第三章機率
§3 − 1 樣本空間與事件
(甲)隨機試驗
隨機現象：
我們生活的世界上，充滿著不確定性。從擲硬幣、丟骰子、玩撲克牌等簡單的 機會遊戲，到複雜的社會現象；從嬰兒誕生，到世間萬物的繁衍生息；從天氣 變化到大自然的千變萬化，…這其中充滿著隨機的現象。
自然現象與社會現象，大致上分成兩種，例如上拋的物體一定會落下，無論 是什麼形狀的三角形，它的兩邊之和總是大於第三邊，這些現象用比較科學的 語言來表達，那就是它們都服從特定的因果關係，從一定的條件出發，必定可 以推出某一結果；但是在自然界與社會中還存有另一類現象，稱之為隨機現象，
例如，在馬路交叉口，每天都要通過許多人和車輛，但是我們無法事先預測確 切的人數及車輛數；擲一粒骰子，我們無法確定下一回會擲出幾點；買樂透彩 券，我們也無法根據前幾期來預測下一期的得獎號碼，這些隨機現象天天都在 發生。
雖然隨機現象並不是因果關係確定的現象，但是它有幾個特點：
隨機現象的結果至少有兩個，那一個結果會出現，人們事先並不知道。
隨機現象的例子：
(a)擲一枚硬幣，可能出現正面，也可能出現反面，但是事先並無法知情。
(b)明天天氣下雨與否，有時無法完全確定。
(c)MLB明星賽的結果。
隨機試驗
很多隨機現象可以大量重複，如擲一枚硬幣可以一直擲下去，可重複的隨機現 象稱為隨機試驗，簡稱為試驗。也有很多隨機現象是無法重複的，例如一場籃 球賽的輸贏，這兩類的隨機現象，都是機率的研究範圍，而高中的機率主要研 究的是隨機試驗。
(乙)樣本空間與事件
樣本空間與事件：
氣象報告常提到明天下雨的機率是 90%；兩球隊比賽，賽前很多人都會看好 其中一隊，認為其中一隊會贏的機率是 6 成，這些都是生活中可能會遇到的問 題，其中「明天下雨」、「某一隊贏球」都稱為事件，這些事件事先都無法確 定是否會發生，但通常我們都會根據以往的經驗來認定其發生的機率。
對於一個事件來說，它在一次試驗中，可能發生，也可能不發生，我們常常 希望知道某些事件發生的可能性有多大，總希望可以找到一個適當的數來表示 事件發生的可能性大小。事件 A 發生的可能性是可以度量的，就好像是一根木 棒的長度、一塊土地的面積一樣。事件 A 發生的可能性大小稱為事件 A的機率。 我們觀察以下的例子：
(a)擲一粒骰子，所得點數大於 2。
(b)擲 3 個硬幣，至少有 2 個正面。
(c)在罰球線投籃，5次之內投進。
(d)從一副撲克牌中，任意抽取兩張，它們的花色相同。
這些都是某個試驗的事件，依序為 (a)擲一粒骰子
(b)擲 3 個硬幣
(c)在罰球線投籃
(d)從一副撲克牌中，任意抽取兩張
「擲一粒骰子」這個試驗下，「點數大於 2」是一個事件，另外，「點數小於 6」、
「點數是質數」、「點數是奇數」也都是事件，所以在同一個試驗下，可以有 許多不同的事件，為了方便敘述起見，分別稱為事件 A、事件 B，…等等。
例如：
A：點數大於 2、B：點數小於 6、C：點數是質數、D：點數是奇數。
在數學上為了方便處理，我們將一個試驗下的各事件以集合表示，例如 擲一個骰子時，「點數為偶數」的事件以{2,4,6}表示，
而{3,4,5,6}表示「點數大於 2」的事件。
集合{1,2,3,4,5,6}所表示的事件，涵蓋了這個試驗的所有可能，此集合稱為此試
驗的樣本空間。
(1)樣本空間與事件：
樣本空間常以 S表示，每一個事件 A 都是樣本空間 S的部分集合，即 A⊂S。
A 是一個事件，若試驗結果屬於 A，則稱此事件 A發生。例如，擲一粒骰子時，
「點數和為偶數」以 A={2,4,6}表示，若擲出的結果為「4」，因為 4∈A，所以
A發生了。
[例題1] (1) 丟一個硬幣1次，並觀察丟出的結果是正面或反面，試寫出樣本空間。
(2) 丟一個硬幣2次，並觀察每次丟出的是正面或反面，試寫出樣本空間。
Ans：(1)S＝{ 正，反 }
(2) S 2＝{ ( 正，正 )，( 正，反 )，( 反，正 )，( 反，反 ) }
[例題2] 丟一個硬幣2次，並觀察每次丟出的是正面或反面，寫出丟出一正、一反的 事件。 Ans：{ ( 正，反 )，( 反，正 ) }。
[例題3] (1)擲一個骰子2次，觀察“每次”出現的點數，寫出此實驗的樣本空間。
