縱
觀近幾年來的學測數學試題，總是依循著奇數年簡單、偶數年較難的規則進 行，正當筆者想說今年難度應比去年難，想不到出題教授送給今年考生一份大禮，那就是「讓大家帶著微笑走出考場」，今年的考生均標可能要創新高了!
本份試卷不僅秉持著學測「中間偏易」的精神，而為銜接108新課綱，「素養題」更是大
量出現，例如：每年下半年衛福部公告的罹癌與健檢題型、年輕學生熱愛體育活動，因此出現 計算在足球場的練習場外圍設立跑道的問題、民以食為天的食材分配問題、氣溫與咖啡銷售量 的相關性問題、公投案選票領票的情境問題；在在刺激同學們體會數學就是生活，而不是高不 可攀，讓特定人士空談的學科。
解題方面，大部分試題只考基本觀念，解題方法明確，計算也簡單，考驗著學生對高中數
學的掌握程度，只要熟讀課本，並練習適量的題目，應該可以獲得不錯的成績。
一、各冊配分情形：
冊別 單 元 題型
配分 合計 單選題 多選題 選填題
第 一 冊
數與式 8 C 10
多項式函數 2 12 10 30 指數、對數函數 3,5 10 第
二 冊
數列與級數 7 5
排列、組合 4 D 10 30
機 率 9,11 10
數據分析 6 5
第 三 冊
三 角 10 E 10
直線與圓 1 5 20
平面向量 G 5
第 四 冊
空間向量 F 5
空間中的平面與直線 13 5 20
矩 陣 A 5
二次曲線 B 5
前 言
數學考科 108 年 學測試題關鍵解析
二、試題題型、特色分析：
1. 本份試題各冊的分配平均，有些試題銜接國中數學，筆者將之歸類在第一單元數與式中，
其實單選第2題也是先利用國中的分組提公因式的方法先加以分解再利用虛根定義解複數 根而已，這麼多與國中數學有關的題目同時出現在學測試題中，在往年的確不多見。而多 選題一向是考生最害怕的題型，我想每位考生都不願意遇到像106年那樣刁鑽的多選題出 現於自己應考的年度，而今年的多選題就是那麼的平易近人，還比往年多考了一題讓大家 更高興一下，由於沒有任何較難的題目出現，所以得分變得容易。
2. 針對今年題目，以下幾題是筆者認為比較特殊的題目，提出與各位先進分享：
(1) 單選1：簡單的作圖題在歷年的學測數學中一向不缺席，今年也不例外，畫畫圖就可得
分，讓大部分的孩子吃一顆定心丸。
(2) 單選3：指數式的化簡後演變成方程式解的討論題，由於分類的方法明確，且情況只有
三種，應不至於對同學們造成困擾。
(3) 單選6：這題平均氣溫與咖啡銷售量的問題可能讓某些同學一看題目就立馬賣力去算迴
歸直線，那這些同學可能後悔了，注意到相關係數是－0.99了嗎？這些資料點 已經很明顯的落在一條特定直線附近，找兩點就可算出這條特定直線。這就是 108新課綱一直強調的素養題吧！
(4) 多選7：研究將等差數列進行變換而獲得的新數列具有何種的特性，這類題目同學們一
定不陌生，列出前幾項照著題意操作得分應不是難事。
(5) 多選11：此題有關於大家聞之色變的大腸癌篩檢問題，題目並不難，不過情境貼近時
事，此題頗獲好評！
(6) 選填C：此題為足球練習場外圍鋪設跑道問題，題目中使用到的圓周率π的近似值為
3.142，並於試卷末附有此數據；可能有些同學會忽略翻到最後一頁去看此數據，
雖然不至於影響得分，不過同學們應在平常模擬考中養成將整份考卷看過一遍 的習慣，那些在卷末出現的可疑的數字或圖形其實是有機會幫助解題的。另外，
此道題許多同學答案為106，那真的可惜了！
(7) 選填D：剛落幕的九合一大選併史上最複雜的公投出現在108學測了，靜下心來畫畫文
氏圖並解三元一次聯立方程式應該就可以得分了。
(8) 選填G：這道題應該是本份試卷中最難的一題了！如果可以想到坐標化，再利用內積公
式求向量夾角即可得分，不過在那緊張的氛圍中可能大部分的同學會錯失坐標
化這個厲害的武器了。另外，若由
BC=
AB+
AD=
BA+
AD+
DC，移項即可得
DC=2
AB，即
DC//
AB且DC＝2AB得△AOB～△COD，配合內積求夾角或斜 率求夾角仍可解題。
第壹部分：選擇題
（占 65 分）一、單選題（占 30 分）
