)

＝(cos 2θ , sin 2θ)

＝(2 cos²θ－1 , 2 sin θ cos θ)

＝ 









  × ×



 



×

5 4 5 2 3 , 5 1

2 4

2

－ ＝ 



 





25 , 24 25

7

同理，_BQ



_＝

_–

_BQ′

^ϖ

_{＋ Q Q}

_–

_′

^ϖ

＝(2 cos 2θ , 2 sin 2θ)

＝2_AP



_{＝ }



 





25 , 48 25 14

∴點 Q 坐標為 



 





25 , 48 25 2＋14

－ ＝ 



 





25 , 48 25

－36

數學 A 考科

21

20. (承 19. 題) 試求點 A 到直線 BQ 的距離，並求四邊形 PABQ 的面積。(非選擇題，6 分)

答 案：點 A 到直線 BQ 的距離為 25

72，四邊形 PABQ 的面積為 25

108平方單位

命題出處：第一冊第四章 直線與圓

測驗目標：點到直線的距離公式的應用

難 易 度：中

詳 解：承 19.，_BQ



_{＝ }



 





25 , 48 25

14 //(7 , 24)

^m_BQ^←→＝ 7 24

∴^←BQ^→：y＝

7

24(x＋2) 即 24x－7y＝－48

∴d(A ,BQ^←→)＝

2

2 ( 7)

24

| 48 0 7 1 24

|

－

＋

＋

－ ×

× ＝

25 72

又_BQ



_＝2AP



得四邊形 PABQ 為梯形 (∵BQ//AP) 所求面積為

2 , ( )

( ←→)

×d A BQ BQ

AP＋

＝ 2 25 ) 72 2 1

( ＋ ×

＝ 25

108(平方單位)

22

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a，公差為 d 的等差數列前 n 項之和為 S＝

2 1

2 ＋（ －） ）

（ a n d

n

首項為 a，公比為 r (r≠1)的等比數列前 n 項之和為 S＝

r r

a ⁿ

－

）

－

（ 1

1 2. 三角函數的和角公式：sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B

cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B tan(A＋B)＝

B A

B A

tan tan 1

tan tan

－

＋

3. △ABC 的正弦定理：

A a

sin ＝

B b

sin ＝

C c

sin ＝2R（R 為△ABC 外接圓半徑）

△ABC 的餘弦定理：c²＝a²＋b²－2ab cos C 4. 一維數據 X：x1，x2，……，xn，

算術平均數 μX＝ n

1(x1＋x2＋……＋xn)

標準差 σ^X＝ 1 ² 2 ^{2 2}

1 (x _X) (x _X) (x_{n X}) n〔 －μ ＋ －μ ＋＋ －μ 〕

＝ ¹ x₁² x₂² x_n² n _X² n〔( ＋ ＋＋ )－ μ 〕 5. 二維數據 (X , Y )：(x1 , y1)，(x2 , y2)，……，(xn , yn)

相關係數 rX,Y＝( ¹ _X)( ¹ _Y) ( ² _X)( ² _Y) ( _{n X})( _{n Y})

X Y

x y x y x y

n

μ μ μ μ μ μ

σ σ

− − ＋ − − ＋＋ − −

迴歸直線 (最適合直線) 方程式 _, ( _X)

X Y Y X

Y r x

y μ

σσ

μ ^{＝ －}

－

6. 參考數值： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732， 5 ≈2.236， 6 ≈2.449，π ≈3.142 7. 對數值：log 2 ≈0.3010，log 3 ≈0.4771，log 5 ≈0.6990，log 7 ≈0.8451

※產品封面以實際成書為準

從小範圍∼全範圍考前60天複習

數學甲、物理、化學、生物、歷史、地理、公民與社會 重點整理　

數理科公式提要、整理，觀念歸納，焦點透析 試題體例　

精選範例＋多元試題（素養、混合、非選擇題等），

實戰演練，強化實力，掌握大考趨勢 解答本

重點手冊（物、化、生）@　必考重點＋公式整理　 重點手冊（歷、地、公）@　精選重點內容

科　目 特　色

隨書附

聚焦考點 精熟複習

物理

表格統整　

符合教學邏輯，方便學生快速複習 獨家試題　

依據大考命題方向，設計素養混合題型，訓練解題技巧 解答本

科　目 特　色

隨書附

分科測驗 衝刺必備

數學甲、物理、化學、生物、歷史、地理、公民與社會 全書 8 回試題　

題題詳解　

掌握解題關鍵線索，學習有效率 解說詳實

提供答題得分要訣，應試力倍增 5標、真人解題影片、解答本 科　目

特　色

隨書附

專攻分科測驗

108 課綱適用

108