101
今
年是95暫綱的最後一屆學測，本著學測出題的精神，今年仍是維持「中間偏易」的原則。難度方面，較100年的題目稍微有鑑別度些，而單純各章節的題目仍佔大
多數，跨章節的題目鮮少出現，計算簡單、課內題目熟稔的同學要得高分並不難。
一、各冊配分情形：
冊別 單 元 題型
單選題 多選題 選填題 配分 合計
數與坐標系 1 B 10
數列與級數 2 A 10
第 一
冊 多項式 8 5
25
指數與對數 3,5 10
三角函數的基本概念 12 E 10 第
二
冊 三角函數的性質與應用 10, 5
25
向量 C,D 10
空間中的直線與平面 11 5 第
三
冊 圓與球面 7 5
20
圓錐曲線 13 F 10
排列組合 9 5
第 四
冊 機率與統計(I) 4,6 G 15
30
二、試題題型、特色分析：
1. 由統計表可看出，今年學測各冊的出題比例平均，堪稱是近幾年來最平均的一次。去年的 遺珠之憾：數與坐標系今年有2題、排列組合有1題，毫無意外的，求斜率的大小又獲得 青睞；而排列組合出現在多選9，同學若能了解這六個分點形成一個正六邊形，用正六邊 形圖形來幫助我們解題會比較簡單。這兩題同學只要能動手畫圖，試試看所有的情形，想 得分並不難。
2. 99課綱已經刪除範圍的題目出現了三題：
(1) 單選7：求球面與三個坐標軸的交點個數，筆者認為此題不簡單，原因乃在於此題畫不
出來，同學們憑空想像較容易出錯。
(2) 多選10：關於複數的極式及共軛複數的運算對中下程度同學而言並不簡單。但如果同
學用特殊複數(例如：令z＝1＋i，w＝1－i )代入選項檢驗將會容易得多。
年
數學考科
學測試題
關鍵解析
前
言
(3) 選填A：此道題就顯得平易近人多了，與去年(100年)相同的一樣是考無窮等比級數和 的問題，連考兩年，有點臨去秋波的感覺，本題要得分很容易。
3. 以下列出幾題筆者認為比較特殊的題目與各位分享：
(1) 單選4：常態分配圖形曲線下的面積代表觀察人數，標準差表示離散趨勢，平均數代表
集中趨勢，此類型題目以往社會組的考題中較常出現；在筆者所編著之焦點攻
略（99課綱後改為智慧型復習講義）中一再要同學們注意學測也可能會考類似
此類圖形的題目，今後同學復習時仍不可大意。
(2) 多選11：本題考的是二元一次聯立方程式解的觀念，其實用比例的方法解題應比用行列
式、克拉瑪公式法解題更迅速有效，同學們可加以比較兩種方法試試看。
(3) 多選13：本題考平面上 PF1−PF2 =d，由d值來判斷圖形與圓的相交情形，這觀念是
平時同學在復習時可能忽略的小觀念，相同的題型為 PF1+PF2 =d，仍由d的
範圍來決定圖形為橢圓、一線段或無圖形。
(4) 選填C：利用北斗七星中的天樞與天璇坐標來推得北極星的坐標，這是一般的天文知識，
此題一出現之後，我想今後各位老師復習時應會忍不住將北斗七星的相關位置 順便做一番介紹。本題除了在解析處所提供的向量方法之外，尚有分點公式法 可供解題，同學們可嘗試用不同的方法解解看。
(5) 選填E：本題利用面積先求得三角形邊長，再利用餘弦定理解得第三邊的長度，屬於典
型題目，一般同學復習時應會注意到此題所需的觀念，所以得分應不至太難。
(6) 選填G：本題要求在長方體上的八個頂點中求相異兩點距離大於3的機率，一般而言，
排列組合（或機率）的某些題目可以正面算也可以反面算，在解析中，筆者提
供正面算中的一種方法，其實本題中任兩點的距離有1,2,3, 5, 10, 13, 14等
七種，了解所有的距離也可幫助我們解題。
第壹部分：選擇題
（占 65 分）一、單選題（占 35 分）
說明︰第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答 案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個 選項者，該題以零分計算。
1. 1
52＋1
42＋1等於下列哪一個選項？
(1) 1.01 (2) 1.05 (3) 1.1 (4) 1.15 (5) 1.21