(2)擲一個骰子2次，觀察“每次”出現的點數，寫出出現1點、2點的事件。
Ans：(1){ ( x，y ) | x ∈ S，y ∈ S }，S={1,2,3,4,5,6} (2){(1,2)、(2,1)}
[例題4] 一袋中有5個球，編號為1～5號，
(1) 阿草從袋中取球2次，每次取出1球，
觀察取出的球號。
○1 若每次取完球，登錄號碼後，又將 該球放回袋中，寫出此試驗的樣本 空間。
○2 若每次取完球，登錄號碼後，不將該球放回袋中，
寫出此試驗的樣本空間。
(2) 若阿草從袋中同時取出2球登錄號碼，寫出此試驗的樣本空間。
[解法]：
(1) ○1 “放回”則號碼可重複出現，所以是重複排列問題，樣本空間為 U＝{ ( 1，1 )，( 1，2 )，( 1，3 )，( 1，4 )，( 1，5 )，
( 2，1 )，( 2，2 )，( 2，3 )，( 2，4 )，( 2，5 )，
( 3，1 )，( 3，2 )，( 3，3 )，( 3，4 )，( 3，5 )，
( 4，1 )，( 4，2 )，( 4，3 )，( 4，4 )，( 4，5 )，
( 5，1 )，( 5，2 )，( 5，3 )，( 5，4 )，( 5，5 ) } ＝S×S，
其中S＝{ 1，2，3，4，5 }。
○2 “不放回”號碼不會重複出現，即 ( 1，1 )，( 2，2 )，( 3，3 )，( 4，4 )，
( 5，5 ) 不會出現，這是不重複排列的問題，樣本空間為
U－{ ( x，x ) | x ∈ S }。
(2) 同時取出2個球，設取到的號碼為1，3，以記號1，3 表示，因為球沒 有前後排序之分，所以此為組合問題，樣本空間是
{ 1，2 ，1，3 ，1，4 ，1，5 ，2，3 ，2，4 ，2，5 ，3，4 ，
3，5 ，4，5 }。
圖 3-2
結論：
(a)隨機試驗：
在不確定之現象上，求出一個結果之過程為一種實驗，有一組以上可能之結果，
但不能確定是其中那一種，同一條件下，可以反覆進行這種實驗稱為隨機試驗。
(b)樣本空間：一項隨機試驗中所有可能發生的結果所成的集合。
(c)事件：樣本空間中的每一個子集合(包含空集合)稱為此樣本空間的事件。
(d)事件發生：若試驗結果屬於 A，則稱此事件 A發生。
(2)事件的性質：
(a)全事件：樣本空間 S 稱為全事件
(b)空事件：空集合 φ 稱為空事件。
(c)餘事件：發生事件 A 以外的事件，稱為事件 A的餘事件。即 A/
(d)和事件：事件 A、B 至少有一事件發生的事件，稱為 A，B 的和事件，
即 A∪B。
(e)積事件：事件 A、B 同時發生的事件，稱為 A，B 的積事件，即 A∩B。
(f)互斥事件：二個事件 A,B 若 A∩B=φ (即二事件不能同時發生)，則稱 A,B
為互斥事件。
[例題5] 擲甲、乙兩個骰子，觀察每個骰子出現的點數，令A表示出現點數和為3的 事件，B表示出現點數和為5的事件，請問A，B兩事件是否互斥？B事件是 否為事件A的餘事件？
[解法]：
樣本空間可表成
U＝{ ( x，y ) | 1 ≤ x ≤ 6，1 ≤ y ≤ 6，x，y ∈ N }。
A，B兩事件分別為
A＝{ ( x，y ) | x＋y＝3，x，y ∈ N } ＝{ ( 1，2 )，( 2，1 ) }，
B＝{ ( x，y ) | x＋y＝5，x，y ∈ N }
＝{ ( 1，4 )，( 2，3 )，( 3，2 )，( 4，1 ) }，
所以A∩B＝∅，因此事件A，B是互斥的。
但A∪B≠U，故B≠A′，即B事件不是事件A的餘事件。
[例題6] 一袋子內有3個紅球，2個藍球，記為紅1，紅2，紅3，藍1，藍2。阿草從 袋中取球兩次，每次取出1球，觀察取出的球色，若每次取完球後，又將該 球放回袋中。A表兩次都取出紅球的事件，B表兩次都取出藍球的事件。
(1) 請寫出事件A。
(2) 請寫出事件B。
(3) 請寫出A，B都發生的事件。
(4) 請寫出A，B中至少有一發生的事件。
(5) 請寫出A不發生的事件。
(6) A，B兩事件是否互斥？
A＝{ ( 紅1，紅1 )，( 紅1，紅2 )，( 紅1，紅3 )，
( 紅2，紅1 )，( 紅2，紅2 )，( 紅2，紅3 )，
( 紅3，紅1 )，( 紅3，紅2 )，( 紅3，紅3 ) }。