說明︰第1題至第6題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在 答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得5分；答錯、未作答或畫記多於 一個選項者，該題以零分計算。
1. 點A ( 1, 0 ) 在單位圓Γ：x2＋y2＝1上。試問：Γ上除了A點以外，還有幾個點到直線 L：y＝2x的距離，等於A點到L的距離？
(1) 1個 (2) 2個 (3) 3個 (4) 4個 (5) 0個
【答 案】(3)
【概念中心】能作圖及利用點到直線的距離公式判斷圓上點與直線的距離。
【命題出處】南一版數學第三冊第二章 直線與圓
【試題解析】L：2x－y＝0
∴ d ( A , L )＝ | 2 | 5
＝ 2 5
＜1 作L1 // L2 // L，
可知A , P1 , P2 , P3與L之距離皆為 2 5
， 故選(3)。
2. 下列哪一個選項是方程式x3－x2＋4x－4＝0的解？( 註：i＝ 1 ) (1) －2i (2) －i (3) i (4) 2 (5) 4
【答 案】(1)
【概念中心】能利用分組提公因式的方法分解因式並解根。
【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數
【試題解析】x3－x2＋4x－4＝0
x2 ( x－1)＋4 ( x－1)＝0
( x－1) ( x2＋4 )＝0
x＝1或x2＝－4
∴ x＝1或±2i 故選(1)。
試 題 詳 解 與 分 析
3. 試問共有多少組正整數 ( k , m , n ) 滿足2k4m 8n＝512？
(1) 1組 (2) 2組 (3) 3組 (4) 4組 (5) 0組
【答 案】(3)
【概念中心】能利用指數律運算並討論方程式的解。
【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數
【試題解析】2k．4m．8n＝512 2k．( 22 )m．( 23 )n＝29 2k＋2m＋3n＝29 k＋2m＋3n＝9。
(i) 若n＝1，則k＋2m＝6 ( k , m )＝( 2 , 2 ) 或 ( 4 , 1 )。
(ii) 若n＝2，則k＋2m＝3 ( k , m )＝( 1 , 1 )。
即 ( k , m , n ) 共有3組，
故選(3)。
4. 廚師買了豬、雞、牛三種肉類食材以及白菜、豆腐、香菇三種素類食材。若廚師想用完 這六種食材作三道菜，每道菜可以只用一種食材或用多種食材，但每種食材只能使用一 次，且每道菜一定要有肉，試問食材的分配共有幾種方法？
(1) 3 (2) 6 (3) 9 (4) 18 (5) 27
【答 案】(5)
【概念中心】能利用乘法原理及重複排列的方法解題。
【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合
【試題解析】3道菜中有1道含豬肉，1道含雞肉，1道含牛肉，
而白菜、豆腐、香菇各自可選擇與哪種肉搭配
∴ 共有3×3×3＝33＝27 (種)分配方法 故選(5)。
5. 設正實數b滿足 ( log 100 ) ( log b )＋log 100＋log b＝7。試選出正確的選項。
(1) 1 ≤ b ≤ 10 (2) 10≤ b ≤ 10 (3) 10 ≤ b ≤ 10 10 (4) 10 10≤ b ≤ 100 (5) 100 ≤ b ≤ 100 10
【答 案】(4)
【概念中心】能利用對數運算解題並判斷指數式的大小關係。
【命題出處】南一版數學第一冊第三章 指數、對數函數
【試題解析】( log 100 ) ( log b )＋log 100＋log b＝7
2．log b＋2＋log b＝7
3．log b＝5 log b＝5 3
b＝1053
，
又10 10＝10×10
1 2 ＝10
3 2
∵ 3 2 ＜5
3
＜2 ∴ 10
3 2
＜b＜102 10 10＜b＜100 故選(4)。
6. 某超商依據過去的銷售紀錄，冬天平均氣溫在6℃到24℃時，每日平均售出的咖啡數量 與當天的平均氣溫之相關係數為－0.99，部分紀錄如下表。
平均氣溫 (℃) 11 13 15 17 19 21 平均售出量 (杯) 512 437 361 279 203 135 某日平均氣溫為8℃，依據上述資訊推測，試問該日賣出的咖啡數量應接近下列哪一個 選項？
