臺北市立建國高級中學第九十二期通訊解題題目 - tp.edu.tw

(1)

臺北市立建國高級中學第九十二期通訊解題題目

把¹^,²^,³^,⁴^,⁵^,⁶^,⁷^,⁸^,⁹九個數字分成三組三位數（分別為^K^,^L^,^M⁾，分別填入下列九個空格中，並使等式成立（即^K^^L^^M⁾。

　　＋＝

　　例如　125739864　　

試求三位數M 的最小值和最大值？並寫出符合上述條件的等式？

實數^a^,^b^,^c滿足a 0，(b1)²4ac0，試證明：2012個變數

2012 2

1, x , , x

x  的聯立方程組

 





 























1 2012

2 2012

2012 2011

2 2011

3 2

2 2

2 1

x c bx ax



^{有唯一解。}

任意給定一個三角形ABC，已知P、Q、R分別為_AB、_BC、_CA三邊上的三點，

且AP PB BQ QC CR RA_:  _:  _: _{2 :1}，若_{CP AQ BR}_, _, 兩兩交於點A B C', ', '。求 ' ' '

A B C

 與ABC的面積比。

9201

9202

9203

(2)

用數塊大小41的矩形磁磚和一塊大小22的矩形磁磚，鋪蓋正方形地面，要求：

(1)鋪蓋正方形地面時不能有空隙，磁磚不能重疊；

(2)磁磚不能鋪蓋到正方形地面之外。

請回答以下問題︰

(一)、能不能用8塊大小41的矩形磁磚和1塊大小22的正方形磁磚，鋪蓋

66的正方形地面？如果能，請畫出其中的一種鋪蓋方法；如果不能，請加以說明理由。

(二)、能不能用15塊大小41的矩形磁磚和1塊大小22的正方形磁磚，鋪蓋

88的正方形地面？如果能，請畫出其中的一種鋪蓋方法；如果不能，請加以說明理由。

C C'

A' B'

B

A

P

Q R

9204

(3)

已知a1＜a2＜a3＜…＜an，an是自然數，且〈an〉為等差數列，n≧3。若Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 +… + an，回答下列二題︰

問題(1)︰Sn = 2223時，n之最大值為何？

問題(2)︰滿足Sn = 110之等差數列〈an〉共有幾組？

9205