【答 案】(2) 【概念中心】分數與根式的化簡
【命題出處】南一版第一冊第一章數與坐標系
【試題解析】 1 52＋1
42＋1＝ 42＋52＋52．42
52．42 ＝ 16＋25＋400
400 ＝ 441
400＝ 21
20 ＝1.05，
故選(2)。
2. 將邊長為1公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如下圖所示，其中第1層（最下層）
有10塊，第2層有9塊，…，依此類推。當堆疊完10層時，該階梯形立體的表面積
（即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總和）為多少？
(1) 75 平方公分
(2) 90 平方公分
(3) 110 平方公分
(4) 130 平方公分
(5) 150 平方公分
【答 案】(5) 【概念中心】求級數和
【命題出處】南一版第一冊第二章數列與級數
【試題解析】( 1＋2＋3＋…＋10 ) × 2＋10＋10＋2 × 10＝55 × 2＋10＋10＋20＝150，故選(5)。
3. 下表為常用對數表log10 N的一部分：
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11
20
30
0000 0414
3010
4771
0043 0453
3032
4786
0086 0492
3054
4800
0128 0531
3075
4814
0170 0569
3096
4829
0212 0607
3118
4843
0253 0645
3139
4857
0294 0682
3160
4871
0334 0719
3181
4886
0374 0755
3201
4900
請問103.032最接近下列哪一個選項？
(1) 101 (2) 201 (3) 1007
(4) 1076 (5) 2012
試 題 詳 解 與 分 析
…… …… …… …… …… …… …… …… …… ……
……
【答 案】(4) 【概念中心】利用對數及內 法 計數值
【命題出處】南一版第二冊第一章指數與對數
【試題解析】令x＝103.032，則logx＝log103.032＝3.032＝3＋0.032 log1.07＝0.0294
log p ＝0.032 log1.08＝0.0334
⇒ p－1.07
0.01 ＝ 0.0026
0.0040 ⇒ p＝1.07＋0.0065＝1.0765
logx＝log103＋log1.0765＝log ( 1.0765×103 ) ⇒ x＝1076.5，故選(4)。
4. 、 兩頣有一樣多的學 加數學能 測驗，兩頣學 測驗成 的分 很接近常態分
，其中 頣學 的平均分數為60分，標準差為10分； 頣學 的平均分數為65分，
標準差為5分。若用 線表示 頣學 成 分 曲線； 線表示 頣學 成 分 曲線，
則下列哪一個分 圖較為正確？
(1) (2)
(3)
(4) (5)
【答 案】(1) 【概念中心】常態分 曲線的曲線下面積、平均數與標準差的意義
【命題出處】南一版第 冊第三章機率與統計(I)
【試題解析】常態分 曲線為 形曲線，韠頂所對的x坐標為平均數，而標準差 小者表示 頔 集中，曲線下的面積則表示 加的學 總數。圖(2)中 線下面積比 線下 面積大，表 人數大於 人數；圖(3)則表示 人數大於 人數；圖(4) 表示 的標準差較 小；圖(5)之 、 二 標準差一樣大，以上 錯 ， 故選(1)。
5. 若正實數x, y 倦log10 x＝2.8，log10 y＝5.6，則log10 ( x2＋y ) 最接近下列哪一個選項的值？
(1) 2.8 (2) 5.6 (3) 5.9 (4) 8.4 (5) 11.2
【答 案】(3) 【概念中心】指數與對數的化簡求值
【命題出處】南一版第二冊第一章指數與對數
【試題解析】 log10 x＝2.8 x＝102.8
log10 y＝5.6 y＝105.6 得x2＋y＝( 102.8 )2＋105.6＝2×105.6