(1) 570杯 (2) 625杯 (3) 700杯 (4) 755杯 (5) 800杯
【答 案】(2)
【概念中心】能了解r＝－0.99之意義而求得近似的迴歸直線並加以預測函數值。
【命題出處】南一版數學第二冊第四章 數據分析
【試題解析】設x表示平均氣溫，y表示平均售出量
∵ 相關係數r＝－0.99 ∴ ( x , y ) 幾乎落在一條斜率為負的直線L上 取兩點 ( 11 , 512 ) , ( 21 , 135 ) 預估直線L，
斜率m＝135 512 21 11
＝－37.7
∴ L：y－512＝－37.7 ( x－11 )
令x＝8代入得y＝512－37.7×( 8－11 )＝512＋113.1＝625.1，故選(2)。
二、多選題（占 35 分）
說明︰第7題至第13題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫 記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，
得5分；答錯1個選項者，得3分；答錯2個選項者，得1分；答錯多於2個選項或 所有選項均未作答者，該題以零分計算。
7. 設各項都是實數的等差數列a1 , a2 , a3 , … 之公差為正實數α。試選出正確的選項。
(1) 若bn＝－an，則b1＞b2＞b3＞…
(2) 若cn＝an2，則c1＜c2＜c3＜…
(3) 若dn＝an＋an＋1，則d1 , d2 , d3 , … 是公差為α的等差數列 (4) 若en＝an＋n，則e1 , e2 , e3 , … 是公差為α＋1的等差數列
(5) 若fn為a1 , a2 , … , an的算術平均數，則f1 , f2 , f3, … 是公差為α的等差數列
【答 案】(1)(4)
【概念中心】能判斷等差數列變換到另一新數列後的性質。
【命題出處】南一版數學第二冊第一章 數列與級數
【試題解析】設等差數列〈an〉為a , a＋α, a＋2α, a＋3α, …，其中α＞0。
(1) ○：數列〈bn〉為－a ,－a－α,－a－2α,－a－3α, …，公差為－α＜0
∴ b1＞b2＞b3＞…
(2) ×：反例：若〈an〉為－5 ,－3 ,－1 , 1 , 3 , 5 , 7 , …，
則不滿足c1＜c2＜c3＜…。
(3) ×：d1＝a＋( a＋α)＝2a＋α，
d2＝( a＋α)＋( a＋2α)＝2a＋3α，
d3＝( a＋2α)＋( a＋3α)＝2a＋5α，
d4＝( a＋3α)＋( a＋4α)＝2a＋7α，
得〈dn〉為公差是2α的等差數列。
(4) ○：e1＝a＋1，e2＝( a＋α)＋2，e3＝( a＋2α)＋3，e4＝( a＋3α)＋4，
得〈en〉為公差是α＋1的等差數列。
(5) ×：f 1＝a，
f 2＝ 1 2
［a＋( a＋α)］＝a＋
2
， f 3＝1
3
［a＋( a＋α)＋( a＋2α)］＝a＋α，
f 4＝ 1 4
［a＋( a＋α)＋( a＋2α)＋( a＋3α)］＝a＋ 3 2 α，
得〈f n〉為公差是 2
的等差數列。
故選(1)(4)。
8. 在數線上，甲從點－8開始做等速運動，同時乙也從點10開始做等速運動，乙移動的 速率是甲的a倍，且a＞1。試選出正確的選項。
(1) 若甲朝負向移動而乙朝正向移動，則他們會相遇 (2) 若甲朝負向移動且乙朝負向移動，則他們不會相遇 (3) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，則乙先到達原點0
(4) 若甲朝正向移動且乙朝正向移動，則他們之間的距離會越來越大 (5) 若甲朝正向移動而乙朝負向移動，且他們在點－2相遇，則a＝2
【答 案】(4)(5)
【概念中心】能利用數線上兩質點的速度關係判斷相遇情形。
【命題出處】南一版數學第一冊第一章 數與式
【試題解析】∵ 乙速度是甲速度的a倍，a＞1
∴ 乙速度較快 (1) ×：不會相遇。
(2) ×：乙將會追上甲。
(3) ×：若a＞10 8
，則乙先到達原點。
若a＝10 8
，則兩人同時到達原點。
若a＜10 8
，則甲先到達原點。
(4) ○。
