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(1)

台北市立建國高級中學第八十七期通訊解題解答與評析

已知^a,^b皆為正整數，滿足1ab200，且

a

與b的乘積ab為65的倍數，

則數對⁽^a^,^b⁾有幾組解？

【簡答】共有1041組解

【解答】

[方法1] 因為65513，所以分下列情形討論：

(1)當a,b均不是65的倍數，且a,b中一個為5的倍數，另一個為13的倍數時，

因為5的倍數中不是65的倍數者有 ⁴⁰ ³ ³⁷ 65

200 5

200   







 

 個，13的倍數

中不是65的倍數者有 ¹⁵ ³ ¹² 65

200 13

200   







 

 個，故有3712444組解。

(2)當a,b中至少一個是65的倍數時，

因為65的倍數有65,130,195共3個，另一數可從1~200中任選，再扣掉

(65,130)、(65,195)、(130,195)的這3組解會重複計算，故有32003597組解。

綜合上述，數對⁽^a^,^b⁾共有1041組解。

[方法2]

為了方便，我們以『 ^x ^y』的符號表示整數x0為整數 y 的因數及以^[x^]表示小於或等於

x

的最大整數。

因為65513，所以分下列情形討論：

(1)若⁶⁵^a，則^a ^⁶⁵^,¹³⁰^,¹⁹⁵，加上ab200的條件，故此類共有 213

6 71

136   組解。

(2)若⁶⁵^b，則^b^⁶⁵^,¹³⁰^,¹⁹⁵，加上1ab的條件，且不可和情形(1)重複，

需扣掉(65,65)、(130,130)、(195,195)及(65,130)、(65,195)、(130,195)這6組解，故此類共有651301956384組解。

(3)若⁵â,¹³^b，且â ^⁶⁵^,¹³⁰^,¹⁹⁵,^b^⁶⁵^,¹³⁰^,¹⁹⁵，則可設â^⁵^k^,^b^¹³^t ，其中^k,^t 皆為正整數，依題意知15k 13t 200，所以

14 , 13 , 12 , 11 , 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 ,

1

t ， ^,⁽ ¹³^,²⁶^,³⁹⁾

5

1 13 







k t k ，故此類共有 216

34 31 29 26 22 19 17 14 10 7 5

2            組解。

(4)若¹³â,⁵^b ，且â ^⁶⁵^,¹³⁰^,¹⁹⁵,^b^⁶⁵^,¹³⁰^,¹⁹⁵，則可設â^¹³^k^,^b^⁵^t ，其中^k,^t 皆為正整數，依題意知113k 5t 200，所以

14 , 13 , 12 , 11 , 9 , 8 , 7 , 6 , 4 , 3 , 2 ,

1

k ， ¹ ⁴⁰^,⁽ ¹³^,²⁶^,³⁹⁾

5

13    



 k t t ，故此類共有 228

3 6 8 11 15 18 20 23 27 30 32

35            組解。

8701

(2)

綜合上述，數對(a,b)共有1041組解。

【評析】

本題共有6人作答，其中臺北市介壽國中張建勳、臺北市龍門國中沈思年、新北市光復國中王永光得滿分7分，苗栗建台高中國中部彭劉健臺、高雄市國昌國中吳邦誠得6分、臺北市北投國中吳博生得2分。所有同學都知道此題需討論

(1)a,b均不是65的倍數，且a,b中一個為5的倍數，另一個為13的倍數；

(2) a,b中至少一個是65的倍數

6分的同學都是因為(65,130)、(65,195)、(130,195)的這3組解多算或少算所造成。2 分的同學則因同時有其他的錯誤。整體來說同學們答題說理都清晰完整，值得嘉許。

已知數列 an 的一般式為an=

1 )

1 (

1



 n n n

n ，n為正整數，其前n項和為Sn，則在數列S1，S2，…，S2011中，有理數項共有幾項？

【簡答】43

【解答】由 ak ＝

) 1 ( ) 1 (

1

k k

k

k    ＝

) 1 (

1





 k k

k

k ＝

1 1 1

  k k

得Sn= 

 

 



n k n

k k

k a k

1

1 )

1 1

( 1 =1－

1 1 n

因為44＜ 2012 ＜45，所以 n1＝2，3，4，…，44 因此S1，S2，…，S2011中只有43個有理數項。

【評析】

1. 此題利用的有：

(1)前n項和Sn＝

 n k ak

1

。

(2)級數的分項對消，將ak 化成

1 1 1

  k

k 。

(3)若t



^N， ^t ^{為有理數，則}^t^{為完全平方數。}

(4)此題 n1＝2，3，4，…，44 。注意， n1＞1 ，一位同學錯在這個

地方。

2. 本題參與徵答人數有9人：

得7分者，8人：

臺北市龍門國中沈思年臺北市介壽國中張建勳高雄市國昌國中吳邦誠新北市光復國中王永光臺中市居仁國中張芳瑛臺北市北投國中吳博生臺北市民生國中李寬臺北市民生國中蔡孟修

得4分者，1人：

8702

(3)