⇒ log10 ( x2＋y )＝log10 ( 2×105.6 )＝log102＋log10105.6＝0.301＋5.6＝5.901，
故選(3)。
6. 中有編 分別為0, 1, 2,…,9的 球。 機 一球，將球 後，再 機 一球。
請問這兩球編 相 的 對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？
(1) 0 (2) 1 (3) 4 (4) 5 (5) 9
【答 案】(2) 【概念中心】拉 拉 典機率的計算
【命題出處】南一版第 冊第三章機率與統計(I)
【試題解析】
P(0)＝ 10
100 ，P(1)＝ 9×2
100 ，P(2)＝ 8×2
100 ，P(3)＝ 7×2
100 ，…，P(9)＝ 1×2 100 ， 其中機率最大者為P(1)，故選(2)。
7. 空間坐標中有一球面（ 韬大於0）與平面3x＋4y＝0相 於原點，請問此球面與三個坐 標軸一共有多少個交點？
(1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5
【答 案】(3) 【概念中心】利用空間中的距離觀念判斷圖形間的位置關
【命題出處】南一版第三冊第三章圓與球面
【試題解析】 球 A ( x0 , y0 , z0 )， 平面E：3x＋4y＝0， 點O ( 0 , 0 , 0 ) OA // n
⇒ ( x0 , y0 , z0 ) // ( 3 , 4 , 0 )
x0＝3t，y0＝4t，z0＝0 ∴ 球 A ( 3t , 4t , 0 )，t∈ 而球 韬r＝d ( O , E )＝| 3x0＋4y0 |
5 ＝| 3(3t)＋4(4t) |
5 ＝| 5t |，
又d ( A , x軸)＝ (4t)2＋02 ＝| 4t | r ⇒ 球面與x軸交於2點（其中一點是原點）
d ( A , y軸)＝ (3t)2＋02 ＝| 3t | r ⇒球面與y軸交於2點（其中一點是原點）
d ( A , z軸)＝ (3t)2＋(4t)2 ＝| 5t |＝r ⇒球面與z軸相 於原點 得球面與三坐標軸交於3點，故選(3)。
a a－b b
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7
3 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4
6 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3
7 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2
8 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
二、多選題（占 30 分）
說明︰第8題至第13題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記 在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項 立判定，所有選項均答對者，得 5 分；答錯1 個選項者，得3 分；答錯2個選項者，得 1分；答錯多於 2個選項或所有選 項均未作答者，該題以零分計算。
8. f (x)＝x4－5x3＋x2＋ax＋b為實 數多項式， 知f (i)＝0（其中i2＝－1）。請問下列哪 些選項是多項式方程式f (x)＝0的根？
(1) －i (2) 0 (3) 1 (4) －5 (5) 5
【答 案】(1)(2)(5) 【概念中心】實 數多項式方程式 根成對定理與長除法
【命題出處】南一版第一冊第三章多項式
【試題解析】由實 數多項式方程式 根成對定理知f (i)＝0，則f (－i )＝0 f (x)有因式 ( x－i ) x－(－i ) ＝x2＋1
由長除法得a＋5＝0 b＝0 a＝－5，b＝0
f (x)＝( x2＋1 )( x2－5x )＝( x2＋1 ) x ( x－5 )