(5) ○：a＝12 6
＝2。
故選(4)(5)。
9. 從1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7這七個數字中隨機任取兩數。試選出正確的選項。
(1) 其和大於10的機率為1 7
(2) 其和小於5的機率為 1 7
(3) 其和為奇數的機率為4
7
(4) 其差為偶數的機率為 5 7
(5) 其積為奇數的機率為2
7
【答 案】(3)(5)
【概念中心】能利用拉普拉斯古典機率求出機率。
【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率
【試題解析】(1) ×：和大於10者有7＋6 , 7＋5 , 7＋4 , 6＋5
∴ p＝ 7
2
4 C
＝ 4
21
(2) ×：和小於5者有1＋2 , 1＋3
∴ p＝ 7
2
2 C
＝ 2
21
(3) ○：1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7中有4個奇數、3個偶數
∴ 和為奇數必定1奇1偶
∴ p＝
4 3 1 1 7 2
C C C
＝12
21 ＝4
7
(4) ×：差為偶數有奇－奇與偶－偶共2種
∴ p＝
4 3
2 2
7 2
C C
C
＝6 3 21
＝ 9
21
＝3 7
(5) ○：積為奇數必為奇×奇
∴ p＝
4 2 7 2
C C
＝ 6
21 ＝2
7 故選(3)(5)。
10. 在△ABC中，已知50° ≤ ∠A＜∠B ≤ 60°。試選出正確的選項。
(1) sin A＜sin B (2) sin B＜sin C (3) cos A＜cos B (4) sin C＜cos C (5) AB＜BC
【答 案】(1)(2)
【概念中心】能判斷在銳角中正、餘弦函數值的大小關係。
【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角
【試題解析】∵ ∠C＝180°－( ∠A＋∠B )
∴ 180°－( 60°＋60° )＜∠C＜180°－( 50°＋50° )
60°＜∠C＜80° ∴ ∠A＜∠B＜∠C (1) ○：sin A＜sin B。
(2) ○：sin B＜sin C。
(3) ×：cos A＞cos B。
(4) ×：∵ ∠C＞60° ∴ sin C＞cos C (5) ×：由正弦定理得
sin AB
C ＝ sin
BC A
∵ sin C＞sin A ∴ AB＞BC 故選(1)(2)。
11. 某地區衛生機構成功訪問了500人，其中年齡為50-59歲及60歲 ( 含 ) 以上者分別有 220名及280名。這500名受訪者中，120名曾做過大腸癌篩檢，其中有75名是在一年 之前做的，有45名是在一年之內做的。已知受訪者中，60歲 ( 含 ) 以上者曾做過大腸 癌篩檢比率是50-59歲者曾做過大腸癌篩檢比率的3.5倍。試選出正確的選項。
(1) 受訪者中年齡為60歲 ( 含 ) 以上者超過60％
(2) 由受訪者中隨機抽取兩人，此兩人的年齡皆落在50-59歲間的機率大於0.25
(3) 由曾做過大腸癌篩檢的受訪者中隨機抽取兩人，其中一人在一年之內受檢而另一人 在一年之前受檢的機率為2．( 45
120
) ( 75 119
)
(4) 這500名受訪者中，未曾做過大腸癌篩檢的比率低於75％
(5) 受訪者中60歲 ( 含 ) 以上者，曾做過大腸癌篩檢的人數超過90名
【答 案】(3)(5)
【概念中心】能根據題意中的情境所給的數據求得各項機率。
【命題出處】南一版數學第二冊第三章 機率
【試題解析】(1) ×： 280 220 280
＝ 280 500
＝56％。
(2) ×：
220 2 500 2
C C
＝ 220 219 500 499
＜ 1 2
× 1
2
＝ 1 4
。 (3) ○：
75 45
1 1
120 2
C C C
＝ 75 45 120 119
2
＝2 ( 45 120
) ( 75
119
)。
(4) ×：500 120 500
＝ 380 500
＝76％。
(5) ○：設60歲以上做過篩檢者有k人，
則50-59歲做過篩檢者有 ( 120－k ) 人