新北市蘆洲國中謝耀慶

如圖，C在以_AB為直徑的圓P上，圓O與AB,CD及圓P均相切，切點分別為^M^, ^F^, ^E，CD與AB垂直，試證：

(1) Â^, ^F^, Ê三點共線 (2) ÂC ^ ÂM

(3) ^MC² ^²^MD^^MA

【解答】

(1)易知OF//AP，且^P^,^O^, ^E三點共線，則APE FOE， PEA APE  (180 FOE)OEF

2 ) 1 180

2(

1 _ _

故^A^, ^F^, ^E三點共線

(2)由母子相似性質，AC²  ADAB；由弦切割性質，_AM² _ _AE__AF ；

由FDBBEF90^ 90^ 180^，則^B^,^E^,^F^,^D 四點共圓則由圓外冪性質，ADAB AEAF

由以上，AC  AM

(3)延長AM 至G使得AG  AM ，則由AC  AM ，可得CGM 為直角

三角形，再由母子相似性質，_MC² _MD_MG2_MD_MA。

【評析】

1. 本題作答者有三人：台北市民生國中李寬同學、台北市介壽國中張建勳同學及高雄市國昌國中吳邦誠同學，三位同學表達都算詳細完整，平均得分6.3 8703

(4)

分，值得鼓勵。

2. 一直以來幾何題的答題人數都偏少，幾何在國中，因為有難度，所以使很多人望之卻步，在教學上也因為學生能力異質性太大，而無法提供較有深度的教材，這可能值得我們思考是否在國中教育上有必要就幾何作能力分班教學。三位同學的解法不盡相同，但都不失創意，希望有更多人也願意分享不同的幾何作法。

在一個由邊長為1的正六邊形構成的網格平面上有兩點A和B，沿網格線從 A到B的最短路徑的長度為100。一隻昆蟲沿這條路線由 A爬到B。求證：

昆蟲爬行過程中有一半的路程爬行的方向相同。

【解答】顯然，網格平面上只有三種不同方向的線段。不妨設由A到B的100條線段中，水平方向的線段最多。

首先，我們證明，昆蟲爬行的路線中的任何兩條相鄰的水平線段之間夾有的其它方向的線段條數必為奇數(所謂兩條相鄰的水平線段指二者之間不再有水平線段)。

設

a

和b是這條路線上的兩條相鄰水平線段，中間夾有偶數條其它方向的線段。於是當昆蟲由P出發經過

a

和偶數條其它方向的線段到達 b時，只能沿與

a

相反的方向通過b而到達點^Q。但這時，由P出發沿虛線到達點^Q的路徑更短，此不可能。

同理可知，任何兩條同向線段之間所夾的其它方向的線段數均為奇數。

因而，當將所記路線上的線段依次編號為¹^,²^,^,¹⁰⁰時，任何兩條同向線段的編號都具有相同的奇偶性。故知線段條數最多的一種方向的線段數必為50條。

8704

(5)

【評析】本題高雄市國昌國中吳邦誠同學、台北市介壽國中張建勳同學，兩位作答討論還不夠完整，且符號有重覆使用的情形，若能分析的更詳細一些會更好。

如圖，正方形ABCD中，AB 3，E, F兩點分別在^BC,^CD邊上，且

30



BAE ,DAF ¹⁵^，求AEF的面積＝？

A

B

D

C F

E

【簡答】3 3

【解答】過A點作AG  AF且交CB延長線於G點 ^^ÂBG^^ÂDF⁽ÂSA⁾^ ÂG^ ÂF

GABFAD15^∴^GAE ^¹⁵^ ^³⁰^ ^⁴⁵^ 而EAF 90^ 30^ 15^ 45^ AGEAFE

^^GE ^ÊF^,^ÂEB^^ÂEF ^⁶⁰^

∴^^AFE^^^AGE^⁷⁵^ ^^^CFE^³⁰^

且AB 3BE1CE 31∴EF 2( 31)

AEF

 面積＝AGE面積＝ 2( 3 1) 3 3 3

2

1     。

A

B G

D

C F

E

【評析】本題共有18位同學作答，16位同學答對。因為國中階段尚未學習到三角函數及應用，所以老師是希望同學們能由幾何證明的方式做出輔助線再利用三角形全等性質計算出所求三角形面積。

8705