⇒ f (x)＝0之 三根為－i，0，5
故選(1)(2)(5)。
9. 三角形ABC 是一個邊長為3 的正三角形，如下圖所示。若在每一邊的兩個三等分點中，
各選 一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？
(1) 依此方法可能連成的三角形一共有8 個
(2) 這些可能連成的三角形中， 有2 個是 角三角形 (3) 這些可能連成的三角形中， 有3 個是直角三角形 (4) 這些可能連成的三角形中， 有3 個是 角三角形 (5) 這些可能連成的三角形中， 有1 個是正三角形
【答 案】(1)(2) 【概念中心】正六邊形頂點連線所成的三角形形
【命題出處】南一版第 冊第二章排列組合
【試題解析】如右圖，由六點D、E、F、G、H、I所圍成之形 為正六邊形 (1) ：左、右、下各 一點，得C21 C21 C21＝8(種) 法
(2) ： DHF及 EGI為 角三角形
(3) ： DIF為以 D為直角的直角三角形，
同理E、F、G、H、I每一個點 可俁到一
個以其為直角頂的直角三角形： EIF, FEH,
GEH, HGD, IG ，共計有 6個 (4) ： 角三角形不 在
(5) ：正三角形有2個，即 DHF及 EGI 故選(1)(2)。
1－5＋0
1＋0＋1 ) 1－5＋1＋a ＋b
1＋0＋1 －5＋0＋a
－5＋0－5 (a＋5)＋b
10. O為複數平面上的原點，並令點A , B分別代表 零複數z , w。若 AOB＝90，則下列 哪些選項 為 實數實數實數實數？
(1) z
w (2) zw (3) (zw)2 (4) z2
w2 (5) (z w )2 （其中 w 為w的共軛複數）
【答 案】(4)(5) 【概念中心】複數的 概念及運用共軛複數的性質判斷出 實數
【命題出處】南一版第二冊第三章三角函數的性質與應用
【試題解析】如右圖所示：
w＝z (cos90＋isin90 )．k，其中k 0
⇒ w＝z．i．k
(1) ： z w ＝ 1
ki 為 數
(2) ：zw＝z ( z．i．k )＝z2．i．k不一定是 實數
(3) ：(zw)2＝( z2．i．k ) 2＝z4．i2．k2＝－k2．z4不一定是 實數 (4) ： z2
w2 ＝ 1
k2i2 ＝－ 1 k2
(5) ： w ＝ z．i．k ＝ z ． i ． k ＝ z ．(－i)．k
(z w )2＝ z． z ．(－i )．k 2＝(z z )2．(－1)．k2 z z =|z|2>0 (z w )2為 實數
故選(4)(5)。
11. 若實數a , b , c , d 得聯立方程組
ax＋8y＝c
x－4y＝3 有解， 聯立方程組
－3x＋by＝d
x－4y＝3 無解，
則下列哪些選項一定正確？
(1) a －2 (2) c＝－6 (3) b＝12 (4) d －9 (5) 聯立方程組
ax＋8y＝c
－3x＋by＝d 無解
【答 案】(3)(4) 【概念中心】二元一次聯立方程式的解及其幾 意義
【命題出處】南一版第三冊第二章空間中的直線與平面
【試題解析】方程組
ax＋8y＝c
x－4y＝3 有解 ⇔ a 1
8
－4（ 一解）或 a 1 ＝ 8
－4＝ c
3 （無 多組解）
⇔ a －2 或（a＝－2 c＝－6）
－3x＋by＝d
x－4y＝3 無解 ⇔ －3 1 ＝ b
－4 d
3 ⇔ b＝12 d －9
又 x－4y＝3與 ax＋8y＝c可能 合或相交於一點，
但 x－4y＝3與－3x＋by＝d平行
ax＋8y＝c與－3x＋by＝d可能平行或相交於一點，不一定無解。
故選(3)(4)。
12. 在坐標平面上， 義角 的頂點為原點O， 邊為x軸的正向， 倦tan ＝ 2 3 。若 的 邊上有一點 P，其y坐標為－4，則下列哪些選項一定正確？
(1) P 的 x 坐標是 6 (2) OP ＝2 13 (3) cos ＝ 3
13 (4) sin 2 0 (5) cos
2 0
【答 案】(2)(4) 【概念中心】 義角三角函數的定義與二靰角公式
【命題出處】南一版第二冊第二章三角函數的基本概念