∵ 280 120
220 k
k
＝3.5＝ 7 2
k＝98 故選(3)(5)。
12. 設f 1 (x)，f 2 (x) 為實係數三次多項式，g (x) 為實係數二次多項式。已知f 1 (x)，f 2 (x) 除 以g (x) 的餘式分別為r1 (x)，r2 (x)。試選出正確的選項。
(1) －f 1 (x) 除以g (x) 的餘式為－r1 (x)
(2) f 1 (x)＋f 2 (x) 除以g (x) 的餘式為r1 (x)＋r2 (x) (3) f 1 (x) f 2 (x) 除以g (x) 的餘式為r1 (x) r2 (x) (4) f 1 (x) 除以－3g (x) 的餘式為 1
3
r1 (x) (5) f 1 (x) r2 (x)－f 2 (x) r1 (x) 可被g (x) 整除
【答 案】(1)(2)(5)
【概念中心】能利用除法原理假設多項式並求出各種變化後的餘式。
【命題出處】南一版數學第一冊第二章 多項式函數
【試題解析】設f 1 (x)＝g (x)．Q1 (x)＋r1 (x)，
f 2 (x)＝g (x)．Q2 (x)＋r2 (x)。
(1) ○：－f 1 (x)＝－g (x)．Q1 (x)－r1 (x)＝g (x)．［－Q1 (x)］＋［－r1 (x)］。
(2) ○：f 1 (x)＋f 2 (x)＝g (x)．［Q1 (x)＋Q2 (x)］＋［r1 (x)＋r2 (x)］
∵ deg ( r1 (x)＋r2 (x) )＜deg g (x)
∴ r1 (x)＋r2 (x) 為餘式 (3) ×：f 1 (x)．f 2 (x)
＝［g (x)．Q1 (x)＋r1 (x)］［g (x)．Q2 (x)＋r2 (x)］
＝g (x)［g (x)．Q1 (x)．Q2 (x)＋r1 (x)．Q2 (x)＋r2 (x)．Q1 (x)］
＋［r1 (x)．r2 (x)］，
但r1 (x)．r2 (x) 的次數可能大於g (x)
∴ 餘式不一定為r1 (x)．r2 (x) (4) ×：f 1 (x)＝［－3g (x)］．［－1
3
Q1 (x)］＋r1 (x)，餘式為r1 (x)。
(5) ○：f 1 (x)．r2 (x)－f 2 (x)．r1 (x)
＝［g (x)．Q1 (x)＋r1 (x)］．r2 (x)－［g (x)．Q2 (x)＋r2 (x)］．r1 (x)
＝g (x)［Q1 (x)．r2 (x)－Q2 (x)．r1 (x)］。
故選(1)(2)(5)。
13. 坐標空間中有一平面P過 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 2 , 3 ) 及 (－1 , 2 , 3 ) 三點。試選出正確的選 項。
(1) 向量 ( 0 , 3 , 2 ) 與平面P垂直 (2) 平面P與xy平面垂直 (3) 點 ( 0 , 4 , 6 ) 在平面P上 (4) 平面P包含x軸 (5) 點 ( 1 , 1 , 1 ) 到平面P的距離是1
【答 案】(3)(4)
【概念中心】能利用外積求出平面法向量及方程式並判斷平面的性質。
【命題出處】南一版數學第四冊第二章 空間中的平面與直線
【試題解析】設O ( 0 , 0 , 0 ) , A ( 1 , 2 , 3 ) , B (－1 , 2 , 3 )，
則OA
＝( 1 , 2 , 3 )，OB
＝(－1 , 2 , 3 )，OA
×OB
＝( 2 32 3 , 3 1
3 1 , 1 2
1 2 ) ＝( 0 ,－6 , 4 ) // ( 0 , 3 ,－2 )，
取平面法向量
n ＝( 0 , 3 ,－2 )。(1) ×：向量 ( 0 , 3 , 2 ) 不平行
n。 (2) ×：xy平面法向量n
1＝( 0 , 0 , 1 )，
但
n1．
n ＝( 0 , 0 , 1 )．( 0 , 3 ,－2 )＝－2≠0∴ 平面P與xy平面不垂直
(3) ○：平面P方程式為0 ( x－0 )＋3 ( y－0 )－2 ( z－0 ) 3y－2z＝0，
點 ( 0 , 4 , 6 ) 代入得3×4－2×6＝0，合
∴ 點 ( 0 , 4 , 6 ) 在平面P上
(4) ○：x軸上點 ( t , 0 , 0 )，t 代入平面得0＝0，合