(2) 兩次都取出藍球的事件B可表成：
B＝{ (藍1，藍1 )，(藍1，藍2 )，(藍2，藍1 )，
(藍2，藍2 ) }。
(3) A，B都發生的事件為A∩B＝∅。
(4) A，B中至少有一發生的事件為
A∪B＝{ ( 紅1，紅1 )，( 紅1，紅2 )，( 紅1，紅3 )，
( 紅2，紅1 )，( 紅2，紅2 )，( 紅2，紅3 )，
( 紅3，紅1 )，( 紅3，紅2 )，( 紅3，紅3 )，
( 藍1，藍1 )，( 藍1，藍2 )，( 藍2，藍1 )，
(藍2，藍2 )}。
(5) A不發生的事件為
A′＝{ ( 紅1，藍1 )，( 紅1，藍2 )，( 紅2，藍1 )，
( 紅2，藍2 )，( 紅3，藍1 )，( 紅3，藍2 )，
( 藍1，紅1 )，( 藍1，紅2 )，( 藍1，紅3 )，
( 藍2，紅1 )，( 藍2，紅2 )，( 藍2，紅3 )，
( 藍1，藍1 )，( 藍1，藍2 )，( 藍2，藍1 )，
( 藍2，藍2 )}。
(6) 因A∩B＝∅，所以A，B兩事件互斥。
(7) 因B≠A′，所以事件B不是事件A的餘事件。
(練習1) 丟一個硬幣 3 次，觀察 3次出現正反面的次序，寫出
(1)樣本空間 S (2)沒有出現正面的事件 A (3)出現一個正面的事件 B
(4)請問 A、B 互斥嗎？
Ans：(1){(正,正,正)、(正,正,反)、(正,反,正)、(反,正,正)、(正,反,反)、
(反,正,反)、(反,反,正)、(反,反,反)}
(2)A={(反,反,反)} (3)B={(正,反,反)、(反,正,反)、(反,反,正)}
(4)互斥
(練習2) 擲甲乙兩個骰子，觀察每個骰子出現的點數，令 A 為出現點數和為 3 的事件，B 為出現點數和為 5 的事件，
(a)請寫出樣本空間。 (b)判別 A,B是否為互斥？
Ans：(a)S={(x,y)|1≤x≤6，1≤y≤6，x,y 為正數} (b) A,B為互斥事件
(練習3) 若袋子中有 3 個紅球，200 個黑球，1 個白球，從袋子中任取一球 (1)請寫出其樣本空間。
(2)請寫出抽出黑球的事件。
Ans：(a) S={紅球，黑球，白球} (b){黑球}
[討論]：根據以上的結果，可以說抽中黑球的機率=1
3嗎？
綜合練習
(1) 袋中裝有編號1,2,3,4,5的四個球，從袋中取一球觀察號碼。S表示樣本空間，A 表示號碼為奇數的事件，試問下列哪些選項是正確的？
(1)S={1,2,3,4,5} (2)A={1,3,5} (3)A不發生的事件為{2,4} (4)S的事件有5個 (5)S的事件中與A互斥的共有4個。
(2) 觀察一個有兩個小孩的家庭，依小孩子的出生順序觀察其性別，分別寫出 (a)樣本空間 (b)兩個小孩中有男孩的事件 (c)兩個小孩恰為一男一女的事件
(3) 設樣本空間S={a,b,c,d}，則S的事件有多少個？
(4) 連續擲一個硬幣三次，依次觀察出現正面或反面的情形。若A表示至少一次正 面的次數，B表示第二次是反面的事件。試以集合表示下列事件：
(a)事件A和B都發生 (b)事件A不發生 (c)事件A發生但事件B不發生。
(5) 一袋中有5個球，編號為1～5號，阿草從袋中取球兩次，每次取出1球，觀察 取出的球號。
(a)若每次取完球，登錄號碼後，又將該球放回袋中，寫出兩次取球都取到號碼小 於4的事件。
(b)若每次取完球，登錄號碼後，不將該球放回袋中，寫出兩次取球都取到號碼小 於4的事件。
綜合練習解答
(1) (1)(2)(3)(5)
(2) (a){(男孩, 男孩)、(男孩, 女孩)、(女孩,男孩)、(女孩, 女孩)}
(b){ (男孩, 男孩)、(男孩, 女孩)、(女孩,男孩)} (c){ (男孩, 女孩)、(女孩,男孩)}
(3) 16
(4) (a){(正,反,正),(正,反,反),(反,反,正)}(b){(反,反,反)}
(c){(正,正,正),(正,正,反),(反,正,正),(反,正,反)}
(5) (a){(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)}
(b){(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)}