【試題解析】tan ＝ 2
3 邊上一點P之 y 坐標為－4 為第三 角
(1) ：tan ＝ y x ＝－4
x ＝ 2
3 ⇒ x＝－6 (2) ： OP ＝ (－6)2＋(－4)2＝2 13 (3) ：cos ＝ x
r ＝ －6
2 13 ＝ －3 13 (4) ：sin 2 ＝2sin cos ＝2． y
r ． x
r ＝2．(－6)(－4) 52 ＝ 12
13 0
(5) ： 為第三 角 180＋360n 270＋360n，n∈
⇒ 90＋180n
2 135＋180n 當n是 數時，
2 為第 角 ⇒ cos
2 0；
當n是 數時，
2 為第二 角 ⇒ cos
2 0 故選(2)(4)。
13. 平面上兩點F1, F2 倦 F1F2 ＝4。 d 為一實數，令 表示平面上 倦| PF1 － PF2 |＝d 的所有P點所成的圖形，又令C為平面上以F1為圓 、6為 韬的圓。請問下列哪些選 項是正確的？
(1) 當d＝0時， 為直線
(2) 當d＝1時， 為 曲線
(3) 當d＝2時， 與圓C交於兩點
(4) 當d＝4時， 與圓C交於 點
(5) 當d＝8時， 不 在
【答 案】(1)(2)(5) 【概念中心】圓錐曲線圖形的判定及曲線與圓的交點
【命題出處】南一版第 冊第一章圓錐曲線
【試題解析】(1) ：當d＝0時， PF1 ＝ PF2
為F1F2 之中 線
(2) ：當d＝1時，| PF1 － PF2 |＝1 4＝ F1F2 為 曲線
(3) ：當d＝2時，
| PF1 －PF2 |＝2 4 為 曲線
以 軸平行x軸為例作圖如右，
可得 與圓C有 4個交點
(4) ：當d＝4時，
| PF1 － PF2 |＝4＝ F1F2
之圖形為以F1 , F2為出 點的兩韗線
如右圖可知 與C有兩交點
(5) ：當d＝8時，| PF1 － PF2 |＝8 4＝ F1F2 ，無圖形
不 在 故選(1)(2)(5)。
第貳部分：選填題
（占 35 分）說明︰1.第A至G題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列 (14－33)。
2.每題完 答對 5分，答錯不靼 ，未完 答對不 分。
A. 若靫項為a，公比為0.01 的無窮等比級數和等於 小數1. 2 ，則a＝__________14.15 16 。
【答 案】1.21 【概念中心】無窮等比級數求和公式及 小數的化簡
【命題出處】南一版第一冊第二章數列與級數
【試題解析】S＝ a
1－r ＝ a
1－0.01 ＝1. 2
⇒ a
0.99 ＝ 12－1
9 ⇒ a
0.99 ＝ 11
9 ⇒ a＝0.11×11＝1.21
B. A(1,1) , B(3,5) , C(5,3) , D(0,－7) , E(2,－3) 及F(8,－6) 為坐標平面上的六個點。若直線 L分別與三角形ABC及三角形DEF各 有一個交點，則L的斜率之最小可能值為
________17 18 。
【答 案】－3 【概念中心】斜率大小的判斷
【命題出處】南一版第一冊第一章數與坐標系
【試題解析】L與 ABC與 DEF 各一交點之情形 可能如右之L1, L2, L3，
其中斜率最小者為L1之斜率，
m1＝ 3－(－6)
5－8 ＝ 9
－3 ＝－3
C. 小明在天文 上看到以下的 「可利用北斗七星斗俜的天璇與天樞這兩 星來 俁北 極星：由天璇 向天樞的方向 便可俁到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與 天璇距離的5靰。」今小明將所倝的星空想像成一個坐標平面，其中天璇的坐標為 (9,8) 及天樞的坐標為(7,11)。依上 可以推得北極星的坐標為 (________19 20 ,________21 22 )。
【答 案】(－3, 26) 【概念中心】向量 數積的應用(三點共線)
【命題出處】南一版第三冊第一章向量
【試題解析】 天璇坐標A(9,8)，天樞坐標B(7,11)，北極星坐標C(x, y) BC＝5AB
