附录有限元法中的数值积分

附录 有限元法中的数值积分

在单元分析中需要计算大量数值积分，这些积分常常通过坐标变换把被积函数（包括对 整体直角坐标的微分算子矩阵B)全部化为局部坐标的函数，并且其中大部分是关于局部坐标 的多项式。对于方块剖分，它可化为坐标变量，，的幂函数的积分，对于三角剖分，它可 化为自然坐标{_i}的幂函数的积分，它们都不难求积。下面列出有关公式。对于被积函数不 是多项式的积分，则需用高斯型求积公式求其近似值。关于局部坐标（，，）的函数的数 值积分可参看第六章，这里仅列出关于自然坐标{_i}的函数的高斯型数值积分表。

[线段单元]

1° 含距离坐标的积分公式

)!

1 (

!

! )!

1 (

!

! ) d (

d

2 1

2 1 21 2

1

2 1 1 2 2

1 2

1

2 1

2 1 2

1



 





 







x^{x x x}_n ^x_n ^{n n x} _n ⁿ_nⁿ

n n n

n

e













由于 ( 1) ( ₂ - ₁) ¹ ( 1) ₂₁¹ d

d _{ }







 x x x

x

i i i

 ，结合上式，可得出包含

x

i

d

d 的积分公式。

2° 常用的数值积分表



^



^m_

k

k k k g w x g

e 1

) ( 2 ) ( 1 ) ( 21 2

1, )d ( , )

(    



求积节点个数m 求 积 节 点 坐 标 )

, (₁^(k) ⁽₂^k)

求积系数

)

(k ^{代数精确度}

*n

1 )

2 ,1 2

(1 1 1

2 (α ,1),(1,α )

其中α =0.2113248654 2

1 3

3

2) ,1 2 (1

) 0 , 1 ( ), 1 , 0 (

3 2 6 1

3

* 表示该求积公式对某n次齐次多项式g(₁,₂)是精确的

3

(α ,1),(1,α ) 2)

,1 2 (1

其中α =0.1127016654 ⁹

4 18

5

5

[三边形单元]

1° 含面积坐标的积分公式

)!

2 (

!

! 2 !

d d

3 2 1

3 2 1 3

2 1

2 3

1    



^{x y A} _n ⁿ_nⁿ _nⁿ

e

n n n









式中A为单元的面积。从系数矩阵(K_ij^(e))的积分公式（2）看出，被积函数不仅包含面积坐标 为变量的型函数，而且也有关于x,y的微分算子B.根据矩阵坐标变换

A x y A y x

i jk i jk

, 2

2 



 



 

再结合上式可得出包含

y x

i i







 

, 的积分公式。

注意，如三边形单元任意一边（例如_i 0）作为线元，则上述含距离坐标的积分公式 也成立。

2° 常用的数值积分表



^



^m_

k

k k k

k g

w A g

e 1

) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3

2

1, , )d ( , , )

(      



求积节点个数m 求积节点坐标 ) , ,

(₁^(k) ⁽₂^k) ⁽₃^k)

求积系数

)

(k

代数精 确度n

1 )

3 ,1 3 ,1 3

(1 1 1

3 ,0)

2 ,1 2 (1 2), ,1 0 2, (1 2), ,1 2 ,1 0

( 3

1 2

7

3) ,1 3 ,1 3 (1

) 0 2, ,1 2 )(1 2 ,1 0 2, (1 2), ,1 2 ,1 0 (

) 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 (

20 9 15

2 20

1

3

7

) , , ( ), , , ( ), , ,

(₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ 其中

0.13239415

5

) , , ( ), , , ( ), , , (

47014206 .

0 , 05961587 .

0

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1





















  

其中

3) ,1 3 ,1 3 (1

10128651 .

0

= , 79742699 .

0

= ₂

2 



0.12593918

0.225

[四面体单元]

1° 含体积坐标的积分公式



^ _{   }

e

4 3 2 1

)!

3 (

!

!

! 6 !

d d d

4 3 2 1

4 3 2 1 4

3 2 1









 n n n n

n n n V n

z y

n x

n n n

式中V为单元的体积。公式（2）出现B{}_i，即被积函数包含型函数_i关于x,y,z的导数，根 据坐标变换

4 4

4 4 4

4 4

4 4 4

4 4

4 4 4

6 1 6

6 1 6

6 1 6

k j

k i j

i

k j

k i j

i

k j

k i j

i

y y

x x V V Z z

x x

z z V V Y y

z z

y y V V X x



 





 





 









(i=1,2,3)

再结合上式，可得出包含这些偏导数的积分公式 2°常用的数值积分表

 



 ^m

k

k k k k k g V

z y x g

e 1

) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 4

3 2

1, , , )d d d ( , , , )

(        



求积节点个数m 求 积 节 点 坐 标 )

, ,

(⁽₁^k) ⁽₂^k) ⁽₃^k)

求积系数

)

(k

代数精确度n

1 )

4 ,1 4 ,1 4 ,1 4

(1 1 1

4

) , , , ( ), , , ,

) , , , ( ), , , , (

































其中 0.13819660 58541020 .

0









4

1 2

5

4) ,1 4 ,1 4 ,1 4 (1

3) ,1 6 ,1 6 ,1 6 (1 6), ,1 3 ,1 6 ,1 6 (1

6) ,1 6 ,1 3 ,1 6 (1 6), ,1 6 ,1 6 ,1 3 (1

5 4 20

9



3