∴ 平面P包含x軸 (5) ×：d＝
2 2
| 3 1 2 1|
3 ( 2)
＝ 1 13。 故選(3)(4)。
第貳部分：選填題
（占 35 分）說明︰1.第A至G題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號
（14–30）。
2.每題完全答對給5分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A. 設x , y為實數，且滿足 3 1 3
2 4 1
1
x y
＝ 6 6
，則x＋3y＝_________○14○15 。
【答 案】－4
【概念中心】能運用矩陣乘法解題。
【命題出處】南一版數學第四冊第三章 矩陣
【試題解析】 3 1 3
2 4 1
1
x y
＝ 6 6
3 3 6
2 4 1 6
x y x y
+
3x y 3 ………○1
2x4y 5 ……○2
①×4＋②得14x＝7 x＝ 1 2
，代入①得y＝3 ( 1 2
)－3＝－ 3 2
∴ x＋3y＝1 2
＋3 (－ 3 2
)＝－4
B. 如圖 ( 此為示意圖 )，A , B , C , D是橢圓
2 2
x a ＋
2
16 y
＝1 的頂點。若四邊形ABCD的面積為58，則
a＝___________
○16○17
○18 。( 化為最簡分數 )
【答 案】 29 4
【概念中心】能利用橢圓的長短軸長度求出頂點所圍成的菱形面積。
【命題出處】南一版數學第四冊第四章 二次曲線
【試題解析】長軸半長a，短軸半長b＝ 16＝4，
而四邊形ABCD為菱形
∴ 面積＝ 1 2
×AC×BD＝ 1 2
×2a×8＝58
a＝58 8
＝ 29 4
。
C. 某高中已有一個長90公尺、寬60公尺的足球練 習場。若想要在足球練習場的外圍鋪設內圈總長 度為400公尺的跑道，跑道規格為左右兩側各是 直徑相同的半圓，而中間是上下各一條的直線跑 道，直線跑道與足球練習場的長邊平行 ( 如示意
圖 )。則圖中一條直線跑道AB長度的最大可能整
數值為___________○19○20○21 公尺。
【答 案】105
【概念中心】能依題意列出二元一次方程式並在未知數條件限制之下求出最大值。
【命題出處】南一版數學第一冊第一章 數與式
【試題解析】跑道長度＝2πr＋2x＝400，其中 x ≥ 90且2r ≥ 60 ∴ r ≥ 30
πr＋x＝200，
x＝200－πr200－3.142r
≤ 200－3.142×30＝105.74
∴ AB最大長度x為105公尺
D. 某次選舉中進行甲、乙、丙三項公投案，每項公投案一張選票，投票人可選擇領或不領。
投票結束後清點某投票所的選票，發現甲案有765人領票、乙案有537人領票、丙案有 648人領票，同時領甲、乙、丙三案公投票的有224人，並且每個人都至少領了兩張公 投票。根據以上資訊，可知同時領甲、乙兩案但沒有領丙案公投票者共有___________○22○23○24 人。
【答 案】215
【概念中心】能利用文氏圖作圖了解集合間的關係而求出特定集合的元素個數。
【命題出處】南一版數學第二冊第二章 排列、組合
【試題解析】如右圖，
x y 765 224 541 ………○1 648 224 424
y z ………○2 537 224 313
z x ………○3
①＋②＋③
2 得x＋y＋z＝639…④
④－②得x＝639－424＝215
∴ 同時領甲、乙兩案但沒有領丙案者有215人
E. 如圖 ( 此為示意圖 )，在△ABC中，AD交BC 於D點，BE交AD於E點，且∠ACB＝30°，
∠EDB＝60°，∠AEB＝120°。若CD＝15，
ED＝7，則AB＝_________○25○26 。
【答 案】13
【概念中心】能利用餘弦定理解題。
【命題出處】南一版數學第三冊第一章 三角
【試題解析】∠BED＝180°－120°＝60°
∵ △BED為正三角形 ∴ BD＝7 又∠CAD＝60°－30°＝30°
∴ △CAD為等腰三角形 AD＝CD＝15，
在△ABD中，由餘弦定理得
AB2＝152＋72－2×15×7×cos 60°
＝225＋49－105＝169
∴ AB＝13