⇒ (x－7, y－11)＝5 (7－9,11－8)＝(－10,15)
⇒
x－7＝－10
y－11＝15 ⇒ ( x , y )＝(－3, 26)
D. 點A(－2, 2)、B(4, 8)為坐標平面上兩點， 點C在二次函數y＝ 1
2 x2的圖形上 動。當
C點的x坐標為________23 24 時，內積AB．AC 有最小值________25 26 。
【答 案】－1, －3 【概念中心】向量的內積與配方法求最小值
【命題出處】南一版第三冊第一章向量
【試題解析】 C坐標為 ( x, 1 2 x2 )，
則 AB．AC＝(6 , 6)．( x＋2, 1
2 x2－2 ) ＝3x2＋6x＝3(x2＋2x＋1)－3 ＝3 (x＋1) 2－3
當x＝－1時，AB．AC有最小值－3
E. 在邊長為13的正三角形ABC上各邊分別 一點P, Q, R， 得APQR形成一平行 邊形，
如下圖所示：
若平行 邊形APQR的面積為20 3 ，則線段PR的長度為______27 。
【答 案】7 【概念中心】面積公式與餘弦定理的計算
【命題出處】南一版第二冊第二章三角函數的基本概念
【試題解析】 AP ＝x，則 QR ＝x CQR為正三角形 AR ＝13－x
⇒ 平行 邊形APQR面積為20 3 ＝2． APR面積
⇒ 20 3 ＝2． 1
2 ．x．(13－x )．sin60
⇒ 20 3 ＝x．( 13－x )． 3
2
⇒ x2－13x＋40＝0 ⇒ (x－5)(x－8)＝0 ⇒ x＝5或8
由餘弦定理得在 APR中， PR ＝ 52＋82－2．5．8．cos60＝ 49 ＝7
F. m, n 為正實數，橢圓 x2 m ＋ y2
n ＝1 的焦點分別為 F1(0, 2) 與 F2(0,－2)。若此橢圓上有 一點P 得 PF1F2為一正三角形，則m＝________28 29 ，n＝________30 31 。
【答 案】12, 16 【概念中心】橢圓元 a, b, c的計算
【命題出處】南一版第 冊第一章圓錐曲線
【試題解析】 PF1F2為正三角形 F1F2 ＝4
又 PF1 ＝ PF2 ＝ F1F2 ＝4 a＝4
c＝2 b＝ a2−c2 ＝2 3 故在橢圓 x
2
m ＋ y
2
n ＝1中，
m＝b2＝(2 3)2＝12，
n＝a2＝16
G. 坐標空間中，在六個平面 x＝ 14
13 ，x＝ 1
13 ，y＝1，y＝－1，z＝－1 及 z＝－4 所圍成的
長方體上 機選 兩個相異頂點。若每個頂點 選 的機率相同，則選到兩個頂點的距離 大於3之機率為
______
32
33 。（化成最簡分數）
【答 案】 3
7 【概念中心】長方體頂點位置的判定與 典機率的計算
【命題出處】南一版第 冊第三章機率與統計(I)
【試題解析】長方體前後距離為 14 13 － 1
13 ＝1，
左右距離為1－(－1)＝2，
上下距離為－1－(－4)＝3
考 D點，A, B, C, H, D，此 點與D 之距離均不大於3，
即與D點距離 3者有8－5＝3(點)
到兩頂點之距離大於3者共有 8×3
2 ＝12(種) 故所求機率為 12
C8 2 ＝ 12 28 ＝ 3
7
一、考題趨勢：
1. 100及101學測的考題看來，這兩年的題目均平易近人， 「中間偏易」的方向 題，代 表一俞一 、認 做題目的同學就會有 的機會，今後同學們應 向基本觀念多加
、 題的能 再提 、計算要更精確的目標 ，不要認為 數學是韪項就 數學，
其實只要中等程度的考 有一 的機會。
2. 以上考題解析及趨勢在本人所編著的「焦點攻略」總復習講義( 99課綱改為智慧型復習講義) 中 提及，並要同學多加 注意，「智慧型復習講義」一頟近幾年 大改版以更 合現 今考題趨勢， 各位先 可 考並不佚加以選用、指 。
二、結語：
對高三同學而言， 、 了一 年，對於這 試 的 應大於 ， 試題中
俯有觀念 、計算 複的題目出現， 各項指標應比100年下 些，但仍屬簡單的一
試 。這兩年的題目應 102年應試的高二同學們 不少，準 來頴外 實。
是倴 老 ：「 不 」的人 將