F. 坐標空間中，考慮有一個頂點在平面z＝0上、且有另一個頂點在平面z＝6上的正立方 體。則滿足前述條件的正立方體之邊長最小可能值為___________○27 ○28 。( 化成最簡根式 )
【答 案】2 3
【概念中心】能知道正立方體的對角線是兩頂點的最遠距離，進而求出邊長的最小值。
【命題出處】南一版數學第四冊第一章 空間向量
【試題解析】平面z＝0與平面z＝6的距離為6，
即正立方體中有二個頂點的距離為6。
今邊長欲最小
∴ 取對角線上兩頂點A、B分別在z＝0與z＝6上
∴ AB＝6
設邊長為x，則 x2x2x2 ＝6
3x2 ＝6 3x＝6。
x＝ 6 3
＝2 3。
G. 如圖 ( 此為示意圖 )，A , B , C , D為平面上的四個 點。已知BC
＝AB
＋AD
，AC
、BD
兩向量等長且互相垂直，則tan∠BAD＝_________○29○30 。
【答 案】－3
【概念中心】能將向量坐標化並利用內積公式求出兩向量夾角。
【命題出處】南一版數學第三冊第三章 平面向量
【試題解析】∵ AC
與BD
等長且互相垂直
∴ 坐標化如右，設AC＝BD＝1，
且C ( x , 0 ) , A ( x－1 , 0 ) , D ( 0 , y ) , B ( 0 , y－1 ) 此時BC
＝( x ,－y＋1 )，AB
＝(－x＋1 , y－1 )，AD
＝(－x＋1 , y )
∵ BC
＝AB
＋AD
∴ ( x ,－y＋1 )＝(－x＋1 , y－1 )＋(－x＋1 , y )
2 2
1 2 1
x x
y y
x＝2
3 ，y＝2
3 ， 得A (－1
3
, 0 ) , B ( 0 ,－1 3
) , D ( 0 , 2 3
)，
AB
＝( 1 3 ,－1
3
) // ( 1 ,－1 )，AD
＝( 1 3
, 2
3
) // ( 1 , 2 )
∴ cos ( ∠BAD )＝
2 2 2 2
(1, 1) (1, 2)
1 ( 1) 2
1
．
＝ 1
10
，sin ( ∠BAD )＝ 3 10
∴ tan ( ∠BAD )＝
3 101 10
＝－3
一、考題趨勢：
1. 就筆者分析這些年的學測試題看來，這份試題說是近幾年來最簡單的一份試題並不 為過，尤其是那佛心的多選題更是免了眾生的擔憂。這對有讀書的孩子，不放棄數
學的同學們是一種鼓勵，然而想獲得15級分的同學則必須十分的謹慎作答，不能 有過多的差錯，所以仍有相當的鑑別度。
2. 縱觀整份試題，除了選填G作答可能會有一些遲疑之外，其餘的題目同學們皆可迎
刃而解。不過，來年同學準備數學學測時不能指望每年的題目皆如此超簡單而有鬆 懈！其實我們永遠無法預知當年度的試題，所以筆者依然建議同學們的基本觀念應 多加強 (例如：多項式餘式問題及多項方程式根的解題、平面上點到直線的距離關 係、正餘弦函數在銳角中的比較大小問題、指對數的基本運算及比較大小的問題、
空間中平面法向量問題)、題目及數據的解讀能力還要再提升(大腸癌篩檢問題、超 商咖啡銷售問題)，尤其作圖能力更不可忽視 (平面上圓與直線位置的關係問題)。
而對於108新課綱一直強調的「素養題」，來年同學們準備時應多加涉略。
3. 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「智慧型復習講義」中皆一再提及，並要同學
多加留心注意！就這幾年的考題趨勢而言，「智慧型復習講義」皆能確切命中命題 核心。本書每年皆有修訂以更符合現今的考題趨勢，也加入許多筆者蒐集的國外考 題以供同學釐清觀念用。另外本書的範例、演練皆留有空格以利於老師上課講解、
同學演練，並適時比較觀念差異，參酌同學的意見刪去較難的題目，讓同學們做起 題目來更有信心、更容易進入復習狀況。今年修訂更配合學測趨勢，新闢單元「素 養題專區」，筆者用心蒐集此類型題目以供同學們參考練習。期望各位先進可參考 並不吝加以選用、指教。
二、結語：
對高三同學而言，今年的學測數學試題可讓大家鬆口氣了！然而，對明年學測考生
而言，請用比今年更高的標準去準備吧！不管試題的難度如何，我們都應了解數學不是 只有考試用而已，數學一直存在我們的生活當中，不管你喜歡否，它都會跟隨著你一輩 子。
努力三年了！還是那句老話：「堅持到底」的人必將歡喜收